ÁNGULOS HORIZONTALES EJERCICIOS RESUELTOS PDF – TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO HORIZONTAL
Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que , en la practica , lo vamos a ubicar en la rosa naútica.
En topografía el ángulo formado por dos líneas rectas trazadas sobre el suelo se mide horizontalmente y se llama ángulo horizontal.
Las líneas trazadas sobre el suelo se pueden reemplazar con dos líneas visuales .
Estas líneas visuales parten del ojo del observador que constituye el vértice de un ángulo , y se dirigen hacia puntos fijos del terreno tales como una piedra, un árbol, un hormiguero, un poste telefónico o la esquina de un edificio.
ROSA NAUTICA (COMPÁS MARINO)
Es un diagrama ubicado en planos horizontales y diseñado en base a la ubicación de los puntos cardinales que son: norte (N), sur (S), este (E) y oeste ( O–W).
La rosa Náutica se emplea para localizar la posición de objetos o personas ubicados en el plano horizontal mediante los rumbos y direcciones establecidas en ella.
La Rosa Náutica contiene a las treinta y dos (32) direcciones notables de la brújula, las cuales son obtenidas trazando bisectrices a partir de las direcciones principales, siendo el ángulo que forman dos direcciones notables consecutivas de 11°15’
Los ángulos horizontales son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica.
ROSA NÁUTICA: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto; respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones
POSICIONES DE LA ROSA NÁUTICA
RUMBOS Y DIRECCIONES
Para ubicar la posición de una persona u objeto con respecto a un punto determinado en el plano horizontal, se emplean con frecuencia los rumbos o direcciones.
DIRECCION : Es la posición de un punto con respecto a otro .
DIRECCIONES OPUESTAS :
El opuesto de una dirección dada, se obtiene cambiando las direcciones que aparezcan por sus respectivos opuestos, sin cambiar el ángulo.
RUMBO:
Se denomina rumbo a la dirección en la que se encuentra un objeto .
El rumbo está determinado por el ángulo que forma dicha dirección con respecto al eje norte -sur.
No toda dirección es un rumbo , pero sí todo rumbo es una dirección.
Es decir el rumbo es el ángulo agudo horizontal que forma la dirección de la persona u objeto con respecto al eje norte -sur, cuando ésta se desvía hacia el este (E) u oeste (O).
La línea recta sobre la cual se encuentra la persona u objeto con respecto a una Rosa Náutica, quedando determinada dicha dirección por su rumbo.
Ahora bien , algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas , a partir de los ejes principales ; por lo que su notación será también particular . Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este , y usted concluye los restantes por analogía .
SITUACIONES COMBINADAS
Cuando los enunciados de los problemas , mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales(uso de direcciones , generalmente), al mismo tiempo , la rosa náutica a emplear asume una posición más real ; es decir, ubicada en un plano horizontal .
PRIMERA PRACTICA
PREGUNTA 1 :
¿Cuál es el ángulo formado por las direcciones E20°N y N10°O?
a) 10°
b) 20°
c) 80°
d) 70°
e) 100°
PREGUNTA 2 :
¿Cuál es el menor ángulo formado por las direcciones E40°S y S30°O?
a) 10°
b) 80°
c) 30°
d) 70°
e) 60°
PREGUNTA 3 :
¿Cuál es la medida del mayor ángulo formado por las direcciones N15°O y S25°E?
a) 170°
b) 180°
c) 190°
d) 90°
e) 35°
PREGUNTA 4 :
Dos barcos están al este y al norte a distancias de 14 y 30 km respectivamente. ¿Cuál es la distancia de separación?
a) 30 km
b) 14
c) 6
d) 34
e) 24
PREGUNTA 5 :
Desde un barco se divisan dos lanchas al S80°E y N10°E a una distancia de 14 y 48km respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre las dos lanchas?
a)25 km
b) 40
c) 60
d) 50
e) 62
PREGUNTA 6 :
Un barco se dirige al E45°N una distancia de 21√2 km, luego toma rumbo norte una distancia de 7 km. ¿A qué distancia se encuentra el barco?
a) 18 km
b) 21
c) 25
d) 35
e) 45
PREGUNTA 7 :
Desde un faro se divisan dos barcos al este y al sur a distancias de 6 y 8km respectivamente. Calcular la distancia de separación de los barcos.
a) 8 km
b) 6
c) 14
d) 10
e) 20
PREGUNTA 8 :
Desde un punto situado al sur de un faro se observa la parte más alta con un ángulo de elevación de 30° y desde otro punto situado al este del faro, el ángulo de elevación es de 45°. Hallar la altura del faro si la distancia de separación de los puntos de observación es de 20 m.
a) 5 m
b) 10
c) 15
d)12
e) 14
PREGUNTA 9 :
Desde la parte superior de un faro se observan dos puntos “A” y “B” en las direcciones oeste y norte, bajo un ángulo de depresión de 30° y 45°. Si la altura del faro es de 20m, calcular la distancia de separación entre los puntos “A” y “B”.
a) 10 m
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
PREGUNTA 10 :
¿Cuál es el ángulo formado por las direcciones E40°N y N50°O?
a) 10°
b) 90°
c) 120°
d) 100°
e) 130°
PREGUNTA 11 :
¿Cuál es el menor ángulo formado por las direcciones N27°O y S50°O?
a) 103°
b) 108°
c) 77°
d) 50°
e) 63°
PREGUNTA 12 :
¿Cuál es la medida del mayor ángulo formado por N(90° – θ)E y SθE?
a) 90°
b) 180°
c) 270°
d) 360°
e) 450°
PREGUNTA 13 :
Dos barcos están al sur y oeste a distancias de 7 y 24 km respectivamente. ¿Cuál es la distancia de separación de los barcos?
a) 7 km
b) 24
c) 31
d) 25
e) 50
PREGUNTA 14 :
Un barco se desplaza en la dirección E30°N una distancia de 20 km, luego toma rumbo sur una distancia de 20 km. ¿A qué distancia se encuentra?
a) 10 km
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
PREGUNTA 15 :
Un barco se dirige 30 km al O, 10 km al sur y luego al O45°S una distancia 10√2, luego es divisado al OβS. Calcular “tanβ”.
a) 2,5
b) 3,5
c) 5,5
d) 0,75
e) 0,45
PREGUNTA 16 :
Desde un faro se divisan dos barcos al este y sur a una distancia de 6 y 6√3 km. Calcular la distancia de separación.
a) 12 km
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
PREGUNTA 17 :
Después de haber caminado 28 km, se nota que se ha recorrido 4 km más hacia el sur que al este. Indicar el rumbo de la persona respecto al punto de partida.
a) O57°S
b) O53°S
c) O37°S
d) S53°O
e) O30°S
PREGUNTA 18 :
Una persona sale de su casa y hace el siguiente recorrido, 37 m hacia el norte, 40 m al este, luego 108m al sur, para finalmente caminar con dirección NO, 80√2 m. ¿A qué distancia de su casa se encuentra?
a) 39 m
b) 40
c) 41
d) 42
e) 9
SEGUNDA PRACTICA
PREGUNTA 1 :
Un móvil parte con rumbo N20°E y recorre 20km, otro móvil parte del mismo punto con rumbo N70°O y recorre 21km.
Calcula la distancia entre los móviles.
a) 13
b) 20
c) 29
d) 30
e) 31
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 :
Desde un punto se observan dos barcos en la dirección N20°O y S70°O, a las distancias de 40 y 9 m respectivamente. ¿Cuál es la distancia de separación de los barcos?
A) 40 m
B) 49
C) 41
D) 9
E) 81
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 :
Después de haber caminado 20km, se observa que se ha recorrido 4km más hacia el sur que hacia el este.
