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PROMEDIOS ARITMÉTICO , GEOMÉTRICO Y ARMÓNICO PROBLEMAS RESUELTOS ARITMÉTICA RUBIÑOS PDF

oBJETIVOS :
* Ordenar datos recopilados en cierto entorno.
* Reconocer  que  un  conjunto de datos  ,  puede tener un representante llamada  PROMEDIO.
* Conocer y aplicar cada una de las definiciones de los promedios en determinada realidad.
* Aplicar las diferentes propiedades de los promedios en la resolución de problemas.
* Conocer y resolver problemas aplicados a la realidad sobre promedio ponderado.
PROMEDIO Cantidad representativa de un conjunto de valores (medidas de tendencia central)


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 TIPOS DE PROMEDIOS
(los más conocidos) I) Promedio Aritmético o Media Aritmética: O simplemente promedio. Es el promedio de una cantidad finita de números y es igual a la suma de todos ellos dividida entre el número de sumandos . La media aritmética también puede ser denominada como el punto central que pone en equilibrio la situación , el cual no es necesariamente la mitad . En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media), de un conjunto finito de números, es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales. Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no es necesariamente la mitad. Una de las limitaciones de la media es que se ve afectada por valores extremos; valores muy altos tienden a aumentarla mientras que valores muy bajos tienden a bajarla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población. ejemplo 1 : Dar la de : 7 ; 13 y 4 Resolución : nota : Sean «n» números y «s» suma de los números. ejemplo 2 : Sean las notas de Lenin : 16 ; 15; 12 y 14: entonces se observa que su promedio se calcula así: nota : Cuando se habla del término «Promedio» y no indiquen a qué promedio se refiere, debe considerarse el PROMEDIO ARITMÉTICO. ejemplo 3 : Si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tendría la misma cantidad de la variable. II) Promedio Geométrico o Media Geométrica Es el segundo promedio más importante ,generalmente nos permite promediar índices porcentuales y tasas de crecimiento. n : número de datos Generalmente la media geométrica se aplica para valores extremos , es decir , los datos se presentan bastantes dispersos . El promedio geométrico sólo se aplica a números positivos y siempre resulta menor o igual que el promedio aritmético de los mismos. (la igualdad se tiene cuando todos los números promediados son iguales). ejemplo 1 : Dar la de : 5 ; 15 y 45 Resolución : ! rECUERDA ¡ * La aplicación de la media geométrica se recomienda para determinar el promedio de variaciones expresadas como tasas o porcentajes. * El promedio geométrico por su parte, es relevante cuando los datos se usan multiplicativamente para obtener un resultado. Es así que puede interpretarse como un valor que puede sustituir a cada dato para producir el mismo producto total. ejemplo 2 : Los índices de precio de consumidor durante 3 años fueron : Determine la inflación promedio de dichos tres años. resolución : *Lo pedido estará dado por el promedio geométrico de dichos porcentajes , así : nota : Sean «n» números y «p» producto de los números . Ejemplo 3 : Un caso de aplicación del promedio geométrico, es el de cálculo de interés en un depósito a plazo. Suponga (en un caso hipotético en que las tasas no necesariamente son las que habitualmente se transan en los bancos) que una persona desea depositar $1 000 000 durante un mes a una tasa de 2%. Esto significa que al término del mes, el banco le entrega $1 020 000. Al siguiente mes, toma el capital inicial más los intereses y los deposita por otro mes. Esta vez el banco ofrece una tasa de 3%. Al término del segundo mes recibe $1 050 600. Finalmente, deposita este nuevo capital por un tercer mes , ahora al 4% , obteniendo al final $1 092 624. ¿A qué tasa mensual debería ponerse el capital inicial para obtener el mismo capital final al cabo de los tres meses? Esta pregunta quiere dilucidar cuál sería la tasa fija que el banco debiese haber aplicado en cada uno de los tres meses en que el capital estuvo depositado (con los intereses variables 2% ; 3%, 4% que vimos). El capital total finalmente obtenido, puede expresarse como: 1000000×1,02×1,03×1,04 = 1000000×1,092624 Esto significa que la tasa total aplicada es de 9,2624% Entonces, la tasa mensual estaría dada por la raíz cúbica de 1,092624, cuyo valor es 1,029968. Es decir, se habría necesitado una tasa mensual de 2,9968%. Cantidad levemente inferior al 3% que se obtendría si, erróneamente, se hubiese promediado 2%, 3% y 4%. Para ver claramente cómo interviene el promedio geométrico en este ejemplo, escribamos las tasas de interés como un factor multiplicativo del capital al cual se aplican. De este modo, las sucesivas tasas son: 1,02 ; 1,03 ; 1,04. El promedio geométrico de estos números es: III) Promedio armónico o media armónica : Es el promedio de «n» números reales no nulos,definido como el recíproco del promedio aritmético de los recíprocos de dichos números. La media armónica resulta poco influida por la exitencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros , siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto . ejemplo : Dar la de : 6 ; 2 y 3 Resolución : Iv) Promedio ponderado (Promedio de Promedios) Este tipo de promedio se utiliza cuando un conjunto de datos numéricos corresponden a mediciones hechas con determinados criterios , los que a su vez se distinguen , entre sí , por poseer un valor , importancia o influencia diferentes a los que se denominan peso o crédito ,frecuencia y de lo que se trata es que el promedio los incluya en su cálculo . Para el cálculo de éste, es necesario que todas las cantidades a promediarse posean alguna característica que las identifique plenamente; a dicha característica se le llama PESO O PONDERACIÓN; así por ejemplo, en nuestro Centro educativo a un alumno se le toma 2 exámenes: mensual y bimestral; de los cuales el bimestral tiene MÁS PESO que el mensual por cantidad de avance académico o porque abarca muchos más temas desarrollados en clase. En general para las cantidades: a1; a2; a3; ... : an cuyos pesos respectivamente son: w1; w2; w3; ... ; wn; entonces el promedio ponderado sería: ejemplo 1 : Al dar 3 exámenes, obtengo 11 ; 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2 ; 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio? Resolución : * La nota promedio será : En general : * Donde: an : enésimo de las notas , precios , … etc. pn : enésimo de los promedios, pesos , frecuencias , créditos, … etc. nota : Un promedio ponderado difiere de un promedio en que un promedio ponderado devuelve un número que depende tanto en su valor y su peso. ejemplo 2 : Sean los valores: 120 ; 150 ; 200 y los pesos: 2 ; 4; 6 . Hallar el promedio ponderado. Resolución : propiedades I) Para 2 cantidades «a» y «b» II) Dado : Se cumple que su media geométrica es mayor que la media armónica pero menor que la media aritmética. Se verifica que : MAYOR MENOR PROMEDIO PROMEDIO Cuando se haga mención del MAYOR promedio se trata del promedio ARITMÉTICO y cuando se mencione el MENOR promedio, se trata del promedio ARMÓNICO. III) «Cuando se tienen cantidades iguales, los promedios también son iguales»; entonces: IV) Para 2 cantidades «a» y «b» solamente : v) La media aritmética de toda progresión aritmética es igual a la semisuma de los términos equidistantes de los extremos o igual al término central, si lo hubiera. Cuando se tiene una cantidad IMPAR de términos enteros de una progresión aritmética, entonces; se cumple que el término central es igual a la media aritmética», Ejemplo: ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA «Cuando a las cantidades a promediarse se les afecta de alguna forma, ya sea: sumándole, restándole, multiplicándolas o dividiéndolas por una misma cantidad; entonces el promedio original que estos tenían, también se verá afectado de igual manera». * Sean los números : 3 ; 5 y 10 * Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10 : problemas resueltos PROBLEMA 1 : El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón. A) 15 B) 16,2 C) 15,2 D) 15,1 E)16,1 Resolución : *Piden el promedio ponderado: Rpta: ‘‘C’’ PROBLEMA 2 : La edad promedio de 5 personas es 20 años y ninguno de ellos es menor de 18 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos? A) 20 B) 35 C) 25 D) 40 E) 28 Resolución : * Edades: A; B; C; D; E.................. * Entonces del promedio: * Analizando se obtendrá : Rpta: ‘‘E’’ PROBLEMA 3 : El promedio de las notas de 20 estudiantes es 12 y el promedio de las notas de otros 30 estudiantes es 16. ¿Cuánto es el promedio de las notas de los 50 alumnos? A) 12,4 B) 14 C) 13 D) 14,4 E) 15,2 Resolución : * El promedio de las 50 notas, se calculará mediante el promedio ponderado, así: Rpta : ‘‘D’’ PROBLEMA 4 : El promedio de las edades de cinco personas es 48. Si ninguna de ellas tiene más de 56 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas. A)16 años B)18 C) 19 D)21 E)24 Resolución : * Para que una de ellas tenga la mínima edad , las 5–1=4 restantes deben tener lo máximo posible, es decir 56 cada una, luego : Rpta: ‘’a’’ PROBLEMA 5 : Se tiene 60 objetos, cuyos pesos son un número entero de kilogramos. Sabiendo que el promedio de los pesos es 50 kg. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos si ninguno pesa menos de 48 kg.? A) 168 kg. B)169 kg. C) 170 kg. D)171 kg. E)172 kg. Resolución : * Para que uno sea máximo, los restantes deben pesar lo mínimo posible : Rpta : ‘‘A’’ PROBLEMA 6 : El mayor promedio de dos números enteros es 40 y el menor promedio es 30. Hallar la diferencia de los números. A) 30 B) 20 C) 10 D) 40 E) 22 Resolución : * El mayor promedio es: * El menor promedio es la : * De (I) y (II): a = 60 ; b = 20 a – b = 40 Rpta:‘‘d’’ PROBLEMA 7 : La nota promedio de un examen es «p», el profesor decide aumentar 2 puntos al tercio superior de la clase , 1 punto al tercio central y bajarle 1 punto al tercio inferior de la clase. ¿Cuál es el nuevo promedio? Resolución : *Considerando la alteración de la , el nuevo promedio será : * Donde «3n» es el total de alumnos. Rpta: ‘‘E’’ PROBLEMA 8 : Se tiene 4 números. Al añadir el promedio de 3 de ellos al número restante , se obtienen los números 17; 21; 23 y 29. Entonces , la suma de los 4 números es igual a : A) 90 B) 80 C) 60 D) 50 E) 45 Resolución : * Sean los números a, b, c, d : * sumando los datos 2 (a + b + c + d) = 90 a + b + c + d = 45 Rpta: ‘‘E’’ PROBLEMA 9 : Para un curso de Química se tiene alumnos de primera matrícula y alumnos de segunda matrícula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matrícula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matrícula obtuvieron en promedio 12 puntos, ¿Qué porcentaje de los alumnos son de segunda matrícula? A) 30% B)40% C)50% D)60% E)80% Resolución: * Se cumple (promedio ponderado) : Rpta: ‘‘B’’ PROBLEMA 10 : El promedio de las edades de 3 personas es igual a «x». Si se agrega una cuarta al promedio , disminuye en 2 . Se puede afirmar que : I) La edad del cuarto es mayor que el promedio II) La edad del cuarto es menor que el promedio. III)Por lo menos una persona es mayor que el cuarto. A) Sólo I B) Sólo II C)Sólo III D)II y III E)I y II Resolución : Edad de la cuarta = x – 8 , Se deduce que esta edad es menor en 8 que el promedio. * Luego : I) Falso II) Verdadero III) Verdadero Rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 11 : Para dos cantidades a y b, se cumple que el producto de su y es 100 y el producto de su y es 125. Determinar a – b (a > b) A) 10 B) 15 C) 25 D) 30 E) 5 Resolución : * Cantidades : a y b * De (I): a b = 100............(20×5 = 100) * En (II) : a + b = 25 * Luego : a = 20 ; b = 5 * Se pide : a – b = 20 – 5 = 15 Rpta: ‘‘B’’ PROBLEMA 12 : El promedio de 40 números es 25. Eliminando 60 y 66 que son dos de estos números, ¿cuánto es el promedio de los que quedan? A) 20 B) 23 C) 21 D) 31 E) 41 Resolución : * Sabemos que : Suma de «n» números = (promedio) (n) * Luego del primer dato : S40 = (25) (40) = 1000 * Ahora se si eliminan 60 y 66, resultará: * Despejando : x = 23 Rpta: ‘‘b’’ PROBLEMA 13 : El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y 55 dos de los números. Eliminando estos dos números, el promedio de los restantes es: A) 36,5 B) 37,0 C) 37,2 D) 37,5 Resolución : * Del enunciado: * Se eliminan 45 y 55 luego : * Entonces : 48 = 37, 5 Rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 14 : El promedio de 50 números es 62,1 ; se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿ en cuánto varía el promedio? A)5 B) 4,7 C) 5,7 D) 4,9 E) 3,9 Resolución : * Sea S(50) = Suma de 50 números. S(5) = Suma de 5 números. S(45) = Suma de 45 números. * S (5) + S (45) = S(50) * Además de enunciado : * Luego, el promedio aritmético de los 45 números restantes es: * Finalmente, el promedio varía en : 67 – 62,1 = 4,9 RPTA: ‘’D’’ PROBLEMA 15 : El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? A) 64 B) 40 C) 24 D) 48 E) 36 Resolución : * Dato : Rpta: ‘‘a’’ PROBLEMA 16 : El promedio armónico de 30 números impares es 7/5 y el promedio armónico de otros 20 números es 5/7 . Calcula el promedio armónico de los 50 números . Resolución : * Entonces : Rpta :‘‘E’’ PROBLEMA 17 : Las calificaciones en tres cursos son proporcionales a 3; 4 y 5. Siendo el peso : 5 ; 4 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la mayor calificación, si el promedio es 11,5? A) 15 B) 20 C) 30 D) 41 E) 10 Resolución : * Luego del promedio ponderado se obtendrá : Rpta :‘‘a’’ PROBLEMA 18 : El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18. ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 Resolución : * Considerando que : (Producto de «n» números) * Luego : Producto de 20 #S : 820 Producto de otros 20 números : 1820 * Entonces: Rpta:‘‘c’’ PROBLEMA 19 : El promedio geométrico de 4 números enteros diferentes es . ¿Cuál es el promedio aritmético de estos números? A) 2,75 B) 3,75 C) 4,75 D) 3,25 E)2,25 Resolución : * Descomponiendo adecuadamente: * Piden : Rpta:‘‘b’’ PROBLEMA 20 : Hallar dos números enteros cuyo producto es 600, sabiendo que la media aritmética y la media armónica son dos números consecutivos. Dar como respuesta el número menor. A) 20 B) 25 C) 15 D) 30 E) 10 Resolución : * Según enunciado , plantearemos : * De (I) y (II) : a = 30 ; b = 20 Rpta: ‘‘A’’ PROBLEMA 21 : La media armónica de 30 números es 36. ¿Cuál es la media armónica de sus tercias?. A) 18 B) 12 C) 24 D) 36 E) 30 Resolución: * Dato : * Piden: Rpta: ‘‘B’’ PROBLEMA 22 : La edad promedio de un grupo de personas dentro de «y» años aumentará en 8 años respecto a la edad promedio que tenía hace «x» años. Si dentro de «x» años la edad promedio será 36 años. ¿Cuál era la edad promedio hace «y» años? A) 28 B) 24 C) 22 D) 20 E) 18 Resolución : * Donde «n» : número de personas * Según enunciado : p + y – (p – x)= 8 Þ x + y = 8 * Además: p + x = 36 * Piden : p – y = 28 Rpta : ‘‘A’’ PROBLEMA 23 : El promedio de las edades de «n» alumnos es «m» años. Si a la cuarta parte de los alumnos se le cambia con alumnos que tienen 2 años más cada uno , y a otra cuarta parte se le cambia con alumnos que tienen 1 año más cada uno, entonces el nuevo promedio aumentará en : A) 0,50 B) 0,25 C) 0,35 D) 0,75 E) 1 Resolución : * Sea «4k» el número total de alumnos Rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 24 : El promedio de un conjunto de valores es «P» si se eliminan 31 números cuya suma es 527 , el promedio de los restantes sigue siendo «P». ¿Cuánto deberán sumar 7 números de tal manera que agregando a los que habían inicialmente tengan como media aritmética a P ? . A) 2P B) p C) 117 D) 119 E) Faltan datos Resolución : * Se deduce que necesariamente: * Para que «P» no varíe , esos 7 números deben sumar : 7 × 17 = 119 Rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 25 : La media armónica de un conjunto de enteros consecutivos es «p». A cada uno de estos enteros se multiplica por su respectivo consecutivo y se calcula nuevamente su promedio armónico, obteniéndose esta vez «q». Calcular el promedio armónico de los respectivos consecutivos por los cuales han sido multiplicados los primeros. Resolución : * Considerar que : * Datos : * De (I ) y (II ) se obtiene: * Piden : Rpta: ‘‘E’’ PROBLEMA 26 : En un aula de 70 alumnos donde hay 50 hombres , se sabe que si a cada uno de estos se les aumenta 3 años y a cada una de las mujeres se les aumenta «m» años , el promedio total de edades aumentaría en 3 años ; pero si cada hombre tuviera 2 años menos y los mismo cada mujer , el promedio total disminuiría en «n» años. ¿En cuánto varía el promedio total si cada hombre tuviera «m» años más y cada mujer «2n» años menos? A) Aumenta 1 año B)Disminuye 1 año C)No varía D)Aumenta 2 años E)Disminuye 2 años Resolución : Sea «P» el promedio, luego : III) Piden : Rpta:‘‘A’’ PROBLEMA 27 : La media aritmética de dos enteros positivos es a la media geométrica de los mismos como 13 es a 12. El menor de dichos números puede ser A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6 Resolución : * Luego : a = 18k ; b = 8k , pero a y b son números enteros , analizando se tendrá que lo mínimo será cuando : Rpta: ‘‘C’’ PROBLEMA 28 : Se tiene 100 números cuyo promedio es 18,5. A los primeros 20 números se les aumenta 3 unidades a cada uno , a los siguientes 50 números se les aumenta 8 unidades a cada uno y a los restantes números se les disminuye 2 unidades a cada uno. Calcular el nuevo promedio de los números que se obtiene. A) 23 B) 22,5 C) 20,5 D) 22 E) 21 Resolución : * El nuevo promedio será : Rpta: ‘‘B’’ PROBLEMA 29 : El departamento de estadística , ha reportado que los promedios de notas de los alumnos de un salón de 50 estudiantes , en los cursos de Aritmética , Álgebra y Geometría son 45 ; 40 y 60 respectivamente. El promedio de las notas de los 3 cursos (que son 100 en total) es 46 . Además han rendido la prueba de Álgebra , 10 alumnos más de los que dieron la prueba de Geometría . Si 30 de ellos han rendido al menos dos de las pruebas y ninguno dejó de dar al menos una de las pruebas; ¿se desea averiguar, cuántos estudiantes han rendido las 3 pruebas? A) 10 B) 18 C) 20 D) 22 E) 28 Resolución: * El promedio total : * Luego por conjuntos : * De los datos y del gráfico : I) a + b + c + y = 30 II) m + n + p = 20 Rpta: ‘‘C’’ PROBLEMA 30 : Un trailer emplea 18 llantas para su desplazamiento. Si el conductor quiere que tanto sus 18 llantas , como sus 2 llantas de repuesto , se desgasten igualmente en un recorrido de 2000 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros recorrerá cada llanta? A) 200 km. B) 1600 km. C) 400 km D) 1800 km. E) 100 km. Resolución : * Gasto promedio de cada llanta es: 2000 km. * Gasto total (normal) : 18 ×2000 km. * Gasto promedio con los 2 repuestos : Rpta :‘‘D’’ PROBLEMA 31 : La edad promedio de 25 personas es 22 años . Calcular cuántas personas de las que tienen 25 años deben retirarse para que el promedio de los restantes sea de 20 años. A) 10 B) 11 C) 20 D) 25 E) 15 Resolución : * número de personas que deben retirarse : x * Suma (edades 25 personas) : 25×22 * Luego : Rpta: ‘‘A’’ PROBLEMA 32 : El promedio aritmético de un conjunto de números es p ; si al primero se le suma 1 ; al segundo 2; al tercero 3,… , etc. y nuevamente se calcula su promedio aritmético , entonces se obtiene «q». ¿Cuántos son los números? A) p + q + 1 B) 2 (p + q– 1) C) 2 (p + q + 1) D) p + q – 1 E) 2 ( q – p) – 1 Resolución : * Sea «n» la cantidad de números. * Luego : Rpta: ‘‘E’’ PROBLEMA 33 : Sea «S» una lista de enteros positivos (no necesariamente diferentes) entre los cuales se encuentra el número 68 . El promedio aritmético de los números de «S» es 56. Sin embargo , si 68 es eliminado de la lista , el promedio aritmético de los números que quedan baja a 55. ¿Cuál es el número máximo que puede aparecer en la lista «S»? A) 524 B) 594 C) 614 D) 649 E) 712 Resolución : * Sea «n» la cantidad inicial de números, * Luego : * Se elimina el «68»: * Para que una de las cantidades sea máxima , las demás aparte del 68 deben ser unos , es decir: Rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 34 : La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699 , y la media aritmética de otros 200 números pares de tres cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no considerados? A) 498 B) 499 C) 948 D) 949 E)721 Resolución : * La suma de todos los números pares de 3 cifras será : S200 + Sotros 200 + Sno considerados = 202050 200×699 + 200 × 299 + S50#s = 202050 S50#s = 47450 * Piden : Rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 35 : La media aritmética de 81 números enteros pares es 96. Hallar los números pares consecutivos que se deben quitar para que la media aritmética de los números restantes sea 90. A) 126 ;128 B) 252 ; 254 C) 200 ; 202 D) 128 ; 130 E)332 ; 334 Resolución : En este problema conocemos : Por tanto : * De (I) se tiene : 81# s = 81×96 = 7776........……......... (III) *De (II) se tiene: 79 # s = 90 × 79 = 7110 .......……........ (IV) * ¿Restamos (IV) de (III), sí o no? ¡si! … ¿por que? … por qué : 81 #s–79 #s =2 #s o sea : 2#s = 666 nota : Pero estos números son consecutivos y pares, por tanto son de la forma: n y n + 2. * Luego : n + n + 2= 666 2n= 664 n=332 n + 2 = 334 Rpta: ‘‘E’’ PROBLEMA 36 : El promedio de las notas en un curso de 30 alumnos fue 52 . Los primeros 6 obtuvieron un promedio de 80 y los últimos 10 sacaron un promedio 31. Calcular el promedio de los restantes alumnos. A) 25 B) 65 C) 45 D) 55 E) 75 Resolución : Sabemos que : En el problema : * Despejando , se obtiene: x = 55 Rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 37 : La media armónica de 20 números es 18 , y la de otros 30 números diferentes entre sí y de los anteriores es 54. Encontrar la media armónica de los 50 números. A) 20 B) 23 C) 28 D) 30 E) 41 Resolución: * Sabemos que: * Piden : Rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 38 : La media aritmética de 3 números es 14 . La media geométrica es par e igual a uno de los números y su media armónica es 72/7. Hallar los números. Dar el mayor. A) 24 B) 28 C) 20 D) 32 E) 36 Resolución : Sean los números a , b y c : * Donde se cumple que: * De la relación (II) se tiene : a c = b2…….......................,........................(IV) * En (III) podemos ver : * De (I) se tiene : * De donde : b= 12 * Aplicando el resultado de (I) se tiene : a+c= 30 En (IV) : a c= 144 = 24 ´ 6 * Tanteando adecuadamente se tendrá: a = 24 ; b = 6 Rpta: ‘‘A’’ PROBLEMA 39 : La media geométrica de los términos de una proporción geométrica continua es «G». La media aritmética de los términos diferentes de la misma proporción es «A». Halle la media armónica de los términos diferentes de la proporción indicada. Resolución : * Sea : * Luego: * Luego : a + b + c = 3A ……...............