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PROGRESIONES ARITMÉTICAS PROBLEMAS RESUELTOS-ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF

PROGRESIÓN ARITMÉTICA(p. a.) - Son aquellas sucesiones en las que se cumple que cualquier término , después del primero es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) o diferencia . Notación Símbolos de una progresión aritmética :



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 P. A . : Significa progresión aritmética
  :   Inicio de una P. A.
 a1 :   Primer término de la P. A.
 an :   Último término de la P. A.
 n :   Número de términos de la P. A.
 r :   Razón o diferencia constante .
 Sn :   Suma de los n primeros términos de una P.A.
 m  :   Medios de una P. A.
Ejemplo :
             
Este ejemplo es una progresión aritmética porque los términos van avanzando de 4 en 4, esta diferencia constante se llama razón .
RAZÓN ARITMÉTICA (r) :
Se obtiene restando un término cualquiera de la progresión con su término anterior.

* Si: r>0, la progresión es creciente .
* Si: r<0, la progresión es decreciente .
* Si: r=0, la progresión es trivial .
Ejemplo 1 :
* De : 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17
* Entonces :
Ejemplos :
* De :  20 ; 13 ; 6 ; –1 ; .....
* Entonces :
TÉRMINO CUALQUIERA (an) :
Un término cualquiera es igual al primero más el número de términos disminuido en uno, multiplicado por la razón . Así tendremos :

Ejemplo 1 :
* Hallar el vigésimo segundo término de :
22 ; 29 ; 36 ; 43 ; ...
Resolución:
* Datos :
* Luego :
Ejemplo  2 :
En : 2 ; 8 ; 14 ; .... Calcular el sexto  y el décimo tercer término .
Resolución :
* Se tiene :
NÚMERO DE TÉRMINOs (n):
Ejemplo :
Hallar el número de términos de : 18;21;24;27;...; 981
Resolución :
* Datos :
* Luego :
SUMA DE LOS ‘‘n’’ PRIMEROs TéRMINOS DE UN P. A. (Sn )
La suma de los términos de una P. A. es igual al producto de la semisuma de los extremos por el número de términos .

También :  

