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DETERMINANTES EJERCICIOS RESUELTOS-ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF

OBJETIVOS :
* Valorar la importancia de los determinantes, dentro del álgebra matricial.
* Calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden.
* Conocer las propiedades de los determinantes y su contribución a la simplificación de los cálculos.
* Conocer métodos para calcular los determinantes y la matriz inversa.
* Calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 ó 3 por el método de Gauss.
* Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.
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INTRODUCCIÓN :
Existen diferentes formas de asignar a una matriz un
número , o sea , de establecer una función cuyo
dominio sea el conjunto de todas las matrices
cuadradas. Una de estas funciones es la que se
conoce como determinante de una matriz.
El determinante de unamatriz cuadrada es un número
muyútil en la teoría del álgebra lineal y se puede calcular
de manera directa.
Los determinantes fueron introducidos en Occidente
a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices,
que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene
recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o
Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los
primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un
algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el
nombre de Eliminación gaussiana.
En su sentido original, el determinante determina la
unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones
lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por
Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado
como una regla para la resolución de sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula
lleva el nombre de regula de modo.
La aparición de determinantes de órdenes superiores
tardó aúnmás de cien años en llegar. Curiosamente el
japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los
primeros ejemplos casi simultáneamente.
Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de
ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación
matricial, representaba los coeficientes de las
incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía
ij para representar ai , j . En 1678 se interesó por un
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y
obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a
lo largo de una columna. El mismo año, escribió un
determinante de orden 4 , correcto en todo salvo en el
signo. Leibniz no publicó este trabajo, que pareció
quedar olvidado hasta que los resultados fueron
redescubiertos de forma independiente cincuenta años
más tarde.
En elmismo periodo, Kowa Seki publicó unmanuscrito
sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas
generales difíciles de interpretar. Parece que se dan
fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y
4, y de nuevo los signos mal para los determinantes
de tamaño superior. El descubrimiento se queda sin
futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior
por órdenes del shMgun, lo que se ve reflejado en la
expulsión de los Jesuitas en 1638.
DETERMINANTES DE CUALQUIER
DIMENSIÓN
En 1748, un póstumo tratado de álgebra deMacLaurin
recupera la teoría de los determinantes al contener la
escritura correcta de la solución de un sistema de
cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.
En 1750, Cramer formula las reglas generales que
permiten la resolución de un sistema de n ecuaciones
con n incógnitas, aunque no ofrece demostración
alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes
son hasta entonces delicados debido a que se basan
en la noción de signatura de una permutación.
Losmatemáticos se familiarizan con este nuevo objeto
a través de los artículos de Bézout en 1764, de
Vandermonde en 1771 (que proporciona
concretamente el calculo del determinante de la actual
Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece
las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el
año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el
cálculo de los determinantes y el de los volúmenes.
Gauss utiliza por primera vez el término « determinante
», en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo
empleaba para lo que hoy día denominamos
361
discriminante de una cuádrica y que es un caso
particular de determinantemoderno. Igualmente estuvo
cerca de obtener el teorema del determinante de un
producto.
APARICIÓN DE LA NOCIÓN
MODERNA DE DETERMINANTE
Cauchy fue el primero en emplear el término
determinante con su significadomoderno. Se encargó
de realizar una síntesis de los conocimientos anteriores
y publicó en 1812 la fórmula del determinante de un
producto. Ese mismo año Binet ofreció una
demostración para dicha fórmula. Paralelamente
Cauchy establece las bases del estudio de la reducción
de endomorfismos.
Con la publicación de sus tres tratados sobre
determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi
aporta a la noción una gran notoriedad. Por primera
vez presentamétodos sistemáticos de cálculo bajo una
forma algorítmica. Del mismo modo, hace posible la
evaluación del determinante de funciones con
instauración del jacobiano.
El cuadro matricial es introducido por los trabajos de
Cayley y James Joseph Sylvester. Cayley es también
el inventor de la notación de los determinantes
mediante barras verticales y establece la fórmula para
el cálculo de la inversa.
La teoría se ve reforzada por el estudio de
determinantes que tienen propiedades de simetría
particulares y por la introducción del determinante en
nuevos campos de las matemáticas, como el
wronskiano en el caso de las ecuaciones diferenciales
lineales.
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier
orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que
reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes
de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas
veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo
de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se
quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el
propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier
matriz aplicando dicho teorema.
DETERMINANTE
Se llama determinante, a un valor escalar o número
real que se le asocia a cada matriz cuadrada y se
denota por: A ó Det(A) para indicar el determinante
de una matriz «A» .
I) MATRIZ DE ORDEN UNO :
Se llama determinante, de unamatriz de primer orden,
formada por el elemento a11, al propio elemento a11.
EJEMPLOS:
* Si: A = (6) Þ A =6
* Si: B = (–2) Þ B = –2
2) MATRIZ DE ORDEN DOS :
Sea la matriz
11 12
21 22
a a
A=
a a
æç ö÷ ççç ÷÷÷ è ø se define su
determinante. A = a11a22 – a21a12
EJEMPLO :
Calcular el determinante de las siguientes matrices:
7 6 –4 – 8 –9 – 4 x 4
A= B= C = D=
3 2 5 7 –6 – 2 x – 2
æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ è ø è ø è ø è ø
RESOLUCIÓN :
A =(7)(2) – (3)(6) =14 – 18 = –4
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
B= –4 7 – 5 –8 = –28+40=12
C = –9 –2 – –6 –4 = –6
D = x –2 – x 4 = –6x
det
det
OBSERVACIÓN :
* El determinante de A no debe confundirse con el
valor absoluto de A. También se representa por:
det A, es decir:
det 11 12
11 22 21 12
21 22
a a
A = A = = a a – a a
a a
* Observa que el determinante es igual al producto
de los elementos de la diagonal principal menos el
producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Por lo tanto, la forma sencilla de calcular el determinante
de una matriz 2 × 2 es como sigue:
a21
a11
a22
a12
(+)
(–)
=a11 a22 a21 a12 –
EJEMPLO :
Sea:
( )
7 4 7 4
A= A = =7 2 3 4 = 26
3 2 3 2
æç - ö÷ - ççç ÷÷÷Þ - - è ø

