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RADICACIÓN ARITMÉTICA - PROBLEMAS RESUELTOS - ARITMÉTICA RUBIÑOS PDF

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PROBLEMA 11:
Hallar el mayor número natural que no tiene raíz cúbica exacta, tal que extraerle su raíz cúbica por defecto y por exceso la suma de los residuos correspondientes es 469. Dar como respuesta la suma de las cifras del número.
A) 18 B)19 C) 20 D) 21 E) 22


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RESOLUCIÓN:
* Plantearemos:
3
3
por defecto
por exceso
N =k +r
N =(k+1) r *
r+r *=469

3k(k+1)+1=469

Por teoría
k (k+1)=156= 12  13  k=12
* Ahora:
3
mayor máx
Se deduce
3k(k+1)=468
N =12 +r
3
 Nmayor=12 +468=2196
* Piden: 2+1+9+6=18
RPTA: “A”
PROBLEMA 12 :
Al efectuar la raíz cuadrada y la raíz cuarta de “N”
se obtuvieron los residuos 35 y 86 respectivamente.
Calcular la raíz cúbica por defecto de “N”.
A) 8 B) 9 C) 10 D)7 E) 12
RESOLUCIÓN:
* Plantearemos:
2
4
2 4
2 4
2 2
N=k +35
N=n +86
0=k n 51
k n =51
(k+n )(k n )=1 51=3 17

 
 
   

* Primera posibilidad:
2
2
k+n =51 k= 26 N=262+36=711
k n =1 n= 5

  
 
* Segunda posibilidad:
2
2 (imposible)
k+n =17 k=10
k n =3 n= 7 ............


  
* La única solución, será:
711= 8 3+199
Raíz cúbica pedida
RPTA: “A”
PROBLEMA 13 :
Si a un número se le extrae su raíz cuarta resulta
con un residuo máximo por defecto de 670, luego la
raíz por exceso es:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN:
3 2
4
Residuo máximo
= 4K +6K +4K
en una
 
 
 
 2K (2K2+3K+2)=670=2  5  67=5(2  52+3  5+2)
* Identificando: K=5
 raíz por exceso: 5+1=6
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 14 :
Al extraer las raíces cuadradas y cúbicas de un
número, se obtienen residuos máximos. Si la suma
de ambas raíces es 34, hallar la suma de las cifras
del número.
A) 14 B) 15 C)16 D) 17 E) 18
RESOLUCIÓN:
2 2
máximo E
3 3
máximo E
* N=k + R N=(k ) 1 ...............(I)
* N=q + R N=(q ) 1 ...............(II)
 
 
* De (I) y (II) se obtiene:
2
E 6 6
3
E
N+1=(k )
N+1=a N=a 1
N+1=(q )

  

* Dando forma:
3 2 3
2 3 3 2
N=(a ) 1 raíz defecto=a 1
N=(a ) 1 raíz defecto=a 1
  
  
* Dato: (a3–1)+(a2–1)=34  a=3
 N=36 –1=728
* Se pide: 7+2+8=17
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 15 :
En que proporción se encuentra la raíz cuadrada
por exceso y por defecto de 40 con un error menor
que 2
3
.
8 9 10 11 12
A) B) C) D) E)
7 8 9 10 11
13
RESOLUCIÓN:
2 3 2 9 2
40 = 40 = 40 = 90
3 2 3 4 3
 
* Donde: 81<90<100
* Luego:
Por defecto: 2
40= 81=6
3
Por exceso: 2 20
40= 100=
3 3
* Piden, la siguiente proporción: 20
3 10 =
6 9
RPTA: “C”
PROBLEMA 16 :
A un concierto de rock asistieron entre 4 000 y
5 000 personas. La raíz cuadrada del número de
asistentes representa a la cantidad de personas que
usan ‘‘Jean’’ y la raíz cuadrada de estos usan
anteojos. La raíz cúbica del total de personas no usa
aretes. La suma de cifras de los asistentes es:
A) 11 B) 17 C) 19 D) 21 E) 22
RESOLUCIÓN:
* Se T el total de asistentes al concierto:
4000 < T < 5000 .......................... (I)
* T=Número de personas que usan jean= n
* n= Número de personas que usan anteojos=k
2
4
2
n = k n=k
T=k ...........................(II)
T = n=k
  


* 3 T= Número de personas que no usan aretes=q
 T = q3......................................(III)
* De (II) y (III) T es potencia cuarta perfecta y cubos
perfecto: T=a
 para que cumpla (I):
4000< a12< 5000
* Sólo a=2: 212=4096=Número de asistentes
 Suma de cifras: 4 + 0 + 9 +6 = 19
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 17 :
Indique la verdad(V) o falsedad(F) de:
I) En el sistema de base ocho todo número que
termine en las cifras 2; 3; 5; 6 ó 7 no es cuadrado
perfecto.
II) Todo número que al ser dividido entre 5 se
obtiene resto 3, este no puede ser cuadrado perfecto
III) Si ‘‘k’’ es la raíz quinta por defecto de un número
entero positivo, el resto respectivo es menor que:
(5k4+10k3+10k2+5k+1)
A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) FFV
RESOLUCIÓN:
I ) VERDADERA:
Si: ab... x8=8+x

