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ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS-ALGEBRA RUBIÑOS PDF

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Si es de grado impar y de cuyos coeficientes de los
términos equidistantes son iguales y de signo contrario;
entonces admite la ecuación como raíz a x=1.

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PROBLEMA 1:
Resolver: 2x3  7x2 +7x  2=0
A) 1 y 2 B) 1; –1/2; 2 C)1; 1/2; 2
D) 2 y 1/2 E) 1/2 y 1
RESOLUCIÓN:
* Factorizando: 2(x3  1) 7x(x  1)=0
* Por diferencia de cubos:
 
2
2
2
2(x 1)(x +x+1) 7x(x 1)=0,
(x 1) 2x +2x+2 7x =0
(x 1)(2x 5x+2)=0 (x 1)(2x 1)(x 2)=0
  
  
      
* Igualando cada factor a cero:
x 1=0 2x 1=0 x 2=0
1
x=1 x= x= 2
2
    
  
* Luego: 1
C.S.= 1; ; 2
2
 
 
 
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 2:
La ecuación de segundo grado con coeficientes reales
que admite como raíz el número complejo 2  i 3 es:
A) x2 – 4x+7=0 B) x2 – 4x+1=0
C) x2+ 4x –1=0 D) x2+ 4x+1=0
RESOLUCIÓN:
* Por propiedad de las ecuaciones cuadráticas con
coeficientes reales, se sabe que si admite como raíz a
un número complejo, entonces su conjugada también
es raíz de dicha ecuación cuadrática.
Si (2  i 3 ) es una raíz de la ecuación cuadrática;
entonces (2+i 3 ) también lo es.
* Por tal razón:
2
2
x (2+i 3 +2 i 3 )x+(2+i 3 )(2 i 3 )=0
x 4x+7=0
  
 
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 3:
Si x es un número complejo, la parte imaginaria de
una de las soluciones de x2  2x+i= 0 es:
1
A) 1 B) 1 C)
2+ 2
1 1
D) E)
1+ 2 2+2 2


RESOLUCIÓN:
* Resolviendo la ecuación por la fórmula general:
 2 2 2 4(1)(i)
x= x=1 1 i
2(1)
  
  
* Expresando 1 – i en forma polar:
x=1 2 cos(3 /4)+isen(3 /4)
* Extrayendo la raíz cuadrada del número complejo:
4 3 /4 4 3 /4
x=1 2cos +i 2sen
2 2
          
   
* La parte imaginaria es: 4 3 /4
m(x)= 2sen
2
  
 
 

4
4
45°
m(x)= 2cos
2
1
m(x)= 2 .......(ver trigonometría)
4 2 2
1
m(x)=
2+ 2 2
    
 
 
  
  





RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 4:
Determinar la suma de las raíces que resulten al
resolver:
3x3 – 13x2+13x – 3=0
A) 1/3 B) 1 C) 2/3 D) 4 E) 4 1/3
RESOLUCIÓN:
* Por el Teorema de Cardano –Viéte:
1 2 3
(13) 13 1
x +x + x = = =4
3 3 3


RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 5:
El producto de las raíces del polinomio:
P(x)= 2x4 +3x3  9x2  8x+12 es:
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN:
* Por el Teorema de Cardano – Viéte:
4
1 2 3 4
12
x x x x =( 1) =6
2

RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 6:
Resolver: x5+3x4–7x3–21x2+12x+36=0
RESOLUCIÓN:
320
* Agrupando de dos en dos:
4 2
4 2
2 2
x (x+3) 7x (x+3)+12(x+3)=0
(x+3)(x 7x +12)=0
(x+3)(x 4)(x 3)=0

 
  
* Por diferencia de cuadrados:
(x+3)(x+2)(x  2)(x+ 3 )(x  3 )=0
* Luego el conjunto solución, será:
C.S.=3 ; 2 ; 2 ;  3 ; 3
PROBLEMA 7:
Sean x1; x2; x3; x4 raíces de la ecuación:
2x4–3x3–12x2+7x+6=0
Calcular luego las raíces y la suma de los productos
dos a dos de sus raíces.
RESOLUCIÓN:
* Factorizando por aspa doble:
2x -5x
x
-3
-2
2
2 x
-5x2
2x4
-3x -12x + 7x + 6=0 3 2
* Luego: (2x2  5x  3)(x2 + x  2)=0
1 2 3 4
(2x+1)(x 3)(x+ 2)(x 1)=0
x = 1/2 ; x =3 ; x = 2 ; x =1
  
  
* Luego para determinar los productos de dos en dos
de las raíces, apliquemos Cardano - Viéte:
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
12
x x +x x +x x +x x +x x +x x = = 6
2


PROBLEMA 8:
Indique una solución de:
2x4+x3  5x2  7x  6=0
A) 3/2 B) 2/3 C) –2 D) 2 E)1
RESOLUCIÓN:
* Factorizando por aspa doble:
x
 6
1
2x2
x2
-x
x2
 2 4 x
2x4+ x3  5x2  7x  6=0
 (2x2  x  6)(x2 + x+1)=0
(2x+3)(x 2)(x2+x+1)=0
3 1 3i
x= x=2 x=
2 2
 
 
  ó ó
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 9:
Luego de resolver: x5  5x4+9x3  9x2+5x  1=0
Dar como respuesta la mayor solución de ‘‘x’’.
3+ 5 3 5
A)5 B)3+ 17 C) D)
4 2

RESOLUCIÓN:
* Factorizando:
1
1 – 4
1
– 5
– 4
9
5
– 9
1 – 4 5
1
5
– 4
0
– 1
1
* El polinomio es:
x2 –3x
– x
1
1
Aspa
Doble x2
(x  1)(x4  4x3 +5x2  4x+1)=0
1
2 3
2 2
x =1 3 5 1 3i
x = x =
2 2
(x 1)(x 3x+1)(x x+1)=0
 
