POTENCIACIÓN ARITMÉTICA - CONCEPTOS BÁSICOS - ARITMÉTICA PDF

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  • OBJETIVOS: Al finalizar el presenle capítulo , el lector estará en la capacidad de:
    * Reconocer cuando un número es una potencia perfecta de grado n .
    * Deducir los criterios de inclusión y exclusión de los cuadrados y cubos perfectos.
    * Diferenciar cuadrados y cubos perfectos de un conjunto de números.
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    INTRODUCCIÓN: Los babilónicos ya habían conocidomuy bien la tabla de los cuadrados de los números, tal como lo prueba la tabla de los cuadrados hallados por los arqueólogos a orillas del Eufrates, en un lugar donde existió un templo. Nuestras actividades diarias, comerciales, laborales y educativas, están relacionadas a las cantidades por ende a los números, sus operaciones y métodos para realizar ciertos cálculos. En dicho cálculo, se consideran también; determinar el valor de un número elevado a un exponente dado, el cual en la actualidad lo pueden realizar las calculadoras, así como calcular la raíz cuadrada o raíz cúbica de un número. En este capítulo vamos a conocer aspectos básicos de estos cálculos y formas prácticas para resolver problemas. Cuando los antiguos griegos multiplicaban un número por sí mismo lo hacían únicamente para calcular la superficie de un cuadrado cuyo lado midiese la cantidad indicada por dicho número. Por eso hoy , cuando multiplicamos un número por sí mismo , decimos que lo elevamos «al cuadrado», aunque no estemos calculando ninguna superficie. Lo mismo pasa con la expresión «elevar al cubo», aunque en este caso los griegos se referían al volumen de un cubo. En el año 2779 a.C. comienza en Egipto el dominio de las aritméticas, partiendo por un descubrimiento que hasta los griegos más primitivos dieron por sentado, la raíz cuadrada de 2 o la diagonal del cuadrado perfecto para el trazado de la base de las pirámides . POTENCIACIÓN Es la representación simplificada de una multiplicación donde todos los factores son iguales. La potenciación consiste en multiplicar un número por si mismo varias veces. EJEMPLOS: * 3125=5×5×5×5×5=55....es una potencia perfecta de grado 5 * 729=9×9×9=93.......es una potencia perfecta de grado 3. * 729=32×32×32=36......es una potencia perfecta de grado 6. * 729=27×27=272.....es una potencia perfecta de grado 2. EN GENERAL: + n + n veces n P = K K K .... K = K ;  K         Donde: K es la base n es el exponente P es la potencia perfecta de grado n EJEMPLOS : * 25 = 2×2×2×2×2 = 32 2 es la base 5 es el exponente 32 es la quinta potencia de 2 o potencia de grado 5 de 2. * 132 = 13×13 = 169 13 es la base 2 es el exponente 169 es la segunda potencia de 13 ó cuadrado de 13. AMPLIACIÓN DE LA DEFINICIÓN : Se aceptará que a1 =a para todo número real a. 3 EJEMPLO: 71 = 7= 7 * Se aceptará que a0 = 1 para todo número real a diferente de cero. EJEMPLO: * 50=1 * De la definición: 1n = 1 para todo número n 15=1×1×1×1×1=1 12004 = 1 * Se aceptará que: para todo número n diferente de cero. 07=0 02010=0 ORIGEN DE LOS CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS I) Si: k×k=k2  se forma un cuadrado perfecto. II) Si: k×k×k=k3  se forma un cubo perfecto. CUADRADOS PERFECTOS Diremos que un número N es cuadrado perfecto. sí y sólo sí. N proviene de elevar al cuadrado un número racional. EJEMPLO: * 169 es un cuadrado perfecto porque: 169 = 132 * 0,09 es un cuadrado perfecto porque: 0,09 = (0,3)2 * 0 es un cuadrado perfecto porque: 0=02 2 no es un cuadrado perfecto porque aunque: ( )2 2 = 2 , pero 2 Ï Nota: En la mayoría de problemas, cuando se refieran a un cuadrado perfecto, generalmente se refieren a los enteros positivos cuadrados perfectos. REPRESENTACIÓN: Si N es un entero positivo cuadrado perfecto. escribiremos: N = K2 donde K es un entero diferente de cero. Los primeros cuadrados perfectos enteros positivos provienen de: 12 ; 22 ; 32 ; 42 ; 52 .................y serían: 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ;64; 81 ;225; 256; 289; 324: 361; 400;...................... Como podemos observar los enteros positivos que son cuadrados perfectos sólo pueden acabar en las cifras: 1 ; 4 ; 9 ; 6 ; 5 ó 0. Por lo tanto ningún cuadrado perfecto puede acabar en 2, ni en 3; ni en 7, ni en 8. CONDICIÓN: Para que un número entero positivo sea cuadrado perfecto , es necesario y suficiente que al descomponerlo canónicamente (producto de potencias de factores primos), todos los exponentes respectivos sean PARES (múltiplos de 2) . Sea: N=a  b  c  ...... x ...(descomposición canónica) Si ‘‘N’’ es CUADRADO PERFECTO, entonces:  ; ; : ........ Son pares. EJEMPLOS: * N = 480× 30. descompuesto canónicamente se tiene: N=26×32×52 Como se ve todos los exponentes de los factores primos son pares. Luego: N es cuadrado perfecto. * M = 10!, descompuesto canónicamente se tiene: M = 28×34 ×52×71 Como se ve no todos los exponentes de los factores primos son pares. Luego: M no es cuadrado perfecto. PROPIEDAD : N =K2 ÛCantidad de divisores positivos de N es impar . CUBOS PERFECTOS Diremos que un número N es un cubo perfecto, si y solo sí, N proviene de elevar al cubo, un número racional. EJEMPLOS: * 343 es un cubo perfecto porque:343 = 73 = 7×7×7 * 0,008 es un cubo perfecto porque: 0,008 = (0,2)3 * 0 es cubo perfecto porque: 0=03 * (– 64) es cubo perfecto porque: (–64) = (– 4)3 Nota: En la mayoría de casos , cuando hablan de cubos perfectos se están refiriendo a enteros positivos cubos perfectos. REPRESENTACIÓN : Si N es un entero positivo que es cubo perfecto, escribiremos: N = K3 donde K es un entero positivo diferente de cero. Los primeros enteros positivos que son cubos perfectos provienen de: 4 13 ; 23 ; 33 ; 43 ; etc. y son: 1 : 8 ; 27: 64 ; 125; 216; 343; 512; 729 ; 1000; .... 1331 ; 1728; ..... Como podemos observar los cubos perfectos pueden acabar en cualquier cifra. (No podemos excluir por la cifra final) CONDICIÓN : Para que un número entero positivo sea cubo perfecto es necesario y suficiente que al descomponerlo canónicamente,todos los exponentes sean o3 (múltiplos de 3). Sea: N=a  b  c  ...... x Si ‘‘N’’ es CUBO PERFECTO entonces: ; ; ..... Son múltiplos de 3. EJEMPLOS: * Si N = 3602×45 Descompuesto en su forma de factores primos (canónicamente). N = (23 ×32× 5)2×(32 ×5) = 26 ×34 ×52 × 32 × 5 = 26 ×36×53 Como todos los exponentes son múltiplos de 3. entonces: N es cubo perfecto. * M = 15! Descompuesto canónicamente: M = 211 ×36 ×53×72 ×11 ×13 Como no todos los exponentes son o3 ,Mno es cubo perfecto. ¿Por cuánto se debería multiplicar a 15!, como mínimo, para que el resultado sea cubo perfecto? Por: 2×7×112 ×132 = 286286 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CUADRADOS y CUBOS PERFECTOS I) Sea: N=a  b  c  ...... x ...(descomposición canónica) Si ‘‘N’’ es CUADRADO PERFECTO, entonces:  ; ; : ........ Son pares. II) Sea: N=a  b  c  ...... x Si ‘‘N’’ es CUBO PERFECTO entonces:  ; ; ..... Son múltiplos de 3. EJEMPLOS: N= 36×53×79 como 6, 3 y 9 son 3  , entonces N es una potencia perfecta de grado 3. 2 3 esuna potencia perfecta de grado 2 esuna potencia perfecta de grado 3 * 8 M=8 8=64...... * 4      * 64 es una potencia de grado 6(26=64) CARACTERÍSTICAS DE EXCLUSIÓN DE NÚMEROS CUADRADOS PERFECTOS 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 =1 6 =36 2 =4 7 =49 3 = 9 8 =64 4 =16 9 =81 5 =25 10 =100 I) El cuadrado de un número termina en el cuadrado de la cifra de sus unidades. II) Todo número que termina en 1; 4; 6 ó 9 puede ser cuadrado perfecto. Se deduce que si un número termino en 2; 3; 7 u 8 no es cuadrado perfecto. POR EJEMPLO : De los siguientes números : (I) 253762 ; (II) 514384 ; (III) 519637 ; (IV) 5180048 ; (V) 6143723 ; (VI) 516325 no son cuadrados perfectos (I) ; (III) ; (IV) ; y (V) Pueden ser cuadrados perfectos: (II) y (VI). III) Si un número termina en 5, puede ser cuadrado perfecto siempre y cuando la cifra de sus decenas sea 2 y el total de sus centenas sea el producto de 2 números consecutivos. Si: abcd5=k2 , entonces: d=2 y abc=n(n+1) es decir: c=0; 2 ó 6 Si un número entero positivo termina en 5, pero su cifra de decenas no es 2 o su cifra de tercer orden no es: 0 ; 2 ó 6, entonces dicho número no es cuadrado perfecto. Esto se deduce del análisis del cuadrado de todo número terminado en 5. Luego el cuadrado de un número terminado en 5, siempre termina en 25. IV) Todo número que termina en una cantidad par de ceros puede ser cuadrado perfecto, siempre y cuando la cifras que lo acompañan formen un número cuadrado perfecto. Si: abcd0000=K2  abcd es cuadrado perfecto. 5 Si un número termina en un número impar de ceros, no es cuadrado perfecto. Esto se sabe porque el cuadrado de un número que termina en «n» ceros terminará en (2n) ceros. Así: 902 = 8100 12002 = 1440000 Pero 36000 no es cuadrado perfecto porque termina en tres ceros V) Todo cuadrado perfecto es de la forma 4 ó 4 + 1   VI) Si un número entero positivo es divisible por un número primo «p» pero no es divisible por p2 , no es cuadrado perfecto. Esto es debido a que en su descomposición en factores primos, el número contendría el factor primo «p» elevado a la uno (impar). EJEMPLO: N = 25874 no es cuadrado perfecto Porque N = o2 (termina en 4) pero N no es o o ( 22 ) = 4 porque 74 no es 4 . VII) Si un número impar , al dividirlo entre 4 no deja residuo 1, no es cuadrado perfecto. Esto es debido a que si un impar: (2n–1) se eleva al cuadrado, da (2n –1)2 = 4n2–4n + 1 = o4 + 1 Luego todos los, impares cuadrados perfectos son o4 + 1. MAS EJEMPLOS : * 7822 .......... No es cuadrado perfecto porque termina en 2 * 4225 ....... Sí es cuadrado perfecto * 3600000 .... No es cuadrado perfecto porque tiene 5 ceros (impar) * 14400 ......... Sí es cuadrado perfecto * N=240000 no es K2 porque, si bien es cierto terminó en 4 ceros (cantidad par), pero 24 no es cuadrado perfecto. * N= ab925 no es cuadrado perfecto porque termina en 5, la cifra de decenas es 2 , pero su cifra de centenas es 9. (y debe ser: 0; 2 ó 6) * Si N=9ab5 es cuadrado perfecto entonces b=2, además es el resultado de dos números consecutivos, luego a=0 porque 90=9×10. OBSERVACIÓN: ‘‘Si un cuadrado perfecto es 2  , entonces deber ser 4  ; y 3  entonces debe ser 9  . EJEMPLO: El número N= 627501 no es cuadrado perfecto, porque es 3  pero no es 9  (se concluyó esto con la suma de las cifras que es 21) ALGUNAS CURIOSIDADES SOBRE LAS CIFRAS DE LOS CUADRADOS PERFECTOS I) Si los enteros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... , se elevan al cuadrado 0 , 1, 4, 9, 16, 25, 36,49,64,81,100 121, 144, 169, 196 , ... se observa la siguiente ley: La cifra de las unidades de estos cuadrados forman un período simétrico. 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1,0, 1, 4, 9, 6, 5, .... con cifras iguales con relación a 5 o a 0. II) Las dos últimas cifras de los cuadrados consecutivos forman un período de 51 números 00, 01, 04, 09, 16, ... ,76, 25, 76,...,16, 09, 04,01,00 simétricos con relación a 25 o a 00. Esta observación se extiende indefinidamente. Las tres últimas cifras de los cuadrados perfectos consecutivos forman un período de 501 números. Las cuatro últimas, forman un período de 2501 números, etc. III) Hay algunos cuadrados que están escritos con cifras todas diferentes. EJEMPLO: 132 = 169 10272= 1054729 362 = 1296 69012= 47623801 2862 = 81796 101242 = 102495376 3222 = 103684 320432 =1026753849 IV) Los pares de cuadrados perfectos: 144 y 441 ; 169 y 961 ; 14884 y 48841 y sus respectivas raíces: 12 y 21 ; 13 y 31 ; 122 y 221, están formados por las mismas cifras, pero escritas en orden inverso. El matemático Thébault investigó los pares que tienen esta curiosa propiedad encontró por ejemplo la siguiente pareja: 11132= 1 238 769 y 31112=9 678 321 6 V) Srinivasa Ramanujan fue un joven matemático hindú (murió de tuberculosis a los 33 años, en 1920), dotado de una gran intuición y de una gran capacidad de cálculo mental. Se cuenta de él que, estando enfermo, fue visitado por otro gran matemático inglés, Hardy, quien le manifestó que había llegado al hospital en un taxi cuya placa era 1729, “un número más bien insípido que esperaba no le fuera de mal agüero”. A lo que Ramanujan respondió: “No. Es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como suma de dos cubos, de dos maneras diferentes”. Disfrácese de hindú y responda: ¿Cuáles son esas dos parejas de números tales que la suma de sus cubos es 1729? CARACTERES DE EXCLUSIÓN DE NÚMEROS CUBOS PERFECTOS 1o) Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 = 1 6 = 216 2 = 8 7 = 343 3 = 27 8 = 512 4 = 64 9 = 729 5 = 125 10 = 1000 2°) Un número que termina en ceros , para que sea cubo perfecto tiene que tener una cantidad de ceros múltiplos de tres y que el número que acompañe deber ser cubo perfecto. Es decir si un número termina en un número de ceros que no es múltiplo de tres entonces dicho número no es cubo perfecto. EJEMPLO: 3 (K ) (Cantidad de ceros 3 ) 343 000000  203 = 8000 7003 = 343000 000 270000 no es cubo perfecto porque termina en cuatro ceros. 3o) Si un número es cubo perfecto y termina en 5, entonces la cifra de sus decenas debe ser 2 ó 7. Si: abc5=K3 entonces c 2 ó 7 4o) Todo cubo perfecto será siempre: 9 ó ( 9+1) ó ( 9  1)    5o) Si un cubo es 2  entonces deber ser 8  6o) Si un númeroNes divisible por un número primo «p» , pero no es , divisible por p3 ... entonces N no es cubo perfecto. MÁS EJEMPLOS: * N=1331000 es K3porque termina en 3 ceros y 1331 es un cubo perfecto. * N=abc75 podría ser cubo perfecto, porque al terminar en 5, su cifra de decenas es 7. * El número N=abc512 podría ser un cubo perfecto porque es 2  y también es 8  (se dedujo esto con las tres últimas cifras) OBSERVACIÓN: * Recordar que según su última cifra de un número, se obtendrá: K K2 K3 ..0 ..0 ..0 ..1 ..1 ..1 .. 2 ..4 ..8 ..3 ..9 ..7 ..4 ..6 ..4 ..5 ..5 ..5 ..6 ..6 ..6 ..7 ..9 ..3 ..8 ..4 ..2 ..9 ..1 ..9 * Si un número termina en 2; 3; 7 ó 8 no es cuadrado perfecto, en los demás casos tiene la posibilidad de ser un cuadrado perfecto. *Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra. EJEMPLOS: I) ¿Cuáles de los siguientes números tienen la posibilidad de ser cuadrado perfecto?     abc1 ......... si mn2 .........no abc31 ......... si mn25 ......... si  abba8 .........No  abcd7 .........No II) ¿Cuáles de los siguientes numerales son cuadrado perfectos? * 121000000 ................... Si * 51200000000 ................... No * 3430000 .................... No * 14400000 .................... No * 132250000 .................... No 7 III) ¿Cuáles de los siguientes numerales son cubos perfectos? * 133100000 .................. No * 729000 ................... Si * 441000000 .................. No * 1250000 .................. No * 216000000000 ...................Si
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