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TEOREMA DEL RESTO EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO PDF

TEOREMA DEL RESIDUO O DESCARTES
El objetivo es hallar el resto de una división sin  efectuarla ; este teorema se aplica por lo general cuando el divisor es de la forma , o también para cualquier expresión transformable a dicha forma .


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enunciado:
En toda división de la forma:  P(x) ¸ (ax + b) el residuo es igual al valor numérico de P(x) cuando


Es decir:

DEMOSTRACION:
Supongamos que queremos hallar el resto R de dividir P(x) entre (ax+b), entonces por el ALGORITMO de la división se tiene que:
P(x)= d(x)q(x) + R
P(x)= d(x)q(x) + R,  pero:
luego reemplazan en el polinomio se tiene:




enunciado :
Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x) por (x – m) viene dado por P(m).
Ejemplo:
m   Þ  Resto = P(5)
m   Þ  Resto = T(- 4)

PROCEDIMIENTO PARA  APLICAR EL TEOREMA DEL RESTO
i) El divisor se iguala a cero (x – m = 0)
Se iguala el divisor a ‘‘0’’. Si el divisor es de primer grado, se despeja ‘‘x’’. Si el divisor es de grado mayor que 1, se despeja una expresión adecuada (por lo general, la mayor potencia de ‘‘x’’.
ii) Se despeja la variable  (x = m)
Se acomoda el dividendo, formando en él la expresión despejada anteriormente. Si el divisor es de primer grado, no es necesario realizar esto.
iii) Se reemplaza en el dividendo (P(m)) obteniéndose el resto.
Es decir se reemplaza el valor de ‘‘x’’ (si el divisor es de primer grado) o el valor de aquella expresión (si el divisor es de grado mayor que 1), en aquel dividendo. Luego de efectuar las operaciones correspondientes, el resultado que se obtiene es el resto.
EJEMPLO 1 :
Hallar el resto en la división:
Resolución:
Por el teorema del resto:
• Igualando  el  divisor  a  ‘‘0’’  y  despejando ‘‘x’’;
 
* Reemplazando en el dividendo:

* Efectuando las operaciones correspondientes, el resto de la división será:

Ejemplo 2 :
Halle el resto en:

Resolución:
*Haciendo uso de la regla práctica :
i) El divisor se iguala a cero : x - 2 = 0
ii)Se elige una variable conveniente y se despeja esta variable. x = 2
iii)La variable elegida se busca en el dividendo para reemplazarlo por su equivalente, luego se realizan las operaciones indicadas y obtenemos el resto.
 Resto = 2(2)5 + 2 - 60 Þ  resto = 6
Debe tenerse presente que el grado del resto es menor que el grado del divisor.
Ejemplo 3 :
Hallar el resto de:
Resolución:
P(x) = 9x7 + 27x6–5x + 7
· Aplicando la regla práctica:
 
·  Luego:
 R = P(- 3) = 9(- 3)7 + 27(- 3)6 - 5(- 3) + 7
Þ R =  - 32×37 + 33×36 + 15 + 7
Þ R =  22
Ejemplo 4 :
Suponiendo que el polinomio P es de grado mayor que 0, halle el resto en cada caso:




EjeRCICIO 1 :
Hallar el resto de dividir:
Resolución:
Usando el teorema del resto:
•Igualando el divisor a ‘‘0’’ y despejando la mayor
potencia de ‘‘x’’ se tiene:
Acomodando el dividendo: formando en este ‘‘x3 ’’


• Reemplazando y efectuando las operaciones  correspondientes, se obtiene el resto

notese que éste resto es de menor grado que el divisor
EjeRCICIO 2 :
Halle el resto de dividir:
Resolución:
* Siguiendo con la regla práctica, antes mencionada.
i) 2x - 1 = 0
ii)
iii) Resto =
Þ Resto =   Þ  Resto = 6
EjeRCICIO 3 :
Hallar el resto de:

Resolución :
P(x) = x6 + 3x4 + 5x2 + 6x - 4
* Aplicamos la regla práctica :
   x2 - 1  Þ  x2 = 1....no se calcula  ‘‘x’’
*  Reescribiendo :
  P(x) = (x2)3 + 3(x2)2 + 5(x2) + 6x - 4
Luego : R = 13 + 3×12 + 5×1 + 6x - 4
 Þ R = 1 + 3 + 5 + 6x - 4
 Þ R =  6x + 5
EjeRCICIO 4 :
Hallar el resto de la división:
Resolución:
Aplicando el teorema del resto:
•Igualando el divisor a ‘‘0’’ y despejando la mayor potencia de ‘‘x’’ se tiene:

•Acomodando el dividendo:

•Reemplazando y efectuando las operaciones correspondientes, se obtiene el resto:


EjeRCICIO 5 :
Si el resto de la división:


carece del término cuadrático, calcule el valor de ‘‘m’’.
A)6            B)5            C)7              D)9             E)1
Resolución:
Aplicando el teorema del resto se tiene:


Luego:

Como el resto carece de término cuadrático se tiene: m = 5.
Rpta: ‘‘b’’
EjeRCICIO 6 :
Halle el resto de dividir:

A)x+1            B)2x+5            C)0             D)– 3x – 2          
Resolución:
Aplicando el teorema del resto se tiene: