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INECUACIONES - CONCEPTOS BÁSICOS -ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF

OBJETIVOS :
* Reconocer las inecuaciones.
* Clasificar las inecuaciones atendiendo a su grado y el número de incógnitas.
* Relacionar las inecuaciones de primer grado con una incógnita con las gráficas de funciones afines.
* Resolver inecuaciones de primer con una incógnita.

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* Relacionar las inecuaciones de segundo grado con una incógnita con las gráficas de las funciones
cuadráticas.
* Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
* Conocer y utilizar diversos métodos de resolución
de inecuaciones.
* Saber resolver sistemas de inecuaciones con 1 y 2
incógnitas.
* Traducir al lenguaje algebraico problemas expresados
en lenguaje cotidiano, interpretando críticamente los
resultados de las soluciones obtenidas.
* Resolver sistemas de inecuaciones. Interpretar
gráficamente las soluciones y expresar las soluciones
en forma de intervalo.
INTRODUCCIÓN :
Al igual que las desigualdades las inecuaciones son de
suma importancia ya que se aplican en diferentes ramas
de la ciencia es más un estudiante que desea seguir
estudios superiores no debería estar ajeno a este tema
por su importancia en cursos de matemática superior
como cálculo diferencial e integral en donde se trabajan
con funciones y para conocer el dominio y rango de
una función hay que conocer los diferentes métodos de
solución de una inecuación. Además de ello con
inecuaciones se puede calcular el máximo y mínimo de
una función, tema central y de su suma importancia en
las diversas ramas de la ciencia. Antes de empezar el
capítulo , repacemos lo estudiado en desigualdades.
DESIGUALDAD :
Es la relación que existe entre cantidades que poseen
diferente valor.
EJEMPLO:
* Si poseemos los siguientes pares: 8 y 7; 2 y 6.
* Podemos por simple inspección afirmar:
* 8 es mayor que 7.
* 2 es menor que 6.
*Esta relación entre los números se representa
mediante los signos de relación.
> : Mayor que ...
< : Menor que ...
: Mayor o igual que ...
: Menor o igual que ...


CLASES DE DESIGUALDADES :
INTERVALO ABIERTO :
No considera los extremos 2; 6
INTEVALO CERRADO :
Si considera los extremos [2 ; 6]
INTERVALO SEMIABIERTO :
Uno de los extremos es considerado 2;6  2;6
INTERVALO NO ACOTADO :
Uno de los extremos tiende al infinito.

x a a; ; x a ; a
x a a; ; x a ; a
     
       
INECUACIÓN
Es aquella relación de orden que se establece entre
dos expresiones matemáticas de por lo menos una
variable y que se satisface para un determinado
conjunto de valores, y si no se satisface para ningún
valor se dice que la inecuación es incompatible.
A( x; y; z; ...)  B( x; y; z; ...)
donde A , B son expresiones matemáticas.
EJEMPLOS: 3 3 40x 1 x 2
* 4x + 7 > 6x + 27 *
x+1 x 1
* x 5 1
  
 

 
539
FORMA GENERAL DE UNA INECUACIÓN:
Sea F(x) una expresión matemática de variable x, se
tiene una de las siguientes desigualdades:
F(x)>0 ; F(x)<0
F(x)  0 ; F(x)  0
Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas)
que verifica la inecuación.
EJEMPLOS:
*En la inecuación: 2x + 3 > x + 5 una solución particular
es x = 5, pues 2(5) + 3 > 5 +5 es cierto
* También en la inecuación x + y  2, para x = 1 e y =
1 la inecuación se verifica , pues 1 + 1  2 es cierto,
luego (1; 1) es una solución particular .
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
Es aquel conjunto denotado por C.S. que agrupa a
todas las soluciones particulares (si existen) de una
inecuación.Si la inecuación no tiene solución, entonces
diremos que el C.S. es el conjunto vacío.
RESOLVER UNA INECUACIÓN
Resolver una inecuación consiste en hallar su conjunto
solución; para ello se utilizan los teoremas de
desigualdades estudiadas anteriormente.
EJEMPLO:
Resolver : 4x + 13 > 2x + 21
RESOLUCIÓN :
* Las inecuaciones se resuelven usando el mismo
procedimiento que en las ecuaciones, es decir , se
despejan las variables transponiendo los términos .Así
, logramos inecuaciones equivalentes.
4x 2x > 21 13
2x > 8 x > 4
 
 
* Graficamente :
4
x> 4
¥ +¥
* Entonces : C.S. = 4;+
INECUACIONES POLINOMIALES
DE UNA VARIABLE
Una inecuación polinomial de una variable tiene la forma
:
 … 
n n 1 n 2 >
0 1 2 n <
0 0 1 2 n
P(x)= a x +a x +a x +…+a 0
a 0; a ; a ; a ; ;a
 
  
Luego la inecuación polinomial tiene la forma:
(x) (x)
(x) (x)
P > 0 ; P <0
P  0 ; P  0
EJEMPLOS :
P(x) = 6x + 7  0
P(x) = 7x2 – x + 1 > 0
P(x) = 3x5 – x + 2  0
INECUACIÓN LINEAL :
Forma general: ><
P(x)= ax+b 0 ; a  0
* Es decir : ax + b > 0 ax + b < 0
ax + b 0 ax + b 0

  
Donde a  0  a; b  
* La resolución depende principalmente del primer
coeficiente.
Sea: ax + b > 0
ax + b + ( b) > 0 + ( b)
ax > b
  
 
I) Si:
b
a>0 ; x>
a

b
C.S.= ;+
a
  
II) Si:
b
a<0 ; x<
a

b
C.S.= ;
a
  
EJEMPLO 1:
Resolver : ax + b  0; a, b 
RESOLUCIÓN:
* Resolver una inecuación de este tipo es similar a
resolver una ecuación de primer grado, solo hay que
tener en cuenta las propiedades generales de las
desigualdades , en efecto:
* Transponiendo b al segundo miembro: ax   b
* Dado que a  , es decir: a > 0
b
x
a
  
* Graficando en la recta real:
b 0 +¥
– a +¥
* Vemos que : b
x ;
a
    
EJEMPLO 2 :
Resolver : 5x + 3 < 0
RESOLUCIÓN :
5x + 3 < 0  5x < – 3
3
x<
5
 
3
C.S.= ;
5
 
540
EJEMPLO 3 :
Resolver : 3x 2 5x 3 x 1
<
2 3 12
  

RESOLUCIÓN:
* Siendo el MCM(2; 3; 12) = 12; un número positivo, el
signo de la desigualdad no se altera al efectuar las
operaciones indicadas.
6(3x – 2) – 4(5x – 3) < x – 1
 18x – 12 – 20x + 12 < x – 1
 –2x < x – 1  – 3x < –1
* Multiplicando por (–1), obtenemos :
1 1
3x > 1 x> x ;
3 3
Þ Þ Î ¥
EJEMPLO 4 :
Resolver :
2 1 3 5
x+ > x+
3 4 5 4
RESOLUCIÓN:
2 1 3 5 2 3 5 1
x x x x
3 4 5 4 3 5 4 4
2 3 4 1
x x 1 x 15
3 5 4 15
C.S 15;
      
          
 
   
EJEMPLO 5 :
Resolver :
(x + 1)2 + (x – 1)2 + (x – 2)2  3(x + 1)(x – 1)
RESOLUCIÓN:
* Efectuando las operaciones indicadas obtenemos:
x2 + 2x + 1 + x2 – 2x +1 + x2 – 4x + 4  3x2 – 3
* Simplificando:
3x2 – 4x + 6  3x2 – 3  –4x  –9
* Multiplicando por (–1): 9
4x 9 x
4
  
* Gráficamente :
0 9
4
¥ +¥
9
x ;
4

   
EJEMPLO 6 :
Resolver :
3x 5x+13 9
12 < < (2+ x)
2 3 5

RESOLUCIÓN :
* La inecuación es equivalente a:
A B
3x 5x+13 5x+13 9
12 < < (2+ x)
2 3 3 5
 
 
A)Por 6 : 72 – 9x < 10x + 26
46
72 26 < 10x+ 9x x >
19
  
B)Por 15 : 25x + 65 < 54 + 27x
11
27x 25x>65 54 x>
2
   
* De (A) y (B):
11
2
46
19
¥ +¥
11
x ;+
2
  
EJEMPLO 7 :
Resolver el sistema :
2x 3 3x 1
1 (I)
4 2
5x 3 8x 1
1 (II)
3 4
     

     

...................
....................
RESOLUCIÓN:
* Resolviendo cada inecuación:
* De (I): MCM (4; 2; 1) = 4
 2x – 3 – 2(3x – 1)  4  2x – 3 – 6x + 2  4
 –4x  5  5
x
4
 
* De (II): MCM (3; 4; 1) = 12
 4(5x – 3) – 3(8x – 1)  –12
 20x – 12 – 24x + 3  –12
3
4x 3 4x 3 x
4
       
* En la recta real:
0 34
54
¥ – +¥
* Como no hay intersección de las soluciones
de (I) y (II)  x 
PUNTOS CRÍTICOS
En un polinomio no constante los puntos críticos son
las raíces o ceros de dicho polinomio:
EJEMPLO:
P(x) = x – 2
x = 2 es un punto crítico ; pues P(2) = 0
CRITERIO DE LOS PUNTOS
CRÍTICOS
Es utilizado para analizar la variación de los signos de
los factores lineales (de coeficientes reales) en una
multiplicación indicada.
541
EJEMPLO 1:
Sea P(x) = (x – 3)(x – 7)
* Donde los puntos críticos son 3 y 7.
Ubiquemos estos valores en la recta real.
3 7
I II III
¥ +¥
* Los puntos críticos particionan a la recta  en 3 zonas
(intervalos):
I) x Î -¥;3 Û x< 3Û x-3<0Ù x-7 <-4<0 ,
luego (x – 3)(x – 7) > 0
II) x Î 3;7 Û3< x<7 Û0< x-3< 4Ù x-7 <0 ,
luego (x – 3)(x – 7) < 0
III) Si x Î 7 ;¥ Û x>7 Û x-3>4Ù x-7 >0,
luego (x – 3)(x – 7) > 0
* Gráficamente: P(x) = (x – 3)(x – 7)
+ – +
¥ 3 7 +¥
veamos que P(x) es positivo en dos intervalos y es
negativo en un intervalo.
* Si se trata de resolver :
P(x) = (x – 3)(x – 7) > 0
 C.S. = ; 3  7;
EJEMPLO 2 :
Sea P(x) = (x – 2)(x + 3)
* Los puntos críticos son 2 y –3, ubiquémoslos en la
recta real.
+ – +
¥ –3 0 2 +¥
* Los puntos críticos particionan a la recta  en 3 zonas
(intervalos) , analicemos las variaciones.
Zona
Factor (x – 2) (x+ 3) P(x)
x <–3
–3 < x <2
x >2
– –
– + –
+
+ + +
* Si se trata de resolver P(x)  0
+ – +
¥ –3 0 2 +¥
* Tendríamos que el C.S. = [–3; 2]
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse
adopta la forma canónica.
2 >
P(x)= ax +bx+c < 0
* Es decir :
2 2
2 2
ax +bx+c>0 ax +bx+c<0
ax +bx+c 0 ax +bx+c 0

  
* Donde x, es la incógnita y; a, b, c  / a  0
RESOLUCIÓN GENERAL :
La resolución depende exclusivamente del
coeficiente principal y de la discriminante
 =b2  4ac del polinomio P. Luego se tiene 3
casos.
PRIMER CASO (   ) :
Cuando   ; el polinomio P(x) = ax2 +bx + c ; a¹ 0;
es un trinomio cuadrado perfecto.
EJEMPLO 1:
* (x – 1)2  0  C.S. =  , pues x  , cumple al
ser reemplazada en la inecuación.
* x2 – 4x + 4 > 0  (x – 2)2 > 0, notamos que se
verifica x  , excepto cuando x = 2.
 C.S. =  2
* x2 – 6x + 9 < 0  (x – 3)2 < 0, obviamente la
inecuación tiene el símbolo que hace que esta
inecuación sea no verificable para algún valor real.
 C.S. = 
* (x  5)2  0  (x  5)2 =0  Tenemos que la
única solución es x = 5.  C.S. = {5}
OBSERVACIÓN:
La inecuación (2ax + b)2  0 presenta solución única.
EJEMPLO 2 :
Resolver : 4x2 – 12x + 9 ³ 0
RESOLUCIÓN :
* El polinomio es: P(x) = 4x2 – 12x + 9
* Hallemos su discriminante
=144 4(4)(9) = 0
 P(x) = 4x2 – 12x + 9 es un T.C.P.
* Luego : P(x) = (2x – 3)2  0  (2x  3)2  0
* Como se observará esto es cierto x 
 C.S.= = ;+
OTRA FORMA :
x2 + 4x + 7 > 0 ; completando cuadrados:
2
2
x + 4x + 4 + 3 > 0
(x + 2) + 3 > 0
 

542
* Se observa que (x + 2)2 + 3 siempre es positivo
x   C.S.= ;+
SEGUNDO CASO (  0 ) :
Aquí el polinomio P(x) = ax2 + bx + c es factorizable
sobre  . Es decir :
P(x) = a(x – x1)(x – x2)
donde x1 , x2 son las raíces.
Luego para resolverlos ><
P(x) 0 aplicamos el criterio
de los puntos críticos.
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS :
El método de los puntos críticos se utiliza en una
inecuación cuadrática si y solo si   0 .
Procedimiento:
I) El primer coeficiente (a > 0) en caso contrario
multiplicar por (–1).
II) Factorizar el polinomio cuadrático :
P(x) = ax2 + bx + c llevándolo a la forma.
P(x) = a(x – x1)(x – x2)
III) Luego se calcula los puntos críticos (x1 ; x2) para
ubicarlos en la recta numérica real (x1 < x2)
IV) Después de ubicar en la recta numérica real
tenemos:
+ – +
x¥ x 2 +¥ 1
OBSERVACIÓN:
Es indispensable que el primer coeficiente de cada
factor lineal sea positivo , por ello se colocan entre los
puntos críticos los signos (+) y (–) alternadamente de
derecha a izquierda; es decir, comenzando de la
derecha del mayor punto crítico con el signo (+) .
V) Si tenemos :
P(x) = ax2 + bx + c > 0 (a > 0 Ù D > 0)
P(x) =ax2 + bx + c > 0 (a > 0 Ù D > 0)
El conjunto solución estará formado por los intervalos
donde aparezca el signo (+)
En forma análoga:
P(x) =ax2 + bx + c < 0 (a > 0 Ù D > 0)
P(x) =ax2 + bx + c £ 0 (a > 0 Ù D > 0)
El conjunto solución estará formado por el intervalo
donde aparece el signo (–).
EJEMPLO 1:
Resolver : x2  5x+4  0
RESOLUCIÓN :
* Factorizando por aspa simple, se tiene (x
– 4) (x – 1)  0. Los puntos críticos serán: 1; 4 (que son
valores que anulan cada factor).
* Reemplazamos en la recta numérica.
4

1
+ +
¥ +¥
* Empezamos de derecha a izquierda con el signo
“+”, pues los coeficientes de “x” son positivos, además
tomamos la parte positiva, pues el símbolo en la
inecuación es ''³ '' .
* Luego : C.S. = ;1 4;+
EJEMPLO 2 :
Resolver : x2 + x – 6 ³ 0
RESOLUCIÓN :
x2  x  6  0  ( x  3)( x  2)  0
* Luego los puntos críticos son : –3 ; –2
+ – +
¥ –3 2 +¥
 C.S.= ; 3  2;+
EJEMPLO 3:
Resolver : x2 + x – 1 < 0
RESOLUCIÓN :
*   0 ; pero no es factorizable por aspa simple; pero
nos interesa los puntos críticos, entonces podemos
calcularlo así:
2
1 2
1 5
x + x 1=0 x=
2
1 5 1+ 5
x = ; x =
2 2
 
 
  
* Luego ubicando en la recta numérica real
+ – +
–1– 5
2
–1+ 5
2
¥ +¥
1 5 1+ 5
C.S.= ;
2 2
  

TERCER CASO (  0) :
Aquí emplearemos el teorema del trinomio positivo sea
:
2  2 
2
(x) 2
(+)
b b 4ac
P = ax +bx+c= a x+
2a 4a
       

* Si : b2 – 4ac < 0  a > 0
* Entonces : P(x)> 0; x 
543
EJEMPLO 1 :
Resolver : x2 – x + 1 > 0
RESOLUCIÓN :
* Se observa ( =(1)2  4(1)(1)<0),
luego : 2 2
2
x x+1>0 4x 4x+4>0
(2x 1) +3>0
  
 
* Pero : (2x  1)2 +3>0
* Se observa que se verifica x   C.S.=
EJEMPLO 2 :
Resolver : 3x2 + x+1<0
RESOLUCIÓN :
* Se observa que  =12  4(3)(1)<0
* Luego completando cuadrados en :
3x2 + x + 1 < 0
    2 2 2
2
2
1 1 1
3x 2 3x 3 3 3 1 0
2 2 2
1 1
3x 1 0
2 3 12
1 11
3x 3 0
2 12
( )
                 
     
        
 
       
 



* Luego hemos llegado a una contradicción
 C.S.=
TEOREMA DEL TRINOMIO
POSITIVO
Si el polinomio P(x) = ax2 + bx + c ; {a; b; c}  
tiene discriminante ( ) negativo y a > 0 ,
entonces: ax2 +bx+c>0 ; x 
* Es decir : P( x)  0; x  a  0    
EJEMPLOS :
* x2 + 2x + 3 > 0  Su C.S. =
pues  = 22 – 4(3) = –8 < 0, y su coeficiente principal
es positivo.
* x2 + 4x + 7 < 0  Su C. S. = 
Pues  = 42 – 4(7) < 0 y coeficiente principal positivo
 0 < x2+4x+7< 0  0 < 0..................¡Absurdo!
 C. S. =
OTRA FORMA :
2 2
2
ó cero
x 4x 7 x 4x 4 3 0
( x 2) 3 0 C.S. 


      
    


NOTA :
Un teorema análogo será el siguiente:
ax2 bx c 0, x a;b; c ; a 0
a 0  0
      
   
 
TEOREMA DEL TRINOMIO
NEGATIVO
Si el polinomio :
P(x) = ax2 + bx + c; {a; b; c}Ì
tiene discriminante (D < 0 ) y a < 0 entonces:
P(x) = ax2 + bx + c < 0 ; "x Î
EJEMPLO :
Resolver : – 4x2 + x – 1 < 0
RESOLUCIÓN :
* El primer coeficiente
(–4<0)   = 1– 4(–4)(–1)<0
* entonces – 4x2 + x – 1 < 0, x
 C.S. = ;+
INECUACIONESDE GRADO
SUPERIOR
FORMA GENERAL :
n n 1 n 2 <
P(x)=a0x +a1x +a2x +…+an 1x+an >0  

Donde los coeficientes del polinomio son números
reales con a  0; n 
* Para determinar el conjunto solución de esta
inecuación emplearemos el método de los puntos
críticos.
* Si x1, x2, x3,..., xn son las raíces reales del polinomio,
entonces
<
P(x)= a0(x  x1 )(x  x2 )(x  x3 )…(x  xn )> 0
donde a0 debe ser positivo, si es negativo se le
multiplica por menos uno.
MÉTODOS DE LOS PUNTOS CRÍTICOS :
I) Es conveniente garantizar que a0 > 0 (a0: coeficiente
principal) en caso contario multiplicar por (–1);
encontrando así una inecuación equivalente a la
544
anterior.
II) Factorizar el polinomio en el campo real para hallar
los puntos críticos del polinomio; si el polinomio
presenta factores cuadráticos que son positivos o
negativos x  ; se debe realizar la cancelación
respectiva, teniendo cuidado con el sentido de la
desigualdad.
III) Se llevan los puntos críticos en forma ordenada a la
recta numérica y se analiza (abiertos y cerrados)
IV) Cada zona determinada por dos puntos de corte
consecutivos ,se señalan alternadamente de derecha
a izquierda con signos (+) y (–). Se inicia siempre con
el signo más (+).
V) Si la expresión es mayor que cero se tomarán las
zonas positivas y si es menor que cero se tomarán las
zonas negativas.
Si:
P(x)>0
Elegimos las zonas (+)
P(x) 0

 
Si:
P(x)<0
Elegimos las zonas ( )
P(x) 0

   
NOTA :
Estemétodo también sirve para resolver inecuaciones
fraccionarias (con ciertas restricciones).
PROPIEDADES :
 a;b ; n
2n
2n
2n+1
2n+1
I) a .b 0 b 0 a 0
II) a .b 0 b 0 a 0
III) a .b 0 ab 0
IV) a .b 0 ab 0
    
    
  
  
* Entonces: x, a
1) Si: ( x  a)2n1  0  ( x  a)  0; n
2) Si: ( x  a)2n1  0  ( x  a)  0; n
EJEMPLO 1:
Resolver : x3 – 3x2 + x – 5 > 3x2 – 10x + 1
RESOLUCIÓN:
* Despejando : x3 – 6x2 + 11x – 6 > 0 .............. (I)
* Factorizando por divisores binómicos :
(x – 1)(x – 2)(x – 3) > 0
* Los puntos críticos son: {1; 2; 3}
* Graficando en la recta real y analizando :
+ +
¥ – 1 2 – 3 +¥
* Los puntos críticos van abiertos si :
P(x) < 0; P(x) > 0
* En caso contrario van cerrados :
P(x)³ 0; P(x)£ 0
* Como (I) es una expresión mayor que cero , se
toman las zonas positivas.
* Entonces : C.S.=1; 2  3;
EJEMPLO 2 :
Resolver : x3 - 4x ³ 0
RESOLUCIÓN :
* Factorizando :
x( x2  4)  0  x( x  2)( x  2)  0
* Ahora determinamos las raíces del polinomio a los
que se le denomina puntos críticos, para ello igualamos
a cero cada factor :
x = 0  x + 2 = 0  x – 2 = 0
* de donde los puntos críticos serán
x1 = 0  x2 = –2  x3 = 2
* Luego se ubican estos puntos en la recta
numérica real :
0

–2
+ +
2

¥ +¥
* Entonces : C.S.=2; 02;
EJEMPLO 3 :
Resolver : (x+1)(x  2)(x  3)(x  4)  0
RESOLUCIÓN:
* Como el coeficiente principal del polinomio es
negativo multiplicamos ambos miembros por menos
uno, ya sabemos que el sentido de la desigualdad debe
cambiar. (x  1)(x  2)(x  3)(x  4)  0
* Los puntos críticos son: 1 ; 2 ; 3 ; 4.
– + – +
1 2 0
+
¥ 3 4 +¥
* De lo cual el C.S. = ;1 2; 3 4;+
EJEMPLO 4 :
Resolver: (x – 4)20 (x – 8)4 (x + 3)(x – 5) < 0
RESOLUCIÓN :
* Como vemos que :(x – 4)20 y (x – 8)4 son siempre
positivos, entonces simplificando tenemos :
(x – 5)(x + 3) < 0, donde resolviendo
–3 5
+ – +
¥ +¥
* Aparentemente el conjunto solución sería  3; 5
545
* Por si reemplazamos los puntos críticos en la
inecuación original vemos que 4 no forma parte de la
solución , entonces : C.S.= 3; 5  4
EJEMPLO 5 :
Resolver: (x – 1)6 (x + 2)(x – 3)(x – 13)28 < 0
RESOLUCIÓN :
* Simplificando se obtiene : (x + 2) (x – 3) < 0
* Los puntos críticos son : –2 ; 3.
+ – +
¥ –2 3 +¥
* Notemos que el C. S.= 2;3 , pero el factor (x -1)2 ,
cancelado, tiene a x = 1, que es un valor que anula el
factor y que reemplazando en la inecuación original
tendríamos el absurdo (0<0), esto quiere decir que x =
1 es un valor no solución.
 C.S.= 2; 3  1
* Lo mismo pasa con x = 13, pero como no está en el
C.S. no le afecta.
CONJUNTO DE VALORES
ADMISIBLES
El conjunto de valores admisibles de una expresión
matemática es aquel conjunto denotado por C.V.A.
que agrupa a todos los valore(s) de la variable(s)
que garantizan la existencia de la expresión
matemática , es decir , valores de la variable que
permiten que la expresión esté bien definida .
El C.V.A se va a considerar respecto a  , salvo
indicación contraria.
EXPRESIONES POLINOMIALES :
n n 1 n 2
P( x) a0 x a1x a2x an ; a0 0; n
C.V.A.
         
 
 

EXPRESIONES FRACCIONARIAS :
Como la división por cero no está definida, entonces
el denominador no puede ser cero.
así:   P( x)
f ( x) C.V.A. x /Q( x) 0
Q(x)
    
EXPRESIONES IRRACIONALES :
Estas expresiones están definidas sobre los reales
 , de modo que : n f(x)   .
* Cuando n es par  n   n  2  f ( x)  0
* Cuando n es impar
 n   n  3  f ( x) ;
EJEMPLOS :
*
x2
F(x)=
2x  1 , el C.V.A. está dado por todos
aquellos valores reales para x, tal que 2x – 1  0. Es
decir:
1 1
C.V.A. x / x
2 2
            
   
 
* en G(x)= x  2 , el C. V. A. está dado por todos
aquellos valores reales para x, tal que el radicando
es no negativo : x – 2  0.
Es decir : C.V.A.  x  / x  2  2; 
INECUACIÓN FRACCIONARIA
Son aquellas inecuaciones que se reducen a la
siguiente forma general :
  ><
P(x)
f(x)= 0 ; ° Q(x) 1
Q(x)

donde P y Q son polinomios 0[Q(x)]: “Grado de
Q(x)”
RESOLUCIÓN :
* Como 2
Q(x)  0  Q(x) >0
* Multiplicando a ambos lados de la inecuación
siguiente : 2
(x)
P(x)
>0 por Q
Q(x)
* se tiene : 2 2
(x) (x)
P(x)
Q × >Q ×0
Q(x)
* con lo cual el sentido de la desigualdad no se altera.
*Luego, simplificando se tiene :
Q(x). P(x) > 0. Esto último sería una inecuación
polinomial , siempre que Q(x)  0
*En resumen una inecuación fraccionaria de la forma:
><
P(x)
0 con Q(x) 0
Q(x)

será equivalente a una inecuación polinomial .
RESOLUCIÓN GENERAL :
> >
< <
P(x)
0 P(x)Q(x) 0 Q(x) 0
Q(x)
  