362
3) DETERMINANTE DE TERCER ORDEN :
El determinante de tercer orden es el desarrollo de una
matriz cuadrada de tercer orden . Para calcular su valor
se utiliza la regla de Sarrus o el método de menores
complementarios , que es más general . Así:
El determinante de la matriz :
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A= a a a
a a a
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ esta definido por ççè ÷÷ø
det A = a11a22a33 + a12a23 a31 + a13 a32 a21 – a11 a23 a32
– a22 a13 a31 – a33 a12 a21
La forma sencilla de calcular el determinante de una
matriz 2 × 2 es análoga para las matrices 3 × 3. Este
desarrollo se representa mediante la regla
memotécnica denominada regla de Sarrus.
EJEMPLO :
[( ) ] [( ) ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1 2 0
3 4 1 = 1 4 2 1 5 1 2 3 2 +
6 5 2 2 6 1 + 0 3 5 0 6 4
= ( 8)( 5) 12 +12 + 0 0 = 3
-
- - - -
-
- - - - -
     
     
I) REGLA DE SARRUS :
REGLA DE SARRUS VERTICAL :
I) Se repiten las filas primeras y segunda a
continuación de la tercera (formando dos filas
adicionales).
II) Se toman con signo positivo la diagonal principal
(hacia abajo) y las dos paralelas a ella y con signo
negativo la diagonal secundaria (hacia arriba) y las dos
paralelas a la misma.
III) Se efectúan los productos de los elementos de las
diagonales y sus paralelas, considerando para cada
producto el signo señalado en el paso anterior.Así:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 
   
 
 
11
21
31
11
21
a
a
a
a
a
12
22
32
12
22
a
a
a
a
a
13
23
33
13
23
a
a
a
a
a
(+)
(+)
(+)
(–)
(–)
(–)
EJEMPLO :
Encontrar el determinante de la matriz :
1 2 3
A= –2 5 3
2 0 – 4
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø
RESOLUCIÓN :
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
det
1 2 3
2 5 3
1 5 4 + 2 0 3 + 2 2 3
2 0 4 =
2 5 3 1 0 3 2 2 4
1 2 3
A = 54
2 5 3
æç ö÷ çç- ÷÷ çç ÷÷ - - - çç - ÷÷ çç ÷÷ - - - - çç ÷÷ çç ÷÷ Þ - çççè- ÷÷÷ø
REGLA DE SARRUS HORIZONTAL:
Se aplica la matriz trasladando las dos primeras
columnas a la parte final y se aplican multiplicaciones
en dirección de las diagonales, conforme se indica.
Sea: 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A= a a a
a a a
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
– – –
+ + +
 A 
 A a11a22 a33 + a12a22a31 + a13a21a32 – a31a22a13 –
a32a23a11 – a33a21a12
EJEMPLO :
Calcular el determinante igual al:
2 3 2
1 8 3
3 2 1
-
-
RESOLUCIÓN :
2
1
3
–3
8
–2
2
3
1
2
1
3
–3
8
–2
– – –
+ + +
=16 27 4 48+12+3= 48
II) MÉTODO DE LA ESTRELLA :
ENGENERAL:
* Sea:
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
a
a
a


* * *
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A= a a a A=
a a a
       
363
 A =a11a22a23 + a21a32a13 + a12a23a31 – a31a22a13 –
a21a12a33 – a11a32a23
PROPIEDADES DE LOS
DETERMINANTES
1) Una matriz cuadrada y su transpuesta tienen el
mismo determinante.
Es decir : A = AT siendo A cuadrada.
EJEMPLO :
3 4 T 3 5
A= A =
5 2 4 2
®
A =-14 AT =-14
2) Si se intercambia dos filas o columnas consecutivas
de una matriz cuadrada, su determinante sólo cambia
de signo.
EJEMPLOS :
3 2 5 6
= 8 = 8
5 6 3 2
-
* Si :
a b c d e f
A = d e f =10 a b c = 10
m n p m n p
Þ -
3) Si una matriz cuadrada tiene los elementos de dos
filas o dos columnas , respectivamente proporcionales
; se dirá que su determinante es cero.
EJEMPLOS :
2 3 4 3 4 3
0 1 3 =0 1 0 1 =0
4 6 8 2 3 2
4) Si se multiplican todos los elementos de una fila (o
columna) del determinante por un escalar, el mismo
determinante queda multiplicado por dicho escalar.
EJEMPLO :
3 4 1 1 4 1
6 5 2 = 3 2 5 2
9 8 3 3 8 3
5) Un determinante en el cual todos los elementos de
una fila o columna son ceros, es igual a cero.
6) El determinante de una matriz triangular superior o
inferior, y de una matriz diagonal es igual al producto
de los elementos de la diagonal principal.
EJEMPLO :
( )( )( )
1 2 3
A= 0 4 5 A = 1 4 7 = 28
0 0 7
Þ
7) El determinante no varía si a todos los elementos
de una de sus filas (o columnas) se le añade elmúltiplo
de otra fila (o columna).
EJEMPLO :
1
–2
–2
2
1
1
3
2
3
1
0
0
2
5
5
3
8
9
=
2 1 2
3 1 3
f = 2f + f
f = 2f + f
1
0
0
2
5
5
3
8
9
1
0
0
2
5
0
3
8
1
= = (1)(5)(1) = 5
f3 =-f2 + f3
8) El determinante de unamatriz antisimétrica de orden
impar es igual a cero.
EJEMPLO :
* Sea: 0 4 8
A= 4 0 7 A =0
8 7 0
æç - ö÷ çç- ÷÷Þ çç ÷÷ ççè - ÷÷ø
9) AB = A B
10) KA = Kn A ; K es escalar ; n es el orden de la
matriz A .
11) An = A n ;nÎ
EJERCICIO 1 :
Hallar el determinante de la matriz :
1 2 3 4
2 3 4 1
A=
1 4 2 3
3 5 7 9
é - - ù ê ú
ê- - ú ê ú
ê- ú ê ú
êêë - - úúû
RESOLUCIÓN :
1 2 3 4
2 3 4 1
1 4 2 3
3 5 7 9
 
