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PROBLEMA 1: Usando las leyes lógicas simplificar la siguiente fórmula lógica:

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 ( p® q)« (q® p) A) p B)q C) pÙ q D)pÚ q E) p« q RESOLUCIÓN: * Recuerde que: p  q   p  q   p q  p  q * Luego: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) } { ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) p q q p p q q p p q q p p q q p p q q p p q q p p q q p p q q p p q q p q p p q q p p q p q ® « ® º ® « ® º Ú « Ú º éë Ú Ú Ú ùû Ù éë Ú Ú Ú ùû º éë Ù Ú Ú ùû Ù éë Ú Ú Ù ùû º éê Ù Ú Ú ùú Ù éê Ú Ú Ù ùú ë û ë û º éë Ú ùû Ù éë Ú ùû º ® Ù ® º «                     RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 2: Expresar la siguiente proposición: (p  q) (r  s) en otra equivalente donde se use los conectivos: '' '' y ''  '' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A) p q r s B) p q r s C) p q r s D) p q r s E) p q r s ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®         RESOLUCIÓN: * Teniendo en cuenta que: p® q º pÚ q * Se tiene:                 p q r s p q r s p q r s p q r s                       RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 3: Al simplificar la siguiente proposición compuesta: éë p®( p® q)ùû Ú éêëéë pÙ( p® q)® pùûùúû se obtiene: A) p B) q C) V D) F E) q RESOLUCIÓN: * Lo equivalente, será:            p p q p p q p p p q p p p q p                               ( ) ( ( )) [ ] ( ) p q p p q F p q p p p q p Ù é ù é ù ê ú é ù º ë Ú Ù û Ú ê Ú Ù ® ú º Ú ë Ù ® û ê ú êë úû   * Pues: p  (p  q)  p       pues   =p p q p =p p q p =p V q ; p p=V p V =V                     RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 4: Usando las leyes lógicas simplificar la siguiente fórmula lógica:  q  p   p q   p q A) p  q B) p  q C) ( p  q) D) p  q E) p  q RESOLUCIÓN: * Lo equivalente, será:                                 p q q p p q p q q p p q p q q p p q p q p q p q p q p q = p q p q                                                                RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 5: Usando las leyes lógicas simplificar la siguiente fórmula lógica: ( p® q)Ù éë(q® p)Ú(q® r)ùû A) p  q B) p q C) p  r D)q  r E) q  r RESOLUCIÓN: * Lo equivalente será:   p  q   q  p   q  r * Como: m m n  m, se tiene:         p q p q q r p q                   RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 7: Usando las leyes lógicas simplificar la siguiente fórmula lógica: (p  q) p  (p q) (p q)  (p q)  (p  q) A) p B)q C) pÙ q D) pÚ q E) p RESOLUCIÓN: * Lo equivalente, será: 478                F p p p q p q p q q p p q p q p p                            * Pues: (m n) m  m RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 8: Al simplificar la siguiente proposición compuesta:  p q  r   p q   r   p  q  r se obtiene: A) p B) q C) r D) V E) F RESOLUCIÓN: * Nótese que:           p q r p q r p q r p q r p q r                        * Luego lo equivalente a la expresión dada será:             t t p q r p q r p q r p q r t t F=F                                         RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 9: Al simplificar la siguiente proposición compuesta:   q  p    p  q   p  q se obtiene: A) p  q B) p  q C)  p  q D) p  q RESOLUCIÓN: * Lo equivalente, será:                    q p p q p q q p p q p q q p p q) p q                                          p  q   p   q * Pues: (q Ú p)Ù p = p         p q p q p q p q                   RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 10: Si # es un operador lógico definido por: p#q   p  r  p  pq  ( p  p) Entonces p#q es equivalente a: A) p B)q C) p  q D) p E) q RESOLUCIÓN: * Dado que:              F F p# q= p r p p q p p p#q= p r p p F p#q= p p F= p F p#q=p                          RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 11: Si  es un conectivo lógico definido mediante: p  q= p  q    p  q   p  q entonces al simplificar la siguiente fórmula lógica:  p  q   p  q  q  q   p  q se obtiene: A) p  q B) p  q C) p D) p  q RESOLUCIÓN:                              V V p q p q p q p q p q p q p q p q q q p q p q p q q q p q q q p q q q p V q p q                                                    *Como : *Entonces : *Luego : RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 12: Se definen los operadores lógicos ''*'' y '''' mediante: p * q= p  q p q= p  q entonces simplifcar la fórmula lógica:  q p *  pq se obtiene: A) p B)q C) p  q D) p  q E)V RESOLUCIÓN: * De: p* q p q q p p q p q           * Luego:                                 V q p * p q q p * p q q p * p q p q q p p q q p p q q p p q q p p q q q p                                                        479       V p q p p p q p p q V q V                    RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 13: Dada la siguiente fórmula lógica: S: (r  p) ( q  r) indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) Si p y q son verdaderas, para que S sea verdadera el valor de verdad de r siempre es F. II)Si r es falsa y S es falsa, entonces q es F. III)Si r es verdadera y p es falsa, entonces S es V. A) FVV B) FVF C) VVF D) FFV E) FFF RESOLUCIÓN: * De: S: (r  p) ( q  r ) I) p es V y q es V S  (r  V ) (F  r )S  (V) (V)=V  S siempre es V, para cualquier valor de r ...................................................................... (FALSA) II) r es F y S es F, se tiene: (F  p)(q F)=F (V)q F  F * Entonces  q  V  q  F *Entonces  q  V; q es F .............(VERDADERO) III) r es V y p es F, se tiene: S (V F)  q V S (F) (V)=F.................................(FALSA)         RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 14: Si la siguiente proposición: ( p  q) (r  t ) es falsa, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:   I) (r t ) r II) (r p) (t r) ( t ) III) ( p r) t             A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF RESOLUCIÓN: * Como: (p   q) (r  t) es F * Entonces: p Ù q es V y r® t es F * Luego: p es V; q es F ; r es V y t es F             I) r t r (V F) F (F) F F II) r p t r t (V V ) (F V) (V) (V) (V) V V III) ( p r) t (F V) V (V) V V                                    RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 15: Si p , q , r, s, t, u , v, y w son proposiciones lógicas tal que: p  (q  r) es falsa, q  (p  t) es falsa, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) t  (r  w) II)q  ( r  u) III)t  (sr) A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF RESOLUCIÓN: * Como: p  (q  r) es F * Entonces: p es V y q® r es F * Luego: p es V; q es V y r es F; q  (p  t) es F * De donde: p t es F y como p es V entonces t es F. * Ahora: I) t (r w)=V (F w) V (V) V II) q ( r u) V ( r u) V III) t (s r) F (s r) V                       RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 16: Si p , q , x , z , y, t son proposiciones lógicas tal que cumplen las condiciones: p q es verdadera,  x yes verdadera; indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) z  p q II) p  q III)( x  y) t A) VVV B) FFF C) VVF D) FFV E) FVF RESOLUCIÓN: * Como: p q es V ; x  y es V Luego: p y q tienen valores opuestos:  x y  x  y es V * Ahora: I) V z  pq pues uno de ellos es V  z  V  V II) p  q es V * Pues p y  q tienen el mismo valor III)( x y) t (x y ) t (V) t F t V               RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 18: Si la proposición: (r  s) (p   s) (p  q) es falsa, entonces determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:   I) (p q) r II)q ( p s) III) p r s            A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FVF RESOLUCIÓN: * Como: (r  s) (p  s)(p  q) es F 480 * Entonces: rÚ s es verdadera y (p   s ) es falsa * De donde: p  s es verdadera y p  q es falsa * Por lo que: p es V; q es V; s es F; r es V   I) ( p q) r F V es falso II) q ( p s) V (V) es verdadero III) p r s ( ) V es verdadero               RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 19: Si la proposición (p  q ) ( s  r) es falsa, entonces determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:          I) p ( q r) p ( q s) II) q ( s t ) u s r III)(p q) ( p q)                   A)VFF B)VVF C)FVV D)FVF E)FFF RESOLUCIÓN: * Como: (p  q)( s r) es falsa * Entonces: (p  q)es verdadero y (  s  r) es falsa * De donde: p es V; q es V; s es F; r es F *Ahora:                 V F I) p q r p q s F (V) ( ) es verdadero II) q s t u s r ( ) F es falso III) p q p q V F                              ( )  F es falso RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 20: Si la proposición: ( p  r) p es falsa, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:       I) ( p r) r (p r) II) (p s) r r III)p (r p) r                A) VFV B) FVV C) FFF D) VFF RESOLUCIÓN: * Como: ( p  r) p es falsa * Entonces: ( p r) es verdadera y p es falsa. * Como: p r V V   entonces r es verdadera * Luego:           I) ( p r) r (p r) es falsa V V F V V F II) (p s) r r V es verdadera III) p (r p) r F es verdadera                       RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 21: Si la proposición: ‘‘No es cierto que , estudiemos y no aprobemos’’ es verdadera , entonces podemos afirmar: A) Aprobamos y no estudiamos B) Estudiamos o aprobamos C) Estudiamos o no aprobamos D) Aprobamos o no estudiamos E) Estudiamos y aprobamos RESOLUCIÓN: * Sea: p: estudiemos q: aprobemos, entonces; ‘‘No es cierto que, estudiemos y no aprobemos’’ (p  q) es verdadera * Entonces:  p  ( q) es verdadera * o también q  p es verdadera, es decir: ‘‘aprobamos o no estudiamos’’. RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 22: Si x es un número entero y f es una expresión definida por 2 f( x )=2x +3x tal que: (x) (x) (x) V , si f es par f = F , si f es impar   Entonces al simplificar la siguiente proposición:     f(2)  f(1)    f(1)  f(2)    f(4) f( 3)   ( p  q) Se obtiene: A) p B) p C) V D) F RESOLUCIÓN: * Para 2 x   : f(x)= 2x + 3x como 2x+3 es impar (x) par, si x es par f = impar, si x es impar     * Por lo que: (x) V, si x es par f = F, si x es impar  * Luego: 481 (2) (1) ( 1) (2) (4) (3) f f f f V F F V V F V f f V F V                  * Entonces:     f(2) f(1) f( 1) f( 2) f(4) f( 3) ( p q) V V ( p q)                                      V ( p q) V...........(verdadero)  RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 23: Si  es un operador lógico definido mediante la siguiente tabla: p q p q V V F V F F F V V F F F  Entonces al simplificar la proposición:  p ( p q) q , se obtiene: A) F B) V C) p D) q E) pÙ q RESOLUCIÓN: * De: p q p q (q p) V V F F (V) V F F F (V) F V V V (F) F F F F (V)    * Se nota que: p q  (q  p)  q  p * Luego:  p ( p q) q   p (q  p) q       (q p) p q q ( p p) q q (F) F q q V q                   RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 24: Si * es un operador lógico definido mediante la tabla adjunta tal que (s*t)*(t*s) es verdadero: p q p * q V V F V F F F V V F F F Entonces la proposición:  ( s * t ), es: A) Verdadera B) Falsa C) s D) sÙ t E)t RESOLUCIÓN: *Análogamente al problema anterior: p* q  (q  p)  q  p * Luego:   (s * t )* (t*s) (t s)* (s t) ( s t ) (t s) ( s t ) ( t s) s t ( t s) s ( t ) ( s t ) V                               es * Entonces: s t es F * Luego: S es V y t es F  ( s * t)  (t s)  t  s  t  s es V * Finalmente:  (s * t) es V RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 25: Se define el operador lógico #, según la siguiente tabla de verdad: p q q # p V V F V F V F V F F F F Entonces al simplificar la siguiente fórmula lógica: (p#q)#( q  p)#(p q) se obtiene A) p  q B)V C)F D) p E)q  p RESOLUCIÓN: * De la tabla de verdad se nota que: (q# p)  (p  q)  ( p  q)  p q  q  p * Luego:           p (p#q)# ( q p)#( p q) ( p q)# ( q p)#( p q) ( p q)# ( q p) ( p q) ( p q) (q p) ( p q) ( p q) q p ( p q) ( p q) (q p) ( p q) ( p q) m m F                                                                 RPTA : ‘‘C’’ 482 PROBLEMA 26: Si * es un operador lógico definidomediante la siguente tabla de verdad: p q p * q V V F V F F F V F F F V Entonces al simplificar la proposición: (p* q)* (q * p) , se obtiene: A) pÙ q B)pÚ q C)pÙ q D)pÙ q E) pÙ q RESOLUCIÓN: * De: p q p * q ( p q) V V F F (V) V F F F (V) F V F F (V) F F V V (F)   * Se nota que: p* q  ( p  q)  p q * También nótese que: p* q  q * p  r * r  r * Luego: (p* q)* (q*p)  (p* q)* (p* q)  (p* q)   (p  q)  p  q RPTA : ‘‘B’’