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TEOREMA ESPECIAL DEL RESTO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

 TEOREMA ESPECIAL DEL RESIDUO :
La aplicación del teorema del resto resulta mucho más sencillo cuando el divisor contiene sólo dos términos y es de cualquier  grado. para esto, en algunos casos, previamente se debe transformar el divisor original en otro de sólos dos términos. Esto se consigue multiplicando o dividiendo tanto al dividendo como al divisor; pero veamos que  sucede  con el resto,cuando se hace este artificio.


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sabemos que:
1) Si al dividendo y al divisor se les multiplica por un mismo polinomioentonces el resto queda multiplicando por el mismo polinomio M(x)


 

si luego de esta operación, aplicamos el teorema del resto, lo que se obtendrá como resto será la parte señalada (resto falso). Para hallar el resto verdadero se divide aquel resto falso entre el polinomio M(x)  



ejemplo 1 :
Halle el resto de la siguiente división:
Resolución:
multiplicando el dividendo y el divisor por (x–1)  :
   
operando:
por el teorema del resto:

•Acomodando el dividendo:

•Reemplazando:



Pero este resto es falso. Para hallar el resto verdadero, lo dividimos entre la expresión por la cual multiplicamos al inicio (x–1) :





ejemplo 2 :
Calcule  el resto en la división:
Resolución:
Como el trinomio (x2 – x + 1)es parte de una suma de cubos, multiplicaremos por (x + 1)al dividendo y al divisor:


por el  teorema del resto:

•Acomodando el dividendo:

•Reemplazando:


Efectuando, el resto es:

pero este resto es falso.
Entonces, para obtener el resto verdadero, este resto falso se divide entre (x+1)es decir:


Simplificando  resulta:

2 ) Si al dividendo y al divisor se les divide entre un mismo polinomioentonces el resto también queda dividido entre el polinomio  M(x).




Si, luego de esta operación aplicamos el teorema, lo que se obtendrá como resto será la parte señalada (resto falso). Para hallar el resto verdadero, se multiplica aquel resto falso por el polinomio M(x).
           

Ejemplo 1 :
Halle el resto de la división:
Resolución:
No podemos cancelar (x+1) a nuestro libre albedrío;  lo que tenemos que hacer es dividir al dividendo y divisor entre (x + 1), así:

; ahora  sí, simplificamos  resulta:




Usando el teorema del resto:

•No hace falta acomodar el dividendo, reemplazando:

Pero este resto es falso. Para hallar el resto verdadero se multiplica aquel resto falso por la expresión entre la cual dividimos al inicio, (x+ 1). Entonces, se tendrá que:

ejemplo 2 :
Determine el resto en:
 

Resolución:
Dividiendo el dividendo y el divisor entre (x – 3) y simplificando, se obtiene:





Aplicando el teorema del resto:

•Reemplazando:
Pero , este  resto  es  falso , luego  al multiplicar por (x – 3) encontramos el resto verdadero:


EjeRCICIO 1 :
 Determine el resto en: e

indique el coeficiente del término lineal.
A) 6           B) 1           C) 12        D)  – 3
Resolución:
Multiplicando el  dividendo  y  divisor  por el factor
(x –1) y simplificando se tiene:
, por  el

teorema del resto para x5 = 1, se tiene que el resto falso resultante es:
RF(x) = – 3x4 +5x – 2 = (x –1)(–3x3 –3x2 –3x+ 2)
Luego el resto verdadero es:




Finalmente, el coeficiente del término lineal es: –3.
Rpta: ‘‘d’’
EjeRCICIO 2 :
Si la siguiente división  es exacta,


entonces el valor de  es:
A)10               B)8               C)6               D)4               E)2
Resolución:
* Como es exacta por :


 



* Por teorema del resto:
*









*luego:
Rpta: ‘‘E’’
EjeRCICIO 3 :
Si la siguiente división:  es
inexacta, entonces el residuo es:


Resolución :
* Multiplicando , a ambas, por :







* Recuerde que el resto también quedó multiplicado
por . Por el teorema del resto.

*Acomodando el dividendo: