COMPOSICION DE FUNCIONES EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

FUNCIONES COMPUESTAS EJEMPLOS Y PROBLEMAS RESUELTOS FUNCIONES COMPUESTAS -composición de funciones Además de la adición , multiplicación y división de funciones , hay otra operación fundamental llamada composición , la cual se considera como una función de función y se define así: 

La función de f con g, denotada por f o g y que se lee «f composición g» es la función cuyo dominio consiste en los elementos tales que g(x) y cuya regla de correspondencia es: Ejemplo : 

* Del gráfico adjunto determinar F o G Se consideran sólo los elementos asociados a líneas que hacen el recorrido completo de A hacia C , pasando por B. 

dEFINICIÓN : 

Si f y g son dos funciones en sus dominios respectivos, se define la composición de funciones denotados por fog ‘‘f compuesta con g’’ , así : 

* Sean los conjuntos A , B y C y las funciones f y g tal que : De esta representación gráfica se tiene : nota La composición de funciones es una operación no conmutativa es decir : 

Ejemplo 1 : 

Determina la función f o g siendo : Resolución: 

*Para que exista la función f o g es necesario , según la definición , que el rango de g se encuentre contenido en el dominio de f, esto es, que exista . Si g tiene dominio en A y rango en B , y f tiene rango en C, entonces f o g tiene dominio en A y rango en C . La figura da un diagrama de f o g para este ejemplo. La función compuesta será : 

Ejemplo 2 : 

Dadas las funciones: 

Hallar : A) f o g B) g o f Resolución: A) Veamos si existe f o g 

* Entonces existe f o g 

* Nos interesa los pares ordenados de g y f que tengan como segundas y primeras componentes A : –1 ; 2 y 5 respectivamente . Luego : 

Ejemplo 3 : 

Determine f o g si : 

Resolución : * Si x = 0 * Si x = 1 * Si x = 2 * Si x = 3; no existe 

Ejemplo 4 : 

Dadas las funciones : 

Halle la función f tal que: h = f o g 

Resolución : 

* Como : h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)) Ejemplo 5 : Dadas las funciones : Hallar el producto de los elementos del rango de la función : h = (f o g) + (g o f) Resolución : * En este caso es posible seguir el siguiente procedimiento : * En caso de f o g : entonces y en caso g o f : entonces * Así: Para f o g : * Para x = 3: no existe g(f(3)) x = 4: no existe g(f(4)) * Por lo tanto g o f = * Como entonces , entonces 4× 6 = 24 observación : Volviendo ahora la manera de ver a las funciones como máquinas , podemos entender la operación de composición como un acoplamiento de una máquina con otra . Por ejemplo, si tenemos la función f(x)=x2, la cual es una máquina que recibe x y la eleva al cuadrado , la función g(x) = 2x + 3 es una máquina que recibe x ; la multiplica por 2 y luego suma 3 , componer f con g consiste sólo en acoplar la máquina de g con la de f. Le suministramos a f, la «producción» de g. Ejemplo 6 : Dadas las funciones:. g(x)= x – 2. Hallar f o g. Resolución: * Calculamos los dominios de cada función: * Para f(x): *Para g(x):es una función lineal * Como los dominios tienen infinitos elementos, aplicamos el método analítico para resolver el problema. * Tenemos : * Hemos determinado f o g indicando su regla de correspondencia y su dominio. Ejemplo 7 : Dadas las funciones f y g , tales que : Hallar : f o g si existe . Resolución : A) Primero veamos si existe f o g Dom f : Ran g : –1