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MATRICES EJERCICIOS RESUELTOS-ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF

OBJETIVOS:
* Valorar la importancia del álgebra matricial y la adquisición de estrategias para la simplificación de los
cálculos.
* Identificar los tipos de matrices.
* Operar con matrices: suma y diferencia de matrices, producto de un número real por una matriz, producto
de matrices. Conocer las propiedades de estas operaciones.
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INTRODUCCIÓN:
Hablar de matrices hoy en día es hablar de una herramienta
tan común en matemáticas, que con el tiempo apareció en
forma independiente. La teoría de matrices y su proceso de
formación fue a mediados del siglo pasado, pero su plenitud
y elegancia la adquiere después. Hasta hoy la teoría de
matrices es un instrumento de investigación apropiado a las
necesidades prácticas y a las construccions abstractas de
las matemáticas modernas.
Si se conoce la naturaleza de una matriz, es posible
valerse de ella en el almacenamiento, presentación y
manipulación de datos. Si los datos se guardan dentro
de unamatriz con algún patrón lógico, la recuperación
de los elementos individuales o grupos de elementos
puede ser relativamente fácil. A menudo, se necesita
manipular datos que se almacenan en una matriz. Por
ejemplo las tablas del impuesto sobre la renta, las
calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes,
los informes económicos de una compañía , ymuchos
otros datos.
En la actualidad, la principal utilidad de las matrices tiene
que ver con aplicaciones computarizadas. Los programas de
computación se valen periódicamente dematrices ‘‘arreglos’’
para guardar y procesar información.
Las matrices surgen de un gran número de situaciones de la
vida diaria. Por ejemplo, al considerar los cursos del
POLITÉCNICO de tu zona y analizar el número de
estudiantes por especialidad.
Ejemplos Computadoras

Se asigna a cada curso una fila y cada programa una
columna.
De acuerdo con la tabla anterior se observa:
* Los cursos determinan 6 filas.
* Los programas de arquitectura, computadores,
diseño industrial y electricidad, determinan 4 columnas.
* La intersección de una fila y una columna informa
sobre el número de estudiantes de un curso que hay
en el programa. Por ejemplo, el número colocado en
la interseción de la quinta fila y la segunda columna
indica que hay 36 estudiantes de décimo grado en el
programa de computadoras.
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año
1850, introducidas por J.J. Sylvester
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático
W.R. Hamilton en 1853
En 1858,A.Cayley introduce la notaciónmatricial como
una forma abreviada de escribir un sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las
ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de
ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma
natural en geometría, estadística, economía,
informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye
actualmente una parte esencial de los lenguajes de
programación, ya que la mayoría de los datos se
introducción en los ordenadores como tablas
organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo,
bases de datos,...
MATRIZ
Una matriz es un arreglo o disposición rectangular de
números. Si el arreglo tiene m filas (horizontales) y n
columnas (verticales), se llama matriz de orden m×n.
EJEMPLO 1:
3 8 7 Fila
1 4 2 Fila
Columna
 
   
  
339
es una matriz 2×3, porque tiene dos filas y tres
columnas.
* En la primera fila y primera columna aparece ubicado
el número 3.
* En la primera fila y segunda columna aparece el
número 8.
* En la segunda fila y tercera columna , el número 2.
*A cada número en el arreglo se le denomina entrada.
EJEMPLO 2:
 3 
3 5 2 – 3 5 7
A= ; B= 3 – 9 – 4 1 – π
4
2
C = –6 ; D= – 4 2 7 4
5
9
 
   
       
 
 
 
 
 
 
 
DEFINICIÓN (MATRIZ):
Es un conjunto de elementos (números, funciones,
vectores, etc.) dipuestos en forma rectangular y
además ordenados en filas y columnas.A las matrices
se les denota con letramayúscula y se le encierra entre
paréntesis o corchetes.
EJEMPLO 3:
2
1 1 1
A= 2 3
2 3 0
x 2x
B= 2 2
x – 1 3
 
  
 
 
  
 
es una matriz de orden
es una matriz de orden
C=4 es de orden 1×1
* El siguiente arreglo 3
4 5
 
 
 
no es una matriz, no es un
arreglo rectangular.
OBSERVACIONES:
* Una matriz por ser un arreglo rectangular no
posee valor numérico.
* Es importante adquirir el hábito de enunciar
siempre filas antes que las columnas (filas -
columnas)
NOTACIÓN GENERAL:
Se simboliza cada elemento con subíndices de la
forma aij, donde i representa la fila donde se encuentra
y j la columna.
Así la matriz de ‘‘m’’ filas y ‘‘n’’ columnas cuyos
elementos son aij es:

Que abreviadamente se representa por:
número de columnas
número de filas
Donde: m;n  
Siendo: i=1; 2; 3; ...; m. j=1; 2; 3; ...; n. y podemos
leer así:
‘‘A es la matriz de m filas y n columnas’’ aij es un
elemento de la matriz A.
* Además:
a11 ; a12 ; ... a21 ; ... ; am1 ; am2 ; ... amn
se llaman elementos de la matriz ‘‘A’’. ‘‘aij’’ es el
elemento ubicado en la fila ‘‘i’’, columna ‘‘j’’.
OBSERVACIONES:
* Las matrices usualmente se denotan por las letras
mayúsculas A , B , C , ...
* Para la notación de una matriz en la forma general
sus elementos se designan con letras mayúsculas que
vienen acompañadas de dos subíndices (aij), donde el
primer subíndice (i) indica el número de la fila y el
segundo (j) el número de la columna en la cual se
encuentran ubicados dichos elementos.
EJEMPLO:
3
2
–1
5
–2
–3
4
1
0
–2
–5
1
2
1
3
4
1
5
4
2
A = Fila i(i = 3)
Columna j(j = 2)
Fila 1: 3 ; –2 ; 0 ; 2 ; 1
Fila 3: –1 ; 4 ; –5 ; 3 ; 4
Columna 1: 3 ; 2 ; –1 ; 5
Columna 3: 0 ; –2 ; –5 ; 3
El 4 es el elemento que pertenece a la 3ra. fila y a la
2da. columna esto se denota por:
340
4 = a32
Letra de la matriz (minúscula)
Número de columnas.
Número de filas.
a34 = 3 ; a25 = 5
a12 = –2 ; a11 = 3
a43 = 1 ; 444 = 4
ORDEN O DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ
Es una característica de toda matriz, viene dado por la
multiplicación indicada del número de filas y el número
de columnas de dicha matriz, así si la matriz tiene m
filas y n columnas, diremos que la matriz es de orden
m×n.
Ordende "A"=m n
EJEMPLOS:
I) Lamatriz
1 a
b 2
0 – 2
 
 
 
 
 
tiene 3 filas y 2 columnas, entonces
se dice que es de orden 3×2 (tres por dos).
II) La matriz
1 4 9
2 4 16
0 0 0
 
 
 
 
 
tiene 3 filas y 3 columnas,
entonces será de orden 3×3 (tres por tres). Como el
número de filas es igual al número de columnas
podemos decir que la matriz de orden 3.
OBSERVACIÓN:
Si el número de filas es igual al número de columnas
entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su
orden es n.
EJEMPLOS: 2 – 1
M=
3 – 4
 
 
 
* M es una matriz cuadrada de orden 2.
2 5 – 1
N = 3 2 5
1 – 1 0

 
 
 
 
 
* N es una matriz cuadrada de orden 3.
EJERCICIO 1:
En las siguientes matrices:
2 1 2
0 3
A= B= 3 5 7 C=(9 1 7)
1 4
1 0 4
 
   
       
 
I) ¿Cuál es el orden de las matrices A, B y C?
II) ¿Qué número está ubicado en la tercera fila y la
segunda columna de la matriz B?
III) ¿Qué número está ubicado en la primera fila y la
tercera columna de la matriz C?
RESOLUCIÓN:
I) 2×2 ; 3×3 y 1×3 II) 0 III) 7
EJERCICIO 2:
La siguiente información da cuenta del número de
veces que tres amigos asistieron a tres cines diferentes
durante este año.
*Mónica fue al cineAlambrito 13 veces, al cine Estación
7 veces y al cine Azul 10 veces.
* Roberto fue al cine Alambrito 17 veces, al cine
Estación 8 veces y al cine Azul 11 veces.
* Teresa fue al cineAlambrito 5 veces, al cine Estación
9 veces y al cine Azul 16 veces.
A partir de los datos proporcionados:
I) Expresar la información en una matriz de datos
¿Cuál es el orden de la matriz?
II) Hallar el elemento a31. ¿Qué significa este número?
III) Determinar cuál de los tres amigos asistiómás veces
al cine.
RESOLUCIÓN:
I) Si ubicamos en la primera, segunda y tercera fila a
Mónica, Roberto y Teresa, respectivamente, y en la
primera, segunda y tercera columna a los cines
Alambrito, Estación yAzul, respectivamente, podremos
representar la informa1c3ión7en1l0a siguiente matriz.
17 8 11
5 9 16
 
 
 
 
 
El elemento 13, que corresponde a la primera fila y
primera columna, indica que Mónica fue al cine
Alambrito 13 veces. El elemento 11, correspondiente
a la segunda fila y tercera columna, indica que Roberto
fue al cine Azul 11 veces. La matriz es de orden 3×3.
II) El elemento a31 es igual a 5 e indica que Teresa fue
al cine Alambrito 5 veces.
III) Sumando las filas, podemos decir:
Mónica fue al cine 30 veces; Roberto, 36 veces y
Teresa, 30 veces. Luego, Roberto fue más veces al cine.
EJERCICIO 3:
Escribir explícitamente la matriz:
A=(aij)2×3/aij=2i – j
RESOLUCIÓN:
* Tabulando (Dando valores a ‘‘i’’ y ‘‘j’’), obtenemos:
a11 = 2(1) – 1 = 1 ; a21 = 2(2) – 1 = 3
341
a12 = 2(1) – 2 = 0 ; a22 = 2(2) –2 = 2
a13 = 2(1) – 3 = –1 ; a23 = 2(2) –3 = 1
* Luego construimos la matriz, así:
1 0 1
A=
3 2 1
  
 
 
EJERCICIO 4:
Formar la matriz ij 3 3
A= a
   tal que:
i+ j
ij
( –1) ; i j
a =
i+ j ; i< j
  


RESOLUCIÓN:
* Tenemos que:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a 1 3 4
A= a a a = –1 1 5
a a a 1 – 1 1
   
   
   
   
EJERCICIO 5:
Contestar:
I) Dada la matriz 3 8 7
B=
1 4 2
 
 
 
determina los
elementos a11, a22 y a23 .
II) Considerando los arreglos rectangulares:
1 0
3 6 – 8 0 2
A= –2 2 B= C =
3 1 3 0 0
4 1
 
     
           
 
describe el orden de las matrices y, para cada una, el
elemento a22 , b22 y c22.
III) Encuentra los componentes de la matriz B=(bij), si
B es de 2×3 y bij=2i – 4j.
IV) Encuentra los componentes de la matriz C=(Cij),
si C es de orden 4×1 y Cij=i – j.
RESOLUCIÓN:
11 22 23
22 22 22
I) a =3 ; a =4 ; a =2
II) 3 2 ; 2 3 ; 2 2
a =2 ; b =1 ; c =0
0
–2 – 14 – 62 1
III) B= IV) C=
0 – 12 – 60 2
3
  
 
             
 
IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices del mismo son iguales si todos sus
elementos de la misma posición son respectivamente
iguales.
Así: Sean las matrices
ij m n ij m n
ij ij
A=(a ) ; B=(b )
A=B a =b ; i , j
 
 
EJEMPLO 1:
Si observamos las matrices A y B de orden 3×2:
2 7 (3 –1) 7
A= 3 3 B= 3 (4–1)
4 5 4 5
   
   
   
   
   
podemos verificar que todos los elementos que están
en las mismas posiciones en ambas matrices son
iguales.
EJEMPLO 2:
Las siguientesmatrices:
2 3 8 5
A= B=
5 8 3 2
   
   
   
y no
son iguales, porque el elemento que está en la primera
fila y segunda columna de A, a12=3 es diferente que
su correspondiente en B, b12=5.
EJEMPLO 3:
Si consideramos que las siguientes matrices:
 
1 a 3 1 4 c
M= N=
2 b–1 2 2 1 2
   
   
   
son iguales, entonces se tendrá que a=4; b – 1=1 y
c=3.
* Es decir:
a=4 ; b=2 y c=3.
MATRICES ESPECIALES
De acuerdo a la disposición de sus elementos o de la
naturaleza de estos.
Aquí veremos las matrices cuadradas, las
rectangulares y sus tipos más usados.
1) MATRIZ COLUMNA :
Es aquellamatriz, que tiene una sola columna, es decir
es de orden ‘‘m×1’’.
A=(aij)m×n es una matriz columna si n=1 ó bien
A=(aij)m×1.
3 1
5
A= 3
–1 
 
 
 
 
 
2) MATRIZ FILA :
Es aquella, que tiene una sola fila, es decir es de orden
‘‘1× n’’.
A=(aij)m×n es una matriz fila si m = 1 o bien A=(aij)i×n
EJEMPLO:
B=(2 – 4 6)1×3
342
NOTA:
En ocasiones, a las matrices filas y columnas se les
llama vectores filas y columnas.
3) MATRIZ RECTANGULAR :
Son aquellas matrices donde el número de filas es
distinta al número de columnas.
Esto es: la matriz A=(aij)m×n es rectangular si m  n.
EJEMPLOS:
1 7
A= 3 8
2 9
 
 
 
 
 
A es una matriz rectangular de orden 3×2.
4) MATRIZ NULA :
Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde
todos sus elementos son ceros, es decir, una matriz
A=(aij)m×n es nula, si aij=0 i, j.
EJEMPLOS:
0 0 0 0 0
= ; D=
0 0 0 0 0

   
   
   
D es una matriz rectangular nula de orden 2×3.
5) MATRIZ CUADRADA :
Esta matriz se caracteriza por tener igual cantidad de
filas y columnas, diciéndose que es una matriz de
orden n×n o simplemente es una matriz de orden n , y
se denota:
A=(aij)n×n ó A=(aij)n
EJEMPLOS:
2
1
2
3
4
1
0
3
0
Diagonal
Principal
A = 3 7
B=
0 5
 
 
 
* Si es de orden n tendremos:
11 12 13 1n
21 22 23 2n
n1 n2 n3 nn
a a a ... a
a a a ... a
a a a ... a
 
 
 
 
 
 
   
TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Es la suma de los elementos de su diagonal principal.
Sea la matriz:
n
ij ij
i=1
A=(a ) Traz(A)= a
* Así en el ejemplo anterior: Traz(A)=2 +4+0=6
* En el caso de una matriz cuadrada de orden uno por
uno, si: A=[a11]. La traza de la matriz será a11, esto ya
que con un elemento no hay suma.
EJEMPLO:
Así:
5 – 3 7
B= 0 4 1 Traz(B)=5+4 2=7
0 2 – 2
 
     
 
 
DIAGONAL PRINCIPAL:
En unamatriz cuadrada A=(aij)n×n, la diagonal principal
es el conjunto de elementos aij tal que i = j.
* En la matriz de orden n la diagonal principal es:
(a11 a22 a33 ... ann)
CASOS PARTICULARES DE UNA
MATRIZ CUADRADA
I) MATRIZ DIAGONAL :
Una matriz cuadrada A=(aij)n×n es una matriz diagonal
si aij=0 ;i  j , es decir, si todos sus elementos son
ceros a excepción de por lo menos un elemento de la
diaognal principal.
EJEMPLOS:
0 0 0
7 0
A= ; B= 0 6 0
0 0
0 0 – 1
 
   
       
 
II) MATRIZ ESCALAR :
Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos
de la diagonal principal; son iguales a un número
distinto de cero, así: la matriz A= (aij)n×n es una
matriz escalar si:
ij
k 0 0 ... 0
k ; i= j 0 k 0 ... 0
a = A=
0 ; i j
0 0 0 ... k
 
           
 
ó
   
EJEMPLOS: 3 0 0
6 0
A= ; B= 0 3 0
0 6
0 0 3
 
   
       
