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POTENCIACIÓN ARITMÉTICA - PROBLEMAS RESUELTOS - ARITMÉTICA RUBIÑOS PDF

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PROBLEMA 1:
Si capitalizando un negocio se puede duplicar la inversión en cada año. ¿En cuánto se convierte un dólar al cabo de 30 años de iniciado el negocio? Indique la cantidad más aproximada en millones de dólares.
A) 10 B) 11 C) 106 D) 107 E)1074

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RESOLUCIÓN:
* Invierte un dolar:
 al final del 1er año: 2(1)=2
 al final del 2do año: 2(2)=22
 al final del 3er año: 2(22)=23
...........así sucesivamente
 al final de 30 años: 230
30 10 3 3
3
millones
M=2 =(2 ) =1024
M=1024 =1073741824



* Luego M=1073,74 millones
 en forma aproximada M=1074 millones
RPTA : ‘‘E’’
PROBLEMA 2 :
¿Cuál es el menor número entero que multiplicado
por 429975 da un producto cuya raíz cuadrada es
exacta?
A) 26 B) 19 C) 39 D) 13 E) 17
RESOLUCIÓN:
* Recordemos que para que un número tenga raíz
cuadrada exacta, los exponentes de sus factores
primos deben ser múltiplos de 2 (pares), ahora como:
429975=3×52×72×131; entonces se tendrá que
multiplicar por: 3×13=39
RPTA: “C”
PROBLEMA 3 :
Cuál es el mínimo de números enteros que puede
existir entre un cuadrado y un cubo perfecto de 3
cifras.
A)7 B) 18 C) 3 D) 8 E) 11
RESOLUCIÓN:
* Cubos perfectos de 3 cifras :
3
3
3
3
5 =125 125=11,
6 =216 216=14,
8 =512 512=22,
9 =729 729=27







* La mínima cantidad de enteros se da entre 112 y 53
2 3
121 3 enteros 125
11 ;122;123;12 4 5
RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 4 :
¿Cuántos números cuadrados perfectos que
terminan en 9, están comprendidos entre 500 y
8000?
A) 7 B) 14 C) 21 D) 11 E) 22
RESOLUCIÓN:
* Debemos plantear:
500< k2 < 8000
+
Forma general de
un cuadrado perfecto
(k  )
500 < k < 8000
22,3 <k < 89,4
k {23 ; 24 ; 25 ; ..........; 89}.............(I)


* Pero: k2=.......9(k= ......3 ó k......7)
* Finalmente, considerando (I) y lo anterior , se
tendrá, que:
k {23 ; 33 ; 43 ; .. ; 83 ; 27; 37 ; 47 ; ... ; 87}
"14 números"
 
RPTA : “B”
PROBLEMA 5:
¿Cuál es el número de cuatro cifras, cuyas dos
primeras cifras de la izquierda son 2 y 2 y que es un
cuadrado perfecto?.
A) 2209 B) 2252 C) 2281 D) 2225 E) 2236
RESOLUCIÓN:
* La forma será:
22ab=k2 2200 < k2 < 2300
46 < k < 47,....
k=47



* Con lo que: k=472=2209
RPTA: “A”
8
PROBLEMA 6 :
¿Cuántos cuadrados perfectos 13 4

hay entre 924
y 5920 ?
A) 9 B) 7 C) 63 D) 21 10) 10
RESOLUCIÓN:
Los cuadrados perfectos son de la forma:
2
2
N q 13 4 q 13 2
924 q 5920 31 q 76
     
    
 
y como 13  2 13  11
 
ó
 los valores de ‘‘q’’ son:
q = 37 ; 41 ; 50 ; 54 ; 63 ; 67 y 76
existen entonces 7 cuadrados perfectos
RPTA. ‘‘B’’
PROBLEMA 7 :
¿Cuántos números naturales múltiplos de 3
comprendidos entre 10000 y 1000000 son
cuadrados perfectos y cubos perfectos a la vez?
A) 37 B) 23 C) 17 D) 7 E) 2
RESOLUCIÓN:
* Como:
N=k2  N=p3  N=R6 MCM(2;3)
* Además: N=3  N=(3x)6

* También:
4 6
4 6 6
3
2 valores
10 < N < 10
10 < (3x) < 10
100 < 3x < 10
4, ........< 3x < 10
1, ........< x < 3, .........
x { 2 ; 3 }




  
RPTA: “E”
PROBLEMA 8 :
Calcular “x” para que el número 58(x+1)x sea cubo
perfecto.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 7 E) 9
RESOLUCIÓN:
3
3
58 (x+1)x=1n
5800<1n < 5900
17,......<1n < 18,......
1n=18



* Entonces: 58(x+1)x=183= .......2 x= 2
RPTA: “C”
PROBLEMA 9 :
Hallar los cuadrados perfectos de la forma:
n2= aabbb, e indicar: “a+b”
A) 15 B) 13 C) 17 D) 19 E) 11
RESOLUCIÓN:
* Descomponiendo polinomicamente:
2
2
2
1100 a+11b=n
11(100a+b)=n
100 a+b=11k
100 a+b=11
11+a+b=11 a+b=11 a+b=11