Ejemplo 1 :
Hallar la suma de los  10  primeros términos de la progresión : ÷1 ; 6 ; 11 ;  ....
Resolución :
* Hallamos :
* Entonces :
* Luego :
Ejemplo 2 :
* Calcular :
Resolución : MEDIOS ARITMÉTICOS Son los términos comprendidos entre dos extremos de una sucesión aritmética . 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 Extremo anterior Medios aritméticos Extremo posterior 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 3 Medios aritméticos EN GENERAL : INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS Interpolar “m”medios aritméticos entre los números “a” y “b”, es formar una P.A. cuyo primer término será “a”, el último “b” y el número de términos “n”. Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación . Si se desea interpolar “m” M.A. entre los números “a” y “b” se debe formar : "m" M.A.  a .................... b Aplicando :   an =a1+ n 1 r Tendremos : b=a+m+21r r = b a m + 1  Razón de Interpolación. EJEMPLO 1 : Interpolar 4 M.A. entre los números 2 y 27. RESOLUCIÓN : * Se tiene que : a= 2 ; b= 27 ; m=4 * Luego : 27 2 r= = 5 4+1   * Interpolando : 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 Medios interpolados EJEMPLO 2 : Interpolar 5 medios aritméticos entre 8 y 26. RESOLUCIÓN : * Del dato : a= 8 ; b= 26 ; m= 5 * Reemplazando : 26 8 r= 5+1  ; r=3 * La progresión será : 8 ; 11; 14 ; 17 ; 20 ; 23 ; 26 5 medios   FORMAS DE REPRESENTAR UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA En la resolución de problemas sobre P.A. es necesario expresar los términos de la progresión bajo las siguientes formas: I) Cuando no se conoce el número de términos: a ; a+r ; a+2r ; a+3r ; ... II) Cuando el número de términos es impar. ... ; a  3r ; a  2r ; a  r ; a; a+r ; a+2r ; a+3r ; .... III) Cuando el número de términos es par . ... ; a  5r ; a  3r ; a  r ; a+r ; a+3r ; a+5r ; ... NOTA : Se comienza por los dos términosmarcados , luego se agregan en ambos lados la misma cantidad de términos hasta completar los términos requeridos . EL TÉRMINO CENTRAL (TC ) (Cuando “n” sea impar) 1 n I P n c c I P a +a S S S T = T = S S 2 n n     * donde : I 1 3 5 2k 1 suma de terminos de los lugares impares P 2 4 6 2k suma de terminos de los lugares pares * S a a a ............ a * S a a a ............ a               n I P suma total * S  SS 613 EJEMPLO 1 : Hallar el término central de la siguiente progresión aritmética sabiendo que tiene 47 términos. 38 ; 44 ; 50 ; ....... ; 314 RESOLUCIÓN : c 38+314 T = =176 2 TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS Sean ap y aq dos términos equidistantes de la siguiente P.A. : " p" términos " p" términos a1............ap ............aq ............an    Se cumple : ap  aq  a1  an ALTERACIÓN DE LA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Si se suma o resta a todos los términos de una P.A. por una misma cantidad, se tendrá otra P.A. cuya razón será igual a la razón de la P.A. original (la razón no se altera). Si se multiplica o divide a todos los términos de una P.A. por una misma cantidad diferente de cero , se obtiene otra P.A. cuya razón será la original multiplicada o dividida por dicha cantidad. PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 1 : Hallar la razón en la siguiente progresión aritmética: 21; ......................... ; 195 30 términos  A) 6 B) 3 C) 7 D) 8 E) 5 RESOLUCIÓN : * De : an =a1+(n  1)r * Despejando ‘‘r”, resulta : an a1 r= ................