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ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR - CONCEPTOS BÁSICOS -ÁLGEBRA RUBIÑOS

ECUACIONES POLINOMIALES
Conocer la teoría sobre definiciones, teoremas y propiedades referentes a las ecuaciones y sus raíces.
INTRODUCCIÓN:
Sea el polinomio general en una variable de grado n.
A la igualdad P(x)=0 se llama ecuación polinomial de grado n.

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En la resolución de estas ecuaciones se tendrá particularmente a la ecuación lineal, cuadrática, cúbica,
cuártica, bicuadrada, recíproca y binomial mediante fórmulas generales en términos de sus coeficientes.
Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuación de quinto grado o superior
mediante fórmulas generales (por radicales).Más aún el matemático Evariste Galois (1811–1832) demuestra
que el polinomio general de grado n  5 no es soluble por radicales ,mediante la teoría de grupos (tratado en
Álgebra Moderna). Pero si los coeficientes son numéricos, el valor de cualquiera de las raíces reales
puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las aplicaciones de la derivada).
ECUACIÓN POLINOMIAL CON UNA INCÓGNITA
Es aquella ecuación cuya forma canónica o general
adopta la forma:
n n-1 
P(x)=a0 x +a1x +...+an-1x+an =0 ; a0 0
donde: a0 , a1 , a2 , a3 , ... an-1 , an son coeficientes
complejos; n  
* Esta ecuación es de grado ‘‘n’’ si y sólo si: a0  0
* an: coeficiente principal
* a0: término independiente
De acuerdo a la naturaleza de los coeficientes ai , una
ecuación polinomial puede ser:
* Si ai   , se tendrá una ecuación polinomial con
coeficientes enteros.
EJEMPLO:
P(x)=4x5+3x4  6x2+x  5=0
* Si ai  , se tendrá una ecuación polinomial con
coeficientes racionales.
EJEMPLO:
3 4 3 2 2 1
P(x)= x +7x x +6x+ =0
5 5 2

* Si ai  , se tendrá una ecuación polinomial con
coeficientes reales.
EJEMPLO:
7 2 5 4 3 6
P(x)= 3x + x +7 x 2x + x =0
3 6
 
* Si ai  , se tendrá una ecuación polinomial con
coeficientes complejos.
EJEMPLO:
6 5 3 2
P(x)= 3ix + 2ix +6x x+5+i=0
3

El grado del polinomio determina el grado de la
ecuación, así:
• x+1=0 Ecuación lineal o de primer grado
• x2  8x+3=0 Ecuación cuadrática o de segundo grado
•7x3  5x+ 2 = 0 Ecuación cúbica o de tercer grado
RAIZ DE UN POLINOMIO (ó cero de un polinomio)
Es aquel valor de la variable que anula un polinomio.
Sea P(x) polinomio no constante:
P( )=0 " " es raíz de P(x)
ó es raíz de P(x) P( )=0
 
 


Donde  
* Es decir la raíz de un polinomio es el valor que al ser
reemplazado en P(x), este toma el valor cero.
EJEMPLO 1:
* Dado el polinomio: P(x)= x3 +1 una de sus raíces
es x = 1
* Ya que: P(1)=(1)3 +1= 0
299
EJEMPLO 2:
* Sea: P(x)= x2  25
Si: x=5 P(5)=52  25=0
Si: x= 5  P(5)=(5)2  25 = 0
* Entonces 5 y –5 son raíces de P(x)
OBSERVACIÓN:
Toda ecuación polinomial de grado ‘‘n’’ tiene ‘‘n’’ raíces
TEOREMA DEL FACTOR
Si un polinomio P(x) se anula para x = a, entonces (x –
a) es un factor de P(x) y por consiguiente ‘‘a’’ es una
raíz de dicho polinomio.
* Dicho de otra forma:
‘‘Dado P(x)= 0 , tal que P(a)=0 entonces (x – a) es
un factor de P(x)’’
* Se cumple que:
P(x)  (x  a)Q(x)
EJEMPLO:
* Sea P(x)= x3  2x2  x+2 se observa que:
P(1)=0 ; P(1)= 0 ; P(2)= 0
* Luego, –1; 1; 2 son raíces de dicho polinomio.
Por tanto: (x+1), (x  1), (x  2) son factores de
dicho polinomio.
* Entonces: P(x)=(x+1)(x  1)(x  2)Q(x)
RAÍZ MÚLTIPLE DE UN
POLINOMIO
Si la ecuación polinomial:
P(x)=0 ; n  2 , a0  0
admite ‘‘k’’ raíces iguales a ‘‘r’’ (n  k), entonces se
dice que ‘‘r’es una RAÍZDEMULTIPLICIDAD ‘‘k’’de dicha
ecuación.
* Es decir si una raíz es de multiplicidad k, significa
que la raíz se repite k veces.
DEFINICIÓN:
Sea P(x) un polinomio donde   constante, es una
raíz de multiplicidad k. Si y sólo si (x  )k es un factor
de P(x) y (x  )k+1 no es factor de P(x).
Es decir:
P(x)=(x  )kq(x) con q( )  0
OBSERVACIÓN:
Si se desea hallar las raíces de un polinomio o
ecuación se factoriza y se iguala cada factor a cero.
EJEMPLO 1:
Hallemos las raíces de: P(x)=(x+2)3(x  5)2(x  8)
* Igualando cada factor a cero (debe tener: 3+2+1=6
raíces)

1
2
3
4
5
6
x = 2 es raíz de
multiplicidad tres o raíz
triple (se repite 3 veces)
x = 5 es raíz de
multiplicidad 2
o raíz doble
x = 8 es raíz simple
(no tiene mul
(x+ 2)=0 x = 2
(x+ 2)=0 x = 2
(x+ 2)=0 x = 2
(x 5)=0 x = 5
(x 5)=0 x = 5
(x 8)=0 x =8
   
   
   
  
   
 
tiplicidad)
EJEMPLO 2:
* Al hallar las raíces de: P(x)=3(x+5)(x  3)2(x+1)3
Igualando cada factor a cero:
2
3
x+5=0 x= 5:
(x 3) =0 x=3: 2
(x+1) =0 x= 1: 3
 
 
 
raíz simple (no tienemultiplicidad)
raíz doble demultiplicidad
raíz triple o demultiplicidad
OBSERVACIÓN:
* Una raíz de la ecuación polinomial P(x)=0 sin tomar
en cuenta su multiplicidad se denomina también
‘‘solución de dicha ecuación’’ , entonces:
Número de Número de
raíces de P(x) soluciones de P(x)=0
 ; es
decir el número de soluciones no excede al grado.
EJEMPLO:
* Sea la ecuación polinomial:
5 2 4 7
P18(x)=6x (x+1) (x  2) (x  3) =0
* Se dice que :
‘‘0’’ : es una raíz de multiplicidad 5
‘‘–1’’ : es una raíz de multiplicidad 2
‘‘2’’ : es una raíz de multiplicidad 4
‘‘3’’ : es una raíz de multiplicidad 7
* De lo anterior, la ecuación de grado 18, admite 18
raíces; pero el conjunto solución ‘‘S’’ de dicha ecuación,
admite solo 4 elementos, es decir:
S=0 ;  1 ; 2 ; 3
NOTA:
El término raíz o cero de un polinomio se utiliza
únicamente para ecuaciones polinomiales , es decir
300
es absurdo hablar de raíz en ecuaciones irracionales
o fraccionarias.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
ÁLGEBRA
Toda ecuación polinomial de coeficientes numéricos
posee por lo menos una raíz que generalmente es
compleja.
COROLARIO :
Toda ecuación polinomial de grado ‘‘n’’ tiene
exactamente ‘‘n’’ raíces contadas con su respectiva
multiplicidad.
* Sean las raíces de P(x) polinomio de grado ‘‘n’’ con
coeficiente principal ‘‘a’’.
x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; ... ; xn
el polinomio puede expresarse de la siguientemanera:
coeficiente principal
EJEMPLOS:
I) x4  16= 0 ó P(x)= x4  16= 0;
Como la ecuación es de 4to. grado debe tener 4 raíces.
* Verifique que las raíces son 2 ; –2 ; 2i ; –2i, donde i
es la unidad imaginaria.
II) P(x)=(x  3)2(x  1)3(x+5)=0
* Vemos que el polinomio es de grado 6, entonces debe
tener 6 raíces.
OBSERVACIÓN:
Si a0=1 se dice que P(x) es un polinomio mónico.
Sea P(x) un polinomio, además recuerde que:
* P(1)= Suma de coeficientes
* P(0)= Término independiente
EJEMPLO:
Sean 2; 3 y – 5 las raíces de un polinomio P(x) de
grado mínimo, hallar la suma de sus coeficientes si
dicho polinomio es mónico.
RESOLUCIÓN:
* Si:
0
2 es raíz (x 2) es factor de P(x)
3 es raíz (x 3) es factor de P(x)
5 es raíz (x+5) es factor de P(x)
P(x) a (x 2)(x 3)(x+5)
 
 
 
   
* Como el polinomio es mónico: a0=1
 P(x)  (x  2)(x  3)(x+ 5)
* Nos piden la suma de coeficientes:
x=1
P(1)=( 1)( 2)(6) P(1)=12

  
Sea :
 La suma de coeficientes del polinomio es 12
NOTA:
* Del teorema y el corolario se concluye que toda
ecuación polinomial tiene solución, por lo tanto será
compatible.
* Así mismo toda ecuación polinomial tiene n raíces
contadas con sumultiplicidad, es decir, será compatible
determinada.
TEOREMADE CARDANO-VIETTE
Dado un polinomio P(x) de grado ‘‘n’’ con coeficientes
complejos en general de la forma:
n n 1 n 2
P(x)=a0x +a1x +a2x +...+an=0  
a0  0
cuyas raíces son x1, x2 , x3 , ......, xn, entonces:
I) SUMA DE RAÍCES :
1
1 1 2 3 n
0
a
S = x + x + x +...+ x =
a

II) SUMA DE PRODUCTOS BINARIOS :
2
2 1 2 1 3 2 3
0
a
S =x x + x x + x x +...=
a
‘‘Suma de los productos tomados de 2 en 2.
III) SUMA DE PRODUCTOS TERNARIOS :
3
3 1 2 3 1 2 4 2 3 4
0
a
S = x x x + x x x + x x x +...=
a

... y así sucesivamente ....
IV) PRODUCTOS DE RAÍCES :
n n
n 1 2 3 n
0
a
S =x x x ...x =( 1)
a

n
0
a
; n=par
a

n
0
a
; n=impar
a

NOTA:
Este teorema nos permite tener relaciones numéricas
entre las raíces de una ecuación y sus respectivos
coeficientes.
EJEMPLO 1:
Dado el polinomio: P(x) = 2x3 – 6x2+7x – 8
Si: r1; r2; r3 son sus raíces, entonces:
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( 6) 7
r +r +r = =3 r r +r r +r r =
2 2
 
301
1 2 3
( 8)
r r r = =4
2
 
EJEMPLO 2:
Sea: 5x4  3x3 +2x  3=0
Hallar la suma de sus raíces.
RESOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que la suma de las raíces de una
ecuación de grado ‘‘n’’ es igual al coeficiente de xn–1
entre el coeficiente de xn, con signo cambiado; se
tendría:
4
4 3
3
Coef. de x =5
5x 3x +2x 3=0
Coef. de x = 3

   
 
* Entonces suma de raíces:
1 2 3 4
3 3
x + x +x + x = =
5 5


EJEMPLO 3:
Resolver: x3 – x2 – x – 2=0
Sabiendo que dos de sus raíces suman menos uno.
RESOLUCIÓN:
* Sean las raíces: {x1, x2, x3}
* Por condición: x1+ x2= –1 ....................... (I)
* Del teorema de Cardano - Vieta
1 2 3
1
x + x + x = =1.........................(II)
1


* Reemplazando (I) en (II):
 1+ x3=1 x3=2
* Siendo x3 =2, una de las raíces de la ecuación, esta
contiene al factor (x – 2), obteniéndose el otro factor,
por la regla de Ruffini:
x = 2
1 – 1 – 1 – 2
2 2 + 2
1 + 1 1 0
* De donde, tendríamos: (x – 2)(x2+x+1)=0
* Igualando cada factor a cero:
2
x 2=0 x= 2
1 3i
x + x+1=0 x=
2
 
 

* Las raíces de la ecuación dada son:
1 2 3
1 3i 1+ 3i
x = ; x = ; x =2
2 2
  
TEOREMAS SOBRE LAS
PARIDADES DE LAS RAÍCES
I) PARIDAD DE RAÍCES IMAGINARIAS:
Toda ecuación polinomial de coeficientes reales que
tenga una raíz compleja de la forma ‘‘a+bi’’ donde a y
b   i= 1 . Tendrá necesariamente por raíz al
complejo conjugado de la raíz inicial: es decir la otra
raíz será: ‘‘a – bi’’; (b  0).
II) PARIDAD DE RAÍCES IRRACIONALES :
Si una raíz del polinomio P(x) de coeficientes racionales,
es el número irracional
a+ b (a, b  b>0  b  ), entonces
necesariamente otra raíz de la ecuación será el
irracional conjugado: a b
OBSERVACIÓN:
Todas las raíces imaginarias de una ecuación
polinomial, con coeficientes reales, se presentan por
PARES, las cuales son dos a dos números imaginarios
y conjugados. Por ello, el número de raíces imaginarias
de este tipo de ecuaciones es par.
COROLARIO:
Toda ecuación polinomial, con coeficientes reales y
de grado impar , tiene por lo menos una raíz real.
III) TETRARIDAD DE LAS RAÍCES
IRRACIONALES :
Si una ecuación polinomial Pn(x)=0, con coeficientes
racionales, admite la raíz irracional ( a+ b), donde
a y b son racionales positivos no cuadrados perfectos
( a, b son irracionales entonces, su irracional
conjugado ( a  b ) su opuesto ( a  b ) y el
conjugado de su opuesto ( a+ b ), también son
raíces de dicha ecuación
IV) TERNARIDAD DE LAS RAÍCES
COMPLEJAS :
Si una ecuación polinomial Pn(x)=0, con coeficientes
racionales , admite la raíz irracional 3 a, donde a es un
racional no cubo perfecto, entonces 3 aw y su
conjugada 3 aw2 también son raíces de dicha
ecuación; siendo ‘‘w’’ una de las raíces cúbicas
imaginarias de la unidad.
302
EJEMPLO 1:
2
1 2
2
1 2
4 2 1 2
3 4
3 2
1 2 3
Ecuación Raíces
1 3 1 3
x + x+1 x = + i ; x = i
2 2 2 2
x 4x 1 x = 2+ 5 ; x = 2 5
x = 2+ 3 ; x = 2 3
x 10x +1
x = 2+ 3 ; x = 2 3
x 4x +14x 20 x =1+3i ; x =1 3i ; x = 2
  
  


  
  
EJEMPLO 2:
Construir una ecuación de menor grado, donde una
de sus raíces es: 1+2i
RESOLUCIÓN:
* Por el teorema de la paridad de raíces imaginarias, si
x1=1+2i es raíz entonces x2=1 – 2i también lo será,
luego una de las2ecuaciones de menor grado es:
1 2 1 2
2
x (x + x )x+ x x = 0
x 2x+3=0
(1+ 2i)(1 2i)

 
 
EJEMPLO 3:
Si una de las raíces de: x2+ px+ q= 0,  p; q ,
es: 1 2 ; calcular ‘‘p’’ y ‘‘q’’.
RESOLUCIÓN:
* Como los coeficientes de la ecuación son números
racionales, aplicamos el teorema de la paridad, se tiene
que si x1 =1 2 es una raíz , luego la otra raíz será
necesariamente x2 =1+ 2 , luego formemos la
ecuación:
2
1 2 1 2
2
2
x (x + x )x+ x x =0
x (1 2+1+ 2 )x+(1 2 )(1+ 2 )=0
x 2x 1=0

   
  
* Comparándola con: x2+px+q=0
* Se obtiene: p= 2  q=1
OTROS TEOREMAS:
A) Si una raíz de la ecuación polinomial:
n n 1
P(x)= a0x +a1x +...+an 1x+an=0 

con coeficientes enteros (a0  0) , es el número
entero ‘‘p’’, entonces necesariamente ‘‘p’’ es un divisor
de ‘‘an’’.
B) Además si una raíz es
p
(p, q q 0 p q
q
    y
son primos entre sí; entonces necesariamente ‘‘p’’ es
un divisor de ‘‘an’’ y ‘‘q’’ un divisor de ‘‘a0’’.
C) También si P(1) y P(0) son números enteros
impares, entonces la ecuación no tiene raíces enteras.
EJEMPLO:
Sea la ecuación: P(x)= x2 – x – 5=0
* Como:
P(1)= 12 – 1 – 5= – 5
P(0)= 02 – 0 – 5= – 5
* Entonces como P(1) y P(0) son impares entonces la
ecuación x2  x  5 = 0 no presentan raíces enteras.
TEOREMA DE BOLZANO (TEOREMA DEL
VALOR INTERMEDIO)
Este teorema es aplicable para funciones continuas,
aquí lo aplicaremos para polinomios. ‘‘En todo
polinomio P(x) de coeficientes reales, si P(a) P(b)<0,
entonces existe almenos una raíz real x0 < a;b>’’.
EJEMPLO:
Sea: P(x)= 2x3  15x2  28x+40
Se observa que:
3 2
3 2
P(0)=2(0) 15(0) 28(0)+40=40 P(0)>0
P(1)=2(1) 15(1) 28(1)+40= 1 P(1)<0
  
   
* Como P(0)P(1)<0 entonces existe al menos una raíz
x0 de P(x) en el intervalo < 0 ; 1>
LÍMITES O COTAS DE LAS
RAÍCES
Al buscar las raíces reales de una ecuación , tal como
lo haremos , es útil conocer un intervalo de valores
que contenga todas las raíces. Todo número que sea
mayor o igual a la mas grande de las raíces, se llama
límite superior de las raíces.Cualquier número que sea
menor o igual a la raíz más pequeña se llama límite
inferior de las raíces. Los límites superior e inferior
pueden determinarse aplicando el siguiente teorema.
TEOREMA:
I) Si en la división sintética de ruffini en un polinomio f
(x) entre x – r , donde r es positivo, cada término del
tercer renglón es positivo (algunos pueden ser nulos),
entonces r es un límite superior para las raíces reales
de la ecuación f(x)=0.
II) Si r es negativo y los términos del tercer renglón
son alternativamente positivos y negativos(tomando el
cero en el tercer renglón ya sea como positivo o
negativo) , entonces r es un límite inferior para las
raíces.
303
La verdad del teorema puede observarse
inmediatamente. Si una r positiva produce términos
positivos en el cociente del proceso de la división , un
número mayor que r aumentaría todos los términos
del renglón siguiente al primero. El último término del
tercer renglón no podría entonces ser nulo. En
consecuencia , un valor mayor que r no es raíz de la
ecuación.
Por un razonamiento completamente similar, puede ser
establecida la segunda parte del teorema.
EJEMPLO:
Encontrar los límites superior e inferior de las raíces
de la ecuación
2x3 – 5x2 –7x+4 = 0
RESOLUCIÓN:
Mostramos la prueba para r=3 y r=4:
tercer renglón
tercer renglón
2 5 7 + 4
3 +6 +3 12
2 +1 4 8¬
2 5 7 +4
4 +8 +12 +20
2 +3 +5 + 24¬
 