 
III) MATRIZ IDENTIDAD :
Es una matriz cuadrada de orden n denotada por I ó In
cuyos elementos de su diagonal principal son todos
iguales a uno y los elementos fuera de la diagonal
principal son todos iguales a cero.
n ij n n donde : ij
1 ; i= j
I=I = [a ] , a =
 0 ; i j

 
343
Es decir
n
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
I = I = 0 0 1 ... 0
0 0 0 .... 1
 
 
 
 
 
 
 
   
EJEMPLOS:
  1 2 3
1 0 0
1 0
I = 1 , I = , I = 0 1 0
0 1
0 0 1
 
   
       
 
IV) MATRIZ TRIANGULAR :
Es aquella donde todos los elementos a un lado de la
diagonal principal son ceros y al lado opuesto almenos
uno no es cero.
EJEMPLO:
–2
0
11
0
4
–2
0
0
8
A =
8
0
0
–2
21
0
12
4
0
B =
Triangular
Superior
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:
Una matriz cuadrada A=(aij)n×n es triangular superior
si aij=0, i> j , esto es, cuando los elementos que
se encuentran por debajo de la diagonal principal son
ceros.
EJEMPLOS:
4 5 3
1 – 1
A= ; B= 0 1 – 9
0 2
0 0 2
 
   
       
 
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR :
Es aquellamatriz, cuyos elementos que se encuentran
encima de la diagonal principal, son iguales a cero. Es
decir: A=(aij)n es una matriz triangular inferior.
Si: aij=0 ; i< j
EJEMPLOS: 5 0 0
1 0
A= ; B= 0 2 0
2 4
7 1 6
 
   
       
 
V) TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ :
La transpuesta de una matriz A; se denota por At se
define como aquella matriz construida a partir de la
matriz A, intercambiando sus filas por sus respectivas
columnas, conservando todos sus elementos.
Si:
t  
ij m n ji n m
A= a A = a ; i; j
 
     
OBSERVACIÓN:
Si la matriz ‘‘A’’ es de orden m×n, su transpuesta (At)
será de orden n×m.
RESOLUCIÓN:
t
t
2 3
2 5 1
* A= 5 4 A =
3 4 6
–1 6
2 – 1 3 2 x 3
* A= x 2 y A = 1 2 1
3 – 1 x 3 y x
 
             
 
   
          
   
   
Sea :
Si :
PROPIEDADES:
1) ( A  B)t=At  Bt 2) (At)t = A
3) (kA)t= kAt k es escalar 4) (AB)t= BtAt
5) Traza A=Traza At
IV) MATRIZ SIMÉTRICA :
Una matriz cuadrada A=(aij)n×n es simétrica si aij=aji,
esto es, los elementos dispuestos simétricamente a
la diagonal principal son iguales.
OBSERVACIÓN:
Si unamatriz es igual a su transpuesta, se llamamatriz
simétrica
Si: A= A t  A es simétrica
EJEMPLO:
7
3
2
3
–1
4
2
4
–5
A =
7
3
2
3
–1
4
2
4
–5
A = t
Espejo
* Como: A=At  ‘’A’’ es simétrica
VII) MATRIZ ANTISIMÉTRICA :
Una matriz cuadrada A=(aij )n×n es antisimétrica si
aij= – aji, i, j , esto es, los elementos dispuestos
simétricamente, con respecto a la diagonal principal,
son de signos opuestos.
OBSERVACIÓN:
Si una matriz es igual al negativo de su transpuesta,
se llama antisimétrica.
Si: A= At  A es antisimétrica
344
EJEMPLO:
t
t
0 – 2 3 0 2 – 3
A= 2 0 – 4 A = –2 0 4
–3 4 0 3 – 4 0
0 – 2 3
A = 2 0 – 4
–3 4 0
   
        
   
   
 
     
 
 
* Como: A= –At  ‘‘A’’ es antisimétrica.
MATRICES OPUESTAS :
Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y
además sus respectivos elementos son opuestos.
EJEMPLO:
2 – 1 3 – 2 1 – 3
A= 0 6 – 1 – A= 0 – 6 1
1 4 1 –1 – 4 – 1
   
        
   
   
suopuesta es :
PROPIEDADES:
Sean A y B matrices cuadradas de orden ‘‘n’’.
1) Si: A+At B= B
2
 es simétrica
2) Si:
A– At B= B
2
 es antisimétrica
3) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como
la suma de una simétrica y otra antisimétrica; así:
t t
simétrica antisimétrica
A+ A A – A
A= +
2 2
OBSERVACIÓN:
Todas las matrices diagonales son triangulares tanto
superior como inferiormente. Por otra parte, para que
una matriz sea a la vez triangular superior e inferior es
preciso que sea diagonal. En particular las matrices
identidad y nula (de orden n) son diagonales.Además,
toda matriz diagonal es simétrica.
* De acuerdo con la definición de matriz antisimétrica,
es claro que los elementos de la diagonal principal de
unamatriz de este tipo son iguales a cero. En particular,
la únicamatriz diagonal antisimétrica es la matriz nula.
* La matriz identidad es diagonal y simétrica.
OPERACIONES FUNDAMENTALES
CON MATRICES
Antes de definir las operaciones, veamos y analicemos
el siguiente ejemplo:
La tienda Ventas del Futuro vende ropa deportiva. Las
ventas (en soles) de tres de sus vendedores estrellas:
Ernesto, Fabiola y Andrés, durante los días viernes y
sábado de la última semana en los turnos mañana y
tarde, aparecen en las tablas 1 y 2.
El administrador de la tienda desea conocer:
* ¿Cuáles son las ventas totales efectuadas por cada
uno de los vendedores en los dos días y en cada turno
de trabajo?
* ¿Cuánto se incrementaron las ventas de cada
vendedor de un día para otro y en cada turno?
TABLA 1: viernes
Vendedor Mañana Tarde
Ernesto 300 700
Fabiola 400 900
Andrés 500 800
TABLA 2: sábado
Vendedor Mañana Tarde
Ernesto 500 900
Fabiola 700 1000
Andrés 400 800
Si ordenamos la información anterior en formamatricial
para facilitar las respuestas del administrador, y
llamamos V a la matriz que contiene los datos de las
ventas de cada vendedor del día viernes y por cada
turno de trabajo y S a la matriz con la información de
las ventas del día sábado, tenemos:
300 700 500 900
V = 400 900 ; S= 700 1000
500 800 400 800
   
   
   
   
   
Si queremos ahora responder a la primera pregunta
del administrador, debemos realizar la siguiente
operación: sumar cada elemento de la matriz V con
cada elemento que ocupa la misma posición en la
matriz S. De esta manera se obtiene otra matriz del
mismo orden, a la que señalamos con la letraM, donde
cada elemento representará las ventas que realizó
cada vendedor en los dos días en cada uno de los
turnos.
La operación realizada se denomina adición de
matrices.
Supón que A y B son dos matrices del mismo tamaño.
Por lo tanto, la suma A+B es otra matriz, obtenida al
sumar cada elemento de A con el elemento que ocupa
la misma posición en B.
En el caso de la tienda de ropa deportiva, la matriz M
resulta:
345
300 700 500 900 800 1600
M = 400 900 + 700 1000 = 1100 1900
500 800 400 800 900 1600
     
     
     
     
     
A partir de la matriz M, podemos concluir que:
* Durante el turno de la mañana, Ernesto vendió en
total, por los dos días, 800 nuevos soles; Fabiola vendió
en total 1 100 nuevos soles, y Andrés, 900 nuevos
soles.
* Durante el turno de la tarde, Ernesto vendió en total,
en los dos días, 1 600 nuevos soles; Fabiola vendió en
total 1 900 nuevos soles, yAndrés 1 600 nuevos soles.
NOTAS:
* Para sumar dos matrices , el orden de ambas debe
ser igual.
* La suma se denota A+B=(aij + bij) y la matriz
resultante será del mismo orden que la matriz A.
I) ADICIÓN DEMATRICES :
Con dosmatrices de unmismo orden se puede formar
una nueva matriz, cuyos elementos se obtiene
sumando las componentes correspondientes de las
matrices (elementos homólogos).
Así si A=(aij)m×n y B=(bij)m×n la suma de A y B es la
matriz A + B de orden m × n obtenida al sumar los
elementos correspondientes de A y B. La matriz A +
B de m×n está dada por:
11 11 12 12 1n 1n
ij ij 21 21 22 22 2n 2n
m1 m1 m2 m2 mn mn
a +b a +b .... a +b
A+B= a +b = a +b a +b .... a +b
a +b a +b .... a +b
 
       
 
* La suma de matrices se puede efectuar si los
sumandos tienen igual orden.
* Las matrices
x y z 0 1 0
n m p 0 0 1
   
   
   
y por ser del
mismo orden se pueden sumar.
* En cambio, las matrices
a b x
c d y
e f z
   
   
   
   
y por ser de
diferente orden no se pueden sumar.
EJEMPLO:
* Sean:
4 – 1 5 6
A= 1 5 ; B= 3 2
3 2 2 – 4
   
   
   
   
4 – 5 – 1+6 1 5
A+B= 1+3 5+2 = 4 7
3+2 2 – 4 5 – 2
   
        
   
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN
DE MATRICES
Si A, B , C y 0 son matrices del mismo orden, además
0 representa la matriz nula , entonces:
1) A+B=B+A ................... (Ley conmutativa)
2) (A+B)+C=A+(B+C) ... (Ley asociativa)
3) A+0=0+A=A ............... (Elemento neutro aditivo)
4) A+(–A)= 0 .................... (Inverso aditivo)
* La primera propiedad indica que se obtienen los
mismos resultados cualquiera sea el orden en que se
sumen las matrices A y B.
EJEMPLO:
3 7 1 6 9 2 6 9 2 3 7 1
M = 4 9 3 + 5 4 7 = 5 4 7 + 4 9 3
5 8 2 1 0 3 1 0 3 5 8 2
       
       
       
       
* De igualmodo, la segunda propiedad indica que, para
sumar tres matrices, se pueden sumar las dos
primeras y luego la tercera, o agregar a la primera la
suma de la segunda y tercera matriz.
EJEMPLO:
1 3 8 2 4 5 1 3 8 2 4 5
+ + = + +
4 7 3 9 6 2 4 7 3 9 6 2
               
               
               
* La matriz nula , sumada con cualquier otra matriz A,
da como resultado la misma matriz A.
EJEMPLO:
3 9 1 0 0 0 0 0 0 3 9 1
4 1 3 + 0 0 0 = 0 0 0 + 4 1 3
5 8 2 0 0 0 0 0 0 5 8 2
       
       
       
       
       
SUSTRACCIÓN DE MATRICES:
(Caso particular de la adición)
Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A–
B es la matriz en la que cada elemento es la resta de
los elementos de la misma fila y columna de A y B.
* Si A y B son del mismo tamaño:
Osea: A – B=A+(–1)B A – B=[aij – bij]m×n
346
MULTIPLICACIÓN DE
MATRICES
A) MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR
UNA MATRIZ
Dados unamatriz A=[aij]m×n y un escalar k, el producto
de k y A es la matriz.
11 1n
21 2n
m1 mn
ka .... ka
kA= ka .... ka
ka .... ka
 
 
 
 
donde cada elemento de Ase multiplica por el escalar
k entonces el resultado es la matriz k A del mismo
orden que A.
Sea: A=(aij )mn  kA=(kaij )mn / k
EJEMPLOS:
* Multipliquemos a la matriz
3 2 4
6 7 – 2
 
 
 
por el escalar
(–2):
3 2 4 3(–2) 2(–2) 4(–2) – 6 – 4 – 8
(–2) = =
6 7 – 2 6(–2) 7(–2) – 2(–2) –12 – 14 4
     
     
     
* Si:
2 7
A= k=3
3 1
 
 
 
y , entonces:
2 7 3(2) 3(7) 6 21
3A=3 = 3A=
3 1 3(3) 3(1) 9 3
     
      
     
B) MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ FILA
POR UNA MATRIZ COLUMNA :
Sean las matrices:
 
 
1
2
1 2 3 n
n
n
1 1 2 2 n n i i
i=1
b
b
A= a a a ....a ; B=
b
A B= a b +a b +...+a b = a b
 
 
 
 
 
 
     

EJEMPLO:
* Sean:
4
A=(1 3 2); B= –2
5
A B=1 4+3(– 2)+2 5=8
 
 
 
 
 
   
Nótese que la operación hay que hacerlamultiplicando
la fila por la columna; cada elemento de la fila se
multiplica por el correspondiente de la columna y, a
continuación, se suman los productos obtenidos .Esta
operación se llama producto escalar de la fila por la
columna.
OBSERVACIÓN:
* El producto se define sólo si los vectores filas y
columnas contienen el mismo número de elementos.
* Del producto de estas matrices resulta un escalar.
* El producto entre matrices se calcula multiplicando
los elementos correspondientes de las dos matrices y
haciendo la suma algebraica.
EJEMPLO:
Multiplicar:
3
AB=(2 – 3) =(2)(3)+(–3)(4)=(–6)
4
 
 
 
C) MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES :
Dados dos matrices A=(aij )m×n; B=(bjk )n×p existe una
tercera matriz C=(cik)m×p que representa el producto
de multiplicar las matrices A y B; donde cik es el
producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por
la columna ‘‘k’’ de la segunda matriz.
Es decir:
n
ik m p ik ij jk
j=1
A B=(c )  /c = a  b
La multiplicación de la matriz A y la matriz B existe si y
sólo si el número de columnas de la primera matriz es
igual al número de filas de la segunda matriz.
Am×n Bn×p
Deben ser iguales
AB es “m” por “p”
REGLA DE CÁLCULO:
Si AB=C , un elemento de la matriz de producto será
igual al producto de la fila i de lamatrizAyde la columna
j de la matriz B (ver la figura).
i
j
... = i
j
...
347
EJEMPLO 1:
2 2
2 1
2 1 4
A= ; B=
3 5 6
2 1 2 4 + 1 6
3 5 3 4 + 5 6
4
6


   
   
   
     
         
 
 
 
14
AB=
42
 
  
 
EJEMPLO 2:
4 1 5 6
A= ; B=
3 2 1 3
4 1 20+1 24+3
3 2 15+2 18+6 21 27
AB=
5 6 17 24
1 3
   
   
   
   
   
     
      
 
 
* Nótese que para obtener el producto AB semultiplica
cada fila de A por todas y cada una de las columnas
de B.
EJEMPLO 3:
2 2 2 3
11 12 13
21 22 23
11 21
12 22
13 23
3 2 4 3 1
A= B=
–1 4 –1 2 2
C C C
C=A B=
C C C
C =3 4+2(–1)=10 C =( –1)(4)+4(–1)=– 8
C =3 3+2 2=13 C =( – 1)(3)+4 2= 5
C =3 1+ 2 2=7 C =( –1)(1)+4 2=7
 
   
   
   
 
   
 

  
  
* Entonces:
10 13 7
A B=
–8 5 7
 
  
 
EJEMPLO 4:
* Si:
3
R= 1 S=(2 3)
2
 
 
 
 
 
y , calcular R S.
RESOLUCIÓN:
* Como R es de orden 3 × 1 y S de 1 × 2 , el producto
R S tiene orden 3 × 2.
3 3(2) 3(3) 6 9
R S= 1 (2 3)= 1(2) 1(3) = 2 3
2 2(2) 2(3) 4 6
     
            
     
     
EJEMPLO 5:
Si
1 3 –2 5 1
M = N =
5 2 3 4 0
   
   
   
y , calcular M×N.
RESOLUCIÓN:
* Observa que M es una matriz de 2×2 y N una matriz
de 2×3, por lo que M N es una matriz de 2×3.
( –2+9) (5+12) (1+0) 7 17 1
M N= =
( –10+6) ( 25+8) (5+0) –4 33 5
   
   
   
EJEMPLO 6:
Calcular A B y B A si:
1 3 –3 1
A= B=
–1 2 –1 5
   
   
   
y
RESOLUCIÓN:
1 3 –3 1 –6 16
AB= =
–1 2 –1 5 1 9
–3 1 1 3 –4 – 7
BA= =
–1 5 –1 2 –6 7
     
     
     
