PROMEDIOS EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

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  • Al finalizar este capítulo , estaremos en capacidad de : * Ordenar datos recopilados en cierto entorno. * Reconocer que un conjunto de datos , puede tener un representante llamada PROMEDIO. * Conocer y aplicar cada una de las definiciones de los promedios en determinada realidad. * Aplicar las diferentes propiedades de los promedios en la resolución de problemas. * Conocer y resolver problemas aplicados a la realidad sobre promedio ponderado. INTRODUCCIÓN : En la vida cotidiana hemos escuchado muchas veces decir: « El sueldo promedio de una persona es S/. 700»; «Tengo 16 de promedio en Matemáticas »; «La velocidad promedio de Senna en el Gran Prix de Mónaco fue 190 km/h». Esto nos lleva a pensar que es necesario determinar un valor , el cual se encuentra entre el mayor y menor de ciertas cantidades que indique un valor representativo, a éste se le llama «promedio».
    OBJETIVOS : Leer e interpretar un conjunto de datos y determinar el representante más adecuado de estos, llamado promedio o media. Calcular el valor de un promedio o media en particular. Aplicar los promedios o medias más importantes en el estudio de una situación específica. Utilizar las propiedades de los promedios o medias en la resolución de los problemas que su entorno lo plantee INTRODUCCIÓN Tenemos un aula con 50 alumnos, de los cuales 40 tienen 16 años; 7 tienen 15 años y 3 tienen 17 años. Si deseamos buscar la edad más representativa del aula, obviamente ésta es la de 16 años. Se mencionará posteriormente que esta edad se tomará como la edad promedio de los alumnos del aula, asumiéndose en algún instante que todos ellos son representados por dicho valor. El valor de 16 es conocido en este caso, como una medida de tendencia central llmada MODA. En el capítulo trabajaremos con las medidas o promedios más conocidos: Media aritmética; media geométrica y media armónica. PROMEDIOS O MEDIAS CONCEPTO DE MEDIA Una media de un conjunto de datos es un valor que puede representar o substituir a todos los elementos del conjunto sin alterar una cierta característica de la misma. Dicho valor se encuentra comprendido entre el mínimo y máximo dato del conjunto. Ejemplo: Dado el conjunto de datos. 3; 6 y 12 Cuál o cuáles de los siguientes valores puede (en) ser una media del conjunto. A) 7 B) 6 C) 5,14 D) 2,9 E) 12,1 Por concepto de media, se debe cumplir que: De aquí, los únicos valores que pueden ser media del conjunto son: 7; 6 y 5,14. En general para n datos. se tiene: MEDIAS MÁS USUALES 1. Media Aritmética (A) Cuando la característica del conjunto de datos es la suma. La media aritmética del conjunto de “n” datos a1; a2; ..., an es un valor A tal que; a1+a2+ ... + an=A+A+...+A=n.A. por tanto EJEMPLO: Calcule la media aritmética de las notas 11; 16 y 18 Resolución Sea “A” la media aritmética luego 2. Media Geométrica (G) Cuando la característica del conjunto de datos es el producto. La Media Geométrica del conjunto de “n” datos positivos a1, a2, ..., an es un valor positivo G tal que: (a1)(a2) ... (an)=(G)(G) .... (G) = (G)n Por tanto: EJEMPLO: Halle la Media Geométrica de los números 8; 12 y 18 Resolución Sea G la Media Geométrica Luego: Sólo definimos la media geométrica para datos positivos. Así evitamos la posibilidad de que la media no exista. Por ejemplo ¿Cuál sería la media Geométrica de 3 y –3? 3. Media Armónica (H) Cuando la característica del conjunto de datos es la suma de las inversas de los datos. La Media Armónica de los n datos positivos a1, a2, ..., an es un valor H tal que: Por lo tanto EJEMPLO: Determine la media armónica de las velocidades 20 m/s y 30 m/s Resolución Sea H la media armónica luego: Sólo definimos la media armónica para datos positivos. Así evitamos la posibilidad que la media no exista. Por ejemplo ¿Cuál sería la media armónica de 7 y –7? Resumiendo EJEMPLO: Un profesor le proprociona la siguiente información a uno de sus alumnos para que calcule la Media Aritmética de sus notas. ¿Cuál fue esa nota promedio? Resolución Sabemos que: En este caso el peso que cada nota tiene, significa que la nota se tendrá la cantidad de veces que su peso indica. Por ejemplo, 12 lo tendremos 3 veces, esta característica origina la Media Aritmética Ponderada, por lo tanto: = La nota media es 13 La Media Aritmética Ponderada Datos a1, a2, ..., an con pesos respectivamente iguales a: p1, p2, .... pn es definida por EJEMPLO: Las edades de tres amigos son 14; 17 y 23 años. Determine la Media Aritmética de las edades actualmente, hace 2 años y dentro de 3 años. Resolución Se observa que: i) Cuando todas las edades disminuyen en 2 años la Media Aritmética también disminuye en 2 años. ii) Cuando todas las edades aumentan en 3 años la media aritmética aumenta en 3 años. En general, del conjunto de n datos a1, a2, ...an si cada uno de ellos aumentada (o disminuida) en x unidades su media artimética quedará aumentada (0 disminuida) en x unidades respectivamente. EJEMPLO Un profesor revisa las pruebas de 5 de sus estudiantes cuyas notas son 13; 13; 12; 15 y 17. Concluyendo que los 3 primeros merecen 3 puntos más cada uno y los restantes 2 puntos menos cada uno. Que sucede con la media aritmética de las 5 notas iniciales. Resolución = Luego de la revisión las notas son. (13+3); (13+3); (12+3); (15–2) y (17–2) Luego se tiene que la Media Aritmética final (AF): EJEMPLO: La Media Aritmética aumenta en 1. En general, para determinar la variación que experimenta la Media Aritmética de un conjunto de datos sólo es necesario considerar el incremento o disminución de la suma de los datos. PROPIEDADES DE LAS MEDIAS 1. Para un conjunto de datos Si los datos son diferentes EJEMPLO: Sean los números 12; 18 y 27 Resolución Se observa que: 17, 05 < 18
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