INECUACIONES Y DESIGUALDADES E INTERVALOS CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF


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  • OBJETIVOS :
    * Reconocer las inecuaciones.
    * Clasificar las inecuaciones atendiendo a su grado y el número de incógnitas.
    * Relacionar las inecuaciones de primer grado con una incógnita con las gráficas de funciones afines.
    * Resolver inecuaciones de primer con una incógnita.

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    * Relacionar las inecuaciones de segundo grado con una incógnita con las gráficas de las funciones
    cuadráticas.
    * Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
    * Conocer y utilizar diversos métodos de resolución
    de inecuaciones.
    * Saber resolver sistemas de inecuaciones con 1 y 2
    incógnitas.
    * Traducir al lenguaje algebraico problemas expresados
    en lenguaje cotidiano, interpretando críticamente los
    resultados de las soluciones obtenidas.
    * Resolver sistemas de inecuaciones. Interpretar
    gráficamente las soluciones y expresar las soluciones
    en forma de intervalo.
    INTRODUCCIÓN :
    Al igual que las desigualdades las inecuaciones son de
    suma importancia ya que se aplican en diferentes ramas
    de la ciencia es más un estudiante que desea seguir
    estudios superiores no debería estar ajeno a este tema
    por su importancia en cursos de matemática superior
    como cálculo diferencial e integral en donde se trabajan
    con funciones y para conocer el dominio y rango de
    una función hay que conocer los diferentes métodos de
    solución de una inecuación. Además de ello con
    inecuaciones se puede calcular el máximo y mínimo de
    una función, tema central y de su suma importancia en
    las diversas ramas de la ciencia. Antes de empezar el
    capítulo , repacemos lo estudiado en desigualdades.
    DESIGUALDAD :
    Es la relación que existe entre cantidades que poseen
    diferente valor.
    EJEMPLO:
    * Si poseemos los siguientes pares: 8 y 7; 2 y 6.
    * Podemos por simple inspección afirmar:
    * 8 es mayor que 7.
    * 2 es menor que 6.
    *Esta relación entre los números se representa
    mediante los signos de relación.
    > : Mayor que ...
    < : Menor que ...
    : Mayor o igual que ...
    : Menor o igual que ...


    CLASES DE DESIGUALDADES :
    INTERVALO ABIERTO :
    No considera los extremos 2; 6
    INTEVALO CERRADO :
    Si considera los extremos [2 ; 6]
    INTERVALO SEMIABIERTO :
    Uno de los extremos es considerado 2;6  2;6
    INTERVALO NO ACOTADO :
    Uno de los extremos tiende al infinito.

    x a a; ; x a ; a
    x a a; ; x a ; a
         
           
    INECUACIÓN
    Es aquella relación de orden que se establece entre
    dos expresiones matemáticas de por lo menos una
    variable y que se satisface para un determinado
    conjunto de valores, y si no se satisface para ningún
    valor se dice que la inecuación es incompatible.
    A( x; y; z; ...)  B( x; y; z; ...)
    donde A , B son expresiones matemáticas.
    EJEMPLOS: 3 3 40x 1 x 2
    * 4x + 7 > 6x + 27 *
    x+1 x 1
    * x 5 1
      
     

     
    539
    FORMA GENERAL DE UNA INECUACIÓN:
    Sea F(x) una expresión matemática de variable x, se
    tiene una de las siguientes desigualdades:
    F(x)>0 ; F(x)<0
    F(x)  0 ; F(x)  0
    Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas)
    que verifica la inecuación.
    EJEMPLOS:
    *En la inecuación: 2x + 3 > x + 5 una solución particular
    es x = 5, pues 2(5) + 3 > 5 +5 es cierto
    * También en la inecuación x + y  2, para x = 1 e y =
    1 la inecuación se verifica , pues 1 + 1  2 es cierto,
    luego (1; 1) es una solución particular .
    CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
    Es aquel conjunto denotado por C.S. que agrupa a
    todas las soluciones particulares (si existen) de una
    inecuación.Si la inecuación no tiene solución, entonces
    diremos que el C.S. es el conjunto vacío.
    RESOLVER UNA INECUACIÓN
    Resolver una inecuación consiste en hallar su conjunto
    solución; para ello se utilizan los teoremas de
    desigualdades estudiadas anteriormente.
    EJEMPLO:
    Resolver : 4x + 13 > 2x + 21
    RESOLUCIÓN :
    * Las inecuaciones se resuelven usando el mismo
    procedimiento que en las ecuaciones, es decir , se
    despejan las variables transponiendo los términos .Así
    , logramos inecuaciones equivalentes.
    4x 2x > 21 13
    2x > 8 x > 4
     
     
    * Graficamente :
    4
    x> 4
    ¥ +¥
    * Entonces : C.S. = 4;+
    INECUACIONES POLINOMIALES
    DE UNA VARIABLE
    Una inecuación polinomial de una variable tiene la forma
    :
     … 
    n n 1 n 2 >
    0 1 2 n <
    0 0 1 2 n
    P(x)= a x +a x +a x +…+a 0
    a 0; a ; a ; a ; ;a
     
      
    Luego la inecuación polinomial tiene la forma:
    (x) (x)
    (x) (x)
    P > 0 ; P <0
    P  0 ; P  0
    EJEMPLOS :
    P(x) = 6x + 7  0
    P(x) = 7x2 – x + 1 > 0
    P(x) = 3x5 – x + 2  0
    INECUACIÓN LINEAL :
    Forma general: ><
    P(x)= ax+b 0 ; a  0
    * Es decir : ax + b > 0 ax + b < 0
    ax + b 0 ax + b 0

      
    Donde a  0  a; b  
    * La resolución depende principalmente del primer
    coeficiente.
    Sea: ax + b > 0
    ax + b + ( b) > 0 + ( b)
    ax > b
      
     
    I) Si:
    b
    a>0 ; x>
    a

    b
    C.S.= ;+
    a
      
    II) Si:
    b
    a<0 ; x<
    a

    b
    C.S.= ;
    a
      
    EJEMPLO 1:
    Resolver : ax + b  0; a, b 
    RESOLUCIÓN:
    * Resolver una inecuación de este tipo es similar a
    resolver una ecuación de primer grado, solo hay que
    tener en cuenta las propiedades generales de las
    desigualdades , en efecto:
    * Transponiendo b al segundo miembro: ax   b
    * Dado que a  , es decir: a > 0
    b
    x
    a
      
    * Graficando en la recta real:
    b 0 +¥
    – a +¥
    * Vemos que : b
    x ;
    a
        
    EJEMPLO 2 :
    Resolver : 5x + 3 < 0
    RESOLUCIÓN :
    5x + 3 < 0  5x < – 3
    3
    x<
    5
     
    3
    C.S.= ;
    5
     
    540
    EJEMPLO 3 :
    Resolver : 3x 2 5x 3 x 1
    <
    2 3 12
      

    RESOLUCIÓN:
    * Siendo el MCM(2; 3; 12) = 12; un número positivo, el
    signo de la desigualdad no se altera al efectuar las
    operaciones indicadas.
    6(3x – 2) – 4(5x – 3) < x – 1
     18x – 12 – 20x + 12 < x – 1
     –2x < x – 1  – 3x < –1
    * Multiplicando por (–1), obtenemos :
    1 1
    3x > 1 x> x ;
    3 3
    Þ Þ Î ¥
    EJEMPLO 4 :
    Resolver :
    2 1 3 5
    x+ > x+
    3 4 5 4
    RESOLUCIÓN:
    2 1 3 5 2 3 5 1
    x x x x
    3 4 5 4 3 5 4 4
    2 3 4 1
    x x 1 x 15
    3 5 4 15
    C.S 15;
          
              
     
       
    EJEMPLO 5 :
    Resolver :
    (x + 1)2 + (x – 1)2 + (x – 2)2  3(x + 1)(x – 1)
    RESOLUCIÓN:
    * Efectuando las operaciones indicadas obtenemos:
    x2 + 2x + 1 + x2 – 2x +1 + x2 – 4x + 4  3x2 – 3
    * Simplificando:
    3x2 – 4x + 6  3x2 – 3  –4x  –9
    * Multiplicando por (–1): 9
    4x 9 x
    4
      
    * Gráficamente :
    0 9
    4
    ¥ +¥
    9
    x ;
    4

       
    EJEMPLO 6 :
    Resolver :
    3x 5x+13 9
    12 < < (2+ x)
    2 3 5

    RESOLUCIÓN :
    * La inecuación es equivalente a:
    A B
    3x 5x+13 5x+13 9
    12 < < (2+ x)
    2 3 3 5
     
     
    A)Por 6 : 72 – 9x < 10x + 26
    46
    72 26 < 10x+ 9x x >
    19
      
    B)Por 15 : 25x + 65 < 54 + 27x
    11
    27x 25x>65 54 x>
    2
       
    * De (A) y (B):
    11
    2
    46
    19
    ¥ +¥
    11
    x ;+
    2
      
    EJEMPLO 7 :
    Resolver el sistema :
    2x 3 3x 1
    1 (I)
    4 2
    5x 3 8x 1
    1 (II)
    3 4
         

         
    
    ...................
    ....................
    RESOLUCIÓN:
    * Resolviendo cada inecuación:
    * De (I): MCM (4; 2; 1) = 4
     2x – 3 – 2(3x – 1)  4  2x – 3 – 6x + 2  4
     –4x  5  5
    x
    4
     
    * De (II): MCM (3; 4; 1) = 12
     4(5x – 3) – 3(8x – 1)  –12
     20x – 12 – 24x + 3  –12
    3
    4x 3 4x 3 x
    4
           
    * En la recta real:
    0 34
    54
    ¥ – +¥
    * Como no hay intersección de las soluciones
    de (I) y (II)  x 
    PUNTOS CRÍTICOS
    En un polinomio no constante los puntos críticos son
    las raíces o ceros de dicho polinomio:
    EJEMPLO:
    P(x) = x – 2
    x = 2 es un punto crítico ; pues P(2) = 0
    CRITERIO DE LOS PUNTOS
    CRÍTICOS
    Es utilizado para analizar la variación de los signos de
    los factores lineales (de coeficientes reales) en una
    multiplicación indicada.
    541
    EJEMPLO 1:
    Sea P(x) = (x – 3)(x – 7)
    * Donde los puntos críticos son 3 y 7.
    Ubiquemos estos valores en la recta real.
    3 7
    I II III
    ¥ +¥
    * Los puntos críticos particionan a la recta  en 3 zonas
    (intervalos):
    I) x Î -¥;3 Û x< 3Û x-3<0Ù x-7 <-4<0 ,
    luego (x – 3)(x – 7) > 0
    II) x Î 3;7 Û3< x<7 Û0< x-3< 4Ù x-7 <0 ,
    luego (x – 3)(x – 7) < 0
    III) Si x Î 7 ;¥ Û x>7 Û x-3>4Ù x-7 >0,
    luego (x – 3)(x – 7) > 0
    * Gráficamente: P(x) = (x – 3)(x – 7)
    + – +
    ¥ 3 7 +¥
    veamos que P(x) es positivo en dos intervalos y es
    negativo en un intervalo.
    * Si se trata de resolver :
    P(x) = (x – 3)(x – 7) > 0
     C.S. = ; 3  7;
    EJEMPLO 2 :
    Sea P(x) = (x – 2)(x + 3)
    * Los puntos críticos son 2 y –3, ubiquémoslos en la
    recta real.
    + – +
    ¥ –3 0 2 +¥
    * Los puntos críticos particionan a la recta  en 3 zonas
    (intervalos) , analicemos las variaciones.
    Zona
    Factor (x – 2) (x+ 3) P(x)
    x <–3
    –3 < x <2
    x >2
    – –
    – + –
    +
    + + +
    * Si se trata de resolver P(x)  0
    + – +
    ¥ –3 0 2 +¥
    * Tendríamos que el C.S. = [–3; 2]
    INECUACIONES CUADRÁTICAS
    Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse
    adopta la forma canónica.
    2 >
    P(x)= ax +bx+c < 0
    * Es decir :
    2 2
    2 2
    ax +bx+c>0 ax +bx+c<0
    ax +bx+c 0 ax +bx+c 0