* Haciendo N=8

+x, se tiene:
o
2
N 8 8+1 8+2 8+3 8+4 8+5 8+6 8+7
N 8 8+1 8+4 8+1 8 8+1 8+4 8+1
      
       
* De la tabla, un cuadrado perfecto será:
2 2
(8)
2 2
(8)
2 2
(8)
N =8 N =...0
N =8+1 N =...1
N =8+4 N =...4






 En base 8, todo número que termine en 2; 3; 5;
6  7 no es cuadrado perfecto.
II)VERDADERA:
2
N 5 5+1 5+2 5+3 5+4
N 5 5+1 5+4 5+4 5+1
    
    
Cuadrado perfecto N podra ser 5

, 5

+1  5

+ 4
 Si se obtiene resto 3 no puede ser cuadrado
perfecto
III) VERDADERA:
Dadas dos potencias quintas perfectas consecutivas:
K +R 5
(K+1)5 K5
* Los números enteros que estan comprendidos
entre dichas potencias, son números cuya raíz
quinta es K y residuo R donde:
5 5 5
5
K < K + R<(K+1)
 K + R< K 5 4 3 2
4 3 2
+5K +10K +10K +5K+1
R<5K +10K +10K +5K+1
V V V


RPTA : ‘‘A’’
PROBLEMA 18 :
Calcular la suma de las raíces de todos los cuadrados
perfectos de tres cifras consecutivas sin importar
el orden.
A) 18 B) 42 C) 64 D) 75 E) 84
RESOLUCIÓN:
* Sean las cifras consecutivas: c; (c+1); (c+2)
1 4
Si N2 se escribe con c; (c+1) y (c+2), sin importar
el orden, se cumple:
2
3c+3
N =3+c+(c+1)+(c+2)=3
 
* Pero si N2=3  N2=9
 
* Luego: N2=(3K)2
* donde: 100<N2<1000
 100<(3K)2<1000  3,3<K<10,5
 K=4 ; 5 ; 6 ; ... ; 10
* Luego: 3K=12 ; 15 ; 18 ; .... ; 30
 N2 =144 ; 225 ; 324 ; 441 ; 576 ; 729 ; 900
 Cumplen con la condición 324=182; 576=242
* Se pide: 18+24=42
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 19 :
Un número CAPICUBO es un capicúa y cubo a la vez.
Calcule la raíz cúbica del capicubo de 3 cifras cuya
raíz cúbica es igual a la suma de las 2 cifras
diferentes que lo forman.
A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN:
* Si el número es capicubo su raíz cúbica es exacta.
Posee 3 cifras: N=aba=K3
* Donde: aba=(a+b)3
* Se conoce:
53=125; 63=216 ; 73=343 ; 83=512 ; 93=793
capicubo
* Donde: 343=(3+4)3
Único valor que cumple
 Raíz cúbica = 7
RPTA : ‘‘A’’
PROBLEMA 20 :
La raíz cuadrada b0b de abb0ab es exacta, pero
la raíz cúbica no, en este último caso el residuo por
defecto es:
A) 3 506 B) 4 978 C) 4 986 D) 5 220 E) 5 625
RESOLUCIÓN:
2 abb0ab=b0b abb0ab=b0b
* Se observa la última cifra:  2 ...b =.....b
* Sólo cumplen: b=1; 5  6
* Además al extraerla :
abb0ab b0b ab b2
Luego; b  1
* b=5: 5052=255025 ......... cumple
* b=6: 6062=367236 .......... no cumple
* Se extrae la raíz cúbica:
3 255025=63,41
* raíz cúbica por defecto: 63
* residuo por defecto: 255025–633=4978
RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA 21 :
Sabiendo que: 104ab6=k4.
Calcular: a+b+k
A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42
RESOLUCIÓN:
* De 104ab6= k4 agrupando de derecha a izquierda
en grupos de cuatro cifras:
104ab6 k4 posee dos cifras
2 grupos k = mn
donde 10  m4  Sólo m=1
4
debe ser par
 104ab6=1n

* Pero : 10400<k4<105000
 17,9<k<18,0  k=18
 184=104976
 a+b+k=9+7+18=34
RPTA : ‘‘A’’
PROBLEMA 22 :
Si 3 6(a  1)(a  4)a=ca entonces el valor de ac
es:
A) 9 B) 8 C) 25 D) 36 E) 49
RESOLUCIÓN:
* Se deduce que:
3 6(a 1)(a 4)a=ca
a 4 0 a 4
  

   
* Luego:
3 6304 ca 6859
a = 4 a = 9
 
 
ó
* Sacando 3 : 18,5  ca  19
* Sólo c=1; a=9  91=9
RPTA : ‘‘A’’
PROBLEMA 23 :
Calcular la raíz cuadrada por exceso de
"n 2 "
n

con
15
un error menor que 1 +
(n>2 n )
n
y 
RESOLUCIÓN:
2
2
2 2
2 2
2
n 2 1 n 2 1 n 2 n 2n
= n = n = ...(I)
n n n n n n
* n 2n< n 2n+1
n 2n<(n 1)
n 2 (n 1) n 1
* (I) = =
n n n
         
 
 
  
  
Pero :
Remplazando en :
PROBLEMA 24 :
Al extraer la raíz cuarta de un número se obtiene
como resto máximo 9 854. Si a dicho número se le
extrae su raíz cúbica se tiene :