DERIVACIÓN IMPLÍCITA EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS DE DERIVADAS PDF
DERIVADAS IMPLICITAS PROBLEMAS RESUELTOS
En las funciones que hemos estudiado hasta ahora , la variable dependiente se expresa en términos de la independiente , y = f(x) .
Los problemas prácticos conducen a ecuaciones en las cuales ‘‘y’’ no está explícitamente despejada , no se expresa a ‘‘y’’ en función de ‘x’’.
derivación implícita
Por ejemplo , la ecuación de la circunferencia con centro en P = (0 ; 0) y radio 6 , está dada por : y2 + x2 = 36 .
Como en esta ecuación , no se ha expresado a ‘‘ y’’ en función de ‘‘x’’ ; y = f(x) , se dice que la variable dependiente ‘‘y’’ está implícita como función de ‘‘x’’.
Ejemplo :
Dada la ecuación de la circunferencia : y2 + x2 = 4 , encontrar la expresión para calcular la tangente en cualquier punto .
Resolución :
Un procedimiento que se puede aplicar consiste en despejar a la variable ‘‘y’’ para expresarla en función de ‘‘x’’ .
En este caso se obtendría la ecuación :
De los dos valores de la raíz se escogería uno de ellos para trabajar con la semicircunferencia.
Luego se procede a derivar respecto a x .
Otro procedimiento , más práctico , consiste en calcular la derivada implícitamente .
Para la ecuación y2 + x2 = 4 , se derivan ambos miembros de la igualdad respecto a la variable independiente x :
Se aplica , derivada de una suma de funciones :
Para derivar el primer término del lado izquierdo de la igualdad se aplica la regla de la cadena ; y en el segundo término , la derivada de la función cuadrática .
La derivada respecto a x del miembro de la derecha es cero , porque 4 es una constante . 2yy’ +2x = 0 En la ecuación se cancela el 2 y se despeja y’.
Geométricamente , la ecuación y2 + x2 = 4 corresponde a una circunferencia de centro en el punto ( 0 ; 0) y de radio igual a 2 , ilustrada en la figura .
En algunos puntos de la circunferencia , se han dibujado las rectas tangentes . Estas rectas tangentes tiene diferentes pendientes de acuerdo a la ecuación : y – y0 = m(x – x0) La pendiente de la recta tangente varía de acuerdo con la expresión :
DEFINICIÓN :
Una ecuación Q(x,y)=0 , define implícitamente una función y = f(x) si , sólo si al sustituir «y» por f(x) en la ecuación , se llega a una identidad .
Por suerte, no es necesario despejar ‘‘y’’ de una ecuación en función de x para hallar su derivada ; en su lugar se puede emplear el método de derivación implícita. Dicho método consiste en derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x para después despejar y’ de la ecuación resultante. En los ejemplos de esta sección y de los ejercicios correspondientes, se supone que la ecuación dada determina a ‘‘y’’ en forma implícita como función diferenciable de ‘‘x’’, de modo que se pueda aplicar el método . Ejemplo 1 : I) Si : x2 + y2 = 25 , hallar II) Determinar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y2 = 25 en el punto (3 ; 4) Resolución : I) En la ecuación x2 + y2 = 25 derivamos con respecto a x , así : II) Para el punto P(3 ; 4) ; la pendiente m de la recta tangente es : y’ en (3 ; 4) igual a . Luego , la ecuación de la recta tangente es : Ejemplo 2 : Calcular la derivada implícita en la ecuación Resolución : Dado que ‘‘y’’ depende del valor de ‘‘x’’, entonces se derivan ambos miembros de la igualdad , respecto de la variable x : Se aplica la regla para derivar la suma de funciones : Para derivar el primer término del lado izquierdo de la igualdad , se aplica la derivada de una potencia y para el segundo y tercer término , la regla de la cadena :