IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

¿QUÉ ES UNA IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA ? 
Es una igualdad de expresiones trigonométricas que se verifican para todo valor admitido por la variable.

Identidades básicas fundamentales de un mismo ángulo pitagóricas recíprocas por cociente auxiliares condicionales simplificaciones demostraciones de fórmulas y eliminación angular
APRENDIZAJES ESPERADOS 
 Conocer las relaciones básicas entre las razones trigonométricas de una cierta variable. 
• Reconocer las diferentes identidades trigonométricas 
• Aplicar correctamente las identidades trigonométricas en las demostraciones 
• Utilizar adecuadamente las identidades fundamentales en la simplificación de ejercicios. 
 Reconocer las identidades trigonométricas auxiliares. 
• Aplicar correctamente las identidades trigonométricas auxiliares. 
• Reconocer un problema condicional. 
• Conocer las identidades básicas y reconocer las formas alternativas de cada una. 
• Conocer las técnicas empleadas para la verificación de cada una de las identidades. 
• Conocer las diversas propiedades de las identidades trigonométricas. 
• Reconocer las principales identidades auxiliares. 
• Aplicar las identidades auxiliares en situaciones problemáticas. 
• Relacionar las identidades auxiliares con las básicas. 
• Identificar los problemas de identidades condicionales. 
• Relacionar la condición con las identidades trigonométricas. 
• Eliminar el ángulo a partir de las condiciones.
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). 
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. 
Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

 IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA 
A toda identidad de expresiones trigonométricas que se verifica para todo valor admitido por la variable se denomina Identidad Trigonométrica.

Los problemas que se presenten, son de tipo demostración; simplificación, condicionales y eliminación de variables; pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución del problema.. 
Al resolver ejercicios y problemas sobre identidades trigonométricas es recomendable tener en cuenta lo siguiente: 
𝑖) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que se relacionan directamente, entonces es recomendable trabajar con dichas relaciones. 
𝑖𝑖) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que no se relacionan directamente, entonces se sugiere escribir los términos de la expresión en función del seno y coseno. 

EJERCICIOS TIPO SIMPLIFICACIÓN : 
Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas. 

EJERCICIOS TIPO CONDICIONAL :  
Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión pedida. 

EJERCICIOS TIPO ELIMINACIÓN ANGULAR : 
Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. 
EJEMPLO : 
Eliminar "x", si: tanx = a ; cotx = b 
RESOLUCIÓN : 
Los problemas de eliminación de variable; permiten encontrar relaciones entre los parámetros diferentes de la variable a eliminar que intervienen en el problema. 
Este problema, es el caso más simple, ya que se conocen dos razones trigonométricas de la variable "x"; y lo único que haremos es buscar una relación entre estas R.T. 
Tenemos: tanx = a ; cotx = b 
Sabemos: tanx.cotx = 1
⇒ab = 1
*
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 : 
Simplifique la siguiente expresión: 
cotx(1 + senx) – cos²xsecx 
A) cotx 
B) 2cotx 
C) senx 
D) 2senx 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 : 
Simplifique : 
 tanx(1 + cosx) – sen²xcscx 
A) 2tanx 
B) tanx 
C) cosx 
D) 2cosx 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 : 
Simplifique la siguiente expresión 
cosx.cotx – secx.cscx.cos³x 
A) 1 
B) –1 
C) 2 
D) 0 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 : 
Si tanx + cotx=2; calcule el valor de 3tanx + 2cotx 
A) 1 
B) 3 
C) 5 
D) 7 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 5 : 
Elimine la variable angular de las siguientes expresiones: 
senβ – 2=x 
cscβ +1= y 
A) (x+ 2)(y + 1) =1 
B) (x+ 2)(y + 1) =2 
C) (x+ 2)(y –1) =2 
D) (x+ 2)(y –1) =1 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 6 : 
Calcule el valor de sen3x+csc3x
Si se sabe que sen3x – csc3x= 7 
A) 51 
B) 52 
C) 53 
D) 55 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 7 : 
El número de seguidores de una página matemática está dado por la siguiente expresión: 
S= tan⁴x+ cot⁴x+12000 
Si tanx – cot x= 5, ¿cuántos seguidores tiene dicha página? 
A) 12 729 
B) 12 726 
C) 12 727 
D) 12 730 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 8 : 
Reduzca la siguiente expresión 
tanx(1 – cot²x) + cotx(1 – tan²x) 
A) cosx 
B) senx 
C) 0 
D) – 1 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 9 : 
Si se tiene que :
 tan³x.cot⁴x + cscx.cosx=3 
Calcule el valor de tanx + cotx
A) 13/6 
B) 11/3 
C) 12/5 
D) 10/3 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 10 : 
Si θ es un ángulo agudo y además senθ(cotθ + cscθ) =1,5
Calcule la medida del ángulo θ 
A) 45° 
B) 37° 
C) 60° 
D) 30° 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 11 :
Reduzca la expresión: 
(senx – 3cosx)²+(3senx + cosx)² 
A) 4 
B) 5 
C) 9 
D) 10 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 12 :
Si se tiene que secx+ tanx= 3, calcule el valor de cosx
A) 4/5 
B) 1/3 
C) 1/5 
D) 3/5 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 13 :
Eliminar x a partir de senx=m, cosx=n 
A) m²+n²=1 
B) m²+n²=5 
C) m²+n²=3 
D) m²+n²=7
Rpta. : "A"
PREGUNTA 14 :
Reducir (tanx + cotx)cox 
A) 1 
B) senx 
C) secx 
D) cscx 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 15 :
Reduzca
 cotxcosx – cscx(1 – 2sen²x) 
A) senx 
B) cosx 
C) cotx 
D) tanx 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 16 :
Simplificar 
(1 + tan²x)cos4x + (1 + cot²x)sen4x 
A) 1 
B) sen2xcos2x 
C) sen2x 
D) cos2x 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 17 :
Si 5secx – 3tanx= 4
Calcule cscx + cotx 
A) 3 
B) 2 
C) 4 
D) 6 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 18 :
Si tanx + cotx=3
Calcule sec²x + csc²
A) 9 
B) 12 
C) 16 
D) 18 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 19 :
Elimine la variable angular β de las siguientes condiciones: 
secβcscβ =x 
tanβ – cotβ = y 
A) x² – y²=4 
B) x² – y²=2 
C) x²+ y²=4 
D) x²+ y²=2 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 20 :
Durante la campaña navideña, un comerciante compra 
A=sen⁴x+cos⁴x+2sen²xcos²x+ 8 
arbolitos al precio de 
S=sen²x+cos²x+ csc30°
soles cada uno. 
¿Cuánto paga por los A arbolitos? 
A) S/.27 
B) S/.30 
C) S/.33 
D) S/.24 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 21 :
Si 3senx = 7 − 2cosx
Calcule senxcosx
A) 3
B) 3
C) 2
D) 23/7 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 22 :
Si sen⁶x + cos⁶x =0,5
Calcule sec²x + csc²
A) 3 
B) 4 
C) 6 
D) 8 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 23 :
El número de seguidores de un youtuber está dado por la siguiente expresión: 
M=sec⁴x + csc⁴x + 32000
Si tanx + cotx=13
¿cuántos seguidores tiene dicho youtuber en la actualidad? 
A) 32 169 
B) 32 143 
C) 32 727 
D) 32 156
Rpta. : "B"
PREGUNTA 24 :
Si sen4x+cos²x=m, determine el valor de sen⁶x + cos⁶x en términos de m
A) 3m –1 
B) 3m+1 
C) 3m – 2 
D) 3m+2 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 25 :
Durante la campaña escolar, un padre de familia compra 
C=sen⁶x+cos⁶x+3sen²xcos²x+10 
cuadernos al precio de 
P=sen²x+cos²x+ sec60° 
soles cada uno. 
¿Cuánto paga por los C cuadernos? 
A) S/27 
B) S/30 
C) S/33 
D) S/24 
Rpta. : "C"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
Si:  cosx.ctgx = 3 
determina cscx – senx. 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 : 
Reduce :
A) senx 
B) cosx 
C) tanx 
D) cotx 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 : 
Simplificar :
( 1 – senα + senα – cosα ) ÷ ( 2senαcosα – cosα )
A) senα 
B) cosα 
C) tgα
D) ctgα 
E) secα
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 4 : 
¿Qué valor debe tener “Z” para que la siguiente igualdad sea una identidad? 
A) sen x/2 
B) cos x/3
C) csc x/4 
D) sec x/2 
E) sen x cosx/3
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 : 
Si x, y ∈[0,π/2] ; x ≠ y, halle el máximo valor que puede tomar la expresión 
A) –3 
B) 1 
C) –2 
D) 3 
E) 2 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 6 : 
Sabiendo que 0 ≤ 2θ  ≤ π; además, senθ.cosθ= 1/4
Calcule 
E = senθ + cosθ 
A) 3/2 
B) √(3/2)
C) 3/2 
D) 2/2
RESOLUCIÓN :
Identidades de una variable
0 ≤ 2θ  ≤ π 
⇒ 0 ≤ θ ≤ π/2
E²=(senθ + cosθ
⇒ E²= 1 + 2senθ.cosθ
⇒ E²= 1 + 2 × 1/4
→ E²= 3/2 ⇒ E=±3/2
Como θ∈IC 
∴ E =√(3/2)
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 : 
Simplifique la siguiente expresión: 
A) 3 
B) 1 
C) –2 
D) –3 
E) 2
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 8 : 
Al simplificar lo que se obtiene es: 
A) tanx – secx 
B) cotx+ secx 
C) tanx+ cosx 
D) tanx+ secx 
E) tanx – cosx 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"

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