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DIVISIÓN ARITMÉTICA PROBLEMAS RESUELTOS - ARITMÉTICA RUBIÑOS PDF

OBJETIVOS :
* Reconocer los términos que intervienen en la operación de  división de números enteros.
* Aplicar las propiedades de la división  de números enteros positivos en la resolución de problemas.
*Resolver problemas básicos donde interviene la división.


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DIVISIÓN
Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos números enteros llamados dividendo y divisor  se obtiene un tercer número llamado cociente que nos indica  el número de veces que contiene el dividendo al divisor.

D : dividendo D d d : divisor r q q : cociente r : residuo  D= dq + r EJEMPLO : 104 11 99 9 5 divisor(d) Cociente (q) Residuo(r) Dividendo(D) DIVISIÓN ENTERA : Es aquella división donde todos sus términos son enteros , se clasifica en : I) DIVISION EXACTA : Cuando al agrupar las unidades no sobra ni falta unidades , es decir , se considera residuo cero. EJEMPLO : 48 12 0 4  48 = 12 ×4 EN GENERAL : D d 0 q  D = dq II) DIVISIÓN INEXACTA : Cuando al agrupar las unidades sobran o faltan unidades para formar un grupo más . *Cuando sobra unidades se dice que la división es inexacta por defecto. * Cuando falta unidades para formar un grupo más, se dice que la división es inexacta por exceso. EJEMPLO : por defecto por exceso 78 10 78 10 8 7 2 8 78=10×7+8 78=10×8  2 OBSERVACIONES : * Tanto el dividendo y el divisor en ambas divisiones son iguales. * El cociente por exceso , en una unidad más en el cociente por defecto. * Lo que sobra o falta unidades suman exactamente un grupo. 831 EN GENERAL : por defecto por exceso D d D d rd q re q+1 D=dq+r D=d(q+1) re d  Donde : rd : Residuo por defecto re : Residuo por exceso PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN INEXACTA I) (cero) < (residuo) < (divisor) residuo mínimo = 1 residuo máximo = (divisor) 1   II) residuo residuo + = (divisor) por defecto por exceso æç ö÷ æç ö÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ è ø è ø d e  r +r = d * Cuando la división es inexacta , y no se específica el tipo , se asume que es inexacta por defecto. LEYES FORMALES DE LA DIVISIÓN I) LEY DE UNIFORMIDAD : Si se dividen miembro a miembro dos igualdades (con la segunda igualdad diferente de cero), el resultado es otra igualdad , así : a = b c = d a = b c d ÷ II)LEY DEL INVERSO MULTIPLICATIVO : Para todo número N diferente de cero , existe uno y sólo un elemento denominado inverso multiplicativo denotado por N –1 ó 1 N tal que N× N1 = 1 III) LEY DISTRIBUTIVA : El cociente de una suma o resta entre un número es igual a la suma o resta los cocientes de cada uno de los términos entre el número dado. (a+b+c)÷n= a÷n+b÷n+c÷n ALTERACIONES DE LA DIVISION INEXACTA I)AL SUMAR UNIDADES AL DIVIDENDO : Al sumarle un cierto valor al dividendo , este mismo se le suma al residuo . Si el residuo que se obtiene es mayor o igual al divisor , se divide entre él , el cociente que se obtenga será el número de unidades que aumenta el cociente de la división inicial y el residuo que deja será el nuevo residuo de la división. EJEMPLO :   28 < 32 divisioninexcata r d 784 32 784+12 32 24 24 16 16+12    36 > 32 r d 784+20 32 24 16+20 * Luego : 784+20 32 24+1 4 * Cociente aumenta en 1 * Nuevo residuo : 4 II) AL MULTIPLICAR UNIDADES AL DIVIDENDO A) ALTERANDO EL DIVISOR : Si se multiplica al dividendo y al divisor por una cantidad , el cociente no varía y el residuo quedará multiplicado por la misma cantidad . EJEMPLO : 188 36 5 5 2 ×4 8 División inicial ×4 ×4 47 9 B) ALTERANDO EL COCIENTE : Si se multiplica al dividendo y al cociente por una misma cantidad el residuo quedará multiplicado por la misma cantidad , teniendo en cuenta las observaciones del caso (I) 832 EJEMPLO :   12 < 14 división inicial r d 115 14 115×4 14 8 8×4 3 3×4    27 14 1 13   27 > 14 r d 115×9 14 8×9 3×9 * Luego: * Cociente 8×9 aumentan en 1. * El nuevo residuo : 13 CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE La cantidad de cifras del cociente de dos números , puede ser como mínimo igual a la diferencia entre las cantidades de cifras del dividendo y divisor ; y como máximo la diferencia aumentada en una unidad. Q= A aB b cifras cifras  ¿Cuántas cifras como mínimo y como máximo puede tener ‘‘Q’’ ? máximo : a b+1 mínimo : a b   CUANDO EL NÚMERADOR Y DENOMINADOR TIENEN VARIOS FACTORES Primero se calcula la cantidad de cifras como máximo y como mínimo , tanto del númerador como denominador ,mediante la regla del producto . luego para hallar el máximo del cociente se compara el máximo del numerador con el mínimo del denominador , analogamente para hallar el mínimo del cociente se compara , el mínimo del numerador con el máximo del denominador , ambos mediante la determinación de la cantidad de un cociente. EJEMPLO : A , B y C tienen 12 ; 9 y 5 cifras respectivamente. ¿Cuántas cifras tiene E ? 2 3 4 A B E= C RESOLUCIÓN : 2 3 4 A B Máx : 2(12)+3(9)= 51 Mín : 51 (5 1)= 47 C Máx : 4(5)= 20 Mín : 20 (4 1)=17         PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1 : Al efectuar una división se obtiene 4 de cociente y 3 de residuo; al agregar 4 unidades al dividendo; el cociente aumenta en 1 y no queda residuo. Hallar el dividendo. A) 24 B) 32 C) 31 D) 43 E) 57 RESOLUCIÓN: * Del enunciado: 5  D d D= d 4+3 3 4 D+4 d D + 4= 5d 4d+3+4= 5d 7=5d 4d 7=d       * El dividendo es: D = d × 4 + 3  D = 7 × 4 + 3 = 31 RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 2 : Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta el cociente: 8 1 3 6      A) 21 B) 11 C) 31 D) 41 E) 71 RESOLUCIÓN: * Dato: I) 8 8 1 1 3 3 7 6 6                 * El divisor es mayor que el resto 6 además: *3 * = 6 7   * Luego: 8 3 7 7 = * * 1 1 3 1 7 7 6      * Entonces el cociente pedido será: 11 RPTA: “B” E= Máx : 51 17 +1=35 Mín : 47 20=27      833 PROBLEMA 3 : Al sumar dividendo y divisor resulta 21 veces el residuo y al restarlo resulta 11 veces el residuo, hallar el cociente. A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4 RESOLUCIÓN: * Del enunciado: D + d = 21R D – d = 11R 2D = 32R D = 16R d = 5R  + Ahora aplicamos: 16R = 5R.q + R 15R = 5R.q q = 3  * D=d× q+R RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 4 : Un número natural N se divide entre 15, por defecto y por exceso, observandose que: el resto por exceso es mínimo y el cociente por defecto igual a 3. Calcular la suma de cifras de N. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOLUCIÓN: * Dado que: d e e d d r + r = d r =1 r +1=15 r =14    Mínimo, es decir * Ahora N 15 N=3(15)+14=59 14 3  * Piden: 5+9=14 RPTA : “E” PROBLEMA 5 : Al dividir N entre 481 se obtuvo un cociente entero positivo que es la quinta parte del residuo. ¿Cuántos valores puede tomar N? A) 480 B) 95 C) 96 D) 192 E) más de 500 RESOLUCIÓN: * Formando la división: N 5q 481 q entero positivo residuo N=481q + 5q N=486q * Para saber cuantos valores toma N, es necesario saber cuantos valores toma q. * Como q entero positivo * Además residuo: 5q * Donde 0  5q