   
* La mayor solución es: 3+ 5
2
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 10:
Al resolver: 2
36 3
x 1+ = (4x 3)
x +9 x
    
 
dar como solución la raíz que tenga multiplicidad
cuatro.
A) 1 B) 2 C) 3 D) –1 E) 0,5
RESOLUCIÓN:
* Efectuando se tiene:
x2(x2 +45)= 3(x2 +9)(4x  3)
* Efectuando queda:
x4 12x3+54x2 108x+81=0
x –6x
x –6x
9
9
2
2
* Se tiene: (x2  6x+9)2 =0
 (x  3)4 =0  x= 3
* Entonces 3 es una raíz de multiplicidad 4.
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 11:
Resolver: (x  5)(x  7)(x+4)(x+6)= 504
Dar como respuesta las raíces positivas.
A) 8 y 3 B) 7 y 2 C) 8 y 2 D) 7 y 3 E) 8 ; 3 y 2
321
RESOLUCIÓN:
* Efectuando:
2 2
(x 5)(x+4)(x 7)(x+6)= 504
(x x 20)(x x 42)= 504
 
    
* Haciendo: x2  x= y se obtiene:
2
2
1
2
(y 20)(y 42)= 504
y 62y+840 504=0
y 62y+336=0
y = 56
(y 56)(y 6)=0
y =6
 
  
 

   

* Reemplazando:
2 2
1 2
2 2
3 4
I) x x= 56 x x 56=0
(x 8)(x+7)=0 x = 8 ; x = 7
II) x x=6 x x 6=0
(x 3)(x+2)=0 x =3 ; x = 2
   
   
   
   
* Las raíces son: 8; – 7; 3; – 2
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 12:
Luego de resolver: 2x4 + x3  6x2 + x+ 2= 0
Dar como respuesta el valor real de x.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 5
RESOLUCIÓN:
* Factorizando:
2 2
2
2 2
2
1 2
x 2x + x 6+ + =0
x x
1 1
x 2 x + + x+ 6 =0
x x
    
                   
* Haciendo: x+ 1 =a
x
 
2 2
2 2
x 2(a 2)+a 6 =0
x 2a 10+a =0
    
 
* Factorizando: x2(2a+5)(a  2)=0
* Reemplazando:
2 1 1
x 2 x+ +5 x+ 2 =0
x x
                      
* Simplificando queda:
2 2 5 17
(2x +5x+1)(x 1) =0 x=1 x=
4
 
  ó
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 13:
Hallar (A+B) de x4  x3  5x2 + Ax+ B = 0 siendo
A y B números racionales y 1+ 2 dos de sus raíces.
A) 5 B) 3 C) 1 D) –1 E) –3
RESOLUCIÓN:
* Las raíces son: x1=1+ 2 x2=1  2
* Luego sus factores son:
x2 2x 1
(x 1 2 )(x 1+ 2 )=0
 

* Dividiendo por Horner:
1
2
– 4
2
– 1
0
– 5
1
1
1
1
2
A
1
1
0
B
– 2
– 2
 A  3=0 y B  2=0  A=3 y B=2
* Se pide: 3 + 2 = 5
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 14:
Sean ‘‘m’’ y ‘‘n’’ números enteros.
Si: (x  3+ 2 2 ) es un factor del polinomio:
mx3  11x2  nx+1
Calcular (m2 +n2 +1) y el producto de las raíces.
A) 11 y 2 B) 21 y –1/2 C)21 y 2
D) 11 y –1/2 E) 2 y 3
RESOLUCIÓN:
* En: P(x)=mx3  11x2  nx+1
* Si: x = 3  2 2 También: x=3+2 2
 (x  3+ 2 2 )(x  3  2 2 )=x2  6x+1
* Osea que: x2 – 6x+1 es factor del polinomio:
3 2
2
mx 11x nx+1
x 6x+1
 


división exacta.
* Dividiendo por Horner:
1
6
36 – 6n
6
–n
6 – n 0
–1
1
1 – 11
0
m
n – 6
– 1
* De donde:
2 2
24 6n=0 n= 4
m 2=0 m= 2 m +n +1= 21
 
  
* Producto de raíces = –1/2
RPTA: ‘‘B’’
322
PROBLEMA 15:
Resolver: x3 – 15x –126=0
RESOLUCIÓN:
* Sea x = y + z la solución de la ecuación, se tiene:
3
3 3
x
3 3
(y+z) 15x 126=0
y +z +3yz(y+z) 15x 126=0
(y +z 126)+(3yz 15)x=0
 
  
  

* Cumpliendo cuando y3+z3 =126  yz=5
* De donde: y3+z3=126 ; y3z3=125
* La ecuación resolvente (de raíces y3, z3) es :
r3  126r+125=0  r=125  r=1
* Entonces: y3=125, z3=1 y=5, z=1
* Luego:
 
1
2
2
2
3
x =5+1=6
1 3 1 3
x =5w+w =5 + i + i
2 2 2 2
1 3 1 3
x =5w +w= 5 i + + i
2 2 2 2
C.S.= 6; 3+ 2 3i; 3 2 3i
   
      
   
   
      
   
   
PROBLEMA 16:
Dada la ecuación x3  3x+5=0 , si  es una
solución real, calcule
( 2+2)
1
 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN:
* Como  es solución, se cumple:
3 3
2
2
3 +5=0 +2 5 +5=0
( +2)
( +2)=5( 1) =5
1
    
 
  

  
  

RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 17:
Si una raíz de la ecuación de coeficientes reales x4–
5x3 + 3x2+ ax + b = 0 es x1= 3 – i; calcule el valor de a –
b.
A) 24 B) 25 C) 17 D) 0 E) 26
RESOLUCIÓN:
* Una raíz es: x1 = 3  i  x2 = 3+i
 x1+ x2 =6  x1x2 =10
* Luego: x2 – 6x+10 es factor de:
x4 – 5x3+ 3x2+ ax+ b
* Por Horner:
1
6 6
– 5
1
–10
1
1 3
0
a b
6
0
–10
–10
10
–1
–6
. a=16 y b= 10
* Entonces: a – b=26
RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 18:
Si  es una raíz irracional del polinomio:
P(x)= x5  (x4+2x+1)
Halle un valor de:
 3 +1

A) – 2 B) 1 C) – 1 D) 0 E) 3
RESOLUCIÓN :
* Factorizando, resulta:
5 4 3 2
3 2
P(x)=x x 2x 1=(x +x+1)(x x 1)=0
x + x+1=0 x x 1=0
    
   
* Sea  la raíz irracional de x3+x+1=0
  3++1=0  3+1= ;   0
* Se pide:
3+1
= = 1
 
 


RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 19:
Si ‘‘m’’ es un número primo, indicar el menor valor de
‘‘m’’ para que la ecuación:
x3+7x2+13+m=0
Admita una solución racional.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN:
* Las posibles raíces racionales son:  1;  m
* Ahora evaluemos para x= –m, resulta:
– m3+7m2–13m+m=0
* Factorizando resulta:
m(m – 3)(m – 4)=0
* Cosa que de todas las raíces, se tiene que m=3 es el
menor número primo (comprobar).
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 20:
Si la ecuación cúbica:
x3– 2x2+x+5=0 tiene raíces a, b, c;
Calcular: 1 1 1
+ +
a+1 b+1 c+1
323
A) 2 B) – 8 C) 4 D) 0 E) 6
RESOLUCIÓN:
* Por Cardano –Viéte:
a + b + c = 2; ab + ac + bc = 1; abc = – 5
* Nos piden: 1 + 1 + 1
a+1 b+1 c+1
* Efectuando esto último:
(b+1)(c+1)+(a+1)(c+1)+(a+1)(b+1)
=
(a+1)(b+1)(c+1)
bc+ac+ab+ 2(b+c+a)+3
=
1+(a+b+c)+(ab+ac+bc)+abc
1+ 2(2)+3 8
= = = 8
1+ 2+1 5 1

 
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 21:
En la ecuación bicuadrada x4–(m–5)x2+9=0 el
producto de tres de sus raíces es 3 , entonces el valor
de m, es:
A) 6 B) 8 C) 11 D) 13 E) 15
RESOLUCIÓN:
* Por Cardano: 1 2 3 4
3
xxx x =9
 x4=3  x3= 3 ...........(raíces simétricas)
* De donde se deduce que: x1=1 y x2=–1
* Luego la ecuación bicuadrada será:
4 2 2 2 2 2
4 2
x (3 +1 )x +(3) (1) =0 ........(ver teoría)
x 10x +9=0

 
* Entonces: m 5=10  m=15
RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 22:
Si la ecuación bicuadrada: x4–(a+1)x2+3a=12
posee dos raíces reales de multiplicidad 2.
Calcular el valor de ‘‘a’’.
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
RESOLUCIÓN:
* Sean las raíces reales de multiplicidad 2:  y ( )
2 2 4 2
4 2 2 4 4 2
( x ) ( x+ ) =x (a+1)x + 3(a 4)=0
x 2 x + =x (a 1)x +3(a 4)=0
     
      
* Comparando obtenemos:
a  1= 2 2  3(a 4)= 4
* De donde obtendremos:
2 2
2
(a 1) =12(a 4) a 14a+49=0
(a 7) =0 a=7
   
  
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 23:
La ecuación: x4–12x2–5=0 contiene a dos raíces cuya
suma es igual a 2. Hallar la suma de las inversas de
las otras dos raíces.
1 2 2 2 7
A) B) C) D) E)
5 7 7 5 9
 
RESOLUCIÓN:
* Sea x1 y x2 raíces tales que x1+x2=2; también sean
x3 y x4 las otras dos raíces, piden:
3 4
3 4 3 4
1 1 x + x
+ =
x x x x
* Por Cardano:
1 2 3 4 3 4
1 2 1 3 2 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
x +x +x +x =0 x +x = 2
x x +x x +x x +x x +x x +x x =0
x x +(x +x )(x +x )+ x x =0
x x +( 2)(2)+ x x =0...........................(I)
 

 
* Observamos que 1 2 3 4 1 2
3 4
5
x x x x = 5 x x =
x x

 
* Reemplazamos en (I):
2
3 4 3 4 3 4
3 4
3 4 3 4
3 4 3 4
5
4+ x x =0 (x x ) 4x x 5=0
x x
(x x 5)(x x +1)=0
x x =5 x x = 1

   
 
  
* Entonces lo pedido, será: 3 4
3 4
x + x 2 2
= =
x x 5 5


RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 24:
Si la ecuación x4–10x2+b=0 tiene como raíz al número
a+ a+1, entonces el valor de M=a+b, es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN:
* Como tiene a la raíz: x= a+ a+1
2
2
2 2 2 2
4 2
x a = a+1 (x a ) =a+1
x 2 ax+a= a+1
x 1= 2 ax (x 1) =4ax
x 2(2a+1)x +1=0
   
 
   
 
* Comparando con la ecuación dada:
2(2a+1)=10 b=1 ; (a>0)
a=2 b=1 M=a+b=3

  
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 25:
Al resolver la bicuadrada:
P(x)=x4–(3n–1)x2+n(2n–1)=0
si n<0, indicar cuántas raíces reales tiene la
bicuadrada.
324
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
RESOLUCIÓN:
* Factorizando:
x2
x2
-n
-(2n-1)
x4  (3n  1)x2+n(2n  1)=0
2 2
2 2
(x n) x (2n+1) =0
x =n x = 2n 1
    
  
* Como: n<0  x2 <0 (2 raíces complejas)
n< 0  2n  1< 1 x2< 1 (2 raíces complejas);
Es decir sus cuatro raíces son complejas.
 Ninguna es real
RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 26:
Si (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) son las raíces de la ecuación
18(x4+1)–21x(x2+1)=94x2, tal que x1 y x3 son las raíces
de mayor y menor valor, entonces el valor de T = x1 –
x3 es:
7 5 9 2 4
A) B) C) D) E)
2 2 2 3 3
RESOLUCIÓN:
* Al factorizar, resulta:
2 2
1 3 4 1
(6x +13x+6)(3x 10x+3)=0
(3x+2)(2x+3)(3x 1)(x 3)=0
2 3 1
x = x = x = x =3
3 2 3

  
     
* Luego: 1 3
3 9
T = x x =3 =
2 2
      
 
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 27:
Si las ecuaciones
4 2
4 2
ax bx c=0
bx cx a=0
   

  
son equivalentes,
entonces la mayor solución real es:
1 1
A) 2+ 2 3 B) 2 3
2 2
1 1
C) 2+ 2 5 D) 10 2 5
2 2


RESOLUCIÓN:
* Como son equivalentes (tienen las mismas
soluciones), entonces se cumple que:
a b c
= = a=b= c
b c a
 

 
* Con esto, las ecuaciones se reducen a:
4 2
2
x x 1=0
1 5 1 5
x = x=
2 2
 
 
  
* De donde, la mayor solución real es:
x= 1+ 5 = 1 2+2 5
2 2
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 28:
Se sabe que las raíces de la ecuación :
x3 –12x2+rx–28=0 están en progresión aritmética.
Hallar el valor de r.
A) 20 B) 24 C) 39 D) 16 E) – 20
RESOLUCIÓN:
* De: x3–12x2+rx–28=0 y raíces en P.A. se tiene x1–
q; x1; x1+q de razón q; aplicando el teorema de
Cardano-Vietta.
1 1 1
1 1
x q+ x + x +q=12
3x =12 x =4

 
* Reemplazando en la ecuación:
43  12×42+4r  28=0  r= 39
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 29:
Si la siguiente ecuación ax3–7x2+7x–a=0 tiene 2 raíces
enteras consecutivas, entonces el valor de ‘‘a’’, es:
A) 0,5 B) 2 C) 3 D) 4 D) 6
RESOLUCIÓN:
* La ecuación: ax3–7x2+7x–a=0 tiene dos raíces
enteras consecutivas. Nótese que x1=1 es raíz de la
ecuación, además: 1 2 3
a
x x x =
a


 x1x2x3=1  x2x3=1
* Una de ellas debe ser entera, la otra será la recíproca
de esta y por lo tanto fraccionaria. Sólo es posible que:
2 3
1
x =2 x =
2

* Luego:
1 2 3
7 1 7
x + x + x = 1+2+ = a= 2
a 2 a
 
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 30:
Si {x1; x2; x3} son las raíces reales y {x4; x5} son las
raíces imaginarias de la siguiente ecuación recíproca
2x5–7x4+6x3–6x2+7x–2=0, entonces el valor de la
expresión 4 5
1 2 3
S= x +x
x x x
es:
325
1 1 1
A) 2 B) C) D) E)2
2 4 2
 
RESOLUCIÓN:
* Se deduce que x1=1 es una raíz, luego por Ruffini:
2
2 – 5
2
– 7
– 5
6
1
– 6
1 – 5 1
2
7
– 5
0
– 2
2
* Las demás raíces se obtienen de:
x 2
1
2x2
x2
2x4  5x3 + x2  5x+2=0
 2x2 + x+2=0  x2  3x+1=0
* De:
2x2+x+ 2=0 ; ( <0) las raíces son 4 5 4 5
1
x , x x +x =
2
 
* De:
x2  3x+1=0 ; ( >0) las raíces son x2 , x3  x2x3=1
* Luego: 4 5
1 2 3
1
x + x 2 1 S= = =
x x x 1 1 2



RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 31:
Si dos de las raíces del polinomio:
P(x)=x5  7x4+ax3+bx2+cx+d
de coeficientes racionales son 1+ 2 ; 3  2 .
Halle el valor de a b
c+1
 .
A) 1 B) 2 C) 0 D) – 3
RESOLUCIÓN:
* Las raíces son:
1 3
2 4
x =1+ 2 x =3 2
x =1 2 x =3+ 2


porque sus coeficientes son racionales.
* Luego formando el polinomio f(x) factor de P(x).
2 2
1 2 1 2 3 4 3 4
2 2
4 3 2
f(x)=( x (x + x )x+ x x )( x (x + x )x+ x x )
f(x)=(x 2x 1)(x 6x+7)
f(x)= x 8x + 20x 8x 7
 
   
   
* Dividiendo P(x)
f(x) por Horner:
1
8
– 7
0
a
1
– 20
1
– 20
8
b
– 20
1
0
c
0 0
d
8 8 7
8 7
8
7
 a=12 ; b=12 ; c=15 ; d= 7
* Se pide: a b 12 12
= =0
c+1 15+1
 

RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 32:
Si: x1=5+3 2 es una raíz de la ecuación:
2x3 – 23x2+mx+n=0; calcular ‘‘m’’ si m,n
A) 28 B) 44 C) 36 D) 0 E)12
RESOLUCIÓN:
x1=5+3 2 es raíz  x2=5  3 2 también es raíz,
luego: x1+x2=10
* Por Cardano:
1 2 3 3 3
23 23 3
x +x +x = 10+ x = x =
2 2 2
 
* Además:
1 2 2 3 1 3
m
= x x + x x + x x
2
m 3 3
=(5+3 2 )(5 3 2 )+(5 3 2 ) +(5+3 2 )
2 2 2
m
= 22 m= 44
2
  