      
    * Donde x, es la incógnita y; a, b, c  / a  0
    RESOLUCIÓN GENERAL :
    La resolución depende exclusivamente del
    coeficiente principal y de la discriminante
     =b2  4ac del polinomio P. Luego se tiene 3
    casos.
    PRIMER CASO (   ) :
    Cuando   ; el polinomio P(x) = ax2 +bx + c ; a¹ 0;
    es un trinomio cuadrado perfecto.
    EJEMPLO 1:
    * (x – 1)2  0  C.S. =  , pues x  , cumple al
    ser reemplazada en la inecuación.
    * x2 – 4x + 4 > 0  (x – 2)2 > 0, notamos que se
    verifica x  , excepto cuando x = 2.
     C.S. =  2
    * x2 – 6x + 9 < 0  (x – 3)2 < 0, obviamente la
    inecuación tiene el símbolo que hace que esta
    inecuación sea no verificable para algún valor real.
     C.S. = 
    * (x  5)2  0  (x  5)2 =0  Tenemos que la
    única solución es x = 5.  C.S. = {5}
    OBSERVACIÓN:
    La inecuación (2ax + b)2  0 presenta solución única.
    EJEMPLO 2 :
    Resolver : 4x2 – 12x + 9 ³ 0
    RESOLUCIÓN :
    * El polinomio es: P(x) = 4x2 – 12x + 9
    * Hallemos su discriminante
    =144 4(4)(9) = 0
     P(x) = 4x2 – 12x + 9 es un T.C.P.
    * Luego : P(x) = (2x – 3)2  0  (2x  3)2  0
    * Como se observará esto es cierto x 
     C.S.= = ;+
    OTRA FORMA :
    x2 + 4x + 7 > 0 ; completando cuadrados:
    2
    2
    x + 4x + 4 + 3 > 0
    (x + 2) + 3 > 0
     

    542
    * Se observa que (x + 2)2 + 3 siempre es positivo
    x   C.S.= ;+
    SEGUNDO CASO (  0 ) :
    Aquí el polinomio P(x) = ax2 + bx + c es factorizable
    sobre  . Es decir :
    P(x) = a(x – x1)(x – x2)
    donde x1 , x2 son las raíces.
    Luego para resolverlos ><
    P(x) 0 aplicamos el criterio
    de los puntos críticos.
    MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS :
    El método de los puntos críticos se utiliza en una
    inecuación cuadrática si y solo si   0 .
    Procedimiento:
    I) El primer coeficiente (a > 0) en caso contrario
    multiplicar por (–1).
    II) Factorizar el polinomio cuadrático :
    P(x) = ax2 + bx + c llevándolo a la forma.
    P(x) = a(x – x1)(x – x2)
    III) Luego se calcula los puntos críticos (x1 ; x2) para
    ubicarlos en la recta numérica real (x1 < x2)
    IV) Después de ubicar en la recta numérica real
    tenemos:
    + – +
    x¥ x 2 +¥ 1
    OBSERVACIÓN:
    Es indispensable que el primer coeficiente de cada
    factor lineal sea positivo , por ello se colocan entre los
    puntos críticos los signos (+) y (–) alternadamente de
    derecha a izquierda; es decir, comenzando de la
    derecha del mayor punto crítico con el signo (+) .
    V) Si tenemos :
    P(x) = ax2 + bx + c > 0 (a > 0 Ù D > 0)
    P(x) =ax2 + bx + c > 0 (a > 0 Ù D > 0)
    El conjunto solución estará formado por los intervalos
    donde aparezca el signo (+)
    En forma análoga:
    P(x) =ax2 + bx + c < 0 (a > 0 Ù D > 0)
    P(x) =ax2 + bx + c £ 0 (a > 0 Ù D > 0)
    El conjunto solución estará formado por el intervalo
    donde aparece el signo (–).
    EJEMPLO 1:
    Resolver : x2  5x+4  0
    RESOLUCIÓN :
    * Factorizando por aspa simple, se tiene (x
    – 4) (x – 1)  0. Los puntos críticos serán: 1; 4 (que son
    valores que anulan cada factor).
    * Reemplazamos en la recta numérica.
    4

    1
    + +
    ¥ +¥
    * Empezamos de derecha a izquierda con el signo
    “+”, pues los coeficientes de “x” son positivos, además
    tomamos la parte positiva, pues el símbolo en la
    inecuación es ''³ '' .
    * Luego : C.S. = ;1 4;+
    EJEMPLO 2 :
    Resolver : x2 + x – 6 ³ 0
    RESOLUCIÓN :
    x2  x  6  0  ( x  3)( x  2)  0
    * Luego los puntos críticos son : –3 ; –2
    + – +
    ¥ –3 2 +¥
     C.S.= ; 3  2;+
    EJEMPLO 3:
    Resolver : x2 + x – 1 < 0
    RESOLUCIÓN :
    *   0 ; pero no es factorizable por aspa simple; pero
    nos interesa los puntos críticos, entonces podemos
    calcularlo así:
    2
    1 2
    1 5
    x + x 1=0 x=
    2
    1 5 1+ 5
    x = ; x =
    2 2
     