* Sabemos que el resultado de dividir signos es el
mismo que el de multiplicar signos ; por ello ,
utilizaremos el método de los puntos críticos que ha
sido estudiado en las inecuaciones polinomiales.
EJEMPLO 1 :
Resolver :
x2 3x 4
0
x 5
 


RESOLUCIÓN :
* Factorizando : (x 4)(x+1)
0
x 5



546
 P.C : 4; 1; 5 , graficando :

+ +
¥ – –1 4 – 5
OBSERVACIÓN:
Se iguala a cero los factores del denominador y
después se restringen estos puntos críticos es decir
van a ir abiertos.
* En –1 y 4 van cerrados por ''£'' ; en 5 abierto por ser
del denominador , tomando las zonas negativas.
C.S.=; 14; 5
EJEMPLO 2 :
Resolver :
2
2
x 3x+2
0
x 6x+5



RESOLUCIÓN:
* Factorizando el numerador y denominador se tiene:
(x 2)(x 1)
0
(x 5)(x 1)
 

 
*Los valores admisibles serán todos los x   ,
excepto 5 y 1.
* Es decir : C.V.A. =  – {5; 1}
* Procedemos a simplificar :
x 2
0
x 5



* Graficando :
+ – +
¥ 2 5 +¥
 C.S.=2; 5
* Notar que en 5 es abierto por el C.V.A.
EJEMPLO 3 :
Resolver :
x+1 x 1
x 1 x+1



RESOLUCIÓN:
* Garantizar la definición de las expresiones con : x
 {1; –1}
* Luego :
x+1 x 1 4x  
0 0 P.C.= 1; 0; 1
x 1 x+1 (x+1)(x 1)

     
 
* Graficando :
–1 1
+ –
0
– +
¥ +¥
* Entonces: C.S.= ; 1 0;1
ECUACIÓN IRRACIONAL
Son aquellas ecuaciones de la forma: P(x)= 0
donde P es una expresión algebraica irracional.
RESOLUCIÓN:
*Primeramente se determina el C.V.A , luego la
ecuación original se reduce a otra equivalente más
simple y la solución o soluciones de esta última
ecuación se analizan si está o no considerado en el
C.V.A.
EJEMPLO :
Resolver : 2x+13 = x+3 + x+6
RESOLUCIÓN :
* Cálculo del C.V.A :
2 x 13 0 x 3 0 x 6 0
13
x x 3 x 6
2
x 3 C.V.A. 3 ;
       
        
      
* Elevando al cuadrado miembro a miembro :
2
2
2x 13 x 3 x 6 2 x 3 x 6
( x 3)( x 6) 2 x 9x 18 4
x 9x 14 0 ( x 2)( x 7 ) 0
x 2 x 7
       
       
       
     
* Pero : x3;+
 El único valor que se acepta es : x = –2
* Entonces : C.S. = {–2}
INECUACIÓNES IRRACIONALES
Son aquellas inecuaciones cuyas incógnitas se
encuentran efectadas por radicales o exponentes
fraccionarios.
EJEMPLOS :
5 x2 + 2
x 1+ x<1 ; 3
2 2 x
 
 
* De otro lado como las inecuaciones solo se
verifican en el campo de los números reales, se cumple
el siguiente principio fundamental.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL :
En toda inecuación irracional de índice par , las
cantidades subradicales deben ser mayores o
iguales a cero y esto nos determina el universo dentro
del cual se resuelve la inecuación dada (C.V.A.)
RESOLUCIÓN:
I) Hallar la existencia (C.V.A) de la expresión irracional
F(x).
II) Se transforma la inecuación , elevando a ambos
miembros a un exponente que elimine el radical . Si el
índice del radical es par, ambos miembros de la
547
inecuación deben ser positivos obteniendo el conjunto
de posibles soluciones Sp (solución particular).
III) El conjunto solución se obtiene intersectando el CVA
con Sp.
PROPIEDADES :
2n
2n
2n 1
2n 1
a; b ; n
I) a b 0 (a 0) (a 0 b 0)
II) a b 0 a 0 b 0
III) a .b 0 a.b 0
IV) a .b 0 a.b 0


  
       
     
  
  
 
V) x, y  : x  y ; si y sólo si
 2 
2
2n 2n
x 0 y 0 x y
VI) y<0; x y x 0
VII) y 0; x > y x 0 x> y
VIII) x, y ; n ; x y 0 x 0 y 0
    
   
    
        
Además podemos aplicar la siguiente propiedad :
Cuando una expresión n f(x) se encuentra
multiplicando a otras expresiones matemáticas en un
sólo miembro y se tiene cero en el otro miembro,
entonces:
* Si n es par , se simplifica toda la expresión por ser
positiva.
* Si n es impar , se reemplaza n f(x) por el radicando
f(x) ; es decir se elimina el símbolo radical.
OBSERVACIÓN:
Si los radicales son de índice IMPAR no existe
restricción respecto a sus radicandos los que
pueden ser positivos o negativos o cero.
EJEMPLO 1 :
Resolver : 5  x  3
RESOLUCIÓN :
* Restricción : 5  x  0  x  5
 C.V.A.= ; 5
* Elevando al cuadrado :
5  x  32  x  4  Sp= ; 4
* Luego : C.S.= Sp C.V.A.= ; 4
EJEMPLO 2 :
Resolver : 7 x  3  5 x  4  0
RESOLUCIÓN :
* Eliminamos los radicales por ser de índice impar,
así : (x  3)(x  4)  0
* Entonces : C.S. = [3; 4]
EJEMPLO 3:
Resolver : x  3 + 8  x > 0
RESOLUCIÓN :
* El conjunto solución a esta inecuación está
determinado por la intersección de los universos de
cada radical , es decir :
 
C.V.A.=(x 3) 0 (8 x) 0
C.S.= x 3 8 x C.S.= 3; 8
    
    
EJEMPLO 4 :
Resolver : x+3 + x  2  5
RESOLUCIÓN :
* C.V.A.:
x+3 0 x 2 0 x 3 x 2
C.V.A.= 2;+
        
  
* Pasando un radical al segundo miembro :
x+3  5  x  2
* Elevando el cuadrado los dos miembros de la
inecuación :
x+3 25 10 x 2+ x 2 10 x 2 20
x 2 2
      
  
* Elevando al cuadrado :
x  2  4  x  6  Sp= ;6
* Luego :

 
C.S.=C.V.A. Sp= 2;+ ;6
C.S.= 2;6
    

OBSERVACIÓN:
Algunas inecuaciones irracionales de índice par se
transforman en sistemas, como las que mostramos a
continuación :
A) Si: 2n f(x)< 2n g(x) , entonces :
f(x) 0 (I)
f(x)< g(x) (II)
 
  


...........................
........................
B) Si : 2n f(x)  2n g(x) , entonces :
f(x) 0 .............................. (I)
f(x) g(x) ............................ (II)
 
  

 
C) Si : 2n f(x)> 2n g(x) , entonces :
548
g(x) 0 .............................. (I)
f(x)> g(x) .......................... (II)
 
  


D) Si : 2n f(x)  2n g(x) , entonces :
f(x) 0 ........................... (I)
f(x) g(x) .......................... (II)
 
  

 
EJEMPLO 5 :
Resolver : 2
1
16 16 x
x
  
RESOLUCIÓN :
* En este caso lo equivalente , será :
2
16 x 0 .............................(I)
1
16 16 x ......................... (II)
x
  

    
* De (I) : 16  x  0  x  16  x ;16 ... ( )
* De (II) :
3
2 2
1 x 1
16 16 x 0
x x

    
* Factorizando el numerador :
( x  1)( x2  x  1)
( )
2 0
x
x 1 x 1; .............( )


    
* De ( ) y ( ) : C.S. = [1; 16]
EJEMPLO 6 :
Resuelva : x  3 +6 9  x  x  10
RESOLUCIÓN :
* C.V.A.: x  3  0  9  x  0
 
x 3 9 x
3 x 9 C.V.A.= 3;9
   
   
* Veamos el signo de (x – 10)
Por el C.V.A.:

3 x 9 3 10 x 10 9 10
7 x 10 1 ( x 10)
       
         
* Luego , se observa que (x – 10) es negativo.
Entonces : 6
(+) ( )
x 3 9 x x 10

  
* Siempre se verifica , que una expresión positiva , será
mayor que otra expresión que sea negativa.
C.S. = C.V.A. = [3; 9]
INECUACIONES EXPONENCIALES
Son aquellas inecuaciones cuya incógnita se encuentra
en el exponente y sus criterios de solución son:
I) En toda desigualdad, si las bases son iguales y
mayor que la unidad, al comparar los exponentes, el
signo de la desigualdad no se invierte, es decir:
Si la base está es mayor que la unidad
(a > 1); se cumple:
1° P(x) >Q(x)



P(x) >Q(x)
P(x) <Q(x)
aP(x) <aQ(x) P(x) <Q(x)
aP(x) < aQ(x)
aP(x) >aQ(x)
aP(x) > aQ(x)
EJEMPLO :
Resolver : 52x3  25 x+2  0
RESOLUCIÓN :
* Expresando la inecuación convenientemente, se
tendría : 52x3  25 x+2  52x3  52x+4
* como , la base es mayor que la unidad, se cumple
que :
2x 3 2x 4 4x 7
7 7
x x ;
4 4
     
      
0 7
4
¥ +¥
II) En toda desigualdad si las bases son iguales y su
valor está comprendido entre cero y uno (0 <
base < 1) al comparar los exponentes el signo de la
desigualdad se invierte , es decir :
Si la base está comprendida entre
cero y la unidad (0 < a < 1); se cumple:
1° P(x) <Q(x)



P(x) <Q(x)
P(x) >Q(x)
aP(x)<a P(x) >Q(x)
aP(x)< a
aP(x) a
Q(x)
>
aP(x)> a
Q(x)
Q(x)
Q(x)
EJEMPLO:
Resolver : x6 (0,5)x+6  x+6 (0,5)x6
RESOLUCIÓN :
* Transformando los radicales a exponentes
fraccionarios , se tiene :
x+6 x 6
(0,5)x 6 (0,5)x+6

 
* Como la base está comprendida entre cero y la
549
unidad , al comparar los exponentes, el signo de la
desigualdad varía , es decir :
x+6 x 6
x 6 x+6



* Como el segundo miembro debe ser cero :
x+6 x 6
0
x 6 x+6

 

* Efectuando las operaciones indicadas , se obtiene:
x
0
(x+6)(x 6)


* Puntos críticos : {–6; 0; 6}
* Graficando en la recta real :
+ – +
0 6

¥ –6 +¥
* Luego : x  6; 0 6;
SISTEMAS DE INECUACIONES
Se denomina asi al conjunto de desigualdades que se
satisfacen para un mismo conjunto solución.
REGLAS PARA SU SOLUCIÓN :
* Se resuelve cada inecuación por separado
encontrando soluciones para cada una de ellas.
*Se realiza la intersección de tales soluciones, el
resultado es el C.S. del sistema.
Sea el sistema :
1
2
3
P (x) 0 ............................... (I)
P (x)<0 .............................. (II)
P (x)>0 .............................. (III)
 




Sean S1 ; S2 ; S3 las soluciones de (I),(II) ,(III)
respectivamente , entonces :
C.S.=S1 S2 S3
EJEMPLO 1:
Resolver :
2 4x
> x 3 ........................ (I)
6
3x+8
> x 1 ..........................(II)
4

 

RESOLUCIÓN :
* De (I) : 2  4x>6x  18
 2x> 20  x> 10 ................. S1
* De (II) : 3x + 8 > 4x – 4
  x> 12  x <12 ................S2
* El conjunto solución será : C.S. = S1  S2
¥ –10 12 +¥
 C.S.= x  10;12
EJEMPLO 2 :
Resolver : 3x  1  x+7 < 2x+5
RESOLUCIÓN:
* El sistema equivalente será :
3x 1 x+7 ...................... (I)
x+7 < 2x+5 ........................ (II)
  


.
* De (I) : 2x  8   x  4  S1 = ; 4
* De (II) : –x < –2  x> 2  S2 = 2;+
* Luego :


C.S.=S1 S2 C.S.= ; 4 2;+
C.S.= 2;4
    

EJEMPLO 3 :
Si “x” e “y” son cantidades enteras positivas, calcular
“x2 + y2”, al resolver el sistema :
5x 3y> 2 ............................ (I)
2x+ y<11 ............................. (II)
y>3 .............................. (III)
 




RESOLUCIÓN :
* Multiplicando la inecuación (I) por 2 y la inecuación
(II) por 5 , obtenemos :
10x 6y> 4 ( )
10x+5y< 55 ( )


 


.......................
.....................
* Restando miembro a miembro ( ) y ( ) :
10x – 6y – 10x – 5y > 4 – 55
Þ–11y > –51
51
y<
11

* Dado que : 3 < y <
51
4, y=4
11
 ..............
* Reemplazando y = 4 , en el sistema :
5x 3y> 2 x> 2,8
2x+ y 11 x<3,5
  
     
    
* Aquí observamos que : x = 3
* Luego : x2 + y2 = 32 + 42 = 25
RESOLUCIONES GRÁFICAS :
Analizaremos el caso de un sistema de inecuaciones
en dos variables.
550
Generalmente la solución se expresará en forma
gráfica , pues los valores de x e y que satisfacen el
sistema forman un conjunto de pares ordenados
(a ; b) cuya gráfica es una región .
A continuación se mostrará los procedimientos más
adecuados para hallar la solución del sistema a través
de algunos ejemplos representativos.
EJEMPLO 1 :
Resolver :
x+ y 2 ....................... (I)
2x y 4 ....................... (II)
 

  
RESOLUCIÓN:
* Graficando : x + y = 2 ..................... (frontera)
Y
2
X
(2;2)
2
La región sombreada
representa la solución
de la inecuación (I).
Región solución de (I)

ÞLa región sombreada representa la solución de la
inecuación (I).
* Luego de (II) : 2x – y = 4 ........ (frontera)
Y
X
(1;3)
La región sombreada
representa la solución
de la inecuación (II).
Región
solución de (II)

 La región sombreada representa la solución de la
inecuación (II).
* Intersectando , resulta :
Y
X
Región solución
Conjunto de puntos
que cumplen la
inecuación (I) y (II)
EJEMPLO 2 :
Resolver :
x+ y<1 .............................(I)
x+ y< 4 ................................(II)

..
RESOLUCIÓN :
Y
1
X
1
x+y=1
Y
4
X
4
x+y=4
Y
1
X
1
Región
solución
4
4
EJEMPLO 3:
Resolver : x2 + y2 9
x+ y 3
  

 
RESOLUCIÓN :
* Graficando :
Y
X
Región solución
x+y=3
x2+y2=9
EJEMPLO 4 :
¿Cuántos puntos de coordenadas enteras tiene el
conjunto solución del sistema?
y x2
x+ y 2
  

 
RESOLUCIÓN:
* Graficando adecuadamente.
Y
X
8 puntos
x+y=2
y=x2
Región
solución
* Entonces el sistema tiene ocho soluciones enteras.