 
 
 

* Estas pruebas muestran que el entero más pequeño
que es límite superior , determinado por el teorema, es
4.
* En seguida probamos enteros negativos,
comenzando con – 1.
tercer renglón
tercer renglón
2 5 7 +4
1 2 +7 +0
2 7 +0 +4¬
2 5 7 + 4
-2 4 +18 22
2 9 +11 18¬
 
 

 
 
 
 

Puesto que – 2 hace a los términos del tercer renglón
de signos alternados, este número es un límite inferior.
Por tanto, todas las raíces reales de la ecuacion dada
están entre – 2 y 4.
OBSERVACIÓN:
la cota o límite superior(S) e inferior(I) de las raíces
también se puede determinar mediante las siguientes
fórmulas de lagrange:
P P
0 0
G G
S =1+ I = 1+
a a
 
 
 
donde:
P: Diferencia entre el grado de la ecuación y el grado
del primer término con coeficiente negativo.
G: Valor absoluto del menor coeficiente negativo del
polinomio.
a0 : primer coeficiente de la ecuación.
NOTA:
el valor de S se calcula a partir de f(x),mientras que el
valor de I se calcula a partir de f( – x), siendo
necesariamente a0 positivo.
EJEMPLO:
en: f(x)= x5+ 2x4+ 5x3 – 7x2– 32x –160 = 0
* la raíces probables son:
1 ;  2 ;  4 ;  8 ; 16 ;  32 ; 5 ;  10 ;  40 ;  80 ;  160
* Cálculo de S:
5 2 160
S=1+ 1 6=7
1
  
luego las únicas raíces positivas probables serán: 1; 2
; 4 ; 5
* Cálculo de I:
f(– x)= – x5+2x4– 5x3– 7x2+32x –160=0
* Pero para calcular I es necesario que a0>0, por lo
que multiplicaremos por (–1) ambos miembros de la
ecuación, así:
x5– 2x4+5x3+7x2– 32x+160=0
P=5 – 4=1 ; G=32 y a0=1
* entonces: 5 4 32
I = 1+ = 33
1

 
   
 
* Por lo que las únicas raíces negativas probables
serán: – 32 ; –16 ; –8 ; – 4 ; –2 ; –1 ; – 5; –10 y – 20.
REGLA DE SIGNOS DE
DESCARTES
De un polinomio f(x) , con los términos escritos en
orden de potencias descendentes de x, se dice que
tiene un cambio de signo (variación) si dos terminos
consecutivos tienen signos opuestos. Toda potencia
de x faltante debe rechazarse en esta definición (no
se ponen los coeficientes iguales a cero) .
304
EJEMPLO:
El polinomio 2x5–x4–3x3+x2–2 tiene tres cambios de
signo (3 variaciones).
V
5 4 3 2
V V
2xx 3x+x  2
Hay un cambio de 2x5 a – x4 , otro de – 3x3 a +x2, y un
tercero de + x2 a – 2.
Los cambios del signo suministran alguna informacion
sobre las raíces de una ecuación polinomial. Con
relación a esto enunciemos el siguiente teorema:
TEOREMA:
(Regla de signos de Descartes)
El número de raíces positivas de una ecuación
polinomial f(x)=0 es igual al número de cambios de
signo en f(x), o es menor que ese número según un
múltiplo de 2. El número de raíces negativas de f(x)=0
es igual al número de cambios de signo en f(– x), o es
menor que ese número según un múltiplo de 2.
NOTA:
Aunque se omite la demostracion de esta regla, la
aplicaremos a algunas ecuaciones. De acuerdo con
la regla, un solo cambio de signo significa que hay
solamente una raíz positiva. Para un número de
cambiosmayor que 1, la regla no proporciona ninguna
información definida. Cuatro cambios, por ejemplo,
revelan que hay cuatro, dos, o ninguna raíz positiva.
EJEMPLO 1:
Aplicar la regla de signos de Descartes a la ecuación:
x3 + 7x2 + 8x –17=0
RESOLUCIÓN:
* Como el primer miembro f(x) tiene un cambio de
signo. Entonces la ecuación tiene exactamente una
raíz positiva. Para hacer la prueba de las raíces
negativas, substituimos x por – x y tenemos:
f(–x)= – x3 + 7x2 – 8x – 17
Aquí hay dos cambios de signo. De acuerdo con la
regla, la ecuacion dada tiene dos raíces negativas o
ninguna negativa.
Concluimos, por lo tanto, que la ecuación original tiene
una raíz positiva y que las dos raíces restantes son
ambas negativas o imaginarias; estas son:
N MERO TOTAL
DE RA CES
N MERO DE RA CES
POSITIVAS(+)
N MERO DE RA CES
NEGATIVAS( )
N MERO DE RA CES
IMAGINARIAS
ú
í 3 3
ú í
1 1
ú í
2 0
ú í
0 2

!RECUERDA¡
Dado un polinomio P(x) con coeficientes Reales, se
denomina variación al paso de un término a otro
consecutivo de diferente signo, y permanencia si son
de signos iguales.
REGLA:
* El número de raíces positivas de un polinomio P(x)
con coeficientes Reales no excede al número de
variaciones del polinomio y cuando es menor su
diferencia es un número par.
* Para analizar el número de raíces negativas de un
polinomio P(x) bastará con analizar P(–x).
EJEMPLO2:
En: 7 6 5 3
* Hay 3 variaciones, entonces este polinomio no tendrá
más de 3 raíces positivas.
* Luego:
7 6 5 3
Como presenta 2 variaciones, entonces no tendrámás
de 2 raíces negativas.
EJEMPLO 3:
Aplicar la regla de signos de Descartes a la ecuación:
f(x)=3x5 +4x3 + 2x – 5= 0
RESOLUCIÓN:
*el polinomio f(x) tiene un cambio de signo de 2x a –
5; por consiguiente la ecuación tiene exactamente una
raíz real positiva.
* ahora: f(–x)= – 3x5 – 4x3– 2x – 5=0
f(– x) no tiene variación de signo , entonces no hay
real negativa.
Por lo tanto la ecuación original tiene una raíz real y
cuatro complejas .
305
REGLA DE BUDAN:
sean Va y Vb el número de cambios de signos en las
sucesiones:
(n)
(n)
derivadas de P(x)
P(a); P (a);P (a); ........ ; P (a)
P(b); P (b);P (b); ........ ; P (b)
  

 

 
respectivamente; entonces el número de ceros o raíces
de P(x) en [a; b] es igual , bien a (Va–Vb) ó (Va–
Vb)menos un número par.
NOTA:
El intervalo [a;b] se puede estimar mediante el
teorema del valor intermedio.
EJEMPLO:
sea: P(x)=x4 –10x3+32x2–18x+15=0
* Tomemos [0;2] (debemos adecuadamente el
intervalo); luego evaluamos los polinomios y las
derivadas en a=0 y b=1, así:
4 3 2
3 2
2
iv iv iv
P(x)=x 10x +32x 18x+15 P(0)=15 P(2)=43
P'(x)=4x 30x +64x 18 P'(0)= 18 P'(2)=22
P''(x)=12x 60x+64 P''(0)=64 P''(2)= 8
P'''(x)=24x 60 P'''(0)= 60 P'''(2)= 12
P (x)=24 P (0)=24 P (2)=24
  
   
  
   

y
y
y
y
y
* ahora formemos la sucesión:
a
b
15; 18;64; 60; 24 V =4
43; 22; 8; 12; 24 V =2
   

   
entonces: Va–Vb= 4 – 2=2, dando entender que en [0;
2] hay 2 raíces o ninguna (2 – 2= 0).
TEOREMA DE LAS RAÍCES
MÚLTIPLES
Si el polinomio P(x)=(x  a)kq(x)/q(a)  0 se cumple:
Si: P(a)=0, entonces:
P'(a)=0  P''(a)=0  ...........  P(k1)(a)=0
Es decir, todas sus derivadas hasta el orden (k – 1) se
anulan en ‘‘a’’ (se hacen cero).
EJEMPLO:
Sea: P(x)=x2+x+4
Se observa que: P(–2)=(–2)2+4(–2)+4=0
* Además: P'(x)=2x+4  P'( 2)=2( 2)+4=0
* Entonces – 2 es una raíz doble del polinomio.
OBSERVACIÓN:
Sea: 2n 2n 1 2n 2
P'(x)=a0x +a1x +a2x +...+a2n  
Un polinomio de grado par y coeficientes reales y si:
a0a2n<0, entonces P(x) tiene por lo menos 2 raíces
reales.
EJEMPLO:
Sea: x4 + 2x3 – x2– 5
* Se observa que: a0=1 y a2n =  5  a0a2n < 0
* Entonces este polinomio presenta por lo menos 2
raíces reales.
TRANSFORMACIONES DE LAS
ECUACIONES
Comúnmente es necesario transformar una ecuación
en otra, cuyas raíces tengan una relación con las raíces
de la ecuación general.
Sus principales transformaciones son:
I) CAMBIAR DE SIGNO A LAS RAÍCES :
Dado el polinomio P(x) de raíces x1, x2, ... , xn .
Para hallar otro polinomio del mismo grado, cuyas
raíces sean –x1, –x2, –x3, ... , –xn, será suficiente
cambiar en el polinomio P(x), x por – x.
EJEMPLO:
* Como P(x)=x2+3x+2 tiene como raíces a –1 y –2,
entonces:
P(–x)=x2–3x+2 tendrá como raíces a 1 y 2.
II) MULTIPLICACIÓN DE LAS RAÍCES
POR UNA CONSTANTE :
Sea P(x) de raíces x1, x2, ..., xn se busca otro polinomio
del mismo grado de raíces rx1, rx2, rx3 , ... , rxn donde r
es constante no nula.
Sean xk las raíces de P(x) se busca otro polinomio de
raíces k
k k k
y
y =rx x =
r
 será
suficiente cambiar en P(x), x por y x
r r
ó .
EJEMPLO:
* Sea P(x)= x2  3x+ 2 de raíces 1 y 2, se desea
otro polinomio de raíces 3 y 6, es decir el triple de las
anteriores, entonces se hará:
y x
y= 3x x= ( )
3 3
 ó por .
* Cosa que el nuevo polinomio será:
x x 2 x x x2
P = 3 + 2 P = x+ 2,
3 3 3 3 9
                  
        de
esto vemos:
x – 6
x – 3
2
x 2
x+2=0 x 9x+18=0
9
  
306
tendrá como raíces a: 3(1) y 3(2)
III) LAS RAÍCES AUMENTADAS EN UNA
CONSTANTE :
Sea P(x) un polinomio de raíces x1 , x2 , ..., xn , se
busca otro polinomio de raíces x1+r; x2+r ;...; xn+r, es
decir, las raíces aumentadas en una constante r.
Sean xk las raíces de P(x) se busca otro polinomio de
raíces yk = xk+r  xk = yk  r. Basta reemplazar
en el polinomio P(x), x por x – r.
EJEMPLO 1:
* Sea: P(x)=x2 7x+10 de raíces 2 y 5, se desea otra
ecuación de raíces 3 y 6, es decir las raíces de x2–
7x+10 aumentadas en 1, entonces será suficiente
reemplazar a ‘‘x’’ por ‘‘x – 1’’, luego:
(x–1)2–7(x–1)+10=x2–9x+18 será el polinomio
buscado, es decir: x2–9x+18 tendrá como raíces a:
2+1 y 5+1
OBSERVACIÓN:
Una manera práctica de obtener la ecuación ya
desarrollada es dividir por Ruffini en forma sucesiva
x2–7x+10 entre (x+1), así:
1
–1
1
1
–1
–9
–1
–8
–1
–7
18
8
10
Término independiente
del nuevo polinomio
Coeficiente lineal del
nuevo polinomio
* Entonces el nuevo polinomio cuyas raíces son las
anteriores aumentadas en 1, será:
P(x)= x2 – 9x +18
EJEMPLO 2:
Determinar la ecuación polinomial cuyas raíces sean
las de: x3–2x+1=0
Disminuidas en 2.
RESOLUCIÓN:
* Para aplicar el criterio de un Ruffini sucesivo,
dividiremos x3– 2x+1 entre x – 2, así:
1
2
1
1 4
2
2
2
0
5
4
–2
1 6
2
2
2
2
8
10
1
T.I.
de “x”
de “x ” 2
4
* Luego la ecuación pedida será: x3+6x2+10x+5=0
IV) LAS RAICES RECIPROCAS :
Dado un polinomio P(x) de raíces x1, x2, ... , xn, se
busca otro polinomio de raíces
1 2 n
1 , 1 ,..., 1 .
x x x
Es suficiente cambiar en P(x), x por 1
x .
EJEMPLO:
Determine una ecuación cúbica cuyas raíces sean las
inversas de: x3+ 3x2– 2x – 7=0
RESOLUCIÓN:
* Sustituyendo a ‘‘x’’ por ‘‘ 1
x ’’, así:
3 2 1 1 1
+3 2 7 =0
x x x
             
     
* Multiplicando por x3, se tiene:
1+3x  2x2  7x3=0
  7x3  2x2 +3x+1=0 Es la ecuación pedida.
V) CUADRADO DE LAS RAÍCES :
Dado un polinomio P(x) de raíces x1, x2, ..., xn otro
polinomio del mismo grado de raíces 2 2 2
x1 , x2 ,... , xn
se consigue reemplazando x por x .
* Es decir sea x la raíz de P(x) se busca otro polinomio
de raíz y = x2.
 x= y se reemplaza x por x
EJEMPLO:
Determinar la ecuación de 2° grado cuyas raíces sean
el cuadrado de las raíces de:
x2  x+1=0
RESOLUCIÓN:
* Será suficiente reemplazar a ‘‘x’’ por ‘‘ x ’’, así:
 2
x  x+1=0  x+1= x
* Elevando al cuadrado y despejando resulta:
x2+x+1=0 Que será la ecuación pedida.
OBSERVACIÓN:
(MÉTODOS PRÁCTICOS)
Sea: n n 1 n 2
P(x)=a0x +a1x +a2x +...+an=0  
cuyas raíces son:   x1 ; x2 ; x3 ; ...; xn
A) Si se desea un polinomio cuyas raíces sean:
307
kx1 ; kx2 ; kx3 ; ... ; kxn
* Este será igual a:
n n 1 2 n 2 n
P(x)=a0x +ka1x +k a2x +...+k an=0  
B) Si se desea un polinomio cuyas raíces sean:
   x1 ;  x2 ; x3 ; ... ;  xn
* Este será igual a:
n n 1 n 2 n
P(x)=a0x a1x +a2x +...+( 1) an=0    
* Es decir se cambia de signo a los términos de lugar
par.
C) Si se desea un polinomio cuyas raíces sean:
1 2 3 n
1 1 1 1
; ; ; ... ;
x x x x
 
 
 
* Este será igual a:
n n-1
P(x)= anx +an-1x +...+a1x+a0
* Es decir se invierte el orden de los coeficientes.
NOTA:
En estos tres últimos casos los polinomios deben estar
previamente completos y ordenados , de no ser así se
completan con ceros los términos que faltan.
D) Si se desea un polinomio cuyas raíces sean:
  1 2 3 n
x2 ; x2 ; x2 ; ... ; x2
* Éste polinomio se obtiene haciendo primero:
P(x) P(x)
Que resultarán potencias pares de ‘‘x’’ y a continuación
se sustituye a x2 por ‘‘y’’ (o mejor a ‘‘x2’’ por ‘‘x’’).
EJEMPLO:
Sea: 2  
x  5x+6=0, de raíces x1 ; x2
Aplicandométodos prácticos, determinar un polinomio
cuadrático que:
 
 
 
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2
A) Tenga como raíces a 6x ; 6x
B) Tenga como raíces a x ; x
1 1
C) Tenga como raíces a ;
x x
D) Tenga como raíces a x ; x
 
 
 
 
RESOLUCIÓN:
2 2 2
2 2
2 2
2 2
4 2
A)P(x)=x 6 5x+6 6=0 x 30x+216=0
B)P(x)=x +5x+6=0 x +5x+6=0
C)P(x)=6x 5x+1=0 6x 5x+1=0
D) P(x)×P( x)=(x 5x+6)(x +5x+6)
G(x)= x 13x +36
    

  
 


* Haciendo x2= y :
 Q(y)=y2  13y+36 ó Q(x)=x2  13x+36
VI) ELIMINACIÓN DEL SEGUNDO
TÉRMINO :
Sea: n n 1 n 2
P(x)= a0x +a1x +a2x +...+an  
* Para eliminar el segundo término (a1xn–1), se agrega
a las raíces una cantidad ‘‘k’’ de modo que aquellos
términos desaparezcan de la ecuación, así:
x+k= y  x= y  k
* Entonces:
n n 1
P(y)= a0(y k) +a1(y k) +...+an   
* Desarrollando:
n n 1 n 1
0 0 1
se desea eliminar
 P(y)=a y  anky+ay+...
* Entonces:
n 1 n 1 1
0 1
0
a
a nky +a y =0 k=
a n
   
CONCLUSIÓN:
Para eliminar el segundo término de P(x)=0, se deben
incrementar en 1
0
a
a n
a las raíces.
EJEMPLO:
Eliminar el segundo término de:
x3  3x2 +3x  1=0
RESOLUCIÓN:
* En este caso: a0=1 ; a1= 3 y n=3
* Entonces: 3
k= = 1
1 3



* Luego debemos agregar en k= –1 a las raíces de
x3  3x2 +3x  1= 0 para ello aplicamos Ruffini en
forma sucesiva: (x  1=0  x  1)
1
1
1
1 –1
1
–2
1
–3
0
3
1 0
1
1
1
1
–1
0
–1
–2 1
* Luego la ecuación final será:
x 3 + 0x 2 + 0x + 0 = 0  x 3=0
En este caso se eliminó también el tercer y cuarto
término (no siempre ocurre así).
308
ECUACION CUBICA
Llamada también ecuación polinomial de grado 3 cuya
forma general es:
ax3 +bx2 +cx+d=0 ; a  0
* La solución de esta ecuación se realiza eliminando
el término cuadrático (segundo término en la ecuación
cúbica), para ello hacemos la sustitución x por
b
x
3a
    
  se puede obtener la siguiente ecuación en
x:
x3 + px+q= 0 ...‘‘llamada cúbica incompleta’’
* Supongamos ahora que la ecuación cúbica
incompleta tiene una solución de la forma x=y+z.
Luego por definición de solución:
3
3 3
x
3 3
(y+z) + px+q=0
y +z +3yz(y+z)+ px+q=0
(y + z + q)+(3yz+ p)x=0



* El cual verifica si: y3+z3+q=0
3yz+p=0
* Con lo que
3
3 3 3 3 p
y + z = q y z =
27
  
* Conociendo la suma y la multiplicación de y3, z3 se
puede formar una ecuación cuadrática de raíces y3,
z3.
r2  (y3 +z3 )r+ y3z3 =0, es decir:
3
2 p "llamada ecuación
r +qr =0
27 resolvente"

* De donde:
3
2
1
p
q q 4
r = 27
2
 
     
 
* Como y3, z3 son las raíces de esta ecuación:
2 3
3
2 3
3
q q p
y = + +
2 2 3
q q p
z = +
2 2 3
            
     
             
     
* Para solucionar la ecuación anterior, definamos
        
   
2 3 q p
= + ,
2 3 como discriminante de la ecuación
cúbica incompleta:
x3+px+q=0
* Como: x = y + z , se tiene:
2 3
3 3 q q q p
x= + + = +
2 2 2 3
             
   
con
* Luego de los números complejos, se tiene que:




1
3
2
2
3
x =m
x= R x =mw
x =mw
donde: 3 1 3
m = R ; w= + i ; i= 1
2 2

* Entonces en: x3+px+q=0, con:
2 3
3 3
1
3 3 2
2
3 2 3
3
q p
= +
2 3
q q
x = + +
2 2
q q
x = + w+ w
2 2
q q
x = + w + w
2 2
        
   
    
    
    
es :
EJEMPLO:
Resolver: x3–2x–4=0
RESOLUCIÓN:
* Sea : x = y+ z la solución de la ecuación, entonces:
3
3 3
x
(y+z) 2x 4=0
y +z +3yz(y+z) 2x 4=0
 
   
 (y3 +z3  4)+(3yz  2)x=0
* Cumpliendo cuando: y3 + z3 = 4  yz= 2
3
* De donde: y3+z3 =4  y3z3 = 8
27
* Ahora la ecu2ación res8olvente de raíce1s0 y3  z3 , es:
r 4r+ =0 r= 2 3
27 9
  
* Con lo que: 3
3
10 3
y =2+ 3 y=1+
9 3
10 3
z =2 3 z=1
9 3

  
* Entonces:
1
2
2
2
3
3 3
x =1+ +1 = 2
3 3
3 3
x = 1+ w+ 1 w =1+i
3 3
3 3
x = 1+ w + 1 w=1 i
3 3

   
    
   
   
     
   
309
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE
LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN
CÚBICA
Sea la ecuación x3+ px+q=0,  p; q   de raíces
2 3
1 2 3
q p
x , x , x = +
2 3
   
   
   
y 
3 3
1
3 3 2
2
3 2 3
3
q q
x = + +
2 2
q q
x = + w+ w
2 2
q q
x = + w + w
2 2
  
  
  
 
 
 
donde:
1 3
w= + i
2 2
 i= 1
Se cumple:
1) Si     0  x1 , x2 , x3   , además todas
distintas (3 raíces diferentes entre sí)
2) Si   =0  x1 , x2 , x3   además x1=x2 (dos
raíces iguales)
3) Si >0  x1  , x2=x3  x2 , x3   es
decir una raíz real y las otras 2 imaginarias y además
conjugadas.
ANÁLISIS GEOMÉTRICO
Sea el polinomio P(x)=ax3+bx+c ; a, b, c de
raíces x1 , x2 , x3 y discriminate .
EJEMPLO:
Analice las raíces de: x3 – x+3=0
RESOLUCIÓN:
* En este caso: p = –1; q = 3
2 3 3 1 9 1
= + = >0
2 3 4 27
>0
           
   
 
* De donde concluimos que la ecuación presenta 1
raíz real y 2 imaginarias.
ECUACIÓN CUÁRTICA O DE
CUARTO GRADO
Son aquellas de la forma:
P(x)= ax4+bx3 +cx2 +dx+e=0; a  0
RESOLUCIÓN DE FERRARI
Sea la ecuación x4+2px3+qx2+2rx+s=0 se busca
formar cuadrados perfectos.
* Sumando miembro a miembro (ax+b)2 a fin de que
ambos miembros sean cuadrados perfectos.
x4+2px3+(q+a2 )x2+2(r+ab)x+(s+b2 )=(ax+b)2
* Supongamos que el primer miembro sea
(x2+ px+k)2 .
* Por identidad de polinomios:
p2 +2k= q+a2 ; kp= r+ab; k2 = s+b2
* Eliminando a y b de estas ecuaciones tenemos:
(pk – r)2=(p2+2k – q)(k2– s)
* Formándose la siguiente ecuación cúbica.
2k3  qk2 +2(pr  s)k p2s+qs  r2=0
* De esta ecuación cúbica puede hallarse siempre un
valor real de k, con lo cual a y b quedan determinadas
como:
(x2 + px+k)2=(ax+b)2  x2 + px+k= (ax+b)
* Luego, los valores de x se obtienen de las ecuaciones
cuadráticas.
x2+(p – a)x+k – b=0
x2+(p+ a)x+k + b=0
EJEMPLO:
Resolver: x2–2x3+2x2+4x–8=0
RESOLUCIÓN:
* Sumando a ambos miembros:
(ax+b)2 =a2x2+2abx+b2 , resulta:
x4  2x3+(a2+2)x2+2(ab+2)x+b2  8=(ax+b)2
* Sea el primer miembro igual a: (x2  x+k)2
* Por identidad de polinomios:
a2 = 2k  1; ab=k  2; b2 = k2 +8
* Obteniéndose: (2k 1)(k2 +8)=(k 2)2
310
 2k3  2k2 +12k 12=0
* De donde se obtendrá: k=1
* Entonces:
a2=1 ; ab= 3 ; b2 =9  a=1 y b= 3
* Luego la ecuación:
(x2 – x+k)2=(ax+b)2 queda:
(x2 – x+1)2=(x – 3)2
 x2 – x+1=  (x – 3)
* Es decir: x2 – 2x + 4=0 ........(I)
x2 – 2=0 ................(II)
* Obteniéndose finalmente de (I) y (II):
x1= 2 ; x2= 2 ; x3=1+ 3i; x4=1  3i
RESOLUCIÓN DE DESCARTES
* Haciendo
a
x=y
4
 , la ecuación queda reducida en:
y4 – qy2+ry+s=0 (ecuación cuártica incompleta)
* Suponga que el polinomio cuártico queda
y4 +qy2 +ry+s=(y2 +ky+ )(y2  ky+m),
* De la igualdad de polinomos se tiene:
 +m k2=q; k(m  )= r; m=s
* De las dos primeras ecuaciones:
2 r 2 r
2m=k +q+ , 2 =k +q
k k
  y reemplazando
En la tercera: (k3 +qk+r)(k3 + qk  r)=4sk2
* Es decir: k6+2qk4+(q2  4s)k2  r2=0
* Esta es una ecuación cúbica en k2 que tiene siempre
una solución positiva. Cuando se conoce k2 se
conocen los valores de  y m y la solución de la
cuártica incompleta se obtiene resolviendo las dos
ecuaciones cuadráticas.
2
2
y +ky+ =0
y  ky+m=0

EJEMPLO:
Resolver: x4  13x2  4x+2=0
RESOLUCIÓN:
* Haciendo:
x4  13x2  4x+2=(x2 +kx+ )(x2  kx+m)
* De donde por igualdad de polinomios resulta:
2 2
2
4
m+ = k 13 2m= k 13
k
4 4 m = 2 = k + 13 k k
m =2
   
  
    

 

* De donde: 2 2
3 3 2
3 2 2
6 4 2
4 4
(k 13)(k + 13)=4(2)
k k
(k 13k 4)(k 13k+4)= 8k
(k 13k) 16=8k
k 26k +161k 16=0
  
   
  
  
* Resolviendo resulta k=4, entonces:
m+=3 ; m = 1 m= 1  =2
* Luego:
x4  13x2  4x+2=(x2 +4x+2)(x2 +4x  1)
* Entonces:
2
2
x +4x+2=0 x= 2 2
x 4x+1=0 x=2 3
2+ 2 ; 2 2 ; 2+ 3 ; 2 3
  
  
   
ECUACIÓN GENERAL
DE QUINTO GRADO
El éxito obtenido al resolver las ecuaciones de tercero
y cuarto grado llevaron a los matemáticos de la época
de Bombelli a intentar, por métodos similares, resolver
la ecuación general de quinto grado:
x5+bx4+ cx3+ dx2+ cx + f = 0
pero todos sus esfuerzos fallaron. La razón de este
fracaso fue descubierta en 1824 por el joven y genio
matemático noruego N.H. Abel (1802–1829), quien
demostró que la ecuación general de quinto grado no
se puede resolver por radicales. Es decir, no se
encuentra una expresión, donde las operaciones de
adición, sustracción,multiplicación, división y el cálculo
de raíces cuadradas, cúbicas, cuartas, etc., de
explícitamente las raíces de un polinomio arbitrario,
mónico, de grado 5, en términos de los coeficientes
del polinomio. Los resultados más importantes en la
teoría de ecuaciones polinomicas se logran en las
investigaciones del matemático francés,
contemporaneo deAbel, Evariste Galois (1811–1832).
La teoría de Galois no solamente muestra por que es
imposible resolver la ecuación general de quinto grado
por radicales, sino también por qué es posible resolver
las ecuaciones de tercero y cuarto grado.
ECUACIÓN BICUADRADA
Es la ecuación polinomial de cuarto grado que contiene
solamente potencias pares de la incógnita, su forma
canónica o general es:
ax4+bx2 +c=0 ; abc  0
‘‘a’’; ‘‘b’’ y ‘‘c’’ son los coeficientes; ‘‘x’’ es la incógnita.
311
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
BICUADRADA
Sea: ax4 +bx2 +c= 0 ; a  0
* Realizando el cambio: x2=y, la ecuación se puede
transformar a una de segundo grado, llamada
ECUACIÓN RESOLVENTE, de la forma:
ay2 +by+c=0 ; a  0
* Cuya solución general es:
b b2 4ac
y=
2a
  
* Como: y= x2 , se tiene:
2
2 b b 4ac
x =
2a
  
* Por lo tanto:
b b2 4ac
x= ..............................(I)
2a
  

donde:  =b2  4ac........(Discriminante o invariante)
Siendo ésta, la solución general de la ecuación
bicuadrada (I). Haciendo todas las combinaciones
posibles de los signos en (I), se obtienen las siguientes
raíces:
1 2
3 4
b+ b+
x =+ ; x =
2a 2a
b b
x =+ ; x =
2a 2a
 
   

   

OBSERVACIÓN:
La ecuación bicuadrada ax4+bx2 +c=0; se puede
resolver por factorización (Aspa simple).
Si: b2 – 4ac; es un cuadrado perfecto.
EJEMPLO 1:
Resolver: 9x4  13x2 +4= 0
RESOLUCIÓN:
* Dado que: a = 9 ; b = –13 ; c = 4
b2  4ac=(13)2  4(9)(4)= 25 ; es un cuadrado
perfecto, la ecuación es factorizable; en efecto los
factores de:
9x4  13x2 +4=0
9x –4
x –1
–4x
–9x
2
2
2
2
–13x2
Son: (9x2  4)(x2  1)=0
* Asimismo, cada paréntesis se puede factorizar
aplicando diferencia de cuadrados, es decir:
(3x+2)(3x  2)(x+1)(x  1)=0
* Igualando cada factor a cero las raíces
correspondientes son:
1 2 3 4
2 2
x = ; x = ; x = 1; x =1
3 3
 
EJEMPLO 2:
Resolver: 36x4  73x2 +16 = 0
RESOLUCIÓN:
* Factorizando por aspa simple:
(4x2  1)(9x2  16)=0
* Igualando cada factor a cero:
2
2
1
4x 1=0 x=
2
4
9x 16=0 x=
3
    

   

* Entonces: 1 1 4 4
C.S.= ; ; ;
2 2 3 3
     
 
EJEMPLO 3:
Resolver: 2x4 +3x2  5 =0
RESOLUCIÓN:
* Cálculo del discriminante:  =(3)2  4(2)( 5)= 49
* Reemplazando en la solución general:
* Se tiene: 3 49
x=
2(2)
 

* Luego, las raíces por separado son:
1 2
3+7 3+7
x =+ =1; x = = 1
4 4
 
 
* Además:
3
4
3 7 10
x =+ = i
4 2
3 7 10
x = = i
4 2
 
 
 
NOTA:
Algunas ecuaciones bicuadradas se pueden resolver
factorizando el polinomio (ax4+bx2+c) en dos factores
cuadráticos.
EJEMPLO 4:
Resolver: 9x4+481x2–10000=0
RESOLUCIÓN:
* Aplicando el criterio del aspa simple, se tiene:
9x +625
x – 16
2
2
(9x2 +625)(x2  16)=0
* Igualando a cero cada factor cuadrático:
312
2 2
2 2
9x +625=0 x 16=0
625
x = x =16
9
25
x= i x= 4
3


 
ó
ó
ó
* Luego, el conjunto solución S, será:
25 25
S = i; i; 4; 4
3 3
     
  siendo i= 1, la unidad
imaginaria.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
DE LA ECUACIÓN BICUADRADA
Sea la bicuadrada en ‘‘x’’:
ax4 +bx2 +c=0 ; abc  0
Si ‘‘m’’ y ‘‘n’’ son dos raíces no simétricas, entonces:
‘‘– m’’ y ‘‘– n’’ también lo serán.
I) Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas
dos a dos es decir:
x1 = m ; x2 = m ; x3 = n ; x4= n
II) Suma de productos binarios:
2 2
1 2 3 4
b b
x x + x x = m +n =
a a
 
III) Producto de raíces:
2 2
1 2 3 4
c c
x x x x = m n =
a a

EJEMPLO:
Dada la ecuación bicuadrada: 6x4+10x2+9=0
Si x1+x2+x3 y x4 son raíces de lamisma se verifican
las relaciones (por Cardano Viéte):
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
10 5
* x + x + x + x =0 * x x + x x = =
6 3
9 3
* x x x x = =
6 2
RECONSTRUCCIÓN DE LA
ECUACIÓN BICUADRADA
Conociendo dos raíces, cuya suma no sea cero. (no
simétricas).
Una ecuación bicuadrada en ‘‘x’’, donde dos de sus
raíces son ‘‘m’’ y ‘‘n’’ (m+n  0) viene dada por:
4 2
4 2 2 2 2 2
Suma de Producto
x + x + =0
productos binarios de raíces
x (m +n )x +m n =0
   
   
   
ó 
EJEMPLO 1:
Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces
son: – 3 y 2i
RESOLUCIÓN:
* En este caso: m= –3 y n=2i, luego la ecuación será:
4 2 2 2 2 2
4 2
x ( 3) +(2i) x +( 3) (2i) =0
x 5x 36=0
    
  
EJEMPLO 2:
Una de las soluciones de una ecuación bicuadrada es
5.
Reconstruir la ecuación; si: x1x2x3x4=225
RESOLUCIÓN:
* Si una de las raíces es x1=5, entonces la otra será:
x2= – 5
* Reemplazando en el dato:
(5)( 5)x3 x4 = 225  x3 x4 =  9
* Pero si: x3 = n  x4  n , luego: n( n)=9  n=3
* Se pide: 4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
4 2
x (m +n )x +m n =0
x (5 +3 )x +5 3 =0
x 34x + 225 =0

  
 
EJEMPLO 3:
Muestre la ecuación bicuadrada de coeficientes
enteros, en la cual una de cuyas raíces es:
10+ 11
2
RESOLUCIÓN:
* Una forma práctica es racionalizando gradualmente
este valor irracional, así:
10+ 11
x= 2x= 10+ 11
2

* Elevando al cuadrado ambos miembros:
4x2 =10+ 11  4x2  10 = 11
* Nuevamente al cuadrado, se obtiene:
16x4  80x2 +100=11
* Transponiendo 11, resulta lo que nos piden:
16x4  80x2 +89=0
EJEMPLO 4:
Calcular ‘‘m’’ para que las cuatro raíces de la ecuación
bicuadrada:
x4 (3m+10)x2 +(m+2)2 =0 , forme una
progresión aritmética.
RESOLUCIÓN:
313
* Sean  ,  ,  ,  las raíces con    , luego
como están en progresión aritmética, entonces:
   =  ( ) =3
* De la ecuación:
2 2
2 2 2
+ =3m+10 ............................(I)
=(m+2)
=m+ 2 .........................................(II)
 
 
 
* De (I)  (II):
2 2
2 2
+ 3m+10
=
m+ 2
+(3 ) 3m+10 10 3m+10
= =
(3 ) m+2 3 m+ 2
 

 
 
 
* Resolviendo: m=10
ECUACIÓN BINOMIA
Es aquella ecuación de dos términos y que presenta
la siguiente forma general:
axn+b=0
donde: ab  0 ; n  n  3
Para resolver esta ecuación podemos aplicar productos
notables o los criterios de factorización, así como
también las aplicaciones de los números complejos
(Teorema de Moivre).
* En: axn +b=0 n n b b
x = x=
a a
   
* Luego:
CASO I: Si: b < 0
a
n n n
n
k
b b
x= (1)= 1
a a
b 2k 2k
x = cos +isen
a n n
k=0 ; 1 ; 2 ; ... ; (n 1)
 
   
                

CASO II: Si: b >0
a
n n n
n
k
b b
x= ( 1)= 1
a a
b (2k+1) (2k+1)
x = cos +isen
a n n
k= 0 ; 1 ; 2 ; .....; (n 1)
 
   
               

TEOREMA:
Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces simples,
no aceptan raíces múltiples.
EJEMPLO 1:
Resolver: 9x4  1= 0
RESOLUCIÓN:
* Factorizando: (3x2 +1)(3x2  1)=0
2 2
2 2
3x +1= 0 3x 1= 0
1 1
x = x =
3 3
1 1
x= x=
3 3
3 3
x= i x=
3 3
3 3 3 3
C.S.= i ; i ; ;
3 3 3 3
  
  
    
   
 
    
 
EJEMPLO 2:
Resolver: x3 – 64=0
RESOLUCIÓN:
 
3 3 3 3
En En
 x =64  x= 64= 64  1
 
* Pero:
3
1
1
1 3
1= + i x = 4(1)= 4
2 2
1 3
i
2 2

 

 

 
2
3
1 3
x =4 + i = 2+ 2 3i
2 2
1 3
x = 4 i = 2 2 3i
2 2
C.S.= 4; 2+ 2 3i; 2 2 3i
 
   
 
 
     
 
   
EJEMPLO 3:
Resolver: x3 + 8 =0
RESOLUCIÓN:
* Lo podemos resolver aplicando productos notables y
la resolución de la ecuación cuadrática:
 
3
2
2
2
x +8=0
(x+2)(x 2x+4)=0
(x+2)(x 2x+4)=0
x+2=0 x 2x+4=0
x= 2 x=1+ 3i x=1 3i
C.S. : x 2; 1+ 3i;1 3i

 
 
  
    
   
314
ECUACIÓN TRINOMIA
Son aquellas ecuaciones de tres términos que
presentan la siguiente forma general:
ax2n+bxn+c=0 ;  abc  0  n
Estas ecuaciones se resuelven factorizando o
realizando el cambio de variable: xn=y; lo que la
convierte en una ecuación cuadrática después de
resolver esta, se repone la variable original y se hallan
las soluciones de la ecuación trinomia.
* En la ecuación: ax2n+bxn+c=0
2
2
1,2
2 2
1 2
b b 4ac
ay +by+c=0 y =
2a
b+ b 4ac b b 4ac
y = y =
2a 2a
  
 
    
 
* En (I):
2 2
n n
2 2
n n
b+ b 4ac b+ b 4ac
* x = x=
2a 2a
ó
b b 4ac b b 4ac
* x = x=
2a 2a
   

     

EJEMPLO 1:
Resolver: 8x6 +7x3 – 1=0
RESOLUCIÓN:
* Factorizando: (8x3+1)(x3 – 1)=0
(2x+1)(4x2  2x+1)(x  1)(x2 +x+1)=0
2x+1=0 4x2 2x+1=0 x 1=0 x2+x+1=0
1 1 3i 1 3i
x= x= x=1 x=
2 4 2
1 1+ 3i 1 3i 1+ 3i 1 3i
C.S.= ; ; ; 1; ;
2 4 4 2 2
     
  
    
     
 
 
EJEMPLO 2:
Resolver: x6+19x3–216=0
RESOLUCIÓN:
* Factorizando: (x3+27)(x3– 8)=0
3 3
3 3
3 3
x +27 =0 x 8=0
x = 27 x = 8
x= 3 1 x= 2 1
 
  
  
ó
* Entonces: x1 =( 3)(1)=  3
1
2
3
x =( 3)(1)= 3
1 3 3 3
x =( 3) + i = 3i
2 2 2 2
1 3 3 3
x =( 3) i = + 3i
2 2 2 2
 
 
    
 
 
    
 
4
5
6
x =(2)(1)=2
1 3
x =(2) + i = 1+ 3i
2 2
1 3
x =(2) i = 1 3i
2 2
 
   
 
 
     
 
* Luego:
3 3 3 3
C.S.= 3; 3i; + 3i; 2; 1+ 3i; 1 3i
2 2 2 2
       
 
EJEMPLO 3:
Resolver: x6 – 10x3+16=0
RESOLUCIÓN:
* Factorizando:
 


3 3 3 3
3 3 3
1 4
3 2 3 2
2 5 3 6
(x 8)(x 2)= 0 x =8 x =2
x = 8 x = 2 x =2 ; x = 2
x = 2w ; x = 2w x =2w ; x = 2w
   
  
donde:
1 3
w= + i / i= 1
2 2
 
ECUACIONES RECÍPROCAS
Se denominan así a aquellas ecuaciones polinómicas
o racionales en las que al intercambiar x 1
x la
ecuación que se obtiene es equivalente a la original.
Estas ecuaciones pueden ser de grado par o impar, y
se pueden reconocer también porque los coeficientes
de sus términos equidistantes son iguales en valor
absoluto. Presentan las siguiente forma general:
axn+bxn1+cxn2 +...+cx2 +bx+a=0
donde n  n  2
PROPIEDADES:
* Si ‘‘r’’ es raíz de la ecuación recíproca entonces: ‘‘1/
r’’ también es raíz de la ecuación.
* Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene una
raíz ‘‘1’’ ó ‘‘–1’’ (se evalúa para determinar cual de ellas
es la raíz).
* Si P(x)=0 es una ecuación polinómica de grado ‘‘n’’,
se cumple:
n 1
P(x)= x P
x
 
 
 
* De la definición, los polinomios recíprocos son de la
forma:
2
3 2
ax+b
ax +bx+a
ax +bx +bx+a
315
4 3 2
5 4 3 2
ax +bx +cx +bx+a
ax +bx +cx +cx +bx+a
E
JEMPLOS:
3 2
4 3 2
5 4 3 2
2x +5x +5x+2=0
x 7x +6x 7x+1=0
3x +2x +5x 5x 2x 3=0
 
  
* Para la resolución se debe agrupar los términos
equidistantes de los extremos, factorizar
n
x 2 (si n es
par) para luego realizar el siguiente cambio de variable:
2 2
2
3 3
3
1
x + = y 2
1 x x+ = y
x 1
x + = y 3y
x
    
 

* Para que la resolución sea más clara, veamos los
dos siguientes casos:
I) ECUACIÓN RECÍPROCA DE
GRADO PAR :
Se factoriza la parte literal del término central y se
agrupa convenientemente; luego se realiza el cambio
de variable respectivo:
* Si: Si:
2 2 2 2
2 2
1 1
x+ =a x =a
x x
1 1
x + =a 2 x + =a +2
x x


3 3 3 3
3 3
1 1
x + =a 3a x =a +3a
x x
 
 
* Se resuelve la ecuación con la nueva variable; luego
se repone, la variable original y se resuelve, hallándose
las soluciones de la ecuación recíproca.
EJEMPLO 1:
Resolver: 6x4–25x3+38x2–25x+6=0
RESOLUCIÓN:
*Agrupando adecuadamente:
2 2
2
2 2
2
25 6
x 6x 25x+38 + =0
x x
1 1
x 6 x + 25 x+ +38 =0 ..........(I)
x x
     
                   
* Realizando el cambio de variable en el corchete :
2 2
2
1 1
x+ = a x + = a 2
x x
 
* Reemplazando: 6(a2– 2) – 25a + 38=0
* Factorizando: (6a–13)(a–2)=0
* Reponiendo ‘‘x’’ y reemplazando en (I):
2 1 1
x 6 x+ 13 x+ 2 =0
x x
                    
* Efectuando:
2 2
2
(6x 13x+6)(x 2x+1)=0
(3x 2)(2x 3)(x 1) =0
 
   
* Igualando a cero cada factor el
2 3
C.S.= ; ; 1
3 2
 
 
 
NOTA:
También se puede factorizar por aspa doble especial.
EJEMPLO 2:
Resolver: 12x4 – 4x3 – 41x2 – 4x+12x=0
RESOLUCIÓN:
2 2
2
2 2
2
4 12
P(x)=x 12x 4x 41 +
x x
1 1
P(x)=x 12 x + 4 x+ 41 .......(I)
x x
      
                    
* Hacemos: 2 2
2
1 1
x+ = a x + = a 2
x x
 
* En el corchete de (I):
12(a2 2) 4a 41 12a2 4a 65
(6a+13)(2a 5)
     
 
* Reponiendo ‘‘x’’:
2
2 2
2
1 1
x 6 x+ +13 2 x+ 5 =0
x x
6x +13x+6 2x 5x+ 2
x =0
x x
(3x+ 2)(2x+3)(x 2)(2x 1)=0
3x+ 2=0 2x+3=0 x 2=0 2x 1=0
2 3 1
x= x= x=2 x=
3 2 2
2 3 1
C.S.= ; ; 2 ;
3 2 2
                        
    
    
   
  
     
     
     
 
II) ECUACIÓN RECÍPROCA DE
GRADO IMPAR :
* Se factoriza mediante el método de los divisores
binómicos, evaluar para x=1 x=1
* Luego de obtener el factor lineal, el otro factor es un
polinomio recíproco de grado par al cual se le aplica el
método para resolver la ecuación recíproca de grado
par.
316
EJEMPLO 1:
Resolver: 6x5  29x4 + 27x3 + 27x2  29x+6=0
RESOLUCIÓN:
* Factorizando por divisores binómicos:
x + 1 = 0 6
6 –35
–6
–29
–35
27
62
27
x = –1 35 –62
6
–29
35
0
6
–6
 (x+1)(6x4  35x3 +62x2  35x+6)=0
* Igualando cada factor a cero:
4 3 2
x+1=0 ; x= 1
6x 35x +62x 35x+6=0

 
* Aplicando el método para la ecuación recíproca de
grado par:
* Se obtiene: (2x2 – 5x+2)(3x2–10x+3)=0
* igualando a cero cada factor, el conjunto solución final
es: 1 1
C.S. : 1 : ; 2 ;3
2 3
   
 
EJEMPLO 2:
Resolver: 6x5  41x4 +97x3  97x2 +41x  6=0
RESOLUCIÓN:
* La ecuación se verifica para x=1
6
6 –35
6
–41
–35
97
62
–97
x = 1 –35 62
6
41
–35
0
–6
6
 (x  1)(6x4  35x3 +62x2  35x+6)=0
2 2
2
2 2
2
35 6
(x 1)x 6x 35x+62 + =0
x x
1 1
(x 1)x 6 x + 35 x+ +62 =0
x x
       
                    
* Haciendo: 2 2
2
1 1
x+ =a x + =a 2
x x
  y luego de
factorizar y reponer, resulta:
2 2
2
2 2
2x 5x+2 3x 10x+3
(x 1)x =0
x x
(x 1)(2x 5x+2)(3x 10x+3)=0
(x 1)(2x 1)(x 2)(3x 1)(x 3)=0
     
    
   
   
     
* Igualando cada factor a cero, se obtiene:
1 1
C.S.= 1; ; 2; ; 3
2 3
 
 
GRÁFICA DE UN POLINOMIO
Como un polinomio P(x) es una función continua ,
entonces las coordenadas de los puntos de la gráfica
de un polinomio se determina dando valores reales a
la variable x, luego calculamos los valores
correspondientes a P(x) y por lo tanto la gráfica del
polinomio P(x) es el conjunto de puntos:
( x; P(x))/x 
Ahora veremos algunos criterios que nos permita
aproximar la gráfica de un polinomio evitando de esta
manera la forma laboriosa de tabular los puntos (x;
P(x)).
En primer lugar , los puntos de la gráfica que
corresponde a los ceros o raíces reales de un polinomio
P(x) están sobre el eje X y son de la forma (x;0).
I) Si x=a es una raíz real simple de la ecuación P(x)=0
la gráfica de P(x) corta al eje X en el punto (a;0).
X
Y
0 (a;0)
I) Si x=a es una raíz de multiplicidad m par, la gráfica
de P(x) es tangente al eje X en el punto (a;0).
X
Y
0 (a;0)
III) Si x=a es una raíz demultiplicidadmimpar, la gráfica
de P(x) es tangente y corta al eje X en el punto (a; 0)
en este caso se dice que (a; 0) es un punto de inflexión
de la gráfica de P(x).
X
Y
0 (a;0)
Mediante el criterio de los puntos críticos se determina
en que intervalos la gráfica está sobre el eje X y en que
intervalos está la gráfica debajo del eje X.
317
MÉTODO DE NEWTÓN-RAPHSON
(para aproximar raíces)
Uno de los métodos más usados para resolver
ecuaciones es elmétodo de Newton-Raphson, debido
a sugran velocidad para obtener una buena
aproximación a la raíz cuando un valor inicial es el
elegido cercano a la raíz exacta . La figura da una
descripción exacta. Para esto consideraremos la
siguiente hipótesis:
‘‘La función F es continua en [a0 ; b0] y F(a0)×F(b0)<0.
Partiendo de una estimación inicial x0 (esta
estimación puede ser 0 0
0
a +b
x =
2
) , trazamos una
recta tangente a la curva en el punto (x0; F(x0)) y la
intersección de esta recta con el eje X es la nueva
aproximación a la raíz de la ecuación. La repetición del
proceso lleva al método de Newton–Raphson.
k
k+1 k
k
F( x )
x =x
F ( x )

 donde ‘‘xk’’ es la k–enésima
aproximación.
X
Y
xk+1
xk
F(x)
0
EJEMPLO:
Sea: F(x)= x3– x– 4=0 ahora estimando un intervalo
adecuado mediante el teorema del valor intermedio,
el cual puede ser [1 ; 2] y tomando 0
1+2
x = =1,5
2
calculamos:
k xk F( xk ) F ( xk )
0 1,5 2,125 5,75
1 1,8695625 0,6650774 9,485822
2 1,7994498 0,0272037 8,7140585
3 1,796328


* Como se aprecia, en solamente 3 tabulaciones
(iteraciones) hemos obtenido una aproximación a la
raíz con 3 cifras significativas exactas: 1,79
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas que se reducen a la forma:
P(x)
=0 ; Q(x) 0
Q(x)
 
Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el
denominador (diferente de cero), luego resolver la
ecuación y finalmente intersectar los conjuntos de
valores obtenidos.
EJEMPLOS:
2
3
1 1 x 1 2
* + = 2 * 1=
x+1 x 1 x +2 x



RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
FRACCIONARIA
Para resolver esta ecuación, se sugiere seguir, los
siguientes pasos:
I) Asegurar la existencia de la expresión P(x) ,
Q(x)
para lo
cual se debe asegurar que Q( x )  0 . De aquí se
obtiene un conjunto de valores que puede asumir la
incógnita (conjunto de valores admisibles o campo de
definición de la ecuación Q(x)  0 ) .
II) Procurar, en lo posible, transformar la fraccionaria,
en una polinomial; cuya resolución la conocemos
obteniéndose un conjunto solución.
III) Finalmente el conjunto solución de la ecuación
fraccionaria, es la intersección de los conjuntos
obtenidos en los pasos (I) y (II).
NOTA:
La resolución de las ecuaciones fraccionarias las
realizaremos en el campo de los números complejos,
a menos que se diga lo contrario.
EJEMPLO 1:
Resolver:
2 5 5
x x+ =6+
x x

RESOLUCIÓN:
* Conjunto de valores admisibles (C.V.A.), o restricción:
x  0
* Luego reduciendo, resulta:
 
2
1 2
x x 6=0
(x 3)(x+2)=0 x =3 x = 2
 
    
* Como estas soluciones son admisibles (es decir 
de cero), entonces:
C.S.=3; 2
EJEMPLO 2:
Resolver:
2
4x 8 3x 6
=
x + x x+1
 
RESOLUCIÓN:
* Expresándola de otra manera:
4(x 2) 3(x 2)
=
x(x+1) x+1
 
318
* Cuyas restricciones son x  0 y x  1.
* Además: x  2= 0  x= 2 es una solución de la
ecuación inicial.
* Simplificando se obtiene la nueva ecuación:
4 4
=3 x=
x 3

* Finalmente el conjunto solución será: 4
C.S.= 2;
3
 
 
 
OBSERVACIÓN:
Si en ambos miembros de una ecuación fraccionaria
reducida, se simplifica en los denominadores unmismo
factor que contenga a la incógnita, no se pierden
soluciones. Pero, si se simplifica en los numeradores,
para no perder soluciones, previamente dicho factor
deberá igualarse a cero.
EJEMPLO 3:
Resolver:
2
2 x x
=
x 3 x 2 x 5x+6

  
RESOLUCIÓN:
* Restringiendo: x  3  0  x  2  0
 x  3  x  2 .....................................(I)
* Efectuando operaciones:
2
2 2
2 2
2
2x 4 x +3x x
=
x 5x+6 x 5x+6
5x 4 x = x 0=x 4x+4
0=(x 2) x= 2 .................................(II)
 
 
    
 
* De (I)  (II): Vemos que x=2 no satisface la ecuación:
 C.S.=
ECUACIÓN IRRACIONAL
Es aquella ecuación algebraica, donde por lo menos
uno de sus miembros es una expresión irracional, la
cual puede presentar la forma general elemental:
F(x)= nG(x)
Donde F y G son expresiones algebraicas
cualesquiera, y ‘‘n’’ es un número natural (n  2) .
EJEMPLOS:
2
3
* x 1+ 1 x=2 * + x=5
x 1
 

Para su mejor estudio analizaremos por separado los
radicales de índice impar y los radicales de índice par.
I) RADICALES DE ÍNDICE IMPAR :
Sea: F(x)= 2n+1G(x) está definida para todo
G( x) ,  x ya que las ecuaciones irracionales
sólo se estudian en  .
PROPIEDAD:
 x  ; 2n+1 x=r  x=r2n+1
EJEMPLO:
Resolver: 3 x3+2 =  x
RESOLUCIÓN:
* De la propiedad: x3 + 2=( x)3
3 3 3
3 3
x + 2 = x 2x = 2
x = 1 x = 1 x= 1
   
     
II) RADICALES DE ÍNDICE PAR :
El estudio de las ecuaciones irracionales sólo se realiza
en los reales, es decir:
Si g( x)=2n f ( x), n , se dirá: g(x) es real no
negativo, si y sólo si f(x)  0, además queda
garantizada la definición de g(x) si y sólo si f(x)  0.
* Para resolver estas ecuaciones seguiremos el
siguiente procedimiento.
1) La ecuación está bién definida si g(x)  0  f(x)  0
de donde obtenemos en campo de definición para la
ecuación.
2) Garantizada la existencia, elevamos a la 2n.
g2n(x)= f(x)
3) La solución general estará formada por aquellos x
que cumplen con (1) y (2).
EJEMPLO:
Resolver: 2x  3= 2x2  3x+4
RESOLUCIÓN:
I) Definir y restringir la ecuación:
2
ver inecuaciones
2x 3 0 2x 3x+ 4 0
2x 3 0 x
3
x
2
    
    
 

II) Elevando al cuadrado, resulta:
2 2
2 2 2
1 2
1 2
(2x 3) =2x 3x+4
4x 12x+9=2x 3x+4 2x 9x+5=0
9 41 9+ 41
x = ; x =
4 4
x 0,7 ; x 4,...
 
    


  
*Pero según (I), 3
x
2
 , entonces: 9+ 41
C.S.=
4
 
 
 