     
     
     
* Observa que , aunque ambos productos AB y B A
están definidos, AB BA.
PROPIEDADES DE LA
MULTIPLICACIÓN DEMATRICES
EJEMPLO:
Sea:
1 1
2 1 2 1 1
A= , B= C = 2 0
4 3 1 0 3
1 0
  
      
             
 
y
Calcular ABC.
RESOLUCIÓN:
* Agrupando BC se obtiene:
1 – 1
2 – 1 2 1 1
A(BC)= 2 0
–4 3 –1 0 3
1 0
2 – 1 5 – 2 8 – 5
= =
–4 3 2 1 –14 11
   
       
                   
     
     
     
* Agrupar ahora AB:
1 – 1
2 – 1 2 1 1
(AB)C= 2 0
– 4 3 –1 0 3
1 0
 
       
               
 
1 – 1
5 2 – 1 8 – 5
= 2 0 =
–11 – 4 5 –14 11
1 0
 
     
           
 
* Observa que : A(BC) = (AB)C
348
EJEMPLO:
Sea
3 0 1 0 3 0
A= , B= C=
1 2 3 1 2 3
      
     
     
y
* Efectuar:
3 0 –1 0 3 0 3 0 2 0 6 0
A(B+C)= + = =
1 2 3 1 2 3 1 2 5 4 12 8
             
             
             
* Ahora, efectuar:
3 0 –1 0 3 0 3 0
AB+ AC = +
1 2 3 1 1 2 2 3
–3 0 9 0 6 0
= + =
5 2 7 6 12 8
       
       
       
     
     
     
* Por tanto, A(B+C)=AB+AC.
Desde luego que un ejemplo no constituye una
demostración; sin embargo nos hace pensar que;
aunque el producto de matrices no es conmutativo, si
es asociativo y distributivo con respecto a la suma.
A continuación se darán dos resultados que se pueden
demostrar:
1) Si A es una matriz de m×n, B una matriz de n× p
y C una matriz de p×q, entonces:
(A B) C=A(BC)........... (Ley asociativa)
2) La multiplicación de matrices es distributiva con
respecto a la adición. Para cualesquiera matrices A,
B y C de tamaños apropiados se tiene:
I) A(B+C)=AB+AC II) (B+C)A=BA+CA
PROPIEDADES:
Sean A,B y Cmatrices para los cuales están definidas
las operaciones de adición y multiplicación k y r
escalares.
1) k(A+B)=kA+kB
2) (k+r)A=kA+rA
3) k(rA)=(kr)A
4) A(BC)=(AB)C
5) A(B+C)=AB+AC
6) AB=0 no implica que A=0  B=0
7) AB=AC no implica que B=C
8) En general ‘‘AB’’no es necesariamente igual a ‘‘BA’’
DEFINICIONES:
1) Si AB=BA se dice que A y B son matrices
conmutativas.
2) Si AB=–BA se dice que A y B son matrices
anticonmutativas.
TEOREMAS SOBRE TRAZA:
Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y
 un escalar.
I) Traz(A B) = Traz(A) Traz(B)
II) Traz( A)= Traz(A)
III) Traz(AB)=Traz(BA)
 
 

III) POTENCIACIÓN DE LA
MATRICES :
Sea A unamatriz cuadrada de orden k  definimos:
n
"n" veces
1 ; n=0 ; A 0
A = A ; n=1
A A A...A ; n ;n 2

   



 
EJEMPLO:
Sea: 1 1
A=
0 1
 
 
 
, calcular An
* Por inducción:
1
2
3 2
4 3
n
1 1
A = A=
0 1
1 1 1 1 1 2
A = A A= =
0 1 0 1 0 1
1 2 1 1 1 3
A = A A= =
0 1 0 1 0 1
1 3 1 1 1 4
A = A A= =
0 1 0 1 0 1
1 n
A =
0 1
 
 
 
     
      
     
     
      
     
     
      
     
 
 
 
 
 
PROPIEDADES:
La potenciación de matrices es conmutativa. De
donde se tendrá.
I) Si A es una matriz cuadrada
 Am  An = An  Am/m;n
II) Si A y B conmutan  Am y Bn conmutan siendo
m, n naturales.
III) Si A es una matriz cuadrada
( Am )n=Amn=(An )m ;m; n
IV) AI=IA=A
349
V) In=I
VI) ( A  B)T=AT  BT
VII) (AT)T = A
VIII) ( A)T = AT ;  es un escalar
IX) (AB)T=BT×AT
MATRICES RELACIONADAS
CON LA POTENCIACIÓN
1) MATRIZ INVOLUTIVA :
Una matriz cuadrada es involutiva si su cuadrado es
la matriz identidad (A2=I).
* Sea la matriz An:
2
A es involutiva  A =In
EJEMPLO:
* Si:
2
2
1 1 1 0
A= A =
0 1 0 1
A =I A es involutiva
     
    
   
 
2) MATRIZ NILPOTENTE :
Una matriz cuadrada A se dice nilpotente si y sólo si
An=0, para algún n  .
EJEMPLO:
* Si: 2
0 1 2
A= 0 0 2 A =0
0 0 0
 
   
 
3) MATRIZ IDEMPOTENTE :
Una matriz cuadrada es idempotente si su cuadrado
es la misma matriz.
Sea la matriz An: A2=A
EJEMPLO:
* Sea:
–3 – 2 2 –3 – 2
A= A =A A=
3 3 3 3
   
     
   
* Obteniéndose que A2=A
* Luego diremos que A es una matriz idempotente.
4) MATRIZ REAL :
Es aquella matriz cuyos elementos son reales
ij n m ij
A= a ; a A=A

   
5) MATRIZ CONJUGADA :
Es aquella matriz donde sus elementos son el
conjugado de los elementos de otra matriz
ij n m ij n m
A= a A= a  
  
6) MATRIZ HERMITIANA :
Dada una matriz cuadrada de elementos complejos
se llama hermitiana si dicha matriz es igual a la
transpuesta de su matriz conjugada, es decir:
Sea A=(aij)n×n es hermitiana si  T
ij n n A= a  . De donde
se concluye que los elementos de la diagonal principal
son necesariamente reales.
EJEMPLO:
Sea la matriz:
T
6 3+i 6 3 i
A= A=
3 – i 2 3+i 2
6 3+i
( A) =
3 – i 2
    
    
   
 
 
 
* Como ( A)T=A A es una matriz hermitiana.
7) MATRIZ ANTIHERMITIANA :
Unamatriz cuadrada de elementos complejos se llama
antihermitiana si es igual al negativo de la transpuesta
de su matriz conjugada.
* Es decir:
   T T
ij n n ij n n
A=(a )  A =– a 
Si : 
 A es antihermitiana
De donde se concluye que los elementos de la
diagonal principal son ceros.
EJEMPLO:
T
T T
0 1+6i 0 1 – 6i
* A= A=
–1+6i 0 –1 – 6i 0
0 – 1 – 6i
(A) =
1 – 6i 0
0 1+6i
( A) =( – 1) ( A) =– A
–1+6i 0
   
    
   
 
  
 
 
   
 
Sea :
* Luego se dirá que la matriz A es antihermitiana.
OBSERVACIONES:
Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos.
I) A+(A)T es hermitiana
II) A –(A)T es antihermitiana
III) Toda matriz cuadrada de elementos complejos se
puede escribir como la adición de unamatriz hermitiana
y otra antihermitiana.
T T
hermitiana antihermitiana
A+( A) A – ( A)
A= +
2 2
350
8) MATRIZ ESCALONADA :
Una matriz A=(aij)m×n es una matriz z escalonada si el
número de ceros aumenta de fila a fila.
EJEMPLOS:

! RESUMEN ¡
* Enmatemáticas, unamatriz es una tabla de números
consistente en cantidades abstractas que pueden
sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para
describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un
seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal
y registrar los datos que dependen de varios
parámetros. Las matrices se describen en el campo
de la teoría de matrices. Pueden sumarse,
multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo
que también las hace un concepto clave en el campo
del álgebra lineal.
* Cuando el número de filas es igual al de columnas (n
= m) la matriz se llama matriz cuadrada.
* Cuando n = 1 la matriz se llama matriz fila.
* Cuando m = 1 la matriz se llama matriz columna.
* Las matrices fila y columna se llaman habitualmente
vectores.
* Cuando en una matriz cuadrada son ceros todos los
elementos que no estan en la diagonal principal (la que
va desde el ángulo superior izquierdo al ángulo inferior
derecho) la matriz se llama matriz diagonal.
* Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la
diagonal iguales se llama matriz escalar.
* Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la
diagonal iguales a 1 se llama matriz unidad.
* Las matrices cuadradas en las que aij = 0 siempre
que i > j o bien aij = 0 siempre que i < j se llaman
matrices triangulares.
* Para sumar dos matrices tienen que tener las
mismas dimensiones. Para sumar dos matrices se
suman los elementos que ocupan las mismas
posiciones
* Para multiplicar un número por una matriz, se
multiplica cada elemento de la matriz por el número.
* Para multiplicar dos matrices es indispensable que
el número de columnas de la primera matriz sea igual
al número de filas de la segunda matriz.
* Dada una matriz, su traspuesta es la formada al
disponer la fila 1 como columna 1, la fila 2 como
columna 2... la fila n como columna n.
* La traspuesta de la matriz A se designa por At
HISTORIA :
El origen de lasmatrices esmuy antiguo. Un cuadrado
mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia
el 650 a. C.
Es larga la historia del uso de lasmatrices para resolver
ecuaciones lineales. Un importante texto matemático
chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve
capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang
Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del
método de matrices para resolver un sistema de
ecuaciones simultáneas. En el capítulo séptimo, «Ni
mucho ni poco», el concepto de determinante apareció
por primera vez, dos mil años antes de su publicación
por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el
matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
Los «cuadrados mágicos» eran conocidos por los
matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos
del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los
matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros
aspectos de lasmatemáticas combinatorias. Todo esto
sugiere que la idea provino de China. Los primeros
«cuadrados mágicos» de orden 5 y 6 aparecieron en
Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad
de Pureza (Rasa’il Ihkwan al-Safa).
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki
Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en
1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich
Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de
Gauss-Jordan en el siglo XIX.
El término «matriz» fue acuñado en 1848, por J. J.
Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la
teoría dematrices.Cayley introdujo en 1858 la notación
matricial, como forma abreviada de escribir un
sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los
matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría
de matrices.
Olga Taussky-Todd (1906 –1995), durante la II Guerra
Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el
fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.
Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación,
por su facilidad y liviandad para manipular información. En
este contexto, son lamejor forma para representar grafos, y
son muy utilizadas en el cálculo numérico.