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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS PROBLEMAS RESUELTOS - ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF

PROGRESIÓN  GEOMÉTRICA
Es una sucesión de números , en la que cada término siguiente es igual al término anterior multiplicado por una constante, llamada razón (q) de la progresión.


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También se puede decir que es una sucesión de términos de la siguiente forma:
t1 :  t1q  : t1q 2  : t1q 3 :.........: t1q n1

cuyo término enésimo tiene la  forma :
Donde :
 1er. término de la progesión geométrica.
 razón de la progresión geométrica.
 número de términos .
término de lugar n o enésimo término.

Notación :
 Los elementos de una sucesión geométrica se denota así :
Ejemplo :



OBSERVACIÓN :
A la progresión geométrica también se le llama “Progresión  por  Cociente”, donde la razón debe ser diferente de cero .
RAZÓN GEOMÉTRICA  (q) :
Se encuentra dividiendo cualquier término por el inmediato anterior :
* Si :  , la progresión es creciente.
    , la progresión es decreciente.
   , la progresión es oscilante.
   , la progresión es trivial.
Ejemplos :
* Sean las progresiones geoméricas :
TÉRMINO CUALQUIERA (tn):
Todo término de una  P. G. es igual al primer término multiplicado por la razón de la progresión con exponente igual al número de términos precedentes al que se determina .

* Entonces :
Tal que n = número de términos.

Ejemplo :
En 3 ; 12 ; 48 ; ....... Calcular los términos de lugares 20 y 35.
Resolución :
* Se tiene :
* Aplicando :

* Además :
SUMA DE LOS ‘‘n’’ PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA P.G. LIMITADA (Sn )
La suma de los términos de una P. G. finita es igual al último término por la razón menos el primer término ; todo esto dividido entre la diferencia de la razón y la unidad . * Donde : * Dado que : Ejemplo : Halla la suma de los nueve primeros términos de la progresión : Resolución : * Hallamos : * Entonces : * Luego : SUMA DE TÉRMINO DE UNA P.G. ILIMITADA DECRECIENE (SUMALÍMITE ) El valor límite de la suma de los infinitos términos de una P. G. infinita decreciente es igual al primer término , dividido entre la diferencia de la unidad y la razón ; donde necesariamente el valor absoluto de la razón debe ser menor que la unidad . * Es decir : * Donde : Ejemplo : Hallar la suma de la siguiente P.G.: Resolución : * Se pide : * Luego : * Como tiene términos, entonces se trata de una suma límite : MEDIOS GEOMÉTRICOS Son los términos comprendidos entre dos extremos de una sucesión geométrica . INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMéTRICoS Interpolar “m” medios geométricos entre los números “a” y “b” es formar una progresión geométrica cuyo primer término es “a”, el último “b” y el número de términos “”. Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación. Para interpolar “m” medios geométricos entre los números “a” y “b” se debe formar: * Aplicando : Ejemplo 1 : Interpolar tres medios geométricos entre 2 y 32 . Resolución : * Se tiene : Interpolando: Ejemplo 2 : Interpolar cuatro medios geométricos entre 160 y 5. Resolución : * Del dato : * Reemplazando : * La progresión será : ProPIEDADES : En una sucesión geométrica se cumple : I) Razón : Ejemplo : 3 : 6 : 12 : 24 : 48 : 96 : ..... II) Términos generales : III) Termino central (tc) si n es impar : Donde: IV) Términos equidistantes de los extremos : Si : * Entonces se cumple : Ejemplo : V) El producto de multiplicar los “n” términos de una progresión geométrica limitada se obtiene al extraer raíz cuadrada al producto de términos extremos elevados a la “n”. Ejemplo : Hallar : Resolución : * Por fórmula : FORMAS DE REPRESENTAR UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA A) Cuando no se conoce el número de términos B) Cuando el número de términos es impar . D) Cuando el número de términos es par . observación : Si se multiplica o divide a todos los términos de una P.G. por una misma cantidad diferente de cero , los elementos resultantes forman otra P.G. pero con la misma razón de la progresión original . Si a los elementos de una P.G. se potencian o radican, los términos elementos resultantes forman otra P.G. cuya razón estará afectada por la operación correspondiente. Los recíprocos de los elementos de una P.G. , forman otra P.G. , cuya razón es la recíproca de la anterior. PROGRESIÓN ARMÓNICA(P.H.) Es aquella sucesión ordenada que se caracteriza porque sus términos son los recíprocos de los términos de una P A . ejemplo : La sucesión : es una progresión armónica , dado que sus recíprocos forman la siguiente progresión aritmética : 2 ; 8 ; 14 ; ....... ; 6n4 de razón igual a r=6 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1 : Hallar el doceavo término en : A) 81 B) 343 C) 243 D) 729 E) 1 Resolución : * Primero calculamos : * Luego aplicamos : * Reemplazando datos : rpta: ‘‘c’’ PROBLEMA 2 : Calcular : A) B) C) D) Resolución : * * Se tiene : * Luego aplicamos : * Reemplazando datos : rpta: ‘‘D’’ PROBLEMA 3 : En la progresión geométrica : Calcular : A) 1 B) 3 C) 2 D) 81 E) 27 Resolución : * Primero calculamos : * Luego aplicamos : * Entonces : * Se pide : rpta: ‘‘E’’ PROBLEMA 4 : Calcular : A) B) C) D) Resolución : * Datos : * Luego aplicamos : rpta: ‘‘c’’ PROBLEMA 5 : Calcular : A) 64 B) 32 C) 72 D) 81 E) 40 PROBLEMA 25 : El valor de la expresión resolución: * Sea: la de razón r * Además se sabe que: * Aplicando en el problema , resulta: RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 26 : Sean (a1 ; a2 ; a3 ) y (b1 ; b2 ; b3 ) los tres primeros términos de una sucesión aritmética y geométrica , respectivamente , tales que. Si la razón aritmética es 2 y la razón geométrica es 1/2 , entonces el valor de b1 asociado al menor valor posible de a1 es. A) –4,8 B) –8 C) –11,2 D) –1 * Eligiendo a1= –7,2 es el menor valor de a , entonces b1 será: –11,2 RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 28 : En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cuadrado uniendo los puntos medios de los lados de dicho cuadrado. Repetimos este proceso indefinidamente. Entonces la suma de los perímetros de todos los cuadrados así construidos será: