CONCAVIDAD DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN APLICANDO DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

 

 

 

 

 

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CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL ANÁLISIS Y GRÁFICAS DE FUNCIONES. 

Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada. 

El concepto de concavidad es útil para describir la gráfica de una función derivable ƒ. Si ƒ’( c ) existe, entonces la gráfica de ƒ tiene una recta tangente l con pendiente ƒ’( c ) en el punto P ( c , ƒ( c ) ). Para describir el tipo de concavidad se usa la siguiente terminología. 

Definición . 

Sea ƒ una función que es derivable en un número c. 

a) La gráfica de ƒ tiene concavidad hacia arriba (∪) en el punto P (c , ƒ ( c ) ) si existe un intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en ( a , b ) la gráfica de ƒ está por encima de la recta tangente en P.

b) La gráfica de ƒ tiene concavidad hacia abajo (∩) en el punto P (c , ƒ ( c ) ) si existe un intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en ( a , b ) la gráfica de ƒ está por debajo de la recta tangente en P. Teorema: (Prueba de concavidad) Sea ƒ una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c, tal que ƒ’’(c) existe. a) Si ƒ’’ (c) > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba en P (c, ƒ(c)) b) Si ƒ’’(c) < 0, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en P (c, ƒ (c)) Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. En algunos casos se utiliza los siguientes términos: Función convexa y función cóncava. Convexa significa que las rectas tangentes a la función, están por encima de ella. Cóncava significa que las rectas tangentes a la función, están por debajo de ella Si la segunda derivada ƒ’’ (x) cambia de signo cuando x aumenta y pasa por un número c, entonces la concavidad cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo, o bien de ser hacia abajo a ser hacia arriba. El punto (c, ƒ(c)) se llama punto de inflexión de acuerdo con la siguiente definición. Definición Un punto P (c, ƒ(c)) en la gráfica de una función ƒ es un punto de inflexión si ƒ’’ existe en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c y ƒ’’ cambia de signo en c. Punto de inflexión es aquel donde la función cambia de concavidad, es decir, la recta tangente corta a la curva en un punto de ella, dejando una parte por encima y otra por debajo Como se puede suponer, los puntos en los que ƒ’’(x) = 0 o donde ƒ’’(x) no existe son llamados posibles puntos de inflexión. Llamamos posible punto de inflexión debido a que puede fallar en ser un punto de inflexión, sin embargo, al investigar puntos de inflexión comenzamos por identificar aquellos en los que ƒ’’(x) = 0 y en los que ƒ’’(x) no existe. Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Criterio de la segunda derivada para máximos locales y mínimos locales. Teorema: Sea ƒ una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c, y tal que ƒ’(c) = 0. a) Si ƒ’’(c) < 0, entonces ƒ tiene un máximo local en c. b) Si ƒ’’(c) > 0, entonces ƒ tiene un mínimo local en c. Nota: El criterio de la segunda derivada no se puede aplicar cuando ƒ’’(c ) = 0 . En tales casos se debe usar el criterio de la Primera Derivada. Guía práctica para aplicar el criterio de la segunda derivada en el análisis y gráficas de funciones. a.‐ Dada la función ƒ, determinamos el dominio, calculamos la primera derivada la igualamos a cero y buscamos los valores críticos. b.‐ Determinamos la segunda derivada, luego sustituimos los valores críticos encontrados en la segunda derivada ƒ’’(c), y aplicamos el teorema respectivo. Si ƒ’’(c) > 0, entonces en c, existe un mínimo. Si ƒ’’(c) < 0, entonces en c, existe máximo. c.‐ Calculamos los posibles puntos de inflexión (P.P.I.), (donde ƒ’’(x) = 0 y donde ƒ’’(x) no existe). d.‐ Analizamos la segunda derivada, en los intervalos formados por los posibles puntos de inflexión, y se aplica el criterio para la concavidad. ƒ’’(x) > 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia arriba. ƒ’’(x) < 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia abajo. y si ƒ’’(k) cambia de signo, entonces k es un punto de inflexión. e.‐ Para graficar, sustituimos los valores críticos en la función ƒ, para localizar en el plano donde está el máximo y donde está el mínimo, luego buscamos los cortes con los ejes y el resto de la gráfica la completamos con el análisis. Analizar y graficar las siguientes funciones utilizando el criterio de la segunda derivada.