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POTENCIACIÓN ARITMÉTICA - CONCEPTOS BÁSICOS - ARITMÉTICA RUBIÑOS PDF

OBJETIVOS: Al finalizar el presenle capítulo , el lector estará en la capacidad de:
* Reconocer cuando un número es una potencia perfecta de grado n .
* Deducir los criterios de inclusión y exclusión de los cuadrados y cubos perfectos.
* Diferenciar cuadrados y cubos perfectos de un conjunto de números.

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INTRODUCCIÓN:
Los babilónicos ya habían conocidomuy bien la tabla
de los cuadrados de los números, tal como lo prueba
la tabla de los cuadrados hallados por los
arqueólogos a orillas del Eufrates, en un lugar donde
existió un templo.
Nuestras actividades diarias, comerciales, laborales
y educativas, están relacionadas a las cantidades
por ende a los números, sus operaciones y métodos
para realizar ciertos cálculos.
En dicho cálculo, se consideran también; determinar
el valor de un número elevado a un exponente dado,
el cual en la actualidad lo pueden realizar las
calculadoras, así como calcular la raíz cuadrada o
raíz cúbica de un número. En este capítulo vamos a
conocer aspectos básicos de estos cálculos y formas
prácticas para resolver problemas.
Cuando los antiguos griegos multiplicaban un
número por sí mismo lo hacían únicamente para
calcular la superficie de un cuadrado cuyo lado
midiese la cantidad indicada por dicho número. Por
eso hoy , cuando multiplicamos un número por sí
mismo , decimos que lo elevamos «al cuadrado»,
aunque no estemos calculando ninguna superficie.
Lo mismo pasa con la expresión «elevar al cubo»,
aunque en este caso los griegos se referían al
volumen de un cubo.
En el año 2779 a.C. comienza en Egipto el dominio
de las aritméticas, partiendo por un descubrimiento
que hasta los griegos más primitivos dieron por
sentado, la raíz cuadrada de 2 o la diagonal del
cuadrado perfecto para el trazado de la base de las
pirámides .
POTENCIACIÓN
Es la representación simplificada de una
multiplicación donde todos los factores son iguales.
La potenciación consiste en multiplicar un número
por si mismo varias veces.
EJEMPLOS:
* 3125=5×5×5×5×5=55....es una potencia perfecta
de grado 5
* 729=9×9×9=93.......es una potencia perfecta de
grado 3.
* 729=32×32×32=36......es una potencia perfecta de
grado 6.
* 729=27×27=272.....es una potencia perfecta de
grado 2.
EN GENERAL:
+
n
+
n veces
n
P = K K K .... K = K ;
 K



   

Donde: K es la base
n es el exponente
P es la potencia perfecta de grado n
EJEMPLOS :
* 25 = 2×2×2×2×2 = 32
2 es la base
5 es el exponente
32 es la quinta potencia de 2 o potencia de grado 5
de 2.
* 132 = 13×13 = 169
13 es la base
2 es el exponente
169 es la segunda potencia de 13 ó cuadrado de 13.
AMPLIACIÓN DE LA DEFINICIÓN :
Se aceptará que a1 =a para todo número real a.
3
EJEMPLO:
71 = 7= 7
* Se aceptará que a0 = 1 para todo número real a
diferente de cero.
EJEMPLO:
* 50=1
* De la definición: 1n = 1 para todo número n
15=1×1×1×1×1=1 12004 = 1
* Se aceptará que: para todo número n diferente de
cero.
07=0 02010=0
ORIGEN DE LOS CUADRADOS Y CUBOS
PERFECTOS
I) Si: k×k=k2  se forma un cuadrado perfecto.
II) Si: k×k×k=k3  se forma un cubo perfecto.
CUADRADOS PERFECTOS
Diremos que un número N es cuadrado perfecto. sí
y sólo sí. N proviene de elevar al cuadrado un
número racional.
EJEMPLO:
* 169 es un cuadrado perfecto porque: 169 = 132
* 0,09 es un cuadrado perfecto porque: 0,09 = (0,3)2
* 0 es un cuadrado perfecto porque: 0=02
2 no es un cuadrado perfecto porque aunque:
( )2
2 = 2 , pero 2 Ï
Nota: En la mayoría de problemas, cuando se
refieran a un cuadrado perfecto, generalmente se
refieren a los enteros positivos cuadrados perfectos.
REPRESENTACIÓN:
Si N es un entero positivo cuadrado perfecto.
escribiremos:
N = K2 donde K es un entero diferente de cero.
Los primeros cuadrados perfectos enteros positivos
provienen de:
12 ; 22 ; 32 ; 42 ; 52
.................y serían:
1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ;64; 81 ;225; 256; 289;
324: 361; 400;......................
Como podemos observar los enteros positivos que
son cuadrados perfectos sólo pueden acabar en las
cifras: 1 ; 4 ; 9 ; 6 ; 5 ó 0. Por lo tanto ningún
cuadrado perfecto puede acabar en 2, ni en 3; ni en
7, ni en 8.
CONDICIÓN:
Para que un número entero positivo sea cuadrado
perfecto , es necesario y suficiente que al
descomponerlo canónicamente (producto de
potencias de factores primos), todos los exponentes
respectivos sean PARES (múltiplos de 2) .
Sea: N=a  b  c  ...... x ...(descomposición canónica)
Si ‘‘N’’ es CUADRADO PERFECTO, entonces:
 ; ; : ........ Son pares.
EJEMPLOS:
* N = 480× 30. descompuesto canónicamente se
tiene: N=26×32×52
Como se ve todos los exponentes de los factores
primos son pares.
Luego: N es cuadrado perfecto.
* M = 10!, descompuesto canónicamente se tiene:
M = 28×34 ×52×71
Como se ve no todos los exponentes de los factores
primos son pares.
Luego: M no es cuadrado perfecto.
PROPIEDAD :
N =K2 ÛCantidad de divisores positivos de N es
impar .
CUBOS PERFECTOS
Diremos que un número N es un cubo perfecto, si y
solo sí, N proviene de elevar al cubo, un número
racional.
EJEMPLOS:
* 343 es un cubo perfecto porque:343 = 73 = 7×7×7
* 0,008 es un cubo perfecto porque: 0,008 = (0,2)3
* 0 es cubo perfecto porque: 0=03
* (– 64) es cubo perfecto porque: (–64) = (– 4)3
Nota: En la mayoría de casos , cuando hablan de
cubos perfectos se están refiriendo a enteros
positivos cubos perfectos.
REPRESENTACIÓN :
Si N es un entero positivo que es cubo perfecto,
escribiremos:
N = K3 donde K es un entero positivo diferente de
cero.
Los primeros enteros positivos que son cubos
perfectos provienen de:
4
13 ; 23 ; 33 ; 43 ; etc. y son:
1 : 8 ; 27: 64 ; 125; 216; 343; 512; 729 ; 1000; ....
1331 ; 1728; .....
Como podemos observar los cubos perfectos pueden
acabar en cualquier cifra. (No podemos excluir por
la cifra final)
CONDICIÓN :
Para que un número entero positivo sea cubo perfecto
es necesario y suficiente que al descomponerlo
canónicamente,todos los exponentes sean
o3
(múltiplos de 3).
Sea: N=a  b  c  ...... x
Si ‘‘N’’ es CUBO PERFECTO entonces: ; ; .....
Son múltiplos de 3.
EJEMPLOS:
* Si N = 3602×45
Descompuesto en su forma de factores primos
(canónicamente).
N = (23 ×32× 5)2×(32 ×5) = 26 ×34 ×52 × 32 × 5
= 26 ×36×53 Como todos los exponentes son
múltiplos de 3. entonces: N es cubo perfecto.
* M = 15!
Descompuesto canónicamente:
M = 211 ×36 ×53×72 ×11 ×13
Como no todos los exponentes son o3
,Mno es cubo
perfecto.
¿Por cuánto se debería multiplicar a 15!, como
mínimo, para que el resultado sea cubo perfecto?
Por: 2×7×112 ×132 = 286286
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE
CUADRADOS y CUBOS PERFECTOS
I) Sea: N=a  b  c  ...... x ...(descomposición canónica)
Si ‘‘N’’ es CUADRADO PERFECTO, entonces:
 ; ; : ........ Son pares.
II) Sea: N=a  b  c  ...... x
Si ‘‘N’’ es CUBO PERFECTO entonces:
 ; ; ..... Son múltiplos de 3.
EJEMPLOS:
N= 36×53×79 como 6, 3 y 9 son 3

, entonces N es
una potencia perfecta de grado 3.
2
3
esuna potencia
perfecta de grado 2
esuna potencia
perfecta de grado 3
* 8
M=8 8=64......
* 4

 


* 64 es una potencia de grado 6(26=64)
CARACTERÍSTICAS DE EXCLUSIÓN
DE NÚMEROS CUADRADOS
PERFECTOS
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 =1 6 =36
2 =4 7 =49
3 = 9 8 =64
4 =16 9 =81
5 =25 10 =100
I) El cuadrado de un número termina en el cuadrado
de la cifra de sus unidades.
II) Todo número que termina en 1; 4; 6 ó 9 puede
ser cuadrado perfecto. Se deduce que si un número
termino en 2; 3; 7 u 8 no es cuadrado perfecto.
POR EJEMPLO :
De los siguientes números :
(I) 253762 ; (II) 514384 ; (III) 519637
; (IV) 5180048 ; (V) 6143723 ; (VI) 516325
no son cuadrados perfectos (I) ; (III) ; (IV) ; y (V)
Pueden ser cuadrados perfectos: (II) y (VI).
III) Si un número termina en 5, puede ser cuadrado
perfecto siempre y cuando la cifra de sus decenas
sea 2 y el total de sus centenas sea el producto de 2
números consecutivos.
Si: abcd5=k2 , entonces: d=2 y abc=n(n+1) es
decir: c=0; 2 ó 6
Si un número entero positivo termina en 5, pero
su cifra de decenas no es 2 o su cifra de tercer
orden no es: 0 ; 2 ó 6, entonces dicho número no
es cuadrado perfecto.
Esto se deduce del análisis del cuadrado de todo
número terminado en 5.
Luego el cuadrado de un número terminado en 5,
siempre termina en 25.
IV) Todo número que termina en una cantidad par
de ceros puede ser cuadrado perfecto, siempre y
cuando la cifras que lo acompañan formen un
número cuadrado perfecto. Si:
abcd0000=K2  abcd es cuadrado perfecto.
5
Si un número termina en un número impar de ceros,
no es cuadrado perfecto.
Esto se sabe porque el cuadrado de un número que
termina en «n» ceros terminará en (2n) ceros.
Así: 902 = 8100
12002 = 1440000
Pero 36000 no es cuadrado perfecto porque termina
en tres ceros
V) Todo cuadrado perfecto es de la forma 4 ó 4 + 1
 
VI) Si un número entero positivo es divisible por
un número primo «p» pero no es divisible por p2 ,
no es cuadrado perfecto.
Esto es debido a que en su descomposición en
factores primos, el número contendría el factor
primo «p» elevado a la uno (impar).
EJEMPLO:
N = 25874 no es cuadrado perfecto
Porque N =
o2
(termina en 4) pero N no es
o o
( 22 ) = 4 porque 74 no es 4 .
VII) Si un número impar , al dividirlo entre 4 no
deja residuo 1, no es cuadrado perfecto.
Esto es debido a que si un impar: (2n–1) se eleva al
cuadrado, da (2n –1)2 = 4n2–4n + 1 =
o4
+ 1
Luego todos los, impares cuadrados perfectos son
o4
+ 1.
MAS EJEMPLOS :
* 7822 .......... No es cuadrado perfecto porque
termina en 2
* 4225 ....... Sí es cuadrado perfecto
* 3600000 .... No es cuadrado perfecto porque tiene
5 ceros (impar)
* 14400 ......... Sí es cuadrado perfecto
* N=240000 no es K2 porque, si bien es cierto
terminó en 4 ceros (cantidad par), pero 24 no es
cuadrado perfecto.
* N= ab925 no es cuadrado perfecto porque
termina en 5, la cifra de decenas es 2 , pero su cifra
de centenas es 9. (y debe ser: 0; 2 ó 6)
* Si N=9ab5 es cuadrado perfecto entonces b=2,
además es el resultado de dos números
consecutivos, luego a=0 porque 90=9×10.
OBSERVACIÓN:
‘‘Si un cuadrado perfecto es 2

, entonces deber ser
4

; y 3
 entonces debe ser 9

.
EJEMPLO:
El número N= 627501 no es cuadrado
perfecto, porque es 3
 pero no es 9

(se concluyó
esto con la suma de las cifras que es 21)
ALGUNAS CURIOSIDADES SOBRE LAS
CIFRAS DE LOS CUADRADOS PERFECTOS
I) Si los enteros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... , se elevan
al cuadrado 0 , 1, 4, 9, 16, 25, 36,49,64,81,100 121,
144, 169, 196 , ...
se observa la siguiente ley: La cifra de las unidades
de estos cuadrados forman un período simétrico.
0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1,0, 1, 4, 9, 6, 5, ....
con cifras iguales con relación a 5 o a 0.
II) Las dos últimas cifras de los cuadrados
consecutivos forman un período de 51 números
00, 01, 04, 09, 16, ... ,76, 25, 76,...,16, 09, 04,01,00
simétricos con relación a 25 o a 00.
Esta observación se extiende indefinidamente. Las
tres últimas cifras de los cuadrados perfectos
consecutivos forman un período de 501 números.
Las cuatro últimas, forman un período de 2501
números, etc.
III) Hay algunos cuadrados que están escritos con
cifras todas diferentes.
EJEMPLO:
132 = 169 10272= 1054729
362 = 1296 69012= 47623801
2862 = 81796 101242 = 102495376
3222 = 103684 320432 =1026753849
IV) Los pares de cuadrados perfectos:
144 y 441 ; 169 y 961 ; 14884 y 48841
y sus respectivas raíces: 12 y 21 ; 13 y 31 ; 122 y
221, están formados por las mismas cifras, pero
escritas en orden inverso.
El matemático Thébault investigó los pares que
tienen esta curiosa propiedad encontró por ejemplo
la siguiente pareja:
11132= 1 238 769 y 31112=9 678 321
6
V) Srinivasa Ramanujan fue un joven matemático
hindú (murió de tuberculosis a los 33 años, en
1920), dotado de una gran intuición y de una gran
capacidad de cálculo mental. Se cuenta de él que,
estando enfermo, fue visitado por otro gran
matemático inglés, Hardy, quien le manifestó que
había llegado al hospital en un taxi cuya placa era
1729, “un número más bien insípido que esperaba
no le fuera de mal agüero”. A lo que Ramanujan
respondió: “No. Es un número muy interesante. Es
el número más pequeño que se puede expresar como
suma de dos cubos, de dos maneras diferentes”.
Disfrácese de hindú y responda: ¿Cuáles son esas
dos parejas de números tales que la suma de sus
cubos es 1729?
CARACTERES DE EXCLUSIÓN DE
NÚMEROS CUBOS PERFECTOS
1o) Un cubo perfecto puede terminar en cualquier
cifra .
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
1 = 1 6 = 216
2 = 8 7 = 343
3 = 27 8 = 512
4 = 64 9 = 729
5 = 125 10 = 1000
2°) Un número que termina en ceros , para que sea
cubo perfecto tiene que tener una cantidad de ceros
múltiplos de tres y que el número que acompañe
deber ser cubo perfecto.
Es decir si un número termina en un número de
ceros que no es múltiplo de tres entonces dicho
número no es cubo perfecto.
EJEMPLO:
3
(K ) (Cantidad de ceros 3 )
343 000000

203 = 8000
7003 = 343000 000
270000 no es cubo perfecto porque termina en
cuatro ceros.
3o) Si un número es cubo perfecto y termina en 5,
entonces la cifra de sus decenas debe ser 2 ó 7. Si:
abc5=K3 entonces c 2 ó 7
4o) Todo cubo perfecto será siempre:
9 ó ( 9+1) ó ( 9  1)
  
5o) Si un cubo es 2

entonces deber ser 8

6o) Si un númeroNes divisible por un número primo
«p» , pero no es , divisible por p3 ... entonces N no
es cubo perfecto.
MÁS EJEMPLOS:
* N=1331000 es K3porque termina en 3 ceros y 1331
es un cubo perfecto.
* N=abc75 podría ser cubo perfecto, porque al
terminar en 5, su cifra de decenas es 7.
* El número N=abc512 podría ser un cubo
perfecto porque es 2

y también es 8

(se dedujo esto
con las tres últimas cifras)
OBSERVACIÓN:
* Recordar que según su última cifra de un número,
se obtendrá:
K K2 K3
..0 ..0 ..0
..1 ..1 ..1
.. 2 ..4 ..8
..3 ..9 ..7
..4 ..6 ..4
..5 ..5 ..5
..6 ..6 ..6
..7 ..9 ..3
..8 ..4 ..2
..9 ..1 ..9
* Si un número termina en 2; 3; 7 ó 8 no es
cuadrado perfecto, en los demás casos tiene la
posibilidad de ser un cuadrado perfecto.
*Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.
EJEMPLOS:
I) ¿Cuáles de los siguientes números tienen la
posibilidad de ser cuadrado perfecto?
 
 
abc1 ......... si mn2 .........no
abc31 ......... si mn25 ......... si
 abba8 .........No  abcd7 .........No
II) ¿Cuáles de los siguientes numerales son cuadrado
perfectos?
* 121000000 ................... Si
* 51200000000 ................... No
* 3430000 .................... No
* 14400000 .................... No
* 132250000 .................... No
7
III) ¿Cuáles de los siguientes numerales son cubos
perfectos?
* 133100000 .................. No
* 729000 ................... Si
* 441000000 .................. No
* 1250000 .................. No
* 216000000000 ...................Si