(II) Se desea hallar : * Pero : a c = b2 , reemplazando : * De (I) y (II) : Rpta: ‘‘A’’ PROBLEMA 40 : César pretende calcular el promedio aritmético de 10 números consecutivos y obtiene 18, pero luego se dio cuenta de que olvidó sumar el mayor de los números. Determinar la media geométrica del mayor y el menor de los diez números consecutivos. A) 12 B) 15 C) 20 D) 24 E) 39 resolución : Menor : a=16 ; Mayor : a+9=25 (no considerado) RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 41 : La de 3 números pares diferentes es 14 y la de otros 3 impares diferentes es 21. Si estos impares son menores que 100 y ninguno de ellos es múltiplo del otro , calcule la de los 6 números mencionados. A) B) 32,5 C) 31,4 D) 33 E) 30,8 resolución : * b1×b2×b3=33×73= 32(1)×3(7)2×1(7)2 b1= 9 ; b2= 21; b3= 49 RPTA : ‘‘a’’ PROBLEMA 42 : A una conferencia asistieron 160 personas. Si cada varón tuviera 2 años más y cada dama 3 años menos, la edad promedio no se alteraría. ¿En cuánto variaría la edad promedio si cada varón tuviera 3 años menos y cada dama 2 años más? A) Aumentaría 1 B) Disminuiría 1 C) No se alteraría D) Aumentaría 2 resolución : * Variación: Disminuye 1 RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 43 : Cuatro números que están en la relación 3; 4;5 y 6. ¿En qué relación están la MA y MH de dichos números? Resolución : * Sean los números: a , b , c y d * Que cumplen : a = 3k b = 4k c = 5k d = 6k * Luego su : * De la misma manera su : * De (I) y (II) : Rpta : ‘‘D’’ PROBLEMA 44 : La media aritmética de 30 números es 40. Si a 10 de ellos se les aumenta 5 unidades a cada uno y del resto se escoge una cierta cantidad de números, a los cuales se les aumenta 10 unidades a cada uno y con lo cual el nuevo promedio es 44 ; determine cuántos números han variado su valor . A) 13 B) 17 C) 11 D) 7 E) 19 resolución : * Los números son : a ; a2 ; a3 ; a4 ;... ; a30 * Promedio de los 30 números : 10 de ellos aumentan 5 , «k» de ellos aumentan 10 el resto no aumenta. * Sumando todo , el nuevo promedio Será : *Se obtiene : k=7 Total de números que han variado : 10+7=17 RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 45 : El promedio de las notas de un curso de 30 alumnos es 52. Los 6 primeros obtuvieron un promedio de 80 y los 10 últimos obtuvieron un promedio de 31. Sabiendo que de los restantes ninguno superó los 60 puntos , halle el promedio que alcanzaron los alumnos restantes. A) 55 B) 41,7 C) 17 D) 32,1 E) 42,5 resolución : * Suma de notas de 30 alumnos : * Los promedios son : * Resolviendo : x = 55 RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 46 : El promedio de 81 números pares consecutivos es 96. Halle 2 de estos números pares , tales que sean consecutivos que se deben quitar y para que el promedio de los números restantes sea 90. Dé como respuesta el mayor de dichos números. A) 324 B) 246 C) 334 D) 326 E) 282 resolución : *promedio de 81 números pares consecutivos : *Se eliminan 2, quedan 79 : * restando (I) – (II) : Dos números : a+(a+2)=666 pares consecutivos * Resolviendo : a=332a+2=334 Mayor número : 334 RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 47 : El promedio de notas de los 40 alumnos del aula A es 12 , pero si promediáramos las notas de los 40 alumnos con los 60 alumnos del aula B,obtendríamos por resultado 13,8. Si de los alumnos del aula B , 20 tuvieran 2 puntos más y el resto tuviera 4 puntos menos ; ¿cuál sería el promedio de notas de los alumnos del aula B? A) 13 B) 14 C) 12 D) 1 5 E) 11 resolución : * Se obtiene : PB=15 * De los 60 alumnos de B : el nuevo promedio de B será : RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 48 : Calcule el promedio armónico de : n1 ; n2 ; n3 ; ... ; n20 Si : resolución : * Haciendo : * multiplicando por k : *Luego : * De donde se obtiene : * Calculando el promedio armónico : RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 49 : En un grupo de 30 personas , el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio de los restantes es 28. Si el promedio de los 10 mayores es 45 y el de los 10 menores es 22 , ¿cuál es el promedio de los 10 restantes? A) 38 B)40 C) 42 D) 28 E)39 resolución : * Sean las edades de 30 personas * La suma de todas las edades : *Resolviendo : x=38 RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 50 : Si para 2 números enteros diferentes , se cumple que : . Determine la suma de dichos números. A) 6 B)8 C) 9 D) 10 E) 15 resolución : * Para dos A y B números se cumple : *En el dato : *Sacando Identificando =3 * Como A y B son diferentes : Sólo 1×9 = 9 suma 1+9 =10 RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 51 : Si la media geométrica de y 4 es uno de ellos . Determinar su media aritmética. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E)14 resolución : * Dados tres números : A>B >CA> promedio >C *Por Dato es uno de ellos : =B RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 52 : Se tiene una proporción geométrica continua de constante de proporcionalidad entera. Hallar la suma de los cuatro términos ; sabiendo que la media geométrica de antecedentes mas la media geométrica de extremos , es 320. A) 1090 B) 1092 C)2199 D)103 E)1156 Resolución : * Sea la proporción geométrica continua: * Donde: k = # entero * Se sabe por dato del problema: * Dado que la proproporción geométrica es continua entonces de (I) : a = bk = ck2 b = ck * Luego, como lo que queremos hallar es: «a + 2b + c» y tanto «a» como «b» dependen de «c» y «k», entonces en (II) hallamos estos últimos valores: Veamos : Como «k» es entero y de la expresión anterior en donde aparece , diremos que «k» es un cuadrado perfecto . * Por tanto : Donde: k = 16 ; c = 4 · Finalmente: Rpta: ‘‘E’’ PROBLEMA 53 : Un camión recorre todas las semanas 120 km. Cierto día tuvo que utilizar dos llantas de repuesto. Pero, si se hubieran malogrado dos llantas más, entonces el recorrido semanal promedio por llanta sería 16km. menos que en el caso anterior. Calcular el número de llantas con que se desplaza el camión. A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) 11 Resolución: * Consideremos que el camión se moviliza con «n» llantas puestas. * Luego semanalmente recorrerán «120n» km., las «n» llantas si no hubieran repuestos. * Ahora los «120n» km., se deberán repartir entre, «n + 2» llantas (ese cierto día); y entre «n + 4» llantas (en la suposición); con lo que plantearemos: * Resolviendo : n = 8 Rpta: ‘‘A’’ Problema 54 : Halle dos enteros positivos cuya MG es , siendo sus medias aritmética y armónica 2 enteros consecutivos. Resolución : Además la MA y MH son enteros consecutivos. Por una propiedad podemos escribir: MA×MH = ab MA×MH = 600 Siendo MA y MH dos enteros consecutivos sacamos la raíz cuadrada de 600 por defecto que es 24. y entonces el producto es: 24×25 =600 y por propiedad sabemos que MA > MH por lo tanto MA = 25 y MH = 24 Luego En la ecuación : ab= 600= 23×3×52 = (22×5) (2×3×5) = 20×30 que son 2 números que cumplen con (II). Luego los números buscados son 20 y 30. Problema 55 : La diferencia de 2 enteros positivos es 7 y la media aritmética de su media aritmética con su media geométrica es 12,25 . ¿Cuál es el error que se comete al considerar su MA como si fuera su MG? Resolución: * de (II) : * La ecuación (I) se puede escribir : * (III) en (IV): * *Luego y Si consideramos que la MA=12,5 es la MG cometemos un error igual a 0,5.