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ADICIÓN ARITMÉTICA - PROBLEMAS RESUELTOS DE SUMA - ARITMÉTICA RUBIÑOS PDF


OBJETIVOS :
.* Reconocer a la adición como operación binaria.

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* Reconocer los términos que intervienen en la adición de números enteros.
* Aplicar las propiedades de la adición , de números enteros , en la resolución de problemas.
* Resolver problemas básicos donde interviene la operación de adición.
OPERACIÓN BINARIA :
Se le denomina operación binaria en A ya que
relaciona dos elementos de dicho conjunto. Se
entienede que si m A  n A , entonces existe un
único p A tal que m* n= p
EJEMPLO :
La adición es una operación binaria , la cual es
representadamediante la ayuda del signo +y asigna
a cada pareja de elementos un tercer número como
resultado de la operación .
1 5 + 1+5
pareja de número asignado
elementos  como resultado
 
operación Si utilizamos el concepto de par ordenado , podemos expresar la noción anterior de la siguiente forma : (1; 5) (+) 1+5 par ordenado Resultado (considere el orden)   * Sin embargo es usual que la expresemos así: 1 5 = 6 Primer elemento Segundo Resultado elemento Operador elemento de la adición (+) En el caso de los sistemas de números , para respetar la terminología tradicional , usaremos simplemente la palabra «operación» en lugar de «operación binaria». ADICION Dado 2 ó más cantidades (sumandos) , la operación adición consiste en reunir dichas cantidades en una sola llamada suma , la cual tiene tantas unidades como todos los sumandos juntos . 8 + 6 + 1 = 15 sumandos suma total Al realizar la operación ADICIÓN de dos ó más sumandos se efectúa de la siguiente forma : 2 1 2 2 2 2 1 1 Los sumandos se colocan uno debajo del otro, haciendo coincidir las cifras de menor orden de cada sumando en una misma columna.Para hallar el resultado , se suma los valores de una misma columna de derecha a izquierda , colocando debajo de cada una , la cifra de menor orden del resultado obtenido y las cifras restantes (si hubiera) se suman a la siguiente columna. OBSERVACION : Una forma alternativa de sumar es como sigue en el siguiente ejemplo : 8 5 7 + 7 9 3 6 9 1 9 2 0 1 5 suma de unidades suma de centenas suma de decenas 1 7 1 9 Es recomendable este método cuando la suma de cada orden es mayor de 2 cifras . 3 LA ADICIÓN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN PROCEDIMIENTO : * Todos los sumandos deben estar en el mismo sistema. * Se suma como si estuviéramos en el sistema decimal el resultado se descompone en función de la base , es decir se divide entre la base. * El residuo que resulta de la división se coloca como cifra de la suma parcial y el cociente se lleva para añadirle a la siguiente columna y así sucesivamente hasta la ultima columna. EJEMPLO 1 : I) 2 + 4 + 3 = 9 = 1 × 5 + 4 9 5 4 1 se lleva se coloca II) 1 + 3 + 1+2=7=1×5+2 7 5 2 1 se lleva se coloca III) 1 +4+3+3=11=2×5+1 11 5 1 2 se lleva se coloca (5) (5) (5) (5) 4 3 2 + 3 1 4 3 2 3 2 1 2 4  EJEMPLO 2 :  (8) (8) (8) (8) (8) 2 4 5 6 + 3 4 3 2 5 3 2 7 2 6 5 3 1 6 3 1 2 I) 6 + 2 + 7+3=18=2 × 8 + 2 18 8 2 2 se lleva se coloca II) 2 + 5 + 3+2+5=17=2×8+1 17 8 1 2 se lleva se coloca III) 2 +4+4+3+6=19=2×8+3 19 8 3 2 se lleva se coloca 2+12=14=1×8+6 14 8 6 1 se lleva se coloca EJEMPLO 3 : (MÉTODO ALTERNATIVO) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) 5 3 4 3 + 4 5 5 3 5 4 4 3 3 