ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN EJERCICIOS RESUELTOS PDF

APRENDIZAJES ESPERADOS 
• Reconocer los ángulos verticales, ya sean de elevación o de depresión; así como su correcta representación gráfica. 
• Adaptar la teoría de razones trigonométricas de ángulos agudos y sus diversas partes, a la resolución de ejercicios que tienen que ver con los ángulos de elevación y depresión.
ÁNGULOS VERTICALES 
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical; y que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal; como resultado de haberse efectuado una observación. 

LÍNEA VISUAL: 
Une el observador con el objeto a observar. 

LÍNEA HORIZONTAL: 
Pasa por el ojo del observador y es paralela al nivel del suelo. 

Los ángulos verticales son aquellos ángulos que pertenecen a un plano vertical y son medidos con un instrumento llamado teodolito, que es muy usado por los topógrafos (ingenieros civiles). 

ÁNGULO DE ELEVACIÓN 
Para determinar un ángulo de elevación debemos de trazar una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea visual está por encima de la horizontal. 

ÁNGULO DE DEPRESIÓN 
Para determinar el ángulo de depresión debemos de trazar una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea visual está abajo de la horizontal. 

☞ No olvidarse que para dibujar los ángulos de elevación o de depresión, debe trazarse la visual y la horizontal correspondiente. 
☞ Para poder resolver problemas de ángulos verticales tenemos que dibujar correctamente. 
☞ En todo problema donde se incluyan ángulos verticales y horizontales a la vez, se deberá bosquejar diagramas tridimensionales para tener una mejor visión y ubicación del problema .
GUIA DE CLASE
EJERCICIO 1 : 
Si desde un punto en tierra ubicado a 20 m de la base de un edificio ; el ángulo de elevación para su parte más alta mide 37°. Calcular la altura del edificio. 
A) 18 m 
B) 10 
C) 12 
D) 15 
E) 16 
Rpta. : "D"
EJERCICIO 2 : 
Desde un punto ubicado a una distancia de 20m de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación β. Calcular la altura de la torre , si: tgβ=1,5 
A) 10m 
B) 20 
C) 30 
D) 40 
E) 50 
Rpta. : "C"
EJERCICIO 3 :
Una persona de 2 m de estatura, ubicada a 32 m de una torre de 34 m de altura; divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de: 
A) 28° 
B) 30° 
C) 37° 
D) 45° 
E) 60° 
Rpta. : "D"
EJERCICIO 4 :
Desde un punto en tierra ubicado a 4m de un poste ,se divisa su parte alta con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuál es la altura del poste?. 
A) 2m 
B) 4 
C) 3 
D) 6 
E) 9 
Rpta. : "C"
EJERCICIO 5 :
Un niño de estatura de 1,5 m; esta ubicado a 6 m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre? 
A) 9 m 
B) 8 
C) 7 
D) 6,5 
E) 9,5 
Rpta. : "E"
EJERCICIO 6 :
Desde la parte superior de un muro de 21 m de altura se observa un objeto que está ubicado a 28 m del pie del muro. ¿Cuál es el ángulo de depresión? 
a) 53° 
b) 45° 
c) 37° 
d) 16° 
e) 30°
Rpta. : "A"
EJERCICIO 7 :
Desde lo alto de un poste se divisa un objetivo en el suelo con un ángulo de depresión "α" (cotα=4). Si el objeto se halla a 20m del poste, ¿Qué altura tiene el poste? . 
A) 2m 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
E)10 
Rpta. : "D"
EJERCICIO 8 :
Desde un punto que se encuentra a 48 m del pie de una torre el ángulo de elevación para la parte más alta es 45°. ¿Cuánto debe acercar dicho punto para que el nuevo ángulo de elevación sea 53°? 
A) 10 m 
B) 6 
C) 4 
D) 16 
E) 12 
Rpta. : "E"
EJERCICIO 9 :
Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación α. Si el observador se acerca 20 m el ángulo de elevación sería β. Determinar la altura de la torre, si además se sabe que: 
cotα – cotβ=0,25 
A) 10 
B) 80 
C) 160 
D) 240 
E) 40 
Rpta. : "B"
EJERCICIO 10 :
Desde lo alto de un faro, se divisan dos barcos a un mismo lado del faro, con ángulos de depresión de 45° y 37°. Si la altura del faro es de 96 m. ¿Cuál sería la distancia entre los barcos? 
A) 4 m 
B) 8 
C) 16 
D) 32 
E) 64 
Rpta. : "D"
EJERCICIO 11 :
Desde un punto en el suelo, se observa la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 45 y a la parte superior de su pedestal con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura del pedestal es de 9m, halla la altura de la estatua. 
A) 1m 
B) 2m 
C) 3m 
D) 4m 
E) 5m 
Rpta. : "C"
EJERCICIO 12 :
Lenin se que queda mirando muy atentamente una estatua con un ángulo de observación de 8 y la parte mas alta del pedestal de la estatua con un ángulo de elevación de 45°. Si la estatua se encuentra 3 metros de distancia de Lenin ¿Cuánto mide la altura de la estatua? 
A) 3m 
B) 2m 
C)1m 
D) 4m 
E) 5m 
Rpta. : "C"
*
GUIA PROPUESTA
PREGUNTA 1 :
Una persona de 2m de estatura observa la base de un poste de luz con ángulo de depresión de 30° y la parte superior con un ángulo de elevación de 60°. Calcula la altura del poste. 
a) 4m 
b) 6m 
c) 4
d) 8m 
e) 6
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Una antena de radio está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto a 12m de distancia de la base del edificio los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior son 53° y 37° respectivamente. Calcula la altura de la antena. 
a) 6m 
b) 7m 
c) 8m 
d) 9m 
e) 10m 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 15°, acercándose 36m hacia el edificio el nuevo ángulo de elevación es el doble del anterior. Calcula la altura del edificio. 
a) 63m 
b) 12m 
c) 18m 
d) 123m 
e) 24m 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 4 :
Desde lo alto de un edificio de altura “h” se divisa una piedra en el suelo con un ángulo de depresión “β”. ¿A qué altura de la base del edificio, se halla la piedra? 
a) hctg β 
b) 2hctgβ 
c) 3hctgβ 
d) 4hctgβ 
e) 5hctgβ 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
Desde lo alto de un edificio se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión “α “ y a otro punto ubicado a la mitad entre el primer punto y del edificio, con un ángulo de depresión “90–α”. Calcula : “ctg2α”. 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 8 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 6 :
Desde la parte superior e inferior de un muro se observa la parte superior de otro muro con ángulo de elevación de 37° y 45° respectivamente. Si el muro más alto mide 48m, entonces la altura del otro muro es: 
a) 8m 
b) 12m 
c) 16m 
d) 24m 
e) 32m 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
Desde de un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación “α”. Si el observador se acerca 20m el ángulo de elevación sería “β”. Calcula la altura de la torre, si además se sabe que : ctgα – ctgβ = 0,25 
a) 10 
b) 80 
c) 160 
d) 240 
e) 40 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 8 :
Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación “θ”, desde la mitad de la distancia que separa el punto de la torre se observa nuevamente la parte más alta de la torre con ángulo de elevación que es el complemento del anterior. Calcula cotθ. 
a) 
b) 2
c) 2/2 
d) 2/4 
e) 1 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 9 :
Desde lo alto de una cima se observa un obstáculo con un ángulo de depresión de 60°, si dicho obstáculo dista 203m de pie de la cima. Calcula la altura de la cima. 
a) 20m 
b) 203m 
c) 60m 
d) 60
e) 40m 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 10 :
Desde lo alto de un faro, se divisan dos barcos a un mismo lado del faro, con ángulos de depresión de 45º y 37º. Si la altura del faro es de 96m. ¿Cuál sería la distancia entre los barcos 
a) 4m 
b) 8m 
c) 16m 
d) 32m 
e) 64m 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 11 :
Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°, al avanzar 10m. el ángulo de elevación se duplica. Halla la altura del faro . 
a) 5m 
b) 3m 
c) 9,66m 
d) 53m 
e) 8 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 12 :
Desde la parte superior de un edificio de 6 pisos iguales el ángulo de depresión para un punto en el suelo es “β” y desde la parte más alta del cuarto piso el ángulo de depresión es “α”. Calcula : “tgα.ctgβ”. 
a) 1/2 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 4/5 
e) 5/6 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 13 :
Desde un punto que se encuentra a 48m del pie de una torre el ángulo de elevación para la parte más alta es 45º. ¿Cuánto debe acercar dicho punto para que el nuevo ángulo de elevación sea 53º? 
a) 10m 
b) 4m 
c) 12m 
d) 16m 
e) 8m 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 14 :
Un niño de estatura de 1,5m; está ubicada a 6m de una torre y observa su parte más lata con ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre? 
a) 8,5m 
b) 9,5m 
c) 10,5m 
d) 12,5m 
e) 13,5m
Rpta. : "B"
PREGUNTA 15 :
 Un a colina está inclinada con un ángulo ”θ” respecto a la horizontal. A una distancia “m” del inicio de la colina y sobre ella se encuentra un objeto. ¿A qué altura se encuentra respecto a ala horizontal? 
a) msenθ 
b) mcosθ 
c) mtgθ 
d) mctgθ 
e) msecθ 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 16 :
Una persona se dirige a un edificio y observa lo alto del mismo con un ángulo de elevación “α”, después de caminar 10m observa al mismo punto anterior con ángulo de elevación “β”, si la altura del edificio es de 30m. Calcula: 3Tgα.Ctgβ + Tgα 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 17 :
Un reflector al ras del suelo ilumina un monumento bajo un ángulo de 30°. Se traslada el reflector a 2m más cerca del monumento y éste se ve bajo un ángulo de 45° . ¿Cuál es la distancia del monumento al segundo lugar de iluminación? 
a) 3 m 
b) 3 + 1
c) √2 − 1
d) 3 − 1 
e) 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 18 :
Desde la parte más alta de un poste se observa en el suelo dos piedras separadas a una distancia de 10m con ángulos de depresión de 45° y “α” ( “α” para la piedra que se halla más cerca del poste). Calcula la tangente de “α” si la altura del poste es de 30m, además ambas piedras se hallan a un mismo lado del poste. 
a) 1 
b) 1,5 
c) 2,5 
d) 3 
e) 4 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 19 :
Los ángulos de elevación de la cúspide de una torre, vistos desde 2 puntos situados en línea recta con el pie de la torre, son de 45° y 30° respectivamente , si la distancia entre los puntos de observación es de 60m, la altura de la torre, es : 
a) 60m 
b) 60(√3 – 1)¹
c) 110m 
d) 602 m 
e) 120 m 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 20 :
Un avión vuela horizontalmente a una altura de 2000m con respecto al nivel del mar, desde un punto de observación situado sobre la costa se le observa en un instante determinado bajo un ángulo de elevación “α”. Luego de 5 segundos el nuevo ángulo de elevación es “β”. Si el avión vuela con rapidez constante, calcula dicha rapidez si se sabe : 
Tgα = 4/21 y Tgβ = 2/11 
a) 100 m/s 
b) 200 m/s 
c) 300 m/s 
d) 400 m/s 
e) 500 m/s
Rpta. : "A"
PREGUNTA 21 :
Desde la parte superior e inferior del segundo piso de un edificio de cuatro pisos iguales, se observa una piedra en el suelo y a una distancia de 9m de la base del edificio con ángulos de depresión “β” y “θ” respectivamente. Desde la parte más alta del edificio la depresión angular para la piedra es “α”. Si se conoce que : 
Tgα – Tgβ – Tgθ = 1/4
¿La altura del edificio es? 
a) 6m 
b) 10m 
c) 9m 
d) 8m 
e) 4m 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 22 :
Desde lo alto de un edificio se observa a un móvil con un ángulo de depresión de 37°, dicho móvil se desplaza con rapidez constante, luego que avanza 28m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53°, si de esta posición tarda en llegar al edificio 6 segundos. Halla la rapidez del móvil en Km/h. 
a) 10 
b) 10,8 
c) 16 
d) 18 
e) 21,6 
Rpta. : "E"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 : 
Una persona observa una torre con un ángulo de elevación de 60°, ¿cuánto debe retroceder para que observe la misma torre con un ángulo de elevación de 30°? La altura de la torre es 53 m y la altura de la persona es de 3 m. 
A) 8 m 
B) 6 m 
C) 10 m 
D) 7 m 
E) 9 m 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 : 
Un observador de 1,7 m de estatura visualiza la parte alta de una antena colocada sobre un edificio, con ángulo de elevación de 37º; si se acerca 7 m hacia el edificio, el nuevo ángulo de elevación es 53º. Si la antena mide 1,5 m, determinar la altura del edificio. 
A) 12,2 m 
B) 13,2 m 
C) 14,2 m 
D) 15,2 m 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :  
Desde un punto P situado a 120 m del pie de un poste, se observa el punto más alto de este poste con un ángulo de elevación α, tal como se muestra en la figura. 
Si 0< α <𝛑/4 y cosα − senα=1/2 , calcule la distancia entre el punto P y el punto más alto del poste. 
A) 80(√7 +1) m 
B) 40(√7 −1) m 
C) 40(√5 −1) m 
D) 80(√7 −1) m 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 : 
Un conductor viaja a lo largo de una carretera recta a una velocidad de 72 km/h en dirección a una montaña y observa que, desde las 4:00 p. m. hasta las 4:20 p. m., el ángulo de elevación hacia la cima de dicha montaña cambia de 10º a 80º. Calcule la altura de la montaña. 
A) 12tan20º km 
B) 12cot20º km 
C) 12sen20º km 
D) 24tan20º km 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad