ÁNGULO TRIPLE EJERCICIOS RESUELTOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ARCO TRIPLE PDF

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ARCO TRIPLE 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
• Conocer y utilizar las identidades trigonométricas de un ángulo triple. 
• Realizar operaciones de simplificación utilizando las identidades del triple 
• Entender la relación entre las razones trigonométricas de un arco triple ; así como expresiones simplificadas para hacer un análisis más preciso.
• Aplicar las identidades trigonométricas en la simplificación de expresiones trigonométricas 
• Contextualizar en lo cotidiano las identidades trigonométricas de arcos múltiples.
SENO DEL ARCO TRIPLE 
Sen3x = 3Senx – 4Sen³
DEMOSTRACIÓN :
Notamos que: Sen3x = Sen(2x + x) 
= Sen2x.Cosx + Cos2x.Senx
 = (2Senx.Cosx)Cosx + Senx.Cos2x 
= 2Senx.Cos²x + Senx(1 – 2Sen²x) 
= 2Senx(1 – Sen²x) + Senx – 2Sen³
= 2Senx – 2Sen³x + Senx – 2Sen³
Sen3x = 3Senx – 4Sen³
EJEMPLOS : 
• Sen12θ = Sen3(4θ) = 3Sen4θ – 4Sen³4θ 
• Sen21º = Sen3(7º) = 3Sen7º – 4Sen³7º 
• 3Sen10º – 4Sen³10º = Sen3(10º) = Sen30º =1/2

COSENO DEL ARCO TRIPLE 
Cos3x = 4Cos³x – 3Cosx 
DEMOSTRACIÓN :
Notamos que: Cos3x = Cos(2x + x) 
= Cos2x.Cosx – Sen2x.Senx 
= Cosx.Cos2x – (2Senx.Cosx)Senx 
= Cosx(2Cos²x – 1) – 2 Cosx.Sen²
= 2Cos³x – Cosx – 2Cosx(1 – Cos²x) 
= 2Cos³x – Cosx – 2Cosx + 2Cos3x 
Cos3x = 4Cos³x – 3Cosx
EJEMPLOS : 
• Cos24º = Cos3(8º) = 4Cos³8º – 3Cos8º 
• Cos9β = Cos3(3β) = 4Cos³3β – 3Cos3β 
• 4Cos³(60º+θ)–3Cos(60º+θ) = Cos3(60º+θ) = Cos(180º+3θ) = – Cos3θ 
• 4Cos³8º20’ – 3Cos8º20’ = Cos3(8º20’) = Cos24º60’ = Cos25º
*
PRACTICA PROPUESTA
PROBLEMA 1 :
Calcule el valor de: Sen159° 
a) 117/225 
b) 107/225 
c) 44/225 
d) 44/125 
e) 22/225 
Rpta. : "D"
PROBLEMA 2 :
Calcule: 
3sen50º – 4sen³50º 

A) 1/4
B) 0,45 
C) 4 
D) 6 
E) 0,5 
Rpta. : "E"
PROBLEMA 3 :
Si cosω= 1/3 
Calcule cosω
A) –1/47 
B) –23/27 
C) 4/9 
D) 6/7 
E) 5/8 
Rpta. : "B"
PROBLEMA 4 :
Si tgθ= 0,25
Calcule 52tg3θ
A) 34 
B) 47
C) 49 
D) 67 
E) 51 
Rpta. : "B"
PROBLEMA 5 :
Si tg(δ + 15º) = 1/2
Calcule tg3δ 
A) 9/13 
B) 7/9 
C) 4/7
D) 6/7 
E) 5/9 
Rpta. : "A"
PROBLEMA 6 :
Reduzca: 
9sen²σ + 16senσ – 24senσ 
A) sen²2σ
B) 0 
C) sen²3σ 
D) 1 
E) sen²σ 
Rpta. : "C"
PROBLEMA 7 :
Calcule: sec40º + 8cos240º 
A) –6 
B) –5 
C) 4 
D) 6 
E) 5 
Rpta. : "D"
PROBLEMA 8 :
Si tg³φ – 3√2 tg²φ – 3tgφ + √2 = 0
Calcule tg6φ 
A) –6√2  
B) –5√2  
C) –2√2 
D) 6 
E) 5 
Rpta. : "C"
PROBLEMA 9 :
Calcular: Sec20°.Sec40°.Sec80° 
a) 8 
b) 6 
c) 16 
d) 4 
e) 32 
Rpta. : "A"
PROBLEMA 10 :
 Reduzca: 16Cos⁶x – 24Cos⁴x + 9Cos²x 
a) 3Senx 
b) 3Cosx 
c) Cos²3x 
d) Cos³3x 
e) Cos⁴3x 
Rpta. : "C"
PROBLEMA 11 :
Reduzca: 3Tan²ψ ·Tan3ψ + 3Tanψ – Tan3ψ
a) Tanψ
b) Tan3ψ
c) Tan6ψ 
d) Cotψ
e) Cot3ψ
Rpta. : "B"
PROBLEMA 12 :
Indique el equivalente de: Tan²20°.Tan²40° + Cot²80° 
a) 2Tan10° 
b) 4Tan10° 
c) 2Tan²10° 
d) 4Tan²10° 
e) 2Tan 20°
Rpta. : "D"
PROBLEMA 13 :
¿A qué es equivalente: 3 +6Cos10°? 
a) Sen10° 
b) Sen³10° 
c) 8Sen²10° 
d) 8Cos³10° 
e) 8Sen³10° 
Rpta. : "D"
PROBLEMA 14 :
Calcular: Sen10°.Sen50°.Sen70° 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1/8 
d) 1/16 
e) 1/32 
Rpta. : "C"
PROBLEMA 15 :
Simplifique: H = (4sen³x + sen3x)cscx 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
Rpta. : "C"
PROBLEMA 16 :
Calcule el valor de: 
cos20º(2cos40º – 1) + sen10º(2cos20º + 1) 
A) 3 
B) –2 
C) –1 
D) 2 
E) 1 
PROBLEMA 17 :
Calcule: 
 csc70º− 8sen²70º 
A) –6 
B) –5 
C) 4 
D) 6 
E) 5 
PROBLEMA 18 :
Si senφ + cosφ = 0,8
Calcule: cos3φ – sen3φ 
A) 1,376 
B) 0,225 
C) 0,169 
D) 0,144 
E) 0,121
DEGRADACIÓN DEL EXPONENTE “3” Ó “CUBO” 
Las fórmulas expuestas a continuación son empleadas en las expresiones trigonométricas, donde se presenten “senos” o “cosenos” de un cierto arco elevado al exponente “3”. 
Degradación del “Cubo” del seno de un arco simple “x”

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