 

 
2 1
3 1
4 1
f +2f
f + f
f -3f



1
0
0
0
–2
–1
2
1
3
2
5
–2
–4
–7
–1
3
1 2 7
2 5 1
1 2 3
 


2 1
3 1
f +2f
f +f


–1
0
0
2
9
0
–7
–15
–4
A =(–1)(9)(–4)
A =36
364
EJERCICIO 2 :
Hallar el determinante de :
a+1 3a b+2a b+1
2b b+1 2 b 1
A=
a+ 2 0 1 a+3
b 1 1 a+2 a+b
é ù
ê ú
ê - ú ê ú
ê ú
ê ú
êêë - úúû
RESOLUCIÓN :
1 3
2 4
a+1 3a b+ 2a b+1
2b b+1 2 b 1 C +C
a+2 0 1 a+3 C +C
b 1 1 a+2 a+b
-
-


Iguales
3a+b+1 3a+b+1 b+2a b+1
b+2 b+2 2 b 1
a+3 a+3 1 a+3
a+b+1 a+b+1 a+2 a+b
A =0
-
®
MENORES Y COFACTORES
EJEMPLO :
Considera la matriz cuadrada
3 3
4 2 8
A= 5 6 1
9 7 3
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
êêë úúû 
* Si se toma el elemento a23 y se tacha su fila y su
columna correspondiente
4
5
9
2
6
7
8
1
3
, resulta la matriz:
4 2
9 7
éê ùú
êë úû
que es la matriz 2 × 2 que se obtiene de la matriz
A , al no considerar los elementos de la fila 2 y la
columna 3.
El determinante correspondiente
4 2
=10
9 7 , dicho
determinante se denomina menor del elemento a23 de
la matriz A.
DEFINICIÓN :
El menor complementario de un elemento aij de la
matriz «A» es el determinante de la matriz que resulta
al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.
EJEMPLO :
Sea :
2
–1
6
3
8
5
5
–4
9
A =
* El menor complementario del elemento a32 es el
determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la
fila 3 y la columna 2 de la matriz A y este será :
2 5
= 3
1 4
-
- -
COFACTOR :
Si aij es un elemento de una matriz cuadrada A de
orden n × n, y Mij es el menor de aij, entonces el
cofactor del elemento aij, denotado Cij, se define por:
( )i+j
Cij = -1 Mij
EJEMPLO :
Así , en la matriz : 1 2 0
3 4 1
6 5 2
é- ù ê ú
ê ú
ê ú
êêë úúû
Los cofactores de los elementos de la primera fila son
:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1+1 1+1 2
11 11
1+2 1+2 3
12 12
1+3 1+3 4
13 13
4 1
C = 1 M = 1 = 1 8 5 =1 3=3
5 2
3 1
C = 1 M = 1 = 1 6 6 = 1 0=0
6 2
3 4
C = 1 M = 1 = 1 15 24 =1 9 = 9
6 5
- - - -
- - - - -
- - - - - -



ENGENERAL:
Considérese la matriz cuadrada de orden n :
11
21
i1
n1
a
a
a
a
12
22
i2
n2
a
a
a
a
1j
2j
ij
nj
a
a
a
a
1n
2n
in
nn
a
a
a
a
fila i
columna j
Denotaremos por Mij a la matriz cuadrada de orden (n
– 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna j de
la matriz A , luego :
I) Al determinante de la matriz Mij   Mij se llamará
menor del elemento aij de la matriz A.
II) Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij
.
( )i+j
Aij = -1 Mij
OBSERVACIONES :
* La diferencia entre el menor Mij y el cofactor Aij de
un elemento aij es solamente el signo .
365
Así : 
( )i+j
ij ij
cofactor menor
A = -1 M

de donde : ij
ij
ij
M , i+ j
A =
M , i+ j
ìïï
ïíï
- ïï
î
si es par
si es impar
* El signo que relaciona a Aij y Mij del elemento aij
de la matriz A se puede hallar en forma práctica
mediante el siguiente arreglo :
+ + …
+ …
+ + …
é - ù ê ú
ê- - ú ê ú
ê - ú ê ú
êêë   úúû
*Así el signo de a35 es positivo puesto a que (3 + 5)
es par .
* El signo del elemento a25 es negativo ya que
(2 + 5) es impar.
EJEMPLO :
Si:
1 3 6
A= 0 2 5
2 4 7
é- ù ê ú
ê ú
ê ú
êêë - úúû
Obtener : M11, M21, M22, A11, A21 y A22
RESOLUCIÓN :
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
11
21
22
2 5
M = = 2 7 5 4 = 34
4 7
3 6
M = = 3 7 6 4 = 45
4 7
1 6
M = = 1 7 2 6 = 19
2 7
-
-
- -
-
-
- - -
* Para obtener los cofactores nos basta anteponer a
sus menores correspondientes el signos apropiado.
A11= (–1)1+1M11 = (1)(34) = 34; A21 = (–1)2+1 M21= –45
A22 = (–1)2+2 M22=(1)(–19)=–19; A23=(–1)2+3 M23 = (–1)(–2) = 2
Ahora podemos definir el determinante A de una
matriz cuadrada de orden 3.
OBSERVACIÓN :
*Una manera sencilla de recordar el signo (–1)i+j
asociado al cofactor Aij es considerar el siguiente
arreglo rectangular de signos.
+ +
+
+ +
é - ù ê ú
ê- -ú ê ú
êêë - úúû
*El cofactor es la clave para calcular determinantes
de orden 3 o de orden mayor que 3.
*El determinante de unamatriz cuadrada de orden n×n
se puede calcular mediante la siguiente regla:
SiA es unamatriz cuadrada de orden n×n entonces el
determinante de A es la suma de los n productos
obtenidos almultiplicar cada elemento en cualqueir fila
o columna por su cofactor.
Este proceso para calcular determinantes se llama
expansión por cofactores. el siguiente ejemplo ilustra
el proceso.
EJEMPLO :
Calcular el determinante de la siguiente matriz por
cofactores : 1 2 0
3 4 1
6 5 2
é- ù êê úú
êê úú êë úû
RESOLUCIÓN:
* Se escoge una fila o columna para hacer la expansión
por sus cofactores. En la práctica se escoge la fila o
columna que contiene más ceros porque esto
simplifica los cálculos. En este caso puede ser la
primera fila o la tercera columna.
* Vamos a hacer la expansión por la 3ra. columna. Se
debemultiplciar cada elemento de la 3ra. columna por
su cofactor y sumar los productos así:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1+3 3 4 2+3 1 2 3+3 1 2
0 1 +1 1 +2 1
6 5 6 5 3 4
=0+1 1 + 5 12 +2 1 4 6 =0+17 20= 3
- -
- - -
- - - - - - -
  
  
* La expansión se puede hacer por cualquier fila o
columna. La razón para escoger la fila o columna que
contiene más ceros es que se simplifican los cálculos
ya que al multiplicar el elemento 0 por su cofactor da 0
, y de esta forma no es necesario calcular el cofactor.
* Si se calcula el determinante de la matriz anterior al
hacer la expansión por la primera fila, se tiene.
( )( ) ( ) ( )
( )
1+1 4 1 1+2 3 1 1+3 3 4
1 1 +2 1 +0 1 =
5 2 6 2 6 5
1 3+2 0+0= 3
- - - -
- -
 
 
*La expansión por cofactores por cualquier fila o
columna da el mismo resultado. El proceso de calcular
determinantes al hacer la expansión por cofactores
funciona también para cualquier orden mayor que 3.
CONCLUSIÓN :
El determinante de una matriz tres por tres es igual a
la suma de los productos de las componentes de una
misma fila o columna y los cofactores de esas
componentes.
*Observa que el determinante se puede escribir así:
366
11 12 13
1+1 22 23
21 22 23 11
32 33
31 32 33
2+1 12 13 3+1 12 13
21 31
32 33 22 23
a a a
a a
a a a =( 1) a +
a a
a a a
a a a a
+( 1) a +( 1) a
a a a a
-
- -
* En donde el signo del cofactor se halla mediante la
potencia de base (–1) y exponente igual a la suma de
ordenes de fila y columna.
EJEMPLOS :
Utilizando el método de cofactores calcular el
determinante de la matriz
2 4 3
1 2 5
6 7 3
é- ù ê ú
ê- ú ê ú
êêë - - úúû
RESOLUCIÓN :
*Utilizando las componentes de la primera fila:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1+1 2+1
3+1
2 4 3
2 5 1 5
1 2 5 = 1 2 + 1 4
7 3 6 3
6 7 3
1 2
+ 1 3
6 7
2 4 3
1 2 5 = 2 6+35 4 3 30 +3 7 12
6 7 3
= 58+108 15= 35
-
-
- - - -
- - -
- -
-
-
-
-
- - - - - -
- -
- -
EN GENERAL:
TEOREMA DE LAPLACE
El determinante de una matriz   ij m n A= a  es igual a la
suma de los productos obtenidos de multiplicar los
elementos de cualquier fila (o columna) por sus
respectivos cofactores.
n
i1 i1 i2 i2 in in ij ij
j=1
n
1j 1j 2j 2j nj nj ij ij
i=1
A = a A +a A +...+a A = a A
A = a A +a A +...+a A = a A
å
å
OBSERVACIÓN :
Se elije la fila o columna de mayor cantidad de ceros.
EJEMPLO :
Hallar el determinante de :
1 0 3
A= 4 2 1
5 1 2
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
RESOLUCIÓN : êêë - úúû
* Ubicación de signos:
+ +
+
+ +
-
- -
-
* Usando la fila 1:
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
a a a a a a
A = a a +a
a a a a a a
-
* Usando la fila 1:
( ) ( ) ( )
1 0 3
2 1 4 1 4 2
A = 4 2 1 =1 0 +3
1 2 5 2 5 1
5 1 2
A = 4 1 +3 4 10 = 5+3 14
A = 37
-
- -
-
® - - - - -
® -
OBSERVACIÓN :
Esta regla se puede aplicar para calcular el
determinante de una matriz de orden n>3.
( ) ( ) ( )
1 0 3
2 1 4 1 4 2
A = 4 2 1 =1 0 +3
1 2 5 2 5 1
5 1 2
A = 4 1 +3 4 10 = 5+3 14
A = 37
-
- -
-
® - - - - -
® -
EJEMPLO 2 :
Calcular : 0 1 0 2
3 0 4 0
0 5 0 3
1 0 1 0
-
-
RESOLUCIÓN :
* Si se hace la expansión por los cofactores de los
elementos de la cuarta fila, se tiene:
( )4+1 ( )4+3
0 1 0 2
1 0 2 0 1 2
3 0 4 0
=1 1 0 4 0 + 1 1 3 0 0
0 5 0 3
5 0 3 0 5 3
1 0 1 0
-
- -
- -
-
- -

*Ahora se deben calcular cada uno de los
determinantes de orden 3:
( )2+2 ( )
1 0 2
1 2
0 4 0 = 1 4 =1 4 3 10 = 28
5 3
5 0 3
-
-
- - -
-
-
  
(al hacer la expansión por la 2a. fila)
( )2+1 ( ) ( )
0 1 2
1 2
3 0 0 = 1 3 = 1 3 3 – 10 = 21
5 3
0 5 3
-
-
- -
-
-
 
(al hacer la expansión de la 1a. fila)
367
* Luego :
( )4+1 ( ) ( )4+3
0 1 0 2
3 0 4 0 =1 1 28 +1 1 21
0 5 0 3 = 1 × ( 1) × ( 28) + 1 ( 1) × 21
1 0 1 0 = 28 21 = 7
-
- - -
- - - -
-
   
EJEMPLO 3 :
Calcular :
1 3 2 1
4 5 2 1
2 4 1 3
1 0 2 3
-
- -
- RESOLUCIÓN:
*Se expresa el determinante 4×4 por medio de las
menores de las componentes de la primera columna:
( )
1 3 2 1
5 2 1 3 2 1
4 5 2 1
=1 4 1 3 4 4 1 3 +
2 4 1 3
0 2 3 0 2 3
1 0 2 3
3 2 1 3 2 1
+ 2 5 2 1 1 5 2 1
0 2 3 4 1 3
-
-
- - -
- -
- -
-
- -
- -
- -
 
 
* Se calcula cada uno de los deteminantes 3×3 que
se han resultado:
* Se calculan los menores al tomar los cofactores de
la primera fila:
( )
( )
5 2 1
1 3 4 3 4 1
4 1 3 =5 2 +1 =17
2 3 0 3 0 2
0 2 3
3 2 1
2 1 3 1 3 2
4 1 3 = 4 + 1 3 =7
2 3 0 3 0 2
0 2 3
3 2 1
2 1 3 1 3 2
5 2 1 =0 2 + 3 = 4
2 1 5 1 5 2
0 2 3
3 2 1
2 1 3 1 3 2
5 2 1 = 5 +2 1 =12
1 3 4 3 4 1
4 1 3
- -
- -
- -
-
-
- -
- - - -
- -
-
-
- -
- - -
-
-
- -
- -
- -
-
  
  
  
  
* Luego :
1 3 2 1
4 5 2 1
=1 17 4 7+( 2) ( 4)+( 1) (12)= 15
2 4 1 3
1 0 2 -3
-
- - - - -
- -
   
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
DE FILAS Y COLUMNAS EN UNA MATRIZ
(OPERACIONES ELEMENTALES):
Dada una matriz A, sólo está permitido realizar una o
más de las operaciones siguientes:
I) Al intercambio de dos filas (o columnas)
II) A la multiplicación de una fila (o columna) por un
escalar no nulo.
III) A una fila (o columna) le sumamos el múltiplo de
otra fila (o columna)
* Para resolver sistemas de ecuaciones
fundamentales interesará realizar trans-formaciones
elementales de filas.
Notación Operación sobre la fila correspondiente
i j
i
j i
f f
kf
f + kf
EJEMPLOS :
Transformar la matriz A usando las transformaciones
elementales :
1 1 0
A= 1 3 4
0 4 3
æç ö÷ çç- ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø RESOLUCIÓN:
2 3
1
f f
3f
1 1 0 1 1 0
1 3 4 0 4 3
0 4 3 1 3 4
1 1 0 3 3 0
0 3 4 0 4 3
1 3 4 1 3 4
«
æç ö÷ æç ö÷ çç- ÷÷¾¾¾¾®çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø ççè- ÷÷ø
æç ö÷ æç çç ÷÷ ¾¾¾® çç ÷÷ ççè- ÷÷ø è-
2f3+f2
3 3 0 3 3 0
0 4 3 2 10 11
1 3 4 1 3 4
ö÷
çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ø
æç ö÷ æç ö÷ çç ÷÷¾¾¾¾®çç- ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè- ÷÷ø ççè- ÷÷ø
MATRICES EQUIVALENTES
Se dice que una matriz A es equivalente, por fila o
columna, a otra matriz B si esta última se ha obtenido
de la primera por medio de una sucesión finita de
operaciones elementales por filas o columnas.
CÁLCULO DEL DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ UTILIZANDO PROPIEDADES:
Supongamos que se quiere conocer el determinante
de una matriz cuadrada de orden cuatro.
2 16 17 4
0 3 22 3
B=
0 0 6 0
0 0 0 1
- -
*Debemos reducir la matriz cuadrada a una matriz
triangular inferior o superior.
A =(2)(-3)(6)(1)=-36
368
*Es decir, el cálculo del determinante se reduce a
multiplicar la diagonal principal de la matriz B.
*Con este procedimiento debemos tener mucho
cuidado porque no se cumple para todas las matrices.
*Para aprovechar este hecho convertimos la matriz
original pormedio de las transformaciones elementales
por filas (renglones) a unamatriz equivalente que tenga
la forma triangular.
*Las propiedades nos permiten tener un método para
calcular el determinante. Es posible transformar una
matriz cuadrada A en una matriz triangular superior
efectuando las siguientes operaciones entre filas (o
entre columnas).
I) Intercambio de dos filas (o columnas).
II)Multiplicar una fila (o columna) por una constante.
III)Adicionar una fila (o columna) el múltiplo de otra fila
(o columna)
*En cada caso es necesario tener en cuenta el posible
cambio de valor que puede sufrir el determinante.
TEOREMA :
Sea A una matriz de n×n
A) Si la forma escalonada de A reducida por renglones
es una matriz diagonal , entonces :
detA=a11a22 . . .ann
B) Si la forma escalonada de A reducida por renglones
es una matriz triangular , superior o inferior , entonces
:
detA=a11a22 . . .ann
EJEMPLO 1 :
Calcular : 1 2 1 4
1 2 1 3
d=
0 4 2 1
1 1 0 1
-
- -
-
-
RESOLUCIÓN :
* Cuando la fila 2 se suma a la fila 1 y a la fila 4 el valor
de la determinante se mantiene.
0 4 0 8
1 2 1 3
d=
0 4 2 1
0 3 1 2
-
-
-
-
* Multiplicando la fila 2 por (–1) :
0 4 0 8
1 2 1 3
d=
0 4 2 1
0 3 1 2
-
- -
-
-
-
* Intercambiando la fila 1 y la fila 2 :
( )( )
( )( )( )
1 2 1 3
0 4 0 8
d= 1 1
0 4 2 1
0 3 1 2
1 2 1 3
0 4 0 2
d= 1 1 4
0 4 2 1
0 3 1 2
-
-
- -
-
-
-
-
- -
-
-
* Restando a la fila 3, 4 veces la fila 2 y a la fila 4 ; 3
veces la fila 2 :
( )( )( )
1 2 –1 3
0 1 0 2
d= 1 1 4 =
0 0 2 7
0 0 1 8
-
-
- -
-
* Finalmente factorizando 2 en la fila 3 y luego la fila
resultante sumar la fila 4 :
( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( ) ( )
1 2 –1 3
0 1 0 2
d= 1 1 4 (2)
0 0 1 7/2
0 0 1 23/2
d= 1 1 4 2 1 1 1 23/2 =92
-
-
- -
-
Þ - -
EJEMPLO 2 :
Calcular :
2 3
2 3
2 3
2 3
1 a a a
1 b b b
A =
1 c c c
1 d d d
RESOLUCIÓN :
* Si a las tres últimas filas de A se les resta la primera
y se desarrolla por esta fila, resulta:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2
2 2
2 2
b a b a b a
A = c a c a c a
d a d a d a
b a b a b+a b a b +ab+a
= c a c a c+a c a c +ac+a
d a d a d+a d a d +ad+a
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
* Por propiedad:
( )( )( )
2 2
2 2
2 2
1 b+a b +ab+a
A = b a c a d a 1 c+a c +ac+a
1 d+a d +ad+a
- - -
369
* Restando a la segunda y tercera fila la primera fila ,
desarrollando por la primera fila, resulta
( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
c b c b c+b+a
A = b a c a d a
d b d b d+b+a
- - - - -
- -
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
1 c+b+a
A = b a c a d a c b d b
1 d+b+a
A = b a c a d a c b d b d c
Þ - - - - -
Þ - - - - - -
* El determinante de esta matriz A se le conoce como
el de Vandermonde.
CÁLCULO DEL DETERMINANTE
VANDERMONDIANA
( ) ( )
2 n 1
1 1 1
2 n 2
2 2 2
2 n 1 n
3 3 3 i j i j
2 n 1
n n n
1 x x x
1 x x x
1 x x x 1 x x
1 x x x
-
-
-
<
-
= - Õ -



  

Para una matriz de orden n
EJEMPLO :
( )( )( )
2 2 2
1 1 1
a b c = a b b c c a
a b c
1 1
=b a
a b
- - -
-
DEFINICIÓN :
I) Si A es cuadrada Ù A ¹ 0 ; la matriz A toma el
nombre de no singular o regular.
II) Si A es cuadrada Ù A =0 ; la matriz A toma el
nombre de matriz singular.
*Es decir una matriz cuadrada es singular si su
determinante es cero , así mismo si su determinante
es diferente de cero la matriz se llama no singular.
MATRIZ INVERSA
En algunas matrices puede identificarse otra matriz
denominada matriz inversa. La relación entre una
matriz A y su inversa (denotada por A–1) es que el
producto de A por A–1, en uno y otro orden , da origen a
una matriz identidad, es decir : AA–1=A–1A=I
OBSERVACIONES :
* Para que una matriz pueda tener inversa debe ser
cuadrada.
* La inversa de A también debe ser cuadrada y de la
misma dimensión de A.
* No toda matriz cuadrada posee inversa.
* Si A posee inversa se le llama no singular o
inversible.
* Si A no posee inversa se le llama singular o no
inversible.
DEFINICIÓN :
Sea Auna matriz cuadrada no singular , si existe una
única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que
AB=BA=I, entonces definimos B como matriz inversa
deA y lo denotamos por A–1
TEOREMA:
Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si es una
matriz no singular , en tal caso se dice que la matriz
es inversible.
$A-1 Û A ¹ 0 A A-1 = A-1  A= I
EJEMPLO :
Verifiquemos que la matriz B es inversa de la matriz A
al obtener los productos AB y BA, siendo :
3 7 5 7
A= B=
2 5 2 3
æç ö÷ æç - ö÷ ççç ÷÷÷ ççç- ÷÷÷ è ø è ø
* Así:
3 7 5 7 1 0
AB= =
2 5 2 3 0 1
5 7 3 7 1 0
BA= =
2 3 2 5 0 1
æç ö÷æç - ö÷ æç ö÷ ççç ÷÷÷ççç- ÷÷÷ ççç ÷÷÷ è øè ø è ø
æç - ö÷æç ö÷ æç ö÷ ççç- ÷÷÷ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ è øè ø è ø
Esto significa que B es la inversa de A, es decir B= A–1
CÁLCULO DE LA MATRIZ
INVERSA
1) ORDEN UNO :
( ) 1 1
A = a A = ; a 0
a
Þ - æçç ö÷÷ ¹ çè ÷ø
2) ORDEN DOS:
a b 1 1 d b
A= A = ; A 0
c d A c a
æçç ö÷÷Þ - çæç - ÷ö÷ ¹ ççè ÷÷ø ççè- ÷÷ø
EJEMPLO 1 :
1
3
4 2 3 2 1 1 2 A A
5 3 2 5 4 5 2
2
-
æç ö÷ æ ö æ- - ö çç ÷÷ =çç ÷÷Þ = çç ÷÷=çç ÷÷ ççè- - ÷÷ø - ççè ÷÷ø çç ÷÷ ççè- - ÷÷ø
370
4 1 1 1 2 1 2 1
B B
7 2 1 7 4 7 4
=æçç ö÷÷Þ - = æçç - ö÷÷=æçç - ö÷÷ ççè ÷÷ø ççè- ÷÷ø ççè- ÷÷ø
EJEMPLO 2 :
Calcular la matriz inversa de:
5 7
A=
1 2
æç - ö÷ ççç- ÷÷÷ RESOLUCIÓN: è ø
1 1
A 5 2 7 3
2 7
1 2 7 3 3 A A
3 1 5 1 5
3 3
- -
= ´ - =
æç ö÷ æ ö çç ÷÷ Þ = çç ÷÷Þ = çç ÷÷ ççè ÷÷ø çç ÷÷ ççè ÷÷ø
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ INVERSA
(MÉTODO DE GAUSS – JORDÁN)
Hay diversos métodos para calcular la inversa de una
matriz . Uno de ellos se basa en el procedimiento de
eliminación gaussiana, que consiste en transformar la
matriz inicial en una equivalente por medio de las
transformaciones elementales explicadas en la sección
anterior.
Para determinar la inversa de una matriz cuadrada A:
I) Se forma lamatriz ampliada compuesta por lamatriz
A y la matriz identidad del mismo orden de A , lo cual
da como resultado (A/I)
II) Se efectúan las operaciones solo por filas en toda la
matriz ampliada, de manera que A se transforme en
una matriz identidad . La matriz resultante presentará
la forma (I/A–1) de donde A–1 se puede leer a la derecha
de la línea punteada.
(A : I)¾¾O.E¾.F.¾®( I : B)® A-1 = B
EJEMPLO 1:
Calcular la matriz inversa de :
3 7
A
2 5
æç ö÷ =ççç ÷÷÷ è ø
RESOLUCIÓN :
1
2 1
2 1 2
1
×f f 2f 3
7
3×f f f 3
-1
7 1
3 7 1 0 1 0 3 3
2 5 0 1
2 5 0 1
7 1 7 1
1 0 1 0 1 0 5 7 3 3 3 3
1 2 0 1 2 3
0 1 0 1 -2 3
3 3
5 7
A =
2 3
-
-
æç ö÷ æ ö çç ÷÷ çç ÷÷¾¾¾®çç ÷÷¾¾¾¾® ççè ÷÷ø çç ÷÷ ççè ÷÷ø
æç ö÷ æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ æ - ö çç ÷÷¾¾¾®çç ÷÷¾¾¾¾®çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè - ÷÷ø ççè - ÷÷ø ççè ÷÷ø
æ -
®
-
ç ÷ö ççç ÷÷÷ è ø
OBSERVACIONES :
* Si la matriz no tiene inversa , no será posible
transformar A en una matriz identidad.
* No todas las matrices cuadradas poseen inversa ,
pero si la poseen , es única.
* La posibilidad de existencia de la matriz A–1 se
denota de la siguiente manera:
a)A–1 existe  A I (Método de Gauss – Jordan)
b)A–1 existe  An×nX=B (tiene solución única)
c) Si el proceso de reducción conduce a una fila nula
en la parte correspondiente a la matriz A, entonces A
es singular.
* Recuerda que en el álgebramatricial la operación de
división no existe ; esta es reemplazada de alguna forma
por la inversión. Es decir , si se quiere despejar X en la
ecuación matricial,
AX = BÞ X = A-1B
EJEMPLO 2 :
Calcular la inversa de : 1 2 3
A= 2 5 3
1 0 8
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø
Se desea reducir A hacia la matriz identidad por
operaciones sobre las filas y, simultaneamente , aplicar
estas operaciones a I para producir A–1.
RESOLUCIÓN :
* Formamos la matriz ampliada , adjuntando la matriz
identidad a la derecha de A.
* Aplicamos las operaciones sobre las filas a ambos
lados, hasta que el lado izquierdo se reduce a I.
* La matriz final tendrá esta forma : I : A-1
2 1
3 1
A la fila 2 le restamos dos veces la
fila 1 y a la fila 3 le restas la fila 1.
3 2
A la fila 3 le sumas dos veces la fila 2
1 2 3 1 0 0 f 2f
2 5 3 0 1 0 f f
1 0 8 0 0 1
1 2 3 1 0 0 f +2f
0 1 3 2 1 0
0 2 5 1 0 1
æ ö - çç ÷÷ - çç ÷÷¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾® çç ÷÷ çèç ÷ø÷
æç ö÷ çç - - ÷÷ çç ÷÷ ççèç - - ÷÷ø÷
. ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®
3
Multiplicamos la fila 3 por -1.
1 2 3 1 0 0 f
0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1
æç ö÷ - çç - - ÷÷¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾® çç ÷÷ ççèç - - ÷÷ø÷
1 2 3 1 0 0
0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1
æç ö÷ çç - - ÷÷ çç ÷÷ ççè - - ÷÷ø
2 3
1 3
A la fila 2 le sumas tres veces
la fila 3 y la fila 1 le restas
tres veces la fila 3.
f +3f
¾¾¾¾f -¾3¾f ¾¾¾¾¾¾®
1 2
A la fila1le restas dos veces la fila 2.
1 2 0 14 6 3 f 2f
0 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1
1 0 0 40 16 9
0 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1
æç - ö÷¾¾¾¾-¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾® çç - - ÷÷ çç ÷÷ ççèç - - ÷÷ø÷
æç - ö÷ çç - - ÷÷ çç ÷÷ ççè - - ÷÷ø
371
* Por tanto la inversa de A es:
1
40 16 9
A = 13 5 3
5 2 1
-
æç- ö÷ çç - - ÷÷ çç ÷÷ ççè - - ÷÷ø
PROPIEDADES:
Sean A y B matrices cuadradas no singulares y  un
escalar distinto de cero.
( )
( )
( )
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1) A A = A A= I
2) AB = B A
3) A = A
4) A = A
1
5) A = A =
A
l l
- -
- - -
- -
- - -
- -
´ ´
6) Si: A×AT=I ; se dice que A es ortogonal
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
T 1 1 T
7 ) I = I 8) A = A
9) A = A
- - l - - l
- -
MATRIZ DE COFACTORES
Sea la matriz
11 12 13 1n
21 22 23 2n
n1 n2 n3 nn
a a a ... a
a a a ... a
A=
a a a ... a
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø
    
* Si Aij es el cofactor del elemento aij, entonces la
matriz:
( )
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
A A ... A
A A ... A
Cof A =
A A ... A
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø


    

A este matriz se le llama matriz de cofactores.
ADJUNTA DE UNA MATRIZ
A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama
adjunta de la matriz A.
[ ( )]t Þ AdjA= Cof A
EJEMPLO 1:
Sea la matriz :
8 6
A=
1 7
æç ö÷ ççç ÷÷÷ è ø
A11=7 ; A12=–1 ; A21=–6 ; A22=8
matriz cof A
7 1 7 6
Adj A
6 8 1 8
æç - ö÷ æç - ö÷ =ççç ÷÷÷Þ =ççç ÷÷÷ è- ø è- ø
PROPIEDAD :
Sea A unamatriz invertible, entonces lamatriz inversa
está dada por :
1 Adj A
A =
A
-
OBSERVACIÓN :
n 1 Adj A = A  ; donde n es el orden de la matriz A
EJEMPLO 2 :
* Del ejemplo anterior :
8 6 7 1
A= A = 50 A=
1 7 6 8
æç ö÷ æç - ö÷ ççç ÷÷÷® ççç ÷÷÷ è ø è- ø
Si : y Adj
* Luego :
1
7 6 7 3
A 1 8 50 25 A =
A 50 1 4
50 25
-
æç - ö÷ æ ö ççç ÷÷÷ çç - ÷÷ è- ø çç ÷÷ = = çç ÷÷ çç- ÷÷ çè ÷ø
Adj
EJEMPLO 3 :
Calcular la inversa de :
1 2 3
A= 0 2 1
4 2 1
æç ö÷ çç - ÷÷ çç ÷÷ ççèç ÷÷ø÷
RESOLUCIÓN:
* Sea la matriz de cofactores :
11 12 13
C 21 22 23
31 32 33
C C C
A = C C C
C C C
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø
* Calculamos :
11 21
31
23 33
2 1 2 3
C =+ = 4 ; C = =4
2 1 2 1
2 3
C =+ =8
2 1
1 2 1 2
C = =6 ;C =+ = 2
4 2 0 2
-
- -
-
- -
-
* Luego : C
4 4 8
A = 4 11 6
8 1 2
æç - ö÷ çç - ÷÷ çç ÷÷ ççè - - ÷÷ø
* La matriz Adj(A) es la transpuesta de la matriz de
372
cofactores (AC ) :
tC
4 4 8
AdjA= A = 4 11 1
8 6 2
æç - ö÷ çç - - ÷÷ çç ÷÷ ççè - ÷÷ø
*Calculamos la determinante de la matriz «A».
1
1 2 3 4 4 8
1
A = 0 2 1 = 28 A = 4 11 1
28
4 2 1 8 6 2
-
æç - ö÷ - ® çç - - ÷÷ çç ÷÷ ççè - ÷÷ø
PROPIEDAD :
Si los elementos de una fila o columna de un
determinante son la suma algebraica de varias
cantidades, la determinante se descompone en tantos
determinantes como términos tiene la suma.

* En la primera los elementos de C2Ù C3 son
respectivamente proporcionales, por lo que su
determinante es 0 ; y en el segundo los elementos de
C2Ù C3 son iguales , también su determinante es 0.
Luego : det(M) = 0+b1(0) = 0
!RECUERDA¡
DETERMINANTE : Notación matemática formada por una tabla
cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas
verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su
desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron
originalmente investigados por el matemático japonés Seki Kowa
alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo y matemático
alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta
notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas
y en las ciencias naturales.
Para calcular un determinante de orden superior a 3, el proceso anterior
sería muy largo y engorroso.En general el determinante de orden «n»
sería el resultado de sumar todos los posibles productos de «n»
elementos , uno de cada fila y de cada columna, afectado del signo + ó
– segun si el número de inversiones es par ó impar. Así pues, para
simplificar dicho cálculo se va reduciendo el orden del determinante,
aplicando las siguientes propiedades :
1) El determinante de una matriz cuadrada es igual al
determinante de su traspuesta, ya que al cambiar las filas por
las columnas los productos quedan iguales y con igual signo.
2) Al intercambiar dos líneas paralelas consecutivas (filas o
columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo, pero
no varía su valor absoluto (ya que todos los elementos cambian
de índice en la permutación).
3) Si se multiplican por la constante k todos los elementos de
una línea (fila o columna) de la matriz, el determinante de esta
matriz queda multiplicada por k.
4) Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales,
entonces su determinante vale 0.
5 ) Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas (filas o
columnas) proporcionales, su determinante vale 0.
6) Si todos los elementos de una fila (línea o columna) de una
matriz cuadrada son cero, el determinante de dicha matriz es
cero. (ya que en el desarrollo de un determinante, aparece un
factor de cada fila y de cada columna, y por tanto, en cada término
aparecerá un cero como factor).
7) Si cada elemento de una línea de una matriz cuadrada se escribe
como suma de dos sumandos, el determinante de dicha matriz es igual a
la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las líneas, excepto
la línea de la descomposición, en la que el primer determinante tiene el
primer sumando de cada elemento del inicial y el segundo determinante
tiene el segundo sumando.
8) Si una línea de una matriz cuadrada es combinación lineal de
dos o más líneas paralelas a ella, entonces, el determinante de
la matriz vale 0.
9) El determinante de una matriz cuadrada no cambia si se le
suma a una línea cualquiera una combinación lineal de otras
líneas paralelas a ella.
10) Todo determinante de una matriz cuadrada se puede convertir
en otro del mismo valor que el dado, tal que todos los elementos
de una línea, previamente elegida, sean cero excepto uno de
ellos.