Determina el rumbo de la persona.
a) S37°E
b) S53°O
c) NE
d) NO
e) SE
Rpta. : "A"
PREGUNTA 4 :
Una persona A se encuentra al este de otra persona B, si B se desplaza en la dirección N25° E y la persona A en la dirección NO se encuentra en el punto P. Calcula cuanto mide el ángulo APB.
a) 60°
b) 70°
c) 80°
d) 85°
e) 90°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
Desde un punto situado al sur de una torre, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 53° y desde otro punto situado al este de la torre el ángulo de elevación para su parte superior es de 30°, si la torre mide 12m; calcula la distancia que separa a ambos puntos de observación.
a) 35√7
b) 4√57
c) 5√57
d) 6√57
e) √57
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
Una persona sale de su casa y hace el siguiente recorrido : 37m hacia el norte. 40m al este. 108m al sur y finalmente 802m en dirección NO.
¿A qué distancia de su casa se encuentra?
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 50
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
Un faro envía un haz de luz en forma de abanico que se extiende del ESE al OSO. Una embarcación a 2 km del faro que navega hacia el OESTE entra al haz de luz en el ESE y después de una hora sale del haz de luz en el OSO. ¿Cuál es la velocidad (en km/h) aproximada del barco?
A) 1,85
B) 2,85
C) 3,7
D) 4,85
E) 5,85
Rpta. : "C"
PREGUNTA 8 :
José sale de su casa con destino a la casa de Carlos, para lo cual toma la dirección N30°E; pero en el trayecto se arrepiente y se va, tomando la dirección S60°E; si en total José recorrió 273m y el lugar en el cual se encuentra está justamente al este de su casa. Calcula la distancia que la separa de su casa. (considere √3=1,73)
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
e) 500
Rpta. : "B"
PREGUNTA 9 :
Desde un punto ubicado al sur de un faro, se observa su parte superior con un ángulo de elevación “θ ” cuya tangente es 3, y desde otro punto de observación situado al este del faro; el ángulo de elevación es “α” y su tangencia es ahora 7/8. Halla la tangente del ángulo de elevación con el cual se observaría el faro desde un punto ubicado en medio de los dos puntos de observación iniciales.
a) 42/25
b) 25/42
c) 30/31
d) 31/30
e) 5
Rpta. : "A"
PREGUNTA 10 :
Un buque detecta a un faro en la dirección 20° al norte del este, luego avanza 173km con rumbo E50°N, desde donde observa nuevamente al faro pero ahora en la dirección E40°S. Calcula la distancia que separa esta vez el buque del faro. ( √3=1,73)
a) 100km
b) 10√3km
c) 20√3km
d) 100√3km
e) 50km
Rpta. : "A"
PREGUNTA 11 :
La recta que une los puntos A y B está en la dirección E30°N de A y la distancia entre ellos es 12km. Un barco que navega en la dirección S30°E es visto desde A en la dirección NO a las 8a.m.. A qué hora cruza la recta que une los faros (velocidad del barco 12km/h).
a) 8
b) 8:15
c) 8:13
d) 7
e) 8:14
Rpta. : "B"
PREGUNTA 12 :
Una hormiga sale de un hormiguero y se desplaza 7 km hacia el oeste de su hormiguero, luego se desplaza 5√2km hacia el “NO” de su nueva posición. Halla el desplazamiento total que efectúo la hormiga.
a) 9km
b) 13km
c) 18km
d) 17km
e) 12km
Rpta. : "B"
PREGUNTA 13 :
Un móvil recorre 40 km en la dirección N53°O. luego recorre 40√2km en la dirección SO y finalmente recorre 60km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el móvil de su posición inicial?
a) 20km
b) 25km
c) 16km
d) 12km
e) 30km
Rpta. : "A"
PREGUNTA 14 :
La base de un muro de 7 metros de altura se halla en una línea que va de norte a sur . El rumbo de la luz solar es S60°E , y su ángulo de depresión es 30°. Determinar el ancho de la sombra del muro .