     
      
    * Luego ubicando en la recta numérica real
    + – +
    –1– 5
    2
    –1+ 5
    2
    ¥ +¥
    1 5 1+ 5
    C.S.= ;
    2 2
      

    TERCER CASO (  0) :
    Aquí emplearemos el teorema del trinomio positivo sea
    :
    2  2 
    2
    (x) 2
    (+)
    b b 4ac
    P = ax +bx+c= a x+
    2a 4a
           
    
    * Si : b2 – 4ac < 0  a > 0
    * Entonces : P(x)> 0; x 
    543
    EJEMPLO 1 :
    Resolver : x2 – x + 1 > 0
    RESOLUCIÓN :
    * Se observa ( =(1)2  4(1)(1)<0),
    luego : 2 2
    2
    x x+1>0 4x 4x+4>0
    (2x 1) +3>0
      
     
    * Pero : (2x  1)2 +3>0
    * Se observa que se verifica x   C.S.=
    EJEMPLO 2 :
    Resolver : 3x2 + x+1<0
    RESOLUCIÓN :
    * Se observa que  =12  4(3)(1)<0
    * Luego completando cuadrados en :
    3x2 + x + 1 < 0
        2 2 2
    2
    2
    1 1 1
    3x 2 3x 3 3 3 1 0
    2 2 2
    1 1
    3x 1 0
    2 3 12
    1 11
    3x 3 0
    2 12
    ( )
                     
         
            
     
           
     

    
    
    * Luego hemos llegado a una contradicción
     C.S.=
    TEOREMA DEL TRINOMIO
    POSITIVO
    Si el polinomio P(x) = ax2 + bx + c ; {a; b; c}  
    tiene discriminante ( ) negativo y a > 0 ,
    entonces: ax2 +bx+c>0 ; x 
    * Es decir : P( x)  0; x  a  0    
    EJEMPLOS :
    * x2 + 2x + 3 > 0  Su C.S. =
    pues  = 22 – 4(3) = –8 < 0, y su coeficiente principal
    es positivo.
    * x2 + 4x + 7 < 0  Su C. S. = 
    Pues  = 42 – 4(7) < 0 y coeficiente principal positivo
     0 < x2+4x+7< 0  0 < 0..................¡Absurdo!
     C. S. =
    OTRA FORMA :
    2 2
    2
    ó cero
    x 4x 7 x 4x 4 3 0
    ( x 2) 3 0 C.S. 


          
        
    
    
    NOTA :
    Un teorema análogo será el siguiente:
    ax2 bx c 0, x a;b; c ; a 0
    a 0  0
          
       
     
    TEOREMA DEL TRINOMIO
    NEGATIVO
    Si el polinomio :
    P(x) = ax2 + bx + c; {a; b; c}Ì
    tiene discriminante (D < 0 ) y a < 0 entonces:
    P(x) = ax2 + bx + c < 0 ; "x Î
    EJEMPLO :
    Resolver : – 4x2 + x – 1 < 0
    RESOLUCIÓN :
    * El primer coeficiente
    (–4<0)   = 1– 4(–4)(–1)<0
    * entonces – 4x2 + x – 1 < 0, x
     C.S. = ;+
    INECUACIONESDE GRADO
    SUPERIOR
    FORMA GENERAL :
    n n 1 n 2 <
    P(x)=a0x +a1x +a2x +…+an 1x+an >0  

    Donde los coeficientes del polinomio son números
    reales con a  0; n 
    * Para determinar el conjunto solución de esta
    inecuación emplearemos el método de los puntos
    críticos.
    * Si x1, x2, x3,..., xn son las raíces reales del polinomio,
    entonces
    <
    P(x)= a0(x  x1 )(x  x2 )(x  x3 )…(x  xn )> 0
    donde a0 debe ser positivo, si es negativo se le
    multiplica por menos uno.
    MÉTODOS DE LOS PUNTOS CRÍTICOS :
    I) Es conveniente garantizar que a0 > 0 (a0: coeficiente
    principal) en caso contario multiplicar por (–1);
    encontrando así una inecuación equivalente a la
    544
    anterior.
    II) Factorizar el polinomio en el campo real para hallar
    los puntos críticos del polinomio; si el polinomio
    presenta factores cuadráticos que son positivos o
    negativos x  ; se debe realizar la cancelación
    respectiva, teniendo cuidado con el sentido de la
    desigualdad.
    III) Se llevan los puntos críticos en forma ordenada a la
    recta numérica y se analiza (abiertos y cerrados)
    IV) Cada zona determinada por dos puntos de corte
    consecutivos ,se señalan alternadamente de derecha
    a izquierda con signos (+) y (–). Se inicia siempre con
    el signo más (+).
    V) Si la expresión es mayor que cero se tomarán las
    zonas positivas y si es menor que cero se tomarán las
    zonas negativas.
    Si:
    P(x)>0
    Elegimos las zonas (+)
    P(x) 0
    
     
    Si:
    P(x)<0
    Elegimos las zonas ( )
    P(x) 0

       
    NOTA :
    Estemétodo también sirve para resolver inecuaciones
    fraccionarias (con ciertas restricciones).
    PROPIEDADES :
     a;b ; n
    2n
    2n
    2n+1
    2n+1
    I) a .b 0 b 0 a 0
    II) a .b 0 b 0 a 0
    III) a .b 0 ab 0
    IV) a .b 0 ab 0
        
        
      
      
    * Entonces: x, a
    1) Si: ( x  a)2n1  0  ( x  a)  0; n
    2) Si: ( x  a)2n1  0  ( x  a)  0; n
    EJEMPLO 1:
    Resolver : x3 – 3x2 + x – 5 > 3x2 – 10x + 1
    RESOLUCIÓN:
    * Despejando : x3 – 6x2 + 11x – 6 > 0 .............. (I)
    * Factorizando por divisores binómicos :
    (x – 1)(x – 2)(x – 3) > 0
    * Los puntos críticos son: {1; 2; 3}
    * Graficando en la recta real y analizando :
    + +
    ¥ – 1 2 – 3 +¥
    * Los puntos críticos van abiertos si :
    P(x) < 0; P(x) > 0
    * En caso contrario van cerrados :
    P(x)³ 0; P(x)£ 0
    * Como (I) es una expresión mayor que cero , se
    toman las zonas positivas.
    * Entonces : C.S.=1; 2  3;
    EJEMPLO 2 :
    Resolver : x3 - 4x ³ 0
    RESOLUCIÓN :
    * Factorizando :
    x( x2  4)  0  x( x  2)( x  2)  0
    * Ahora determinamos las raíces del polinomio a los
    que se le denomina puntos críticos, para ello igualamos
    a cero cada factor :
    x = 0  x + 2 = 0  x – 2 = 0
    * de donde los puntos críticos serán
    x1 = 0  x2 = –2  x3 = 2
    * Luego se ubican estos puntos en la recta
    numérica real :
    0

    –2
    + +
    2

    ¥ +¥
    * Entonces : C.S.=2; 02;
    EJEMPLO 3 :
    Resolver : (x+1)(x  2)(x  3)(x  4)  0
    RESOLUCIÓN:
    * Como el coeficiente principal del polinomio es
    negativo multiplicamos ambos miembros por menos
    uno, ya sabemos que el sentido de la desigualdad debe
    cambiar. (x  1)(x  2)(x  3)(x  4)  0
    * Los puntos críticos son: 1 ; 2 ; 3 ; 4.
    – + – +
    1 2 0
    +
    ¥ 3 4 +¥
    * De lo cual el C.S. = ;1 2; 3 4;+
    EJEMPLO 4 :
    Resolver: (x – 4)20 (x – 8)4 (x + 3)(x – 5) < 0
    RESOLUCIÓN :
    * Como vemos que :(x – 4)20 y (x – 8)4 son siempre
    positivos, entonces simplificando tenemos :
    (x – 5)(x + 3) < 0, donde resolviendo
    –3 5
    + – +
    ¥ +¥
    * Aparentemente el conjunto solución sería  3; 5
    545
    * Por si reemplazamos los puntos críticos en la
    inecuación original vemos que 4 no forma parte de la
    solución , entonces : C.S.= 3; 5  4
    EJEMPLO 5 :
    Resolver: (x – 1)6 (x + 2)(x – 3)(x – 13)28 < 0
    RESOLUCIÓN :
    * Simplificando se obtiene : (x + 2) (x – 3) < 0
    * Los puntos críticos son : –2 ; 3.
    + – +
    ¥ –2 3 +¥
    * Notemos que el C. S.= 2;3 , pero el factor (x -1)2 ,
    cancelado, tiene a x = 1, que es un valor que anula el
    factor y que reemplazando en la inecuación original
    tendríamos el absurdo (0<0), esto quiere decir que x =
    1 es un valor no solución.
     C.S.= 2; 3  1
    * Lo mismo pasa con x = 13, pero como no está en el
    C.S. no le afecta.
    CONJUNTO DE VALORES
    ADMISIBLES
    El conjunto de valores admisibles de una expresión
    matemática es aquel conjunto denotado por C.V.A.
    que agrupa a todos los valore(s) de la variable(s)
    que garantizan la existencia de la expresión
    matemática , es decir , valores de la variable que
    permiten que la expresión esté bien definida .
    El C.V.A se va a considerar respecto a  , salvo
    indicación contraria.
    EXPRESIONES POLINOMIALES :
    n n 1 n 2
    P( x) a0 x a1x a2x an ; a0 0; n
    C.V.A.
             
     
     

    EXPRESIONES FRACCIONARIAS :
    Como la división por cero no está definida, entonces
    el denominador no puede ser cero.
    así:   P( x)
    f ( x) C.V.A. x /Q( x) 0
    Q(x)
        
    EXPRESIONES IRRACIONALES :
    Estas expresiones están definidas sobre los reales
     , de modo que : n f(x)   .
    * Cuando n es par  n   n  2  f ( x)  0
    * Cuando n es impar
     n   n  3  f ( x) ;
    EJEMPLOS :
    *
    x2
    F(x)=
    2x  1 , el C.V.A. está dado por todos
    aquellos valores reales para x, tal que 2x – 1  0. Es
    decir:
    1 1
    C.V.A. x / x
    2 2
                
       
     
    * en G(x)= x  2 , el C. V. A. está dado por todos
    aquellos valores reales para x, tal que el radicando
    es no negativo : x – 2  0.
    Es decir : C.V.A.  x  / x  2  2; 
    INECUACIÓN FRACCIONARIA
    Son aquellas inecuaciones que se reducen a la
    siguiente forma general :
      ><
    P(x)
    f(x)= 0 ; ° Q(x) 1
    Q(x)

    donde P y Q son polinomios 0[Q(x)]: “Grado de
    Q(x)”
    RESOLUCIÓN :
    * Como 2
    Q(x)  0  Q(x) >0
    * Multiplicando a ambos lados de la inecuación
    siguiente : 2
    (x)
    P(x)
    >0 por Q
    Q(x)
    * se tiene : 2 2
    (x) (x)
    P(x)
    Q × >Q ×0
    Q(x)
    * con lo cual el sentido de la desigualdad no se altera.
    *Luego, simplificando se tiene :
    Q(x). P(x) > 0. Esto último sería una inecuación
    polinomial , siempre que Q(x)  0
    *En resumen una inecuación fraccionaria de la forma:
    ><
    P(x)
    0 con Q(x) 0
    Q(x)

    será equivalente a una inecuación polinomial .
    RESOLUCIÓN GENERAL :
    > >
    < <
    P(x)
    0 P(x)Q(x) 0 Q(x) 0
    Q(x)
      
    * Sabemos que el resultado de dividir signos es el
    mismo que el de multiplicar signos ; por ello ,
    utilizaremos el método de los puntos críticos que ha
    sido estudiado en las inecuaciones polinomiales.
    EJEMPLO 1 :
    Resolver :
    x2 3x 4
    0
    x 5
     


    RESOLUCIÓN :
    * Factorizando : (x 4)(x+1)
    0
    x 5



    546
     P.C : 4; 1; 5 , graficando :

    + +
    ¥ – –1 4 – 5
    OBSERVACIÓN:
    Se iguala a cero los factores del denominador y
    después se restringen estos puntos críticos es decir
    van a ir abiertos.
    * En –1 y 4 van cerrados por ''£'' ; en 5 abierto por ser
    del denominador , tomando las zonas negativas.
    C.S.=; 14; 5
    EJEMPLO 2 :
    Resolver :
    2
    2
    x 3x+2
    0
    x 6x+5



    RESOLUCIÓN:
    * Factorizando el numerador y denominador se tiene:
    (x 2)(x 1)
    0
    (x 5)(x 1)
     

     
    *Los valores admisibles serán todos los x   ,
    excepto 5 y 1.
    * Es decir : C.V.A. =  – {5; 1}
    * Procedemos a simplificar :
    x 2
    0
    x 5



    * Graficando :
    + – +
    ¥ 2 5 +¥
     C.S.=2; 5
    * Notar que en 5 es abierto por el C.V.A.
    EJEMPLO 3 :
    Resolver :
    x+1 x 1
    x 1 x+1



    RESOLUCIÓN:
    * Garantizar la definición de las expresiones con : x
     {1; –1}
    * Luego :
    x+1 x 1 4x  
    0 0 P.C.= 1; 0; 1
    x 1 x+1 (x+1)(x 1)

         
     
    * Graficando :
    –1 1
    + –
    0
    – +
    ¥ +¥
    * Entonces: C.S.= ; 1 0;1
    ECUACIÓN IRRACIONAL
    Son aquellas ecuaciones de la forma: P(x)= 0
    donde P es una expresión algebraica irracional.
    RESOLUCIÓN:
    *Primeramente se determina el C.V.A , luego la
    ecuación original se reduce a otra equivalente más
    simple y la solución o soluciones de esta última
    ecuación se analizan si está o no considerado en el
    C.V.A.
    EJEMPLO :
    Resolver : 2x+13 = x+3 + x+6
    RESOLUCIÓN :
    * Cálculo del C.V.A :
    2 x 13 0 x 3 0 x 6 0
    13
    x x 3 x 6
    2
    x 3 C.V.A. 3 ;
           
            
          
    * Elevando al cuadrado miembro a miembro :
    2
    2
    2x 13 x 3 x 6 2 x 3 x 6
    ( x 3)( x 6) 2 x 9x 18 4
    x 9x 14 0 ( x 2)( x 7 ) 0
    x 2 x 7
           
           
           
         
    * Pero : x3;+
     El único valor que se acepta es : x = –2
    * Entonces : C.S. = {–2}
    INECUACIÓNES IRRACIONALES
    Son aquellas inecuaciones cuyas incógnitas se
    encuentran efectadas por radicales o exponentes
    fraccionarios.
    EJEMPLOS :
    5 x2 + 2
    x 1+ x<1 ; 3
    2 2 x
     
     
    * De otro lado como las inecuaciones solo se
    verifican en el campo de los números reales, se cumple
    el siguiente principio fundamental.
    PRINCIPIO FUNDAMENTAL :
    En toda inecuación irracional de índice par , las
    cantidades subradicales deben ser mayores o
    iguales a cero y esto nos determina el universo dentro
    del cual se resuelve la inecuación dada (C.V.A.)
    RESOLUCIÓN:
    I) Hallar la existencia (C.V.A) de la expresión irracional
    F(x).
    II) Se transforma la inecuación , elevando a ambos
    miembros a un exponente que elimine el radical . Si el
    índice del radical es par, ambos miembros de la
    547
    inecuación deben ser positivos obteniendo el conjunto
    de posibles soluciones Sp (solución particular).
    III) El conjunto solución se obtiene intersectando el CVA
    con Sp.
    PROPIEDADES :
    2n
    2n
    2n 1
    2n 1
    a; b ; n
    I) a b 0 (a 0) (a 0 b 0)
    II) a b 0 a 0 b 0
    III) a .b 0 a.b 0
    IV) a .b 0 a.b 0


      
           
         
      
      
     
    V) x, y  : x  y ; si y sólo si
     2 
    2
    2n 2n
    x 0 y 0 x y
    VI) y<0; x y x 0
    VII) y 0; x > y x 0 x> y
    VIII) x, y ; n ; x y 0 x 0 y 0
        
       
        
