RELACIONES BINARIAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
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CONCEPTO DE RELACION BINARIA
Dados dos conjuntos A y B , se llama relación R de A en B a aquel subconjunto del producto cartesiano A×B que cumpla determinada condición entre los elementos de sus pares ordenados.
Ejemplo 1:
Sean los conjuntos:
A = {1 ; 3 ; 5}
B = {2 ; 4}
Donde el producto cartesiano A×B es:
A×B = {(1; 2); (1; 4);(3; 2); (3; 4);(5; 2);(5; 4)}
Si (a;b) representa a todos estos pares ordenados procedemos a extraer aquellos que cumplen que a>b.
Entonces tendremos la siguiente relación: R = {(3; 2); (5; 2);(5; 4)} Que se puede determinar como:
R = {(a;b)∈A×B/ a>b}
Observamos que en nuestra relación a>b es la condición o regla de correspondencia, hay que tener presente que se puede haber pedido otra regla de correspondencia.
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION
Llamamos dominio de una relación, al conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados de dicha relación.
Llamamos rango de una relación al conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación.
Ejemplo 1:
R = {(1 ; 2); (1 ; 4);(3 ; 7)}
Dominio de R = Dom(R)= {1; 3}
Rango de R = Ran(R)= {2 ; 4 ; 7}
Ejemplo 2:
Dados los conjuntos:
A = {4 ; 6 ; 7} ; B = {2 ; 3}, ¿Cuál es la relación R de A en B , que cumpla la condición a=2b?
Resolución :
Se halla el producto cartesiano:
A×B={(4; 2);(4; 3);(6; 2);(6; 3);(7; 2) ;(7; 3)}
Se determina el conjunto ‘‘R” cuyos elementos o pares ordenados cumplan la condición: a=2b; luego: R = {(4; 2); (6; 3)}
En esta relación los primeros elementos de los pares ordenados forman el conjunto: {4; 6} llamado
Dominio de la relación, y al conjunto {2; 3} formado por los segundos elementos de dichos pares ordenados se les denomina
Rango de la relación y se escribe:
Dom(R) = {4; 6}
Ran(R) = {2; 3}
Relación definida de un conjunto Si en A×B el conjunto B es igual al conjunto A , entonces tendríamos A×A , por ejemplo:
Dado el conjunto A = {1; 3; 5}; ¿Cuál es la relación R de A en A definida por la relación: a – b=2 ?
Resolución :
Se halla el producto cartesiano :
A×A ={(1; 1); (1; 3); (1; 5); (3; 1); (3; 3) ; (3;5); (5; 1); (5; 3); (5; 5)}
Extraemos a aquellos que cumplen : a – b=2 R = {(3; 1); (5; 3)}
PROPIEDADES DE UNA RELACIÓN DEFINIDA EN UN CONJUNTO
I) RELACION REFLEXIVA :
Una relación R en A es reflexiva, si cada elemento del conjunto A esta relacionado consigo mismo por la relación R , es decir, si: a∈A , entonces , aRa.
ejemplo 1:
Dado el conjunto : A={1 ; 2 ; 3}.determinar la relación de A en A , definida por: a=b
RESOLUCION :
Se halla el producto cartesiano:
A×A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3);(3; 1); (3; 2); (3; 3)}
La relación R en A ; definida por: a=b R = {(1; 1); (2; 2); (3; 3)}
Donde se observa que cada elemento del conjunto A esta relacionado consigo mismo.
Es decir: 1R1; 2R2; 3R3; entonces R es reflexiva.
II) RELACIÓN SIMÉTRICA :
Una relación R en A es simétrica , si siempre que un elemento de A esta relacionado por R con otro , también este esta relacionando por R con el primero.
Es decir matemáticamente : si a R b,entonces, b R a
Ejemplo 1:
Dado el conjunto:
A = {1; 2; 3}. determinar la relación R en A definida por: a+b = 4
Resolución :
Se halla el producto cartesiano:
A×A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}
La relación R en A definida por a+b=4, es:
R = {(1; 3);(2; 2);(3; 1)}
Donde se observa que: 1 está relacionado con 3 y 3 está relacionado con 1. 2 está relacionado con 2 y 2 está relacionado con 2.
III) RELACIÓN TRANSITIVA :
Una relación R en A es transitiva siempre que un elemento del conjunto A esta relacionado con otro ,y este relacionado con un tercero , entonces el primero esta relacionado por R con el tercero. Es decir: Si aRb y bRc, entonces, aRc.
Ejemplo 1:
Dado el conjunto: A = {1; 2; 3}
Hallar la relación R en A definida por a<b
Resolución :
Se halla el producto cartesiano :
A×A={(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}
La relación de R en A ; definida por a<b; es: R={(1; 2); (1; 3); (2; 3)}
Donde se observa que: 1R2 y 2R3 , entonces 1R3