  


   
RPTA: “E”
PROBLEMA 10 :
Calcular “a” sabiendo que el número aa9aa es un
cuadrado perfecto.
A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN:
* De antemano:
aa9aa=k2
a {1 ; 4 ;6 ;9} ; a 0 a 5
criterio de exclusión

* Ahora probemos:
* Si: a=1 11911= 4+1

(principio de exclusión)
1 1 9 1 1 1 0 9
1 2 0 0=0
1 9 2 0 9 9=1 8 8 1
0
1 9 1 1
1 8 8 1
3 0 inexacta





* Si:
a=4 4 4 9 4 4 2 1 2
4 4 1 1=41
4 9 4 2 2 2=8 44
4 1
8 4 4
8 4 4


 

0 exacto
 Si cumple con a=4 , ya no es necesario, seguir
probando .
RPTA : ‘‘A’’
PROBLEMA 11 :
Sean N=ababab , y seaMel menor número entero
9
tal que el dividir N entre M da por resultado un
cuadrado perfecto. La suma de las cifras de M es:
A) 5 C) 3 C) 2 D) 4 E) 6
RESOLUCIÓN:
* Debemos plantear: ababab 2
= k
M
* Por descomposición polinómica:
2
2
ab 10101
=k
M
ab 3 7 13 37
=k
M

   

Este es el
menor valor.
 M {3  37 ; 37 7 ; 3 7  13 ; ....}
 M=3  37=111
* Piden: 1+1+1= 3
RPTA: “B”
PROBLEMA 12:
Al dividir el número N =abcabc entre un primo
absoluto, se obtiene un cuadrado perfecto.
Determinar la suma de todos los valores de a , b y c
que forman todos los posibles N.
A) 82 B) 74 C) 64 D) 55 E) 100
RESOLUCIÓN:
* Planteemos:
2
2
abc abc p abcabc= pk
0 k primo

* Por descomposición:
2
2
abc 1001= pk
7 11 13 abc= pk

   
* Tanteando adecuadamente:
abc {143;572 ; 364 ; 819 ; 308 ; 693 }
cuando cuando cuando
p { 7 ; 11 ; 13 }
p=7

 

  
  
 
p=11 p=13
 "a+b+c"{ 8 ; 14 ; 13 ; 18 ; 11 ; 18 }
* Piden: 8+14+13+18+11+18=82
RPTA: “A”
PROBLEMA 13 :
Un jardinero quiere plantar sus árboles igualmente
espaciados en un terreno cuadrado de 234mde lado.
Si la separación entre árbol y árbol fuese 1,2m le
faltarían 3000 árboles. Determinar la distancia que
debe haber entre ellos de manera que le sobren 2655
árboles.
A) 1,3m B) 1,4m C) 1,5m D)1,25m E) 1,35m
RESOLUCIÓN:

2
:
se puede deducir
lo siguiente
número L L 1
de árboles I
I
L
=
   
   
   
   


        
  




* Donde: L=Longitud de cada lado
I=Longitud de cada intervalo
* Ahora en el problema , plantearemos :
2
I
234 2 número de árboles
1 = +3000 ................(I)
1,2 que se tiene
234 número de árboles
1 = 2665................(II )
x que se tiene
            
             
2 2 234 234 x
=5655
1,2 x
             
* Resolviendo, se tendrá que: x=1,3
RPTA: “A”
PROBLEMA 14:
En: 18×300;18×301;18×302 ;.......;18×1300
¿Cuántos términos son cubos perfectos?
A) 2 B) 8 C) 16 D) 42 E) 63
RESOLUCIÓN:
* El término enésimo será:
Tn=18(299+n) ; 300<299+n<1300
* Para que sea cubo perfecto, planteamos:
3
1 2 3
2 3
18 (299+n)=k
2 3 (299+n)=k
299+n=2 3 p
  
  
* Finalmente, plantearemos que:
2 3
3
300 < 2 3 p < 1300
25 < p < 108 ; .........
2, ...... < p < 4, ...........
p {3 ; 4}
 


 
2 valores, que originan cubos perfectos.
RPTA: “A”
PROBLEMA 15 :
2aa es el mayor entero positivo que es la diferencia
de dos cuadrados perfectos consecutivos.
Determinar el primero y el último de los enteros
comprendidos entre dichos cuadrados perfectos.
A) 2 2 2 0 1 y 2 2 5 0 0 B) 2 2 2 0 2 y 2 2 4 9 9
C) 2 2 2 0 0 y 2 2 5 0 1 D) 2 2 19 9 y 2 2 4 9 9
1 0
RESOLUCIÓN:
* Sean k y k+1 dos enteros consecutivos tal que:
2aa=(k+1)2 k2
2aa=2k+1....................................(I)


* Nótese de (I), que a debe ser impar. Si se pide el
mayor entero de la forma 2aa este debe ser:
299, luego de (I):
2 2 2 2
299=2k+1 k=149
k =149 =22201 (k+1) =150 =22500

y
* Se pide el primer y último entero comprendido
entre estos cuadrados perfectos consecutivos, los
cuales serán: 22202 y 22499
RPTA: “B”
PROBLEMA 16 :
Si ‘‘a’’ y ‘‘b’’ son cuadrados perfectos. Determinar
‘‘a + b’’ ; si a  b es el número mínimo múltiplo
de 7 que existe entre ‘‘a’’ y ‘‘b’’.
A) 1201 B) 1200 C) 1021 D) 210 E) 240
RESOLUCIÓN:
2 2
a=K1 ; b=K2 ; a  b =K3
2
 a  b =K3 ; por otro lado el problema puede
plantearse así:
2 2 2
1 2 3 3
3
K K K K ........( I )
=
7 7 K 1......( II )
  

 
*De (I) : K3  7 y
*De (II) : K3 = 7
como 2 2 2
K1 K2 =(K1 K2 ) (K1 K2 )= K3= 49   
K = 25
K = 24
1
2
 a + b = 252+ 242 = 1201
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 17 :
Sabiendo que abc2 es un cubo perfecto ; hallar el
valor de a × b × c.
A) 18 B) 130 C) 110 D) 140 E) 120
RESOLUCIÓN:
abc2 = q3 ; luego q = .....8 pero :
1000  q3  10 000 10  q  21,6
entonces:
3
8 3
q=18 q = 5832 = abc2
a b c = 5 =120

    
RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 18:
Con las cifras 2 ; 2 ;7 ;5 y 2 se puede formar un
número de 5 cifras cuadrado perfecto. Dar como
respuesta la suma de cifras de su raíz cuadrada.
A) 8 B) 12 C) 8 D) 9 E) 7
RESOLUCIÓN:
* Sea: abcde=k2 tal que: {a;b;c;d;e}={2;2;7;5;2}
* Entonces:
e
7
2
= 5 d= 2 c=2


 
* Luego: ab225=k2
 ab2 : Producto de los números consecutivos
2
722=2 192 .....................(no cumple)
ab2
272=16 17 .....................(cumple)
abcde=27225=165
 

 

* Nos piden: 1+6+5=12
RPTA : “B”
PROBLEMA 19:
Considere los tres menores números naturales
consecutivos de tres cifras cuya suma es un
cuadrado perfecto. Lamenor cifra delmayor de estos
tres números es:
A) 1 B) 0 C) 4 D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN:
* Sean los números consecutivos, menores posibles,
de tres cifras:
abc  1 ; abc ; abc + 1
* Datos:
2
2
(abc 1)+abc+(abc+1)=k
3abc=k .....................................(I)


* Como (I) es un cuadrado perfecto, se tendrá que:
abc=3p2 ................................(II)
Por dato: abc es el menor posible:
* Luego:
100<abc .................................(III)
* Reemplazando (III) en (II): 100<3p2, de donde:
p=6 ;7 ; 8 ; ...............
* El menor es: p=6; luego en (II)
abc= 3(6)2=108
* El mayor de los tres números es:
abc+1=109
La menor cifra de este número es cero.
RPTA: “B”
11
PROBLEMA 20:
Si: b abba=aa
Calcular: a + b
A) 4 B) 5 C) 7 D) 6 E) 13
RESOLUCIÓN:
* Se tendrá, que:
b b b
b b
abba=(a 11) =a 11
abba=11 a
 
 
* Se deduce que: b{2 ; 3}
* Ahora probemos:
* Si:
2
3
Tanteando, encontraremos
que no hay solución para "a"
se puede notar
b=2 a22a=121 a
b= 3 a33a = 1331 a
a=1
 
  

* Piden: a+b=1+3=4
RPTA: “A”
PROBLEMA 21:
Hallar un cuadrado de la forma abcd, sabiendo
que cd es divisible entre ab siendo su cociente un
cubo perfecto.
Calcular: a+b+c+d .
A) 12 B) 18 C) 24 D) 15 E) 14
RESOLUCIÓN:
* Debemos plantear, que:
cd=ab  k3  k  {1; 2}
* Probemos:
2
Nunca será
cuadrado perfecto
k=1 abcd=abab=101 ab p
k=2 cd=8 ab
  
  
Si :
* Luego:
2
3 2 2
2 2
abcd=ab 100+cd=ab 100+8 ab
abcd=108 ab= p
3 2 ab = p
ab = 3n cd=24n
  

  
 
* La única posibilidad, será: n=2
 abcd=1296
* Piden: 1+2+9+6=18
RPTA: “B”
PROBLEMA 22:
¿Cuántos números de 4 cifras cuadrados perfectos
son de la forma: 7+2

?
A) 17 B) 19 C) 21 D) 23 E) 25