2 4 16 2 3 15 1 5 11 1 (6) (6) (6) (6) (6) (6) 3 9 4 5 11 7 1 4 1 5 1 5 4 LEYES FORMALES DE LA ADICIÓN I) DE UNIFORMIDAD : Si se sumamiembro amiembro dos omás igualdades el resultado es otra igualdad. a = b m= n a+m= b+n + II) DE CLAUSURA O CERRADURA : La suma de dos o más números naturales es otro número natural. Si : {a ; b}    (a + b) III) CONMUTATIVA : El orden de los sumandos no altera la suma total. a + b = b + a IV) ASOCIATIVA : Dadas ciertas cantidades de sumandos la suma total también resulta al hacer grupos de sumandos. a + b + c = a+ (b+c) = (a+b) + c V) MODULATIVA : Existe uno y sólo un elemento llamado Módulo de la Adición o también Elemento Neutro Aditivo , que denota por 0 (cero) , tal que , para todo número ‘’n’’ se cumple que: 4 n   : n+ 0 = 0+ n= n Donde : 0 = Módulo de la Adición o Elemento Neutro Aditivo VI) DE MOTONOMÍA : A)Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido , resulta otra desigualdad del mismo sentido. * Así : b< y a+b< x+ y b> y a+b> x+ y + + B) Si se suman miembro a miembro desigualdades de sentido contrario, el resultado no puede anticiparse , pudiendo resultar una desigualdad o una igualdad. * Así : a < x b > y a + b ? x +y + No se puede predecir ADICIÓN DE NUMERALES EJEMPLO 1 : Hallar la suma de todos los números pares de 3 cifras que empiezan en cifra impar. RESOLUCIÓN : Si el número es de 3 cifras será de la forma abc donde a toma los valores 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 por ser cifras impares (según condición) como los números son pares entonces su cifra terminal , es decir c tomará valores pares 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 , y dado que no hay restricciones para la cifra central tomará todos los valores menores que 10. a b c 1 0 0 3 1 2 5 2 4 7 . 6 .. 9 9 8 5×10×5=250 números * Luego para calcular la suma de estos 250 números se procede del siguiente modo : En las unidades : Se divide la cantidad de números entre la cantidad de valores que toma la cifra de unidades y se multiplica por la suma de todos los valores que toma la cifra de sus unidades. En forma análoga se hace para las decenas , centenas etc, y luego se aplica una suma abreviada cuyo resultado final será efectivamente la suma de todos estos 250 numerales de esta forma. 250 U : (0+2+4+6+8)=1000 5 250 D : (0+1+2+3+...+9)=1125 10 250 C = (1+3+5+7+9)=1250 5 * Suma total : 1 0 0 0 + 11 2 5 1 2 5 0 1 3 7 2 5 0 EJEMPLO 2 : Determinar la suma de todos los números capicúas de 3 cifras que se pueden formar con las cifras 0;1; 3 ; 7 ; 8 y 9. RESOLUCIÓN : * Sean los números de la forma : aba a  0 Por ser ‘‘a’’ cifra signicativa a b a 0 1 1 3 3 7 7 8 8 9 9 6×5=30 números ↓ ↓ * Luego :     30 U : 1+3+7+8+9 =168 5 30 D : 0+1+3+7+8+9 =140 6 * Finalmente : Suma : 168+ Unidades total : 140 Decenas 168 Centenas Rpta : 18368    5 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1: Efectuar: 2+22+222+...+222222 A) 246812 B) 246802 C) 246902 D) 246912 E) 246822 RESOLUCIÓN: * Colocando en forma vertical: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 "6"Sumados 2 2 2 1 2 6 2 1 0 5 2 8 4 2 6 3          Apliquemos "un nuevo método 2 alternativo 4 2 2 2 2 4 6 9 1 2         RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 2: Hallar la suma de las dos últimas cifras de sumar 8+ 8 8 8 8 8 8 8 8 … 8 8 ... “8 sumandos” ... ... .... A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 1 RESOLUCIÓN: * Apliquemos el mismo método de resolución como en el problema anterior: 8+ 8 8 8 8 8 8 8 8 … 8 8 ... “8 sumandos” ... ... .... 8 × 8 6 4 8 × 7 5 6 ........... ............ 2 4 “Hacemos esto, porque sólo se nos pide las 2 últimas cifras” * Se desea : 2+4=6 RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 3 : Calcule la suma de las tres últimas cifras del resultado de: 8 cifras 8 cifras 8 cifras 8 cifras 111...1+222...2 +333...3 +...+999...9 A) 23 B) 20 C) 19 D) 18 E) 14 RESOLUCIÓN: * Colocando los números de 8 cifras verticalmente: 1 1 1 … 1 1 1 + 2 2 2 … 2 2 2 3 3 3 … 3 3 3 9 9 9 … 9 9 9 ..... .................... 45 ................... 9 9 5 ..... 4 5 ........... 4 5 1+2+3+....+8+9=45 .......... ........... ..... ..... ..... 4 4 .......... * Se desea la suma de cifras del resultado, la cual será : 9+9+5=23 RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 4: El siguiente cuadro contiene los datos de 3 salones y la cantidad de alumnos en cada uno de estos. Completa los recuadros vacíos y luego responde: 32 5 1 1° 2° 5° 40 3 62 7 6 72 Aprobados Desaprobados Retirados Total A) ¿Cuántos aprobados hay en los tres grados? B) ¿Cuántos desaprobados hay en los tres años? C) ¿Cuántos alumnos estudiaron en total en los tres años? D) ¿Cuántos alumnos terminaron el año escolar? E)¿Cuántos suman los aprobados en 5to. Y los desaprobados en 2 do.? RESOLUCIÓN: * El cuadro llenará, tomando en cuenta que la suma de la cantidad de aprobados, desaprobados y retirados , da el total, es decir : 32 5 1 38 1° 2° 5° 40 19 3 62 59 7 6 72 Aprobados Desaprobados Retirados Total 6 * Ahora respondamos las interrogantes : A) 32+40+59=131 B) 5+19+7=31 C) 38+62+72=172 D) 32+5+40+19+59+7=10 E) 59+19=78 PROBLEMA 5 : Si: aa+bb+ cc=275 , halle abca+bcab+cabc A) 23000 B) 20000 C) 27555 D) 27775 E) 27500 RESOLUCIÓN: * Colocando los datos de forma vertical : aa bb cc 275 + * Al sumar verticalmente la primera columna se tiene que : a+b+c= 5 15 25 * Luego la segunda columna a+b+c sumado al número que se había llevado debe ser : 27  a+b+c=25 * Sumado cada columna: abca+ bcab cabc 27775 * Finalmente se observa que el resultado es 27775. RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 6 : Si : aaa+bbb+ccc=2664 Además a  b  c Calcular : a×b×c A ) 504 B) 720 C) 120 D) 72 E) 84 RESOLUCIÓN: * Colocando verticalmente: De las unidades : De la centenas : a a a+ b b b a + b + c = x4 ........................(I) c c c a + b + c = 2y .........................(II) 2 6 6 4      * De (I) y (II), se deduce que : a+b+c=24 * Luego al buscar y tantear 3 cifras diferentes que sumen 24, encontraremos que son: 7; 8 y 9 * Piden: 7×8×9=504 RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 7 : Suma los números de los recuadros: 3 7 + 1 2 3 1 0 6 4 0 1    A) 13 B) 12 C) 14 D) 11 E) 10 RESOLUCIÓN: * Al sumar las unidades : 7 + 3 + + 4=2 1 Se lleva  =7 * En las decenas : 2 + + 2 + 0 + 6 = 1 0 Se lleva  =0 * Finalmente en las centenas : 1 + 3 + 1 + 1=  = 6 * Se pide : 7+0+6=13 RPTA : “A” PROBLEMA 8 : Al sumar : 9 4 7 6 + 6 7 5 4 6 1 9 5        Calcular la suma de las cifras halladas. A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) 38 RESOLUCIÓN: * De las unidades : 6+ = 1 5  llevo 9 * Del 2do orden : 1+7+5=1 3 llevamos * Del 3er orden : 1+4+4=9 * Del 4to orden : 9 + 2 = 1 1 llevamos * Del 5to orden : 1 + 8 + 7 = 1 6 llevamos * Del 6to orden : 1 + 7 + 6 = 1 4 * Se pide : 9+3+4+2+8+7+1=34 RPTA : “A”