(I) n 1   * De los datos : 1 n a = 21; a =195 ; n=30 * Reemplazando en (I) : 195 21 174 r= = =6 30 1 29   RPTA: ‘‘A’’ PROBLEMA 2 : Hallar el número de términos de la siguiente sucesión : 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; ...... ; 282 A) 20 B) 25 C) 19 D) 38 E) 45 RESOLUCIÓN : * Datos : r= 6 ; a1 =18 ; an = 282 * Luego aplicamos : an a1 282 18 n= +1 n= +1 n=45 r 6     RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 3 : Dada la progresión : 40 ; 44 ; 48 ; 52 ; ....... Hallar el vigésimo término . A) 20 B) 13 C) 207 D) 116 E) 124 RESOLUCIÓN : * Datos : 1 20 r=4; a =40 ; a =? ; n=20 * Luego aplicamos : an = a1+(n  1)r * Reemplazando datos: a20 = 40+(20  1)4  a20 =116 RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 4 : Calcular la suma de los 28 términos de la siguiente progresión aritmética : 36 ; 40 ; 44 ; .......... A) 7080 B) 2600 C) 3200 D) 2520 E) 4000 RESOLUCIÓN: * Datos : a1 =36 ; r= 40  26= 4 ; n= 28 ; S28 =? * Luego aplicaremos : 1 n 2a +(n 1)r S = n 2      * Reemplazando datos : 28 28 2(36)+(28 1)4 S = 28 S = 2 520 2         RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 5 : Calcular : 21+27+33+.......+255 A) 5500 B) 4975 C) 5520 D) 4970 E) 5510 RESOLUCIÓN : * Identificando términos : y 1 n n r= 27  21=6 ; a = 21; a = 255 ; n=? S =? * Primero aplicamos : 614 an a1 255 21 n= +1 n= +1=40 r 6    * Luego : 1 n n a +a S = n 2       40 40 21+255 S = 40 S 276 20 5 520 2            RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 6 : Calcular : S = 85+90+95+100+...+ 2 360 A)66080 B)72040 C)55600 D)557460 RESOLUCIÓN : * Datos : r = 5 ; a1 = 85 ; an = 2 360 ; n=? ; S =? * Hallando ‘‘n”: an a1 2 360 85 n= +1= +1 n=456 r 5    * Hallando “S” : an+a1 2 360+85 S = n= 456 2 2 S = 557 460              RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 7 : Calcular el valor de “a” en la siguiente progresión aritmética : (5a+2); ( 2a+7 ) ; (3a  4) A) 7 B) 2 C) 6 D) 1 E) 4 RESOLUCIÓN : * 5a+2 ; 2a+7 ; 3a  4 * Por término central : 1 n c a +a T = 2 5a+2+3a 4 2a+7 = 4a+14=8a 2 2 16=4a 4= a       RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 8 : La suma de los 4 primeros términos de la progresión aritmética creciente es 5 veces la suma de los 2 primeros términos de lamisma progresión . ¿Cuál será la razón de esta progresión si el primer término es 1 3 ? A) 1 2 B) 3 C) 1 3 D) 1 E) 2 RESOLUCIÓN : * Sea la P. A. en la cual el primer término es 1 3 y la razón “r” : 1 1 1 1 ; +r ; +2r ; +3r 3 3 3 3 * Del enunciado : 1 1 1 1 1 1 + +r+ +2r+ +3r= 5 + r 3 3 3 3 3 3 4 2 4 10 6 +6r=5 +r +6r= +5r r= =2 3 3 3 3 3               RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 9 : Las edades de tres hermanos están en P.A. creciente cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1395. Hallar la edad del mayor . A) 24 B) 25 C) 27 D) 28 E) 31 RESOLUCIÓN : * Sean las edades : (a  r ) ; a ; (a+r ) * Pero según enunciado : (a  r)+a+(a+r)=63  3a=63  a= 21 * Además : ( 21 r)2 +212 +( 21+r)2 =1395 2 2 2 2 2(21 +r )+21 =1395 2r =72 r=6    * Se pide : a+r= 21+6= 27 RPTA: ‘‘C’’ PROBLEMA 10 : Si se sabe que a , a2 y 3a son los 3 primeros términos de una progresión aritmética , entonces la suma de los díez primeros términos es : A) 4a2 3 B) 84 C) 110 D) 120 E) 100 RESOLUCIÓN : * La progresión es :  a ; a2 ; 3a ; .... * Luego por término central : 2 a+3a 2 a = a = 2a a= 2 2   * Entonces la progresión resulta : 2 ; 4 ; 6 ; .... (10 términos) r=2 r=2 * Pero :   n 1 n S = 2a +(n 1)r 2    10 10 10 S = 2(2)+(10 1)2 S =110 2    RPTA: ‘‘C’’ 615 PROBLEMA 11 : Hallar el número de términos de una P.A. si la suma de términos es 570 y el número de términos entre 3 y 30 es igual al número de términos que hay entre 30 y x. A) 11 B) 17 C) 21 D) 19 E) 23 RESOLUCIÓN : * Según enunciado : n n términos términos 2 2 3+.........+3 0+....+x = 570 * Observe que : 1 n c a +a a =30 =30 2  * Como : n 1 c a +a S= n S=(a )n 2 570 30 n 19 n             RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 12 : El número de términos de una progresión aritmética comprendidos entre 23 y 59 es el doble del número de términos comprendidos entre 3 y 23 . Entonces la razón es : A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 RESOLUCIÓN : * Sea la progresión : ; ................; ; ...............; "x" términos "2x" términos  3 23 59 * De donde se observa que :   ax+2 = 23 ; pero : an = a1+ n  1 r 3+(x+2 1)r= 23 (x+1)r= 20 ..................(I)    * Además se aprecia que : a3x+3 = 59 3+(3x+3 1)r= 59 (3x+2)r=56 ..............(II)    * Ahora de (I)÷(II): x+1 20 = 3x+2 56 * Resolviendo : x=4 * Luego en (I) : 4+1 r= 20  r=4 RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 13 : Brandy no pudiendo cancelar una deuda de S/.12950 le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo : S/. 600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/. 50 más que el anterior . ¿Cuál será el importe del último pago? A) S/. 1400 B) 1200 C) 1500 D) 1250 E) 3000 RESOLUCIÓN : * Datos : S =12 950 ; a1 = 600 ; r = 50 * Como :   n 1 n S = 2a + n 1 r 2    * Luego :       n 12950= 2 600 + n 1 50 2  * Operando : n=14 * Ahora :   an =a1+ n  1 r    a14 =600+ 14  1 50  a14 =1250 RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 14 : La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 65 , la suma de los tres últimos es 307 y la suma de todos los términos es 3100. ¿Cuántos términos tiene la P.A.? A) 30 B) 40 C) 36 D) 42 E) 50 RESOLUCIÓN : * por dato : 1 2 3 n n 1 n 2 1 n n 1 2 n 2 3 a a a 65 sumando miembro a a a a 65 miembro (a +a )+(a +a )+(a +a )=372               3(an+a1 )= 372  an+a1 =124 * Además del último dato : an+a1 124 .n=3 100 .n=3 100 n=50 2 2               RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 15 : Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están al lado de una calzada ; los árboles están a 8mde distancia y el montón de arena está a 10m antes del primer árbol. ¿Cuánto habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena? A)8250M B)8200 C)7450 D)5680 E)7560 RESOLUCIÓN : 1º 2º 3º 30º 10 8 8 616 * Para cada uno lleva la arena y regresa al montón (hace doble recorrido)  S = 20+36+52+.... * Luego : RPTA: ‘‘E’’ PROBLEMA 16 : Dados a1 ; a2 ; a3 ; ......... antérminos de una progresión aritmética : Si : 1 2 2 3 K 1 K 1 + 1 + + 1 = 20 a a a a a  a 309 .... y a1aK =309 ; determine el valor de «K» A) 19 B) 20 C) 31 D) 21 E) 23 RESOLUCIÓN: *Sea «d» la razón de la progresión aritmética: a1 ; a2 ; a3 ; .... an 1 2 2 3 K 1 K 1 + 1 + + 1 = 20 a a a a a  a 309 .... * Multiplicado por «d»: 1 2 2 3 3 4 K-1 K d d d d 20d + + + + = a a a a a a a a 309 .... 2 1 3 2 4 3 K K 1 1 2 2 3 3 4 K 1 K a a a a a a a a 20d + + + + = a a a a a a a a 309       ....  1 2 1 1 a a  2 1 + a       3 1 a  3 1 + a       4 1 a  K 1 1 .... + a         K 1 a  20d = 309       K 1 1 k 1 K 1 1 20d a a 20d = = a a 309 a a 309     *Pero : aK = a1 + (K – 1)d a1aK = 309 ..........................(dato) * Reemplazando tenemos : a1 +(K  1)d  a1 309 = 20d 309 (K  1)d = 20d  K = 21 RPTA: ‘‘D’’ PROBLEMA 17 : Dada la progresión aritmética : 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; ... ¿ Cuántos términos como mínimo debe tener la progresión para que entre los elementos existan 10 cuadrados perfectos? A) 109 B) 110 C) 115 D) 119 E) 121 RESOLUCIÓN : *Dada la progresión aritmética : 5 ; 9 ;13 ; 17 ; ... *Tenemos que : an= 5 + (n – 1) 4 = 4n + 1 *Si queremos an sea cuadrado perfecto :  4n+1= p2  4n= p2  1 * Vemos que p debe ser impar : p = 2K + 1 ; K  4n=(2K+1)2 1=(2K+ 2)(2K) n=(K+1)K; K  n= 2 ; 6 ; 12 ; 20 ;     ..... Los términos cuadrados perfectos n son : a2 ; a6 ; a12 ; a20 ;............ * para tener 10 términos cuadrados perfectos «n» debe ser mínimo : 11× 10 = 110 RPTA: ‘‘B’’ PROBLEMA 18 : Dada la progresión aritmética : m ; n ; .... ;a ; a+b ; ... ; p Indique el producto de los términos de la progresión. A) 1 B) 0 C) mp D) Faltan datos E) b RESOLUCIÓN : * Tenemos la progresión aritmética : m ; n ; ... ;a ; b ; a+b ; ... p * Vemos que la razón es : (a + b)  b = a * Luego , tendremos : m; n; ... ; 0; a; b; a+b; ... ; p * Producto de términos = 0 RPTA: ‘‘B’’