            
    Además podemos aplicar la siguiente propiedad :
    Cuando una expresión n f(x) se encuentra
    multiplicando a otras expresiones matemáticas en un
    sólo miembro y se tiene cero en el otro miembro,
    entonces:
    * Si n es par , se simplifica toda la expresión por ser
    positiva.
    * Si n es impar , se reemplaza n f(x) por el radicando
    f(x) ; es decir se elimina el símbolo radical.
    OBSERVACIÓN:
    Si los radicales son de índice IMPAR no existe
    restricción respecto a sus radicandos los que
    pueden ser positivos o negativos o cero.
    EJEMPLO 1 :
    Resolver : 5  x  3
    RESOLUCIÓN :
    * Restricción : 5  x  0  x  5
     C.V.A.= ; 5
    * Elevando al cuadrado :
    5  x  32  x  4  Sp= ; 4
    * Luego : C.S.= Sp C.V.A.= ; 4
    EJEMPLO 2 :
    Resolver : 7 x  3  5 x  4  0
    RESOLUCIÓN :
    * Eliminamos los radicales por ser de índice impar,
    así : (x  3)(x  4)  0
    * Entonces : C.S. = [3; 4]
    EJEMPLO 3:
    Resolver : x  3 + 8  x > 0
    RESOLUCIÓN :
    * El conjunto solución a esta inecuación está
    determinado por la intersección de los universos de
    cada radical , es decir :
     
    C.V.A.=(x 3) 0 (8 x) 0
    C.S.= x 3 8 x C.S.= 3; 8
        
        
    EJEMPLO 4 :
    Resolver : x+3 + x  2  5
    RESOLUCIÓN :
    * C.V.A.:
    x+3 0 x 2 0 x 3 x 2
    C.V.A.= 2;+
            
      
    * Pasando un radical al segundo miembro :
    x+3  5  x  2
    * Elevando el cuadrado los dos miembros de la
    inecuación :
    x+3 25 10 x 2+ x 2 10 x 2 20
    x 2 2
          
      
    * Elevando al cuadrado :
    x  2  4  x  6  Sp= ;6
    * Luego :

     
    C.S.=C.V.A. Sp= 2;+ ;6
    C.S.= 2;6
        

    OBSERVACIÓN:
    Algunas inecuaciones irracionales de índice par se
    transforman en sistemas, como las que mostramos a
    continuación :
    A) Si: 2n f(x)< 2n g(x) , entonces :
    f(x) 0 (I)
    f(x)< g(x) (II)
     
      


    ...........................
    ........................
    B) Si : 2n f(x)  2n g(x) , entonces :
    f(x) 0 .............................. (I)
    f(x) g(x) ............................ (II)
     
      

     
    C) Si : 2n f(x)> 2n g(x) , entonces :
    548
    g(x) 0 .............................. (I)
    f(x)> g(x) .......................... (II)
     
      


    D) Si : 2n f(x)  2n g(x) , entonces :
    f(x) 0 ........................... (I)
    f(x) g(x) .......................... (II)
     
      

     
    EJEMPLO 5 :
    Resolver : 2
    1
    16 16 x
    x
      
    RESOLUCIÓN :
    * En este caso lo equivalente , será :
    2
    16 x 0 .............................(I)
    1
    16 16 x ......................... (II)
    x
      

        
    * De (I) : 16  x  0  x  16  x ;16 ... ( )
    * De (II) :
    3
    2 2
    1 x 1
    16 16 x 0
    x x

        
    * Factorizando el numerador :
    ( x  1)( x2  x  1)
    ( )
    2 0
    x
    x 1 x 1; .............( )


        
    * De ( ) y ( ) : C.S. = [1; 16]
    EJEMPLO 6 :
    Resuelva : x  3 +6 9  x  x  10
    RESOLUCIÓN :
    * C.V.A.: x  3  0  9  x  0
     
    x 3 9 x
    3 x 9 C.V.A.= 3;9
       
       
    * Veamos el signo de (x – 10)
    Por el C.V.A.:

    3 x 9 3 10 x 10 9 10
    7 x 10 1 ( x 10)
           
             
    * Luego , se observa que (x – 10) es negativo.
    Entonces : 6
    (+) ( )
    x 3 9 x x 10

      
    * Siempre se verifica , que una expresión positiva , será
    mayor que otra expresión que sea negativa.
    C.S. = C.V.A. = [3; 9]
    INECUACIONES EXPONENCIALES
    Son aquellas inecuaciones cuya incógnita se encuentra
    en el exponente y sus criterios de solución son:
    I) En toda desigualdad, si las bases son iguales y
    mayor que la unidad, al comparar los exponentes, el
    signo de la desigualdad no se invierte, es decir:
    Si la base está es mayor que la unidad
    (a > 1); se cumple:
    1° P(x) >Q(x)



    P(x) >Q(x)
    P(x) <Q(x)
    aP(x) <aQ(x) P(x) <Q(x)
    aP(x) < aQ(x)
    aP(x) >aQ(x)
    aP(x) > aQ(x)
    EJEMPLO :
    Resolver : 52x3  25 x+2  0
    RESOLUCIÓN :
    * Expresando la inecuación convenientemente, se
    tendría : 52x3  25 x+2  52x3  52x+4
    * como , la base es mayor que la unidad, se cumple
    que :
    2x 3 2x 4 4x 7
    7 7
    x x ;
    4 4
         
          
    0 7
    4
    ¥ +¥
    II) En toda desigualdad si las bases son iguales y su
    valor está comprendido entre cero y uno (0 <
    base < 1) al comparar los exponentes el signo de la
    desigualdad se invierte , es decir :
    Si la base está comprendida entre
    cero y la unidad (0 < a < 1); se cumple:
    1° P(x) <Q(x)



    P(x) <Q(x)
    P(x) >Q(x)
    aP(x)<a P(x) >Q(x)
    aP(x)< a
    aP(x) a
    Q(x)
    >
    aP(x)> a
    Q(x)
    Q(x)
    Q(x)
    EJEMPLO:
    Resolver : x6 (0,5)x+6  x+6 (0,5)x6
    RESOLUCIÓN :
    * Transformando los radicales a exponentes
    fraccionarios , se tiene :
    x+6 x 6
    (0,5)x 6 (0,5)x+6

     
    * Como la base está comprendida entre cero y la
    549
    unidad , al comparar los exponentes, el signo de la
    desigualdad varía , es decir :
    x+6 x 6
    x 6 x+6



    * Como el segundo miembro debe ser cero :
    x+6 x 6
    0
    x 6 x+6

     

    * Efectuando las operaciones indicadas , se obtiene:
    x
    0
    (x+6)(x 6)


    * Puntos críticos : {–6; 0; 6}
    * Graficando en la recta real :
    + – +
    0 6

    ¥ –6 +¥
    * Luego : x  6; 0 6;
    SISTEMAS DE INECUACIONES
    Se denomina asi al conjunto de desigualdades que se
    satisfacen para un mismo conjunto solución.
    REGLAS PARA SU SOLUCIÓN :
    * Se resuelve cada inecuación por separado
    encontrando soluciones para cada una de ellas.
    *Se realiza la intersección de tales soluciones, el
    resultado es el C.S. del sistema.
    Sea el sistema :
    1
    2
    3
    P (x) 0 ............................... (I)
    P (x)<0 .............................. (II)
    P (x)>0 .............................. (III)
     




    Sean S1 ; S2 ; S3 las soluciones de (I),(II) ,(III)
    respectivamente , entonces :
    C.S.=S1 S2 S3
    EJEMPLO 1:
    Resolver :
    2 4x
    > x 3 ........................ (I)
    6
    3x+8
    > x 1 ..........................(II)
    4

     

    RESOLUCIÓN :
    * De (I) : 2  4x>6x  18
     2x> 20  x> 10 ................. S1
    * De (II) : 3x + 8 > 4x – 4
      x> 12  x <12 ................S2
    * El conjunto solución será : C.S. = S1  S2
    ¥ –10 12 +¥
     C.S.= x  10;12
    EJEMPLO 2 :
    Resolver : 3x  1  x+7 < 2x+5
    RESOLUCIÓN:
    * El sistema equivalente será :
    3x 1 x+7 ...................... (I)
    x+7 < 2x+5 ........................ (II)
      


    .
    * De (I) : 2x  8   x  4  S1 = ; 4
    * De (II) : –x < –2  x> 2  S2 = 2;+
    * Luego :


    C.S.=S1 S2 C.S.= ; 4 2;+
    C.S.= 2;4
        

    EJEMPLO 3 :
    Si “x” e “y” son cantidades enteras positivas, calcular
    “x2 + y2”, al resolver el sistema :
    5x 3y> 2 ............................ (I)
    2x+ y<11 ............................. (II)
    y>3 .............................. (III)
     




    RESOLUCIÓN :
    * Multiplicando la inecuación (I) por 2 y la inecuación
    (II) por 5 , obtenemos :
    10x 6y> 4 ( )
    10x+5y< 55 ( )


     


    .......................
    .....................
    * Restando miembro a miembro ( ) y ( ) :
    10x – 6y – 10x – 5y > 4 – 55
    Þ–11y > –51
    51
    y<
    11

    * Dado que : 3 < y <
    51
    4, y=4
    11
     ..............
    * Reemplazando y = 4 , en el sistema :
    5x 3y> 2 x> 2,8
    2x+ y 11 x<3,5
      
         
        
    * Aquí observamos que : x = 3
    * Luego : x2 + y2 = 32 + 42 = 25
    RESOLUCIONES GRÁFICAS :
    Analizaremos el caso de un sistema de inecuaciones
    en dos variables.
    550
    Generalmente la solución se expresará en forma
    gráfica , pues los valores de x e y que satisfacen el
    sistema forman un conjunto de pares ordenados
    (a ; b) cuya gráfica es una región .
    A continuación se mostrará los procedimientos más
    adecuados para hallar la solución del sistema a través
    de algunos ejemplos representativos.
    EJEMPLO 1 :
    Resolver :
    x+ y 2 ....................... (I)
    2x y 4 ....................... (II)
     

      
    RESOLUCIÓN:
    * Graficando : x + y = 2 ..................... (frontera)
    Y
    2
    X
    (2;2)
    2
    La región sombreada
    representa la solución
    de la inecuación (I).
    Región solución de (I)

    ÞLa región sombreada representa la solución de la
    inecuación (I).
    * Luego de (II) : 2x – y = 4 ........ (frontera)
    Y
    X
    (1;3)
    La región sombreada
    representa la solución
    de la inecuación (II).
    Región
    solución de (II)

     La región sombreada representa la solución de la
    inecuación (II).
    * Intersectando , resulta :
    Y
    X
    Región solución
    Conjunto de puntos
    que cumplen la
    inecuación (I) y (II)
    EJEMPLO 2 :
    Resolver :
    x+ y<1 .............................(I)
    x+ y< 4 ................................(II)
    
    ..
    RESOLUCIÓN :
    Y
    1
    X
    1
    x+y=1
    Y
    4
    X
    4
    x+y=4
    Y
    1
    X
    1
    Región
    solución
    4
    4
    EJEMPLO 3:
    Resolver : x2 + y2 9
    x+ y 3
      

     
    RESOLUCIÓN :
    * Graficando :
    Y
    X
    Región solución
    x+y=3
    x2+y2=9
    EJEMPLO 4 :
    ¿Cuántos puntos de coordenadas enteras tiene el
    conjunto solución del sistema?
    y x2
    x+ y 2
      

     
    RESOLUCIÓN:
    * Graficando adecuadamente.
    Y
    X
    8 puntos
    x+y=2
    y=x2
    Región
    solución
    * Entonces el sistema tiene ocho soluciones enteras.
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