ECUACIONES DIOFÁNTICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
OBJETIVOS
Al finalizar esta unidad , el lector estará en capacidad de :
☛ Desarrollar la capacidad de abstracción para representar y relacionar simbólicamente los datos de un problema con las variables elegidas para la incógnita.
☛ Identificar cuando una ecuación indeterminada será una ecuación diofántica.
☛ Desarrollar habilidades en la resolución de ecuaciones, para los cuales la cantidad de variables supera el número de ecuaciones.
☛ Conocer los métodos de resolución de las ecuaciones diofánticas.
☛ Utilizar criterios de divisibilidad en la resolución de ecuaciones para cantidades enteras.
☛ Relacionar el curso de Álgebra con la Aritmética en la resolución de ecuaciones.
ECUACION DIOFÁNTICA
Es una ecuación donde tanto los términos constantes (coeficientes), como las variables son números enteros; puede ser de una sola ecuación de dos, tres o más incógnitas, de primer, segundo o mayor grado.
Examinaremos particularmente la ecuación diofántica de dos variables:
ax+by=c; en la cual la incógnita a hallar son x e y. que son enteros y que tienen infinidad de valores, pero para nuestra aplicación solo consideraremos los positivos.
Una propiedad por considerar en el cálculo de las soluciones , es que estas se relacionan con los coeficientes.
Lo que se debe buscar en una ecuación diofántica no es la determinación de todas las soluciones, sino solo una de ellas, pues a partir de esta se obtienen las demás.
DETERMINACIÓN DE UNA SOLUCIÓN EN UNA ECUACIÓN DIOFÁNTICA :
Para determinar una solución en una ecuación diofántica, tenemos tres criterios por usar según la situación.
CRITERIO DE LAS CIFRAS TERMINALES
Se usa cuando uno de los coeficientes termina en 5.
Se recomienda multiplicar por 2 la ecuación original y analizar la última cifra de cada término.
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD
Se usa cuando el término independiente es divisible por alguno de los coeficientes.
En este caso, el valor de la otra variable será múltiplo también.
CRITERIO DE LA DIVISIÓN
Se usa cuando no se puede aplicar los criterios anteriores.
Consiste en expresar todos los términos en función del menor de los coeficientes.
Como las cantidades a calcular corresponden a número de personas, número de artículos, edades, etc., los valores asignados a las incógnitas se consideran valores enteros no negativos.
PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS
PREGUNTA 1 :
Lewis pagó una deuda de S/.350 con billetes de S/.10 , S/.20 y S/.50. ¿Cuál fue la mínima cantidad de billetes que utilizó en el pago de su deuda?
A)9
B)8
C)10
D)11
E)7
PREGUNTA 2 :
Sea n el número de maneras en que 10 dólares pueden ser cambiados en monedas de 10 y 25 centavos , usándose por lo menos una de cada denominación. Luego n es igual a :
A) 40
B) 38
C) 21
D) 20
E) 19
PREGUNTA 3 :
Jorge multiplica la fecha del día de su nacimiento por 12 y el número del mes por 31, luego suma estos dos productos, obteniendo 170. ¿Cuándo nació Jorge?
A) 9 abril
B) 8 febrero
C) 9 febrero
D) 8 abril
E) 10 febrero
PREGUNTA 4 :
Un cobrador de taxi debía dar de vuelto 7 soles con 50 céntimos , pero para ello cuenta únicamente con monedas de 20 céntimos y de 50 céntimos. ¿De cuántas formas distintas podrá dar vuelto?
A) 7
B) 8
C) 21
D) 2
E) 17
PREGUNTA 5 :
Aracelly tiene 20 monedas en su cartera ; algunas son de 10 céntimos , otras de 20 céntimos y el resto de 50 céntimos. Si el total de dinero que ella tiene en su cartera es S/.5 y tiene más monedas de 50 céntimos que de 10 céntimos , ¿cuántas monedas de 20 céntimos tiene?
A) 11
B) 14
C) 12
D) 15
E) 10
PREGUNTA 6 :
Cada lápiz cuesta S/.0,30 y cada lapicero , S/.1,50. Si se compra al menos uno de cada clase ¿cuál es el máximo número de lápices y lapiceros que se puede comprar con S/.25,50?
A) 81
B) 85
C) 80
D) 82
E) 83
PREGUNTA 7 :
Raúl vendió algunos libros a S/.28 cada uno y recibió S/.K por la venta , siendo esta suma inferior a S/.730. Con el dinero recibido Raúl se compró cierta cantidad de boletos para un concierto y le sobró S/.32. Si cada boleto costó S/.60, ¿cuál es la suma de las cifras del número K?
A) 17
B) 8
C) 11
D) 14
E) 15
PREGUNTA 8 :
A Pedro le quieren vender 200 animales (pollos, patos y pavos) al precio de 1 200 soles. Si, además , se sabe que un pollo le costará 3 soles, un pato 5 soles , un pavo 8 soles y que le van a vender más patos que pollos. ¿Cuál es la suma de las cifras del máximo número de pollos que puede comprar Pedro?
A)5
B)8
C)11
D)14
E)17
PREGUNTA 9 :
Tres hermanas fueron a vender pollos vivos al mercado, una llevo 11 pollos, otra 12 y la tercera 10. Hasta el mediodía, temiendo no vender todos los pollos , bajaron en $2 el precio de cada pollo . Entrada la noche las tres regresaron con $52 cada una . ¿Cuánto era el precio de cada pollo hasta el mediodía?. Los pollos se venden enteros .
A) $/3
B) $/1
C) $/6
D) $/4
E) $/5
PREGUNTA 10 :
La red ferroviaria de una ciudad tiene a la venta boletos para viajar de una estación a otra. Cada boleto especifica la estación de origen y la de destino. Cuando se añadieron varias estaciones nuevas a la red se tuvo que imprimir 76 nuevas clases de boletos. ¿Cuántas estaciones nuevas se sumaron a la red?
A) 4
B) 2
C) 19
D) 8
E) 6
PREGUNTA 11 :
Lucy entra en una tienda y gasta exactamente la mitad de su dinero, y observa que le quedan tantos centavos como pesos tenía y tantos pesos como la mitad de los centavos que tenía. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente, sabiendo que la cantidad que tenía al inicio es lo mínimo posible?
A) 99
B) 88 pesos
C) 99 pesos 98 centavos
D) 89 pesos 99 centavos
E) 100 pesos
PREGUNTA 12 :
Una compañía de aviación compra 13 avionetas por 16,5 millones de soles. Las avionetas que compra son del tipo A a un precio de 1,1 millones, del tipo B a un precio de 1,3 millones y del tipo C a 1,8 millones. ¿Cuántas avionetas compró de cada tipo?
A) 2,11,0
B) 3,7,3
C) 5,6,2
D) 7,4,2
E) 8,4,1
PREGUNTA 13 :
En una reunión de matemáticos, uno le dijo a otro: ‘‘Hay nueve menos de nosotros que el doble del producto de los dos dígitos de nuestra cantidad’’. ¿Cuántos matemáticos, como mínimo, deben agregarse a los ya reunidos para tener una cantidad que sea un cuadrado perfecto ?
A) 7
B) 5
C) 9
D) 8
E) 2
PREGUNTA 14 :
Se poseen 28 palitos de fósforos repartidos en tres montoncitos. Si del primero se pasan al segundo tantos como hay en éste , si del primero se vuelven a pasar al segundo tantos como hay en el segundo , si del segundo se pasan al tercero tantos como hay en éste , resulta que en el segundo hay el doble que en el primero ¿Cuántos palitos tenía cada montoncito al inicio?
A) 16; 4; 8
B) 12; 8; 8
C)14; 6; 4
D) 14; 6; 8
E) 16; 6; 6
PREGUNTA 15 :
La tarifa en un zoológico es la siguiente:
• universitarios: S/3,00
• adultos: S/10,00
• niños: S/0,50
Si en un momento dado la cajera observó que tenía una recaudación de S/100 y que había entregado un total de 100 boletos, ¿cuántos niños ingresaron a dicho zoológico?
A) 94
B) 13
C) 8
D) 19
E) 1
PREGUNTA 16 :
Carlos, el hermano mayor de Andrés y Darío, se percata que con la cantidad de canicas de Andrés y la cantidad de canicas de Darío se puede formar un cuadrado compacto. Si al triple de la cantidad de canicas de Andrés le sumamos trece veces la cantidad de canicas de Darío, se obtiene 125. Calcule la diferencia positiva entre las cantidades de Andrés y Darío.
A) 7
B) 6
C) 15
D) 29
E) 19
PREGUNTA 17 :
En cierto país solo se manejan dos tipos de monedas: de S/11 y de S/13. José desea comprar un martillo por un valor de S/26. Si José solo posee monedas de S/11 y el vendedor solo posee (para dar vuelto) monedas de S/13, ¿cuántas monedas, como mínimo, necesitará José para realizar dicha compra?
A) 9
B) 12
C) 10
D) 11
E) 13
PREGUNTA 18 :
Se tiene una tarjeta donde en una de sus caras está el número 9 y en la otra el 5. Después de lanzar la tarjeta varias veces y sumar los números que resultaban, se obtuvo 67. ¿Cuántas veces se lanzó la tarjeta?
A) 10
B) 13
C) 11
D) 12
E) 14
PREGUNTA 19 :
Una persona cobra un cheque de $2400 y en la ventanilla le pide al cajero que le entregue cierta cantidad de billetes de $10, quince veces esa cantidad de billetes de $20 y el resto en billetes de $50. ¿Cuántos billetes en total le entregó al cajero?
A) 69
B) 70
C) 78
D) 97
E) 100
PREGUNTA 20 :
En una librería se vendieron en un día cuadernos por un total de S/340, unos a S/8 y otros a S/14 cada uno. Al día siguiente se vendieron de los más baratos 1/5 más que el día anterior y, de los más caros, 1/5 menos que el día anterior. ¿A cuántos soles ascendió la venta del día siguiente?
A) 350
B) 351
C) 352
D) 353
E) 354
PREGUNTA 21 :
Un joven eligió dos números enteros positivos A y B, luego calculó A+B=C; B+C=D; C+D=E; D+E=F; E+F=G y F+G=H. Si H= 2008, halle el máximo valor de A+B.
A) 246
B) 251
C) 138
D) 244
E) 252
PREGUNTA 22 :
Si al producto de dos números enteros positivos le sumamos el menor de dichos números tantas veces como el menor primo impar, y a este resultado le sumamos el mayor de los números, se obtiene 74. ¿Cuál es la diferencia positiva entre los números?
A) 2
B) 4
C) 3
D) 6
E) 5
PREGUNTA 23 :
Si al valor numérico del área de un rectángulo de dimensiones enteras se le resta el valor numérico de su perímetro, se obtiene 15. Halle la razón de sus dimensiones.
A) 4
B) 6
C) 8
D) 7
E) 5
PREGUNTA 24 :
Si al producto de cifras de un número de dos dígitos le agregamos el doble de la menor cifra y a dicho resultado le adicionamos la mayor cifra, se obtiene como resultado 75. Halle la suma de cifras de dicho número.
A) 15
B) 14
C) 10
D) 13
E) 12
CLAVES – RESPUESTAS : 1)A 2)E 3)C 4)B 5)B 6)A 7)D 8)C 9)C 10)A 11)C 12)D 13)E 14)A 15)A 16)C 17)E 18)C 19)D 20)C 21)A 22)A 23)E 24)A
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
La edad, en años, del bisabuelo de Jaime es el menor número primo de tres cifras. Jaime y sus cuatro hermanos tienen edades, en años, representadas por números primos consecutivos. Jaime se da cuenta de que la suma de las edades de sus hermanos y la de él es igual a la edad de su bisabuelo. Si Jaime es el mayor, ¿cuántos años tiene su hermano menor?
Dé como respuesta la suma de las cifras del resultado obtenido.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 6
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 2 :
Lenin compra dos tipos de juguetes: carros de carrera y algunos helicópteros. Paga un total de S/201 soles. Compra juguetes enteros y no hay fracciones de ninguno de ellos. Cada carrito costó S/.19 soles y cada helicóptero costó S/.17 soles. Calcule el número total de juguetes que compró Lenin.
A) 11
B) 10
C) 12
D) 13
E) 9
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
Sabiendo que a y b son enteros positivos. Determine la cantidad de posibles pares (a; b) que cumplen a³+2ab=2013
A) 5
B) 3
C) 6
D) 2
E) 4
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
GUIA DE CLASE
PREGUNTA 1 :
Edu ingresa a una librería para comprar lapiceros de S/2 y correctores de S/5; se sabe que dispone de S/78 para realizar dicha compra. Indique el número de formas en que Edu puede comprar, gastando todo el dinero que tiene, si debe comprar al menos un artículo de cada tipo.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
PREGUNTA 2 :
Lenin, cada día del mes de marzo, compra o una revista o un libro, gastando en total en dicho mes S/333. Si cada libro cuesta S/5 más que cada revista y cada revista cuesta un número entero de soles, ¿cuántos días compró libros?
A) 10
B) 13
C) 15
D) 17
E) 21
PREGUNTA 3 :
Elber desea comprar un libro de S/30 pero solo posee billetes de un dólar y el vendedor solo tiene billetes de un euro para darle vuelto. Si Elber no tiene más de 100 billetes y el tipo de cambio es S/3,60 el dólar y S/4,80 el euro, respectivamente, ¿de cuántas maneras distintas puede realizar la compra?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
PREGUNTA 4 :
En una reunión se encuentran presentes varones y mujeres; además, se observa que seis veces la cantidad de varones más once veces la cantidad de mujeres es igual a 391. Indique la mayor cantidad de mujeres si se sabe que el total de personas es una cantidad impar.
A) 11
B) 17
C) 35
D) 45
E) 29
PREGUNTA 5 :
Estela decide comprar 100 lapiceros en total, cuyos precios son de S/2; S/3 y S/5. Si compró al menos uno de cada tipo, gastando S/234, y observa que la cantidad de lapiceros comprados de S/3 es un número primo mayor que 28, indique la diferencia positiva de las cantidades de lapiceros comprados de S/2 y S/5.
A) 31
B) 57
C) 67
D) 73
E) 49
PREGUNTA 6 :
Mi sueldo mensual es de S/200, pero cada mes o gasto S/90 o gasto S/60. Si ya tengo ahorrado S/2580, ¿cuánto tiempo tengo laborando?
A) 1 año
B) 1 año y 2 meses
C) 1 año y 4 meses
D) 1 año y 9 meses
E) 2 años