A) 10 m
B) 12
C) 11,5
D) 9
E) 11
Rpta. : "C"
PREGUNTA 15 :
Desde lo alto de un acantilado se observa en la dirección Sur, una boya con un ángulo de depresión de 45° y en dirección este un bote con un ángulo de depresión de 30°. Si la distancia que separa a la boya del bote es 80m. Calcula la altura del acantilado.
a) 25m
b) 40m
c) 45m
d) 48m
e) 50m
Rpta. : "B"
PREGUNTA 16 :
Un navío que se dirige hacia el Norte, ve sobre una misma línea 2 faros en la dirección del Oeste ; después de una hora de marcha , los faros aparecen uno al Sur–Oeste y al otro al Oeste – Sur– Oeste. Sabiendo que la distancia de los faros es de 10√2 km , Determinar la velocidad del navío en km/h.
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Rpta. : "A"
PREGUNTA 17 :
Si Pedro ve aparecer a Guillermo que está en un carrusel en la dirección E17°S y lo ve desaparecer en la dirección S37°E luego de 4 segundos. Calcula cuántas vueltas habrá dado Guillermo en 30 minutos.
a) 120 vueltas
b) 150 vueltas
c) 160 vueltas
d) 180 vueltas
e) 200 vueltas
Rpta. : "D"
PREGUNTA 18 :
Un pueblo se encuentra a 25 km al Norte de otro que a su vez está a 25√3 km al Este de un tercero, ¿en qué dirección está el primer pueblo del tercero?
A) E60°N
B) N60°O
C)060°S
D) S60°O
E) N60°E
Rpta. : "E"
PREGUNTA 19 :
Antonio sale de su casa con destino a la casa de Carmen, para lo cual realiza el recorrido siguiente: 39 km en la dirección NαO y luego cambia de dirección recorriendo ahora en el rumbo 53° al este del norte una distancia que es 16km mayor que la recorrida inicialmente; llegando así a la casa de Carmen, halla la distancia que separa la casa de Carmen de la de Antonio. Si Tgα=12/5.
a) 8√37
b) 3√7
c) 7√37
d) 4√37
e) 5√37
Rpta. : "A"
PREGUNTA 20 :
Alejandro se encuentra al pie de un edificio y a 20m de distancia observa un auto en la dirección ESTE. El auto se desplaza en la dirección N67,5°O. Luego, Alejandro sube a lo alto del edificio de 20m de altura y observa al auto en la dirección NNE. Halle la distancia aproximada (en m) recorrida por el auto.
A) 18,48
B) 19,48
C) 20,18
D) 21,08
E) 22
Rpta. : "A"
PREGUNTA 21 :
Un barco que navega con rumbo N37°E observa al norte a un avión que vuela en la dirección oeste este. Luego de navegar 35km vuelve a observar el avión pero ahora hacia el este, con un ángulo de elevación de 16° y a : 100√3km de distancia.
Calcula el ángulo de elevación en la primera observación.
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 75°
Rpta. : "D"
PREGUNTA 22 :
Un navío que viaja exactamente hacia el ESTE a la velocidad uniforme de 40,8 km/h, observa el pie de un faro exactamente en el rumbo NORTE a las 5h 1,5' 15", luego 8° al NORTE del NO a las 7h 31' 45" y la parte más alta del faro con un ángulo de elevación de 37°. Halle las distancias del pie del faro a los dos puntos de observación y la altura del faro respectivamente.
A) 136km;170km y 127,5km
B) 140km;180km y 150km
C) 130km; 160km y 120,km
D) 140km; 150km y 120km
E) 180km y 180km
Rpta. : "A"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
Una persona parte desde A hacia B con rumbo S60º0, luego se dirige hacia C con rumbo S75ºE, hasta ubicarse al sur de A. Si la distancia entre A y C es 10 m; halle aproximadamente la distancia entre B y C.
A) 10 m
B) 20 m
C) 15 m
D) 12 m
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