 
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 34:
Si P es una función polinomial demenor grado posible
con coeficientes enteros , que admita como raíces a
x=1+ 2i ; x=1  5 3 y x= 5 entonces el grado del
polinomio es:
A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E)2
RESOLUCIÓN:
* P(x) demenor grado posible y de coeficientes enteros,
además de raíces:
x=1+2i ; x=1 5 3 ; x=5,
I) x=1+2i, proviene de: x–1=2i
 (x  1)2= 4  (x  1)2 +4=0
II) x=1  5 3 , proviene de: x  1= 5 3
 (x  1)5= 3 (x  1)5 +3=0
III) x=5 proviene de x – 5=0
* Luego, el polinomio será:
P(x)= (x  1)2 +4 (x  1)5 +3 (x  5) q(x)
* Como P(x) es de grado mínimo, entonces q(x) es de
grado cero, luego:
2 5
P(x)= (x  1) +4 (x  1) +3 (x  5) a0 ; a0  0
* Finalmente el grado de ‘‘P’’, será: 2+5+1=8
RPTA: ‘‘B’’
326
PROBLEMA 35:
Determinar cuál de los siguientes polinomios tiene
como una de sus raíces al número:
2+3 3
6 4 3 2
6 4 3 2
6 4 3 2
6 4 3 2
A)2x 3x +9x 12x +6x+1
B) x 6x 6x +12x 36x+1
C)2x 9x +3x 12x 36x+1
D) x 6x +12x 12x 6x+1
 
  
  
  
RESOLUCIÓN:
* Como: x= 2+3 3 es una raíz del polinomio, luego:
   
     
3 3 3 3
3 2 2 3
3 2
x 2 = 3 x 2 = 3
x 3x 2 +3x 2 2 =3
x 3 2x +6x 2 2=3
  
  
  
*Agrupando:
 
3 2
3 2 2 2 2
6 2 4 3 4 2
x +6x 3= 2(3x +2)
(x +6x 3) = 2 (3x +2)
x +36x +9+12x 6x 36x= 2(9x +12x +4)

 
  
* Simplificando y ordenando, tenemos:
x6–6x4–6x3+12x2–36x+1=0
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 36:
En la siguiente ecuación:
8x4+30x3+29x2–2x–30=0, determinar la suma de las
raíces racionales.
13 7 1 7 13
A) B) C) D) E)
4 4 4 4 4
  
RESOLUCIÓN:
* Factorizando, resulta:
5
4x2
x2
3
(8x2+14x  15)(x2+2x+2)=0
2
1
2
(4x 3)(2x+5)(x + 2x+ 2)=0
3
* 4x 3=0 x =
4
5
* 2x+5=0 x =
2
 
 
 
* x2+2x+2=0; no tiene raíces reales (en particular,
racionales)
* Luego: 1 2
3 5 7
x +x = =
4 2 4
 
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 37:
Dado un polinomio P(x)=x2– ax+b de coeficientes
reales; si P(x)<2 tiene por conjunto solución
1 2 ; 1+ 2 encuentre ab.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) –1
RESOLUCIÓN:
* Dato:
P(x)< 2  x2  ax+b<2  x2  ax+b  2<0
* Como 1 2 ; 1+ 2 es su C.S.
 1  2  y 1+ 2  son raíces de:
f(x)=x2  ax+b  2
* Por el Teorema de Cardano:
I) Suma de raíces: 1  2 +1+ 2 =2=a
II) Producto de raíces:
1 2 1+ 2 = 1=b 2 b=1
ab=(2)(1)= 2
   

RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 38:
Si P es una función polinomial definida por P(x)=–
2x7–ax5+bx3+1 donde ‘‘a’’ es entero positivo y ‘‘b’’
entero negativo, entonces indicar el valor de verdad de
las siguientes proposiciones:
I) Una raíz de la ecuación P(x)=0 es 1/3.
II) La ecuación P(x)=0 tiene una sola raíz real.
III) Si x1< x2, entonces P(x1)< P(x2)
A) VFV B) FVV C) VVF D) FVF E) FFV
RESOLUCIÓN:
I) Las posibles raíces racionales de P(x) son:
 1 1
+1; 1; ;
2 2
 
De modo que
1
3 no es raíz de P(x)...........(FALSA)
II) P(x)=–14x6–5ax4+3bx2 como a>0 y b<0
 P'(x)<0,  x 
 P es estrictamente decreciente. Luego, la gráfica
de P intersecta al eje X en un sólo punto, con lo cual
P(x)=0, sólo tiene una raíz real ............ (VERDADERA)
III) Como ‘‘P’’ es estrictamente decreciente
  x1 , x2  con x1<x2 se cumple que:
P(x1)<P(x2)......................(VERDADERA)
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 39:
Si P es una función polinomial definida por
P(x)=x5+x4–5x3–x2+8x–4, entonces la afirmación
327
correcta es:
A) P(x)=0 tiene 5 ceros reales diferentes.
B) P(x)=0 tiene un cero racional.
C) La gráfica de P intersecta al eje x en 3 puntos
diferentes.
D) P(x)<0, x>1
E) P(x)<0, x  2;1
RESOLUCIÓN:
* Factorizando, resulta: P(x)=(x–1)3(x+2)2
* Graficando: Y
X
–2
–4
1
* De donde: P(x)  0 ;  x   ; 1  2
* En particular:  x   2 ;  1
RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 40:
Si P es una función polinomial definida por:
P(x)=(x1)(x 3)(x 5)(x 7)+(x 2)(x 4)(x 6)(x  8),
entonces de la ecuación P(x)=0 la afirmación correcta
es:
A) Tiene 2 ceros complejos.
B) Tiene 2 ceros complejos.
C) Todos sus ceros son negativos.
D) Todos sus ceros son positivos.
E) Tiene dos ceros positivos y dos ceros negativos.
RESOLUCIÓN:
* De: P(x)=0
* Lo acomodamos así:
f(x) g(x)
(x1)(x3)(x5)(x7)=(x2)(x4)(x6)(x8)
Y
2 X
g
f
1 3 4 5 6 7 8
* Del gráfico: f(x)=g(x) tiene 4 raíces reales positivas.
Por lo tanto P(x)=0 tiene 4 raíces reales positivas.
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 41:
Sea P una función polinomial definida por
P(x)= x3+ax2+bx+4, con a y b  .
Si 1+ 7 es una raíz de la ecuación P(x)=0, entonces
indicar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
I) ab>0 II) a2+b2=13 III) 2a=b
A) VFF B) FFF C) VVF D) FVF E) VVV
RESOLUCIÓN:
* Como: x1=1+ 7  x2=1 7 , luego:
x2  (1+ 7+1 7 )x+(1+ 7 )(1 7 )=x2  2x  6,
será un factor de P(x),
* Luego por Horner:
1
2
–4
2
a
0
b
6
1
6
1 4
0
–43
–23
2 8 4 14
a+2= a= ,b+6 =0 b=
3 3 3 3
      
* Luego:
2 2
2 2
........................(VERDADERA)
......(FALSO)
.........................(FALSO)
8 14
I) ab= > 0
3 3
8 14 300
II)a +b = + =
3 3 9
16 14
III)2a= =b
3 3
         
   
         
   
  
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 42:
Sea P una función polinomial de grado 7 con coeficiente
principal –1 y cuya gráfica se muestra en la figura
adjunta.
Si P(2)=18, entonces el término independiente es:
Y
–1 3 4
A) 282 B) 292 C) 324 D) 325 E)372
RESOLUCIÓN:
* Según la gráfica de la función polinomial: –1 es una
raíz de multiplicidad par; también 3 es demultiplicidad
par; 4 es una raíz simple.
* Admitiendo que P(x)=0 sólo tiene raíces reales, el
328
polinomio debe ser:
2k 2q
P(x)=a0(x+1) (x  3) (x  4)
* Donde: a0= –1
4 2
4 2
2 4
G.A.(P)=2k+2q+1=7 k+q= 3
(k=2 q=1) (k=1 q=2)
* k=2 q=1,
P(x)= (x+1) (x 3) (x 4)
P(2)= (3) ( 1) ( 2)=162 ...........(no cumple)
* k=1 q= 2 ,
P(x)= (x+1) (x 3) (x 4)
P(2)=

   

  
   

  
 
Si : entonces :
Si : entonces :
(3)2(1)2(2)=18 ...............(si cumple)
* Luego: P(0)=–(1)2(–3)4(–4)=324
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 43:
En la figura adjunta se muestra la gráfica de una
función polinomial P,mónico de cuarto grado.
La suma de las raíces reales de la ecuación
P(2 x+7 +1)=0 es:
Y
–9 3 5 7 X
A) – 42 B) – 40 C) – 39 D) – 38 E) – 37
RESOLUCIÓN:
* De la figura, teniendo en cuenta que P es mónico y
de cuarto grado:
P(x)=(x+9)(x 3)(x 5)(x 7)
P(2 x+7 +1)=(2 x+7 +10)(2 x+7 2)
(2 x+7 4)(2 x+7 6)=0
  

 
*Nótese que: 2 x+7 +10=0 no tiene soluciones reales,
entonces:
1 2
3 4
5 6
I) 2 x+7 2=0 x+7 =1 x = 6 x = 8
II)2 x+7 4=0 x+7 =2 x = 5 , x = 9
III)2 x+7 6=0 x+7 =3 x = 4 , x = 10
     
    
    
* Luego: x1+x2+x3+x4+x5+x6=–42
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 44:
Si P es una función polinomial definida por
P(x)=x3– 6x2+11x – 6 entonces la figura que mejor
representa la gráfica de P es:
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
A) B)
C) D)
RESOLUCIÓN:
* De: P(x)=x3–6x2+11x–6
 P(x)=(x  1)(x  2)(x  3)
* P tiene raíces: 1; 2; 3.
Su gráfica es:
Y
1 2 3 X
–6
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 45:
Indicar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
I) Sea P(x) un polinomio definido sobre  , si una raíz
es 2  7 entonces necesariamente 2+ 7 es
también la otra raíz.
II) Un polinomio P(x) de quinto grado definido sobre 
puede tener exactamente 2 raíces reales.
III) El polinomio P(x)=(x2–4)(x+2) es tangente al eje X,
en x=–2.
A) FVV B) VVV C) FFV D) VFV E) FFF
RESOLUCIÓN:
I) Para P(x) definido en  . Si una raíz es 2  7 
no necesariamente 2+ 7 también es raíz
.......................................... (FALSA)
II) Un polinomio P(x) definido sobre  de quinto grado
puede tener exactamente: 1; 3 ó 5 raíces reales
.............................. (FALSA
III) P(x)=(x2–4)(x+2)=(x+2)2(x–2) y su gráfica será:
Y
2 X
–8
–2
329
* Como – 2 es de multiplicidad 2, la gráfica de P es
tangente al eje X en x=–2 ....... (VERDADERA)
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 46:
Resuelva en  :
x  1+ 3  x = x
Indique el cardinal del conjunto solución.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1
RESOLUCIÓN:
* Hallando el conjunto de valores admisibles
x 1 0 3 x 0
x 1 3 x 1 x 3 ; si x
   
       
y
y
* Entonces: x {1; 2; 3} este conjunto debe contener
el conjunto solución de la ecuación, ahora al evaluarse
sólo cumple el número 2, es decir C.S.={2}
 Cardinal del C.S. es 1.
RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 47:
Si T es el conjunto solución de la ecuación
2+ x  5 = 13  x , entonces la afirmación
correcta es:
A) T 4; 6 B)T 5; 6 C)T 8; 10
D) T 12; 14 E)T 14; 15
  
 
RESOLUCIÓN:
* Nótese que: CVA: x  5  0  13  x  0
 
CVA: x 5 x 13
CVA: 5 x 13 CVA= 5; 13
   
   
* De la ecuación:
 
2
2
1
1 2
2+ x 5=13 x
x 5=11 x ; 11 x 0
x 5=(11 x) ; x 11
x 23x+126=0 ; CVA = 5; 11
x =9 , x =14
 
    
   
 

* Pero: x2  CVA1  x= 9 es la única solución de la
ecuación (x1  CVA)
* Luego: T =9  8; 10
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 48:
Dada la ecuación x+1+2x=0 determinar el valor de
verdad de cada una de las afirmaciones siguientes:
I) Si la ecuación tiene una solución esta debe estar en
el intervalo 1; 0 .
III) La ecuación tiene una única solución.
A) VFV B) FVV C) VVF D) VFF E) VVV
RESOLUCIÓN:
+
+
1) x+1  0  x  1 2) x+1 = 2x  x< 0
* Luego
I) La solución se encuentra en el intervalo [–1; 0]
........................(VERDADERO)
II) La ecuación tiene una única solución (FALSO)
III) (VERDADERO)
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 49:
Hallar el valor de x, que verifica:
3 14+ x +3 14  x=4
A) 179 B) 165 C) 170 D) 169 E)150
RESOLUCIÓN:
* Haciendo:
a= 3 14+ x y b= 3 14  x
* Luego:
3 3
3 2
a+b= 4 .....................................(I)
a +b =28 ................................(II)
ab= 14  x ............................(III)
* Elevando (I) al cubo, resulta:
a3+b3+3ab(a+b)=43
* Reemplazando en esta (II) y (III):
28+33 142  x(4)=64
* Despejando, resulta: x=169
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 50:
Si A es el conjunto solución de la ecuación
1 1
x= x + 1 ,
x x
  entonces el conjunto A es:
1+ 5 5 1 2+ 5 1+ 5
A) ; B) ;
2 2 2 2
1+ 5 1+ 5 3 5
C) D) ;
2 2 2
    
   
   
    
   
   
RESOLUCIÓN:
2
1 1
* CVA: x>0 x 0 1 0
x x
x>0 x 1 x 1
x 1 CVA= 1; +
     
    
    
* La ecuación puede ponerse así:
2
3 2 2
3 2 3 2
x x = x 1+ x 1
x = x 1+ x 1+2 (x 1)(x 1)
x x x+1+1= 2 x x x+1
 
    
    
330
* Haciendo: x3  x2  x+1=a se tiene:
a+1=2 a, de donde: a=1
* Luego: x3  x2  x+1= 1

2 2
+
x (x x 1)=0 x x 1=0
1 5 1 5
x= , CVA
2 2
1+ 5
A=
2
     
 
 
 
  
 
pero
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 51:
Resolver:
2 x 6 x 5
+ =
6 x 2 x 2


RESOLUCIÓN:
* Haciendo:
2 x 6 x 1
= y =
6 x 2 x y



* En la ecuación original: y+ 1= 5
y 2
2y2 5y+ 2=0 (2y 1)(y 2)=0
1
y= 2 y=
2
    
 ó
* Para:
2 x
y= = 2, x =6 x
6 x
 

 2 x =6  x=9
* Para:
2 x 1
y= = , 4 x =6 x
6 x 2
 

36
5 x =6 x=
25
 
* Entonces: C.S.=9; 36
25
PROBLEMA 52:
Al resolver la ecuación:
3
2
x +1 6
= x+
x  1 x
Indicar una solución.
3 2 3
A) B) C)1 D) 2 E)
2 3 4

RESOLUCIÓN:
* Definiendo cada expresión matemática
x2  1  0  x  0  x   1  x  0 .....(C.V.A.)
* Efectuando:
2 2
2
2
2
(x+1)(x x+1) 6 x x+1 6
=x+ x=
(x+1)(x 1) x x 1 x
1 6 1 6
= ; x 1>0 =
x 1 x (x 1) x
x=6x 12x+6 x>1
0=6x 13x+6 x>1
2 3
x= x= x>1
3 2
3 3
x= C.S.=
2 2
 
 
 
 
 
  
  
      
 
     
  RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 53:
Si x1 , x2  y {x1; x2} es el conjunto solución de la
siguiente ecuación 4 x+ 27 +4 55  x = 4 , entonces
el valor de, T=x1+x2 es:
A) 54 B) 32 C) 28 D) – 28
RESOLUCIÓN:
 
* C.V.A.: x+ 27 0 55 x 0
C.V.A.= 27; 55
   
 
* Sea: 4 x+ 27 = y  x= y4  27  y  0
* Reemplazando en la ecuación:
4 4 4 4
4
y
4 2 3 4
4 3 2
y+ 55 (y 27)=4 82 y =4 y
CVA = 0; 82 .
82 y = 256 256y+96y 16y + y
y 8y +48y 128y+87 =0
    
 
  
  
A la cuarta :
29
3
y 4y 2
y2 4y
 y2  4y+29=0  y2  4y+3=0
* La primera no tiene soluciones reales
* De la segunda: y1 =1  y2 =3 (1; 3 CVAy ).
Luego:
*Paray1=1: x1=14–27=–26C.V.A.
* Para y2=1: x2=34–27=54C.V.A.
* Se pide: T= –26 + 54=28
RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 54:
Si B es un conjunto definido por:
B=x / x+ x+5+2x=25  2 x2+5x, entonces
el cardinal del conjunto B, es:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN:
331
* De la ecuación se obtiene:
   
2
2
2x+ x+ x+5 25+2 x +5x=0
x+x+5+2 x(x+5)+ x+ x+5 30=0
x+ x+5 + x+ x+5 30=0




x+ x+5
x+ x+5
6
 5
 x+ x+5+6=0  x+ x+5  5=0
* La primera no tiene solución, pues el primermiembro
siempre es positivo.
* De la segunda: x+5=5  x nótese que: para el
CVA:
 
x 0 x+5 0 5 x 0
x 0 x 5 0 x 25
CVA= 0; 25
     
      

* Luego, elevando al cuadrado:
 
x+5= 25+ x 10 x x = 2
x=4 , (4 CVA) B= 4 n(B)=1
 
   
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 55:
Si T es el conjunto solución de la siguiente ecuación
3x  4+ 2x  3  5x  7 = 0, entonces la
afirmación correcta es:
3 1
A ) T 0 ; B ) T ; 1
4 2
3 3
C ) T 1 ; D ) T ; 2
2 2

  
     
RESOLUCIÓN:
* CVA: 3x 4 0 2x 3 0 5x 7 0
4 3 7
x x x
3 2 5
3 3
x CVA= ; +
2 2
       
     
     
* En la ecuación, al cuadrado:
3x 4+ 2x 3+2 (3x 4)(2x 3)=5x 7
2 (3x 4)(2x 3)=0
    
  
* De donde: 1 2
x =4 x =3
3 2

* Pero: 1 2
x = 4 CVA ; sólo x CVA
3
 
1 2
4 3 3
x = CVA ; x CVA T= ; 2
3 2 2
           
sólo
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 56:
Resuelva e indique la cantidad de soluciones:
x+1+ x+2+ x+3+ x+4=4
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN:
* Hallando primero el conjunto de valores admisibles
(C.V.A.), así:
x+1 0 x+ 2 2 x+3 3 x+4 4
x 1;
      

    
* Entonces como:
x 1 x+2 1 x+2 1
x+3 2 x+3 2
x+4 3 x+4 3
x+1 0 x+1 0
x+1+ x+ 2+ x+3+ x+4 4,14...
     
   
   
  
 
 Es imposible que la suma sea 4.
* Con lo que: C.S.=
* Número de soluciones es igual a 0.
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 57:
Si la fracción irreductible a/b es raíz del polinomio: x5+x–
10=0 entonces:
a 5 a 5 3 a 3 7
A) 1; B) ; C) ;
b 4 b 4 2 b 2 4
  
RESOLUCIÓN:
* Aplicando el teorema de Bolzano:
5 a
f(x)= x +x 10; = x f(0)<0
b
 
f(1)< 0 1 2
f(2)> 0 x < 1; 2 >
 
   
cambio de signos entre y
* Realizamos una 1ra. aproximación:
1+ 2 3
x = =
2 2
2 3/2
f(3/2)< 0
x < 3/2; 2 >

   
cambio de signo entre y
* Realizamos una nueva aproximación:
2+ 3/2
x = =7/4
2
3/2 7/4
f(7/4)> 0
x < 3/2; 7/4>
3 7
x ;
2 4

 
 
 
cambio de signo entre y
332
* Entonces: a 3 ; 7
b 2 4

RPTA: ‘‘C’’
PROBLEMA 58:
Resolver: 240x5+572x4–564x3–1257x2–31x+60=0
RESOLUCIÓN:
Las posibles raíces racionales son de la forma: r=
p/q, donde p es un divisor de 60 y q un divisor de 240.
* Vemos que: P(1) < 0 y P(2) > 0; luego , existe por lo
menos una raíz real en <1; 2>.
* Tomamos las raíces racionales comprendidas en
dicho intervalo; así 3/2. es raíz, lo comprobaremos
por ruffini:
240 572 564 1257 31 60
3
360 1398 1251 9 60
2
240 932 834 6 40 0
  
 
 
*De manera similar encontramos: x2=–5/2; x3=–1/
4; x4=3; x5=–20
PROBLEMA 59:
Resolver: x8 + 4x6– 4x2 – 1=0
RESOLUCIÓN:
* Las posibles raíces racionales son: 1 y –1. Vemos
que ambas satisfacen. Luego:
x8 + 4x6 4x2 –1=0
 (x–1)(x+1)(x6+5x4+ 5x2+1)=0
* pero: x6+5x4+5x2+1=(x2+1)(x4+4x2+1)
* entonces la ecuación resultará:
(x–1)(x + 1)(x2+1)(x4+4x2+1)=0
cuyas raíces serán:
   
1 2 3 4 5
6 7 8
x =1; x = 1; x =i; x = i ; x = 3 2 ;
x = 3 2 ; x = 2+ 3 ; x = 2+ 3
  
    
PROBLEMA 60:
Calcular aproximadamente una raíz quinta real de  .
RESOLUCIÓN:
Calcular aproximadamente una raíz quinta real de
-
Sea :
Por otro lado, sea :
Aplicamos el método de Newton - Raphson :
Eligiendo obtenemos :
5 5
5 4
5
n
n+1 n n 4 n 4
n
0
1
* z = x + =0.
* P(x)= x + P (x)= 5x
F(x ) x + 4
x = x =x = x
F (x ) 5x 5 4x
* x =1,
x = 1,4283184
 

 
 
 
       

Luego : sera la raíz pedida con la
aproximación deseada
2
3 4
; x = 1,29936208 ;
x = 1,25926 ; x = 1,2572804
* x= 1,26

 

PROBLEMA 61:
Sean los polinomios:
P(x)= x4+ ax3 + bx2 + cx + 1
Q(x)= x4+ cx3 + bx2 + ax + 1.
Hallar las condiciones que deben cumplir los
parámetros reales a, b y c (a  c) para que P(x) y Q(x)
tengan dos raíces comunes .
RESOLUCIÓN:
* Las raíces comunes a ambos polinomios serán
raíces de la diferencia:
P(x)–Q(x)=(a–c)x3+(c–a)x
* Resolvemos la ecuación:
P(x)–Q(x)=0, sacando primero x factor común:
x[(a — c)x2 +(c — a)x]= 0
* Las tres raíces son: 0; 1 y –1, entre ellas tienen que
estar las raíces comunes.
* Como 0 no es raíz ni de P(x) ni de Q(x), las dos
raíces comunes tiene que ser 1 y –1.
* Sustituyendo estos valores en P(x) yQ(x) obtenemos
el sistema:
2+a+b+c=0
2 a+b c=0

  
que nos da las condiciones: b=–2 ; a=–c
* Los polinomios quedan en la forma:
P(x)=x4 + ax3 – 2x2 – ax+1
Q(x)=x4– ax3– 2x2+ax+1
* Para resolver las ecuaciones P(x)=0, Q(x)=0,
separamos por Ruffini las raíces conocidas 1 y –1 y
quedan las ecuaciones en la forma:
P(x)=(x+1)(x–1)(x2 + ax – 1)=0
Q(x)=(x+1)(x–1)(x2– ax – 1)=0