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MÉTODO DE RUFFINI EJERCICIOS RESUELTOS ( DIVISIÓN DE POLINOMIOS ) PDF

 LA REGLA DE PAOLO RUFFINI
es un caso particular del método de horner . Se utiliza cuando el divisor es de primer grado de la forma  o en aquellas divisiones donde luego de un cambio de variable se obtiene un divisor de primer grado.
El esquema para dividir usando la regla de  Ruffini consiste en dos líneas, una horizontal y la otra vertical, tal como se muestra en la siguiente figura . El dividendo se coloca más arriba de la horizontal (a la derecha de la vertical) y a la izquierda de la vertical se coloca el ‘‘valor’’ que se obtiene para «x» luego de igualar el divisor a ‘‘0’’.
Se completa el esquema separando, con una vertical adicional, el último término del dividendo.


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Pasos a Seguir:
1) se ordena el dividendo con respecto a una letra y en caso de que falte una término se completa con ceros

2) en caso de que halla dos variables se asume a una de ellas como tal  y  las demás hacen el papel de números o constantes .

3) Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma horizontal , luego se despeja ‘‘x’’ del divisor igualando a cero al divisor y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.

4) Se baja el primer coeficiente del dividendo , siendo este el primer coeficiente del cociente , luego este valor se multiplica por el valor del divisor y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.

5) Se simplifica la siguiente columna y se repite el paso anterior tantas veces hasta la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo .

6) Se reduce la última columna y el resultado será el valor del resto , y este siempre será un valor numérico.
observación :
cuando el divisor es de la forma  :
  donde en este caso  se procede en la forma similar al caso anterior pero al resultado del cociente obtenido se debe dividir entre el primer coeficiente del divisor .

esquema :





Ejemplo  General:
Consideremos los polinomios:
 D(x) =  a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4

 d(x) =  Ax + B

donde:  a0 ¹ 0  Ù  A ¹ 0
Para mostrar el Esquema de Ruffini.










q(x) = q0x3 + q1x2 + q2x + q3  Ù  R(x) = R

OBSERVACIONES:

I)El divisor d(x) = Ax + B se iguala a cero y despejamos la variables  con este valor vamos a trabajar en el esquema.


II) Los coeficientes a0 , b1 , b2 , b3 aún no son los coeficientes del cociente, debemos dividirlos por A, coeficiente principal del divisor, para hallar los coeficientes del divisor: q0 , q1 , q2 , q3
Ejemplo 1 :
Dividir:
Resolución :
*Completamos   el diagrama   con los   coeficientes,
teniendo    mucho   cuidado  con  los signos. Luego
procedemos con las operaciones.







*El  resultado  será  completado con las variables,
obteniéndose
*Cociente :
* Residuo
Aquí   no es necesario dividir los coeficientes obtenidos pues el divisor d(x) es mónico.
Ejemplo 2  :
Dividir:

Resolución:
* Aplicando el criterio general :
D(x) =  8x4 + 10x3 + 0x2 - x + 5
d(x) =  4x - 3
* Luego :



 




Þ q(x) = 2x3 + 4x2 + 3x + 2  ;  R(x) = 11
En el esquema de Ruffini el resto obtenido siempre es una constante.
Ejemplo 3 :
Halle el cociente y el resto de la división:


Completando con ‘‘0 ’’ el término que falta en el dividendo, el esquema queda como en el primer cuadro. Las operaciones se realizan como se  muestra en el segundo cuadro.



Como el coeficiente principal del divisor es igual a ‘‘1’’, el cociente es verdadero, luego:
          q(x) = 3x4 + 6x3 + 2x2 + 5x + 15
y el resto es: R(x) = 29.

Ejemplo 4 :
Dividir :

Resolución:









•Como  grad[q] = 4 - 1 = 3 , se tiene:
q(x) = 1x3 + 1x2 - 2x - 1 = x3 + x2 - 2x - 1
Þ resto = 4
ejemplo 5 :
Efectue la división:
Realizando el esquema de la división por Ruffini, se tiene que:







Donde: q(x) = 2x3– x2 + 2x –1
           R(x) = 2
Como el coeficiente principal del divisor es distinto de ‘‘1’’entonces el cociente es falso. Luego, para hallar el cociente verdadero se divide el cociente resultante entre 2 como se indica en el cuadro.
ejemplo 6 :
Determine el cociente  y el resto de dividir :
       







Donde: q(x) = x 4– 2x3+ 4x2– 15x +33
           R(x) = – 60
EJERCICIO 1 :
Divida e indicar el cociente, de:

A)    B)                      C)
D)  E)
Resolución:
           





* Entonces:
Rpta: ‘‘D’’
EJERCICIO 2 :
Luego de efectuar la división, halle la suma de los coeficientes del cociente.


A)1           B)8           C)4           D)3          E)2
Resolución:
Usando la regla de Ruffini:








Luego el cociente es: q(x) = 4x4 – 3x3+5x2 + 2x – 5
Finalmente, la suma de los coeficientes del cociente es: S = 3.
Rpta: ‘‘d’’
EJERCICIO 3:
Dividir:  e indicar el residuo
A)1              B)2              C)4               D) 6              E)–2

Resolución:
*Regla:






*Los elementos de división obtenidos son:
*Cociente:
*Residuo: R(x)=4
                                 Rpta: ‘‘C’’
EJERCICIO 4 :
Si se divide el polinomio :
, el resto o residuo es 4. Hallar "m".
A)1              B)2              C)32              D)44              E)0
Resolución:






* Resto = 36 – m = 4...................... (por dato)
 M = 36 – 4 m = 32
Rpta: ‘‘C’’
EJERCICIO 5 :
Obtener el resto al dividir:


A)60            B)70            C)72             D)79             E)80
Resolución:
* Haciendo transformaciones:
 entre
* Haciendo el cambio de variable x3 = y, entonces:


 




, como y = x3,
*Entonces:

  y  Resto = 79
Rpta: ‘‘D’’
EJERCICIO 6 :
Dividir
   

e indicar el término independiente del cociente
A)1             B)b               C)a               D)2a              E)2b
Resolución:
*aplicando ruffini :
x – a + b = 0  ®  x = a – b
 



* Cociente:
 
* Residuo:  a2                   * Se pide: "a"
Rpta: ‘‘C’’
EJERCICIO 7 :
Si se divide el polinomio :
 separadamente entre (x + 1) y (x – 1) los residuos son 3 y 5 respectivamente. Hallar : p + q.
A)3               B)4               C)7               D)8               E)5
Resolución:




Rpta: ‘‘c’’
EJERCICIO 8 :
Del esquema de Paolo Ruffini.






Determinar la sumatoria de coeficientes del polinomio dividendo.
A) 0            B) 30           C) 70           D) –30           E) –50
Resolución:
• Del esquema:
· A = l · l(-1)= 1 Þ  l = -1 = A
· B + 1 = d · d(-1) = 3  Þ  d = -3  ;  B = -4
· C + 3 = c · c(-1) = 5  Þ  c = -5  ;  C = -8
· D + 5 = b · b(-1) = 7  Þ  b = -7  ;  D = -12
· E + 7 = a · a(-1) = 9  Þ  a = -9  ;  E = -16
· F + 9 = 0  Þ  F = -9
Þ  A + B + C + D + E + F = - 50
                      Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 9 :
El residuo de la división del polinomio:      
   

entre  es:

Resolución:
*Aplicando el método de Ruffini:







* Entonces: r=0
Rpta: ‘‘B’’