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MÉTODO DE HORNER EJERCICIOS RESUELTOS ( DIVISIÓN DE POLINOMIOS ) PDF

MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER
El esquema para efectuar la operación se muestra en la figura 1. Sobre la línea horizontal y a la derecha de la línea vertical se ubica el dividendo; y a la izquierda de la vertical se coloca el divisor, el primer término por arriba de la horizontal con su propio signo y los demás términos por debajo de la misma pero con signo cambiado.


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Se completa el esquema trazando una horizontal por la parte inferior y también una vertical, que separa a partir del final un número de coeficientes igual al grado del divisor. Suponiendo que ya se terminó con la operación, el cociente y el residuo se obtienen tal como se señala en la figura 2.

Se emplea para la división de polinomios de cualquier grado, para ello se tienen en cuenta los siguientes pasos:
1)Se completa y se ordena los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable (llamada ordenatriz ). en caso de que halla dos variables se asume a una de ellas como tal  y  las demás hacen el papel de números o constantes .
2)Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo .
y en forma vertical los coeficientes del divisor con signo cambiado a excepción del primero.
3) Se traza una línea vertical separando tantas columnas a partir de la derecha , indicado por el grado del divisor ; de esta manera  se marca la separación entre el cociente y residuo.

4) Se divide el primer coeficiente  del dividendo entre el primero del divisor  y se obtiene el primero del cociente . luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor que han cambiado de signo y el resultado se coloca en la segunda fila , corriendose un lugar a la derecha .

5)Se reduce la siguiente columna (se suman los coeficientes ), y se repite el paso anterior  tantas veces hasta que  la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo.

6)Se suman directamente los números que están en las columnas que corresponden a los coeficientes del residuo .

7) El grado del polinomio queda determinado por la diferencia entre los grados del dividendo y divisor ; y el grado del residuo queda determinado  según la cantidad de términos.

ESQUEMA :
                               

     















En General:
Este es el método general para dividir polinomios. Consideremos los polinomios completos y ordenados:
  D(x) =  a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4
             d(x) =  b0 x2 + b1 x + b2

Donde: a0 ¹ 0   y   b0 ¹ 0

Para mostrar el esquema de Horner.














Þ q(x) = q0x2 + q1x + q2  Ù  R(x) = r0x + r1

OBSERVACIÓN:
1)El primer coeficiente del divisor d (x) mantiene su signo, los demás coeficientes van con signo cambiado.
2)La línea (punteada) vertical que separa los coeficientes del cociente con el coeficiente del resto se traza contando desde el último coeficiente del dividendo, un número de espacios igual al grado del divisor.
En nuestro ejemplo °[d(x)]=2 , luego 2 coeficientes del dividendo quedan a la derecha de la línea vertical.
Ejemplos Ilustrativos:
Ejemplo 1 :
Efectúe la división e indique el cociente y el residuo de:
         

Fíjese que falta el término en ‘‘x’’ en el dividendo. Trazando el esquema y completando con ‘‘0’’ aquel término, ubiquemos los coeficientes del dividendo y divisor como en el primer cuadro. Efectuando las operaciones correspondientes como se muestra en el segundo cuadro.







Luego, el cociente será: q(x) = 5x3 - 2x2 + 3x + 2, el resto: R(x) = – 4x– 1 y el cociente completo será:
ejemplo 2 :

Dividir:
               
resolución:
*colocando según el esquema los coeficientes del dividendo y divisor :













*solo se obtienen coeficientes , la variable  se  agrega de acuerdo al grado .
*así tenemos : q°= 5 – 2=3 ; R°=2–1=1
 


ejemplo 3 :


Dividir:
             
Resolución:
*Aplicando el criterio general:
D(x)=  6x5 + 5x4 - 8x3 - 4x2 - 6x + 4
d(x) =  2x3 + 3x2 + 0x - 1
*Luego :
 
 











q(x) = 3x2 - 2x - 1   ;   R(x) = 2x2 - 8x + 3

Ejemplo 4 :


Dividir:
           

Resolución:
*Preparando los polinomios:
D(x) º  6x5 + 4x4 + 9x3 + 0x2 + 0x - 1
d(x) º  2x3 + 0x3 + x - 1
*Aplicando Horner :
 














Como D(x) y d(x) presenta todos sus términos y están presentados en forma descendente, entonces q(x) y R(x) también debe presentar todos sus términos y están orientados descendentemente.
Además como:
grad[q]: 5 – 3 = 2     y    max.grad.[R] :3 – 1 = 2
*se tiene:  q(x) =  3x2 + 2x + 3
                 R(x) =  1x2 - 1x + 2 = x2 - x + 2
Ejemplo 5 :
Halle el cociente y el resto de la división:


Observe que faltan 3 términos en el dividendo, pues siendo de grado 5 debería tener 6 términos. Completando con ‘‘ceros’’ aquellos términos y desarrollando el divisor, el esquema queda así:

 





donde :    
Ejemplo 6 :
Dividir:

Resolución:

*Aplicamos el criterio general:
D(x)=  x4 - 3x3 + 5x2 - 3x + 4
d(x)=  x2 - 3x + 4
*Luego:










    q(x) = x2 + 1   ;   R(x) º 0
La división es exacta .
EJERCICIO 1  :
 Si el resto de la división:
es 5x2–3x+7
Halle el valor de: m + n + p .
A)13           B)24           C)27           D)28          E)47
Resolución:
* Aplicando el método de Horner:





Luego el residuo es:
       R(x)=(m –15)x2+(n+6)x+p – 9
Por dato se tiene:
(m –15)x2+(n + 6)x + p – 9 = 5x2– 3x + 7
Identificando el polinomio se tiene que:
 m = 20 ,  n = – 9  y  p = 16
Finalmente la suma es: m + n + p = 27
Rpta: ‘‘c’’
EJERCICIO 2 :
En el esquema de Horner mostrado, determinar el valor de (m + n + p) – (a + b + c) :










A) 6           B) 13           C) 12           D) 24           E) 18
Resolución:
Del esquema:
¨ n = 3 ¨ mn = 9  Þ  m = 3
¨ 2n = d  Þ  d = 6 ¨ a + 9 = -2  Þ  a = -11
¨ - 2m = e  Þ  e = -6 ¨ - 4 = f
¨ 1 + d + e = p  Þ  p = 1 ¨ pm = g  Þ  g = 3
¨ 2p = h  Þ  h = 2 ¨ b + f + g = 4  Þ  b = 5
¨ c + h = -3  Þ  c = -5
¨ Luego:
(m + n + p) – (a + b + c) = 7 – (–11) = 18
                       Rpta: ‘‘E’’

EJERCICIO 3  :
Si al dividir 5x3+6x4–1 entre  x + 3x2–2 se obtiene un resto de la forma  mx + n, calcular  m–n.
A) 0            B) 1            C) 2            D) –2          E) –1
Resolución:
•Efectuando la división por Horner
•Recuerde completar el dividendo
     











•Entonces:
R(x) = x + 1 º mx + n...........................(dato)
*de aquí  : m = 1   y   n = 1
      Þ m - n = 0
                                                 Rpta: ‘‘A’’
EJERCICIO 4  :
Al efectuar la división:




Se obtiene su residuo:
      (5m + 4n)x + (m + 2n)
Encontrar el valor de:
A) 0,25         B) 1         C) 0,5         D) 0,125        E) –1
Resolución:
*Dividimos por Horner:
     









* de aquí:
 R(x) = 4x - 4 º (5m + 4n)x + (m + 2n)
5m + 4n = 4   y   m + 2n = - 4
* Resolviendo el sistema:  m = 4   ;   n = - 4
                                           
                                     

Rpta: ‘‘A’’
EJERCICIO 5  :
El residuo de la división:
   
entre  es:

Resolución:
*Aplicando el método de Horner:
                                 







Rpta: ‘‘A’’

EJERCICIO 6  :
Determine el valor de «n» para que:


sea divisible entre:
A)12            B)10             C)8             D)–6            E)–10
Resolución:
* Aplicando el método de Horner:
           




* Como el residuo es nulo:

Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 7  :
Determinar m y n para que el polinomio:
           
Sea divisible por:.
Indicar el valor de: m + n
A)17              B)13              C)15              D)14              E)16
Resolución:
*Por el método de Horner:








* Por ser divisible:




Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 8  :
Qué valores deberán tomar ‘‘a’’ y ‘‘b’’ para que el polinomio: sea divisible entre:



Resolución:
* Dividiendo por el método de Horner:





* Por ser divisible:
                                 
Rpta: ‘‘D’’
EJERCICIO 9  :
Se sabe que:
es divisible por:
entonces:  es igual a:
A)6               B)5               C)4               D)3              E)2
Resolución:
*Utilizando el método de Horner:








* Por ser divisible:

* Entonces :
Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 10  :
El residuo de la división:
         



es igual a: (–16), cuando ‘‘y’’es igual a:
A)–3              B)0              C)2              D)5              E)3
Resolución:
* Dividendo por el método de Horner:







*Por dato:
*de donde:
Rpta: ‘‘C’’
EJERCICIO 11  :
Cuál es el valor de «m» para que:
               
sea divisible por:


Resolución:
*Empleando el método de Horner:

*Por ser divisible:
 
* ó *
*También:  ó
*El único valor común para los 2 pares de soluciones
es
Rpta: ‘‘C’’
EJERCICIO 12  :
Si la  siguiente  división :
         


Tiene como polinomio cociente:
 
Tiene como polinomio resto:
Entonces el valor de:  es:

Resolución:
*Ordenando los polinomios:
     


* Dividiendo por Horner:















* Entonces:
                     
Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 1 3 :
Si la siguiente división:


Da como residuo , entonces el valor de  es :
A)11              B)5              C)1              D)7              E)4
Resolución:
* Aplicando Horner:







* De la 3ra columna : m=7
* De la 4ta columna : n=4
* Luego: T=m+n=11
Rpta: ‘‘A’’
EJERCICIO 14 :
Si  al  dividir :  P(x)=ax4 + bx3 +  cx2  +  3x +  1   entre x2 – x+1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 22 y un resto R(x)=10x –1. Hallar a+ c.
A) 133           B) 42           C) 57         D) 61        E) 50
Resolución:
* Aplicando Horner :
 








OBSERVACIÓN:
•3 – a + c = 10   c – a = 7
•1 – b – c = –1  b + c = 2
*Restando miembro a miembro :  a + b = -5
*Por dato:  q(1) = a + (a + b) + (b + c) = 22
                                       
a – 3 = 22  Þ  a = 25
c = 32 Þ a + c = 57
                                      Rpta: ‘‘C’’
EJERCICIO 15  :
Halle la suma de coeficientes del polinomio lineal que se le debe restar al dividendo de la división:
(8x4 + 2x3 + 2x + 3) ÷(1 + 3x + 4x2)para que sea exacta:
A) 6            B) 4            C) 7            D) –3             E) 5

Resolución:
       


*por  horner :













• Luego:
• Se le debe restar:
• Suma de coeficientes:
                                                 Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 16  :
Si al dividir el polinomio:  entre , se obtiene un residuo tal que elevado al cuadrado es igual al cociente, entonces los valores de m y n respectivamente son:
A)5 y –2                             B )5 y –6           C)–2 y 5
D)–6 y 5                       E)–5 y 6
Resolución:
* Por dato:
* Luego por Horner:











*Como  es cuadrado perfecto, entonces:
*Luego:
       

*Entonces:
Rpta: ‘‘B’’
EJERCICIO 17  :
Si la división:  es exacta, entonces una relación entre los coeficientes de la división es:


Resolución:
*Aplicando Horner:
                   




*De la 5ta columna:


*De la 4ta columna:
*Multiplicando : D=E
*con: A=C , se obtiene: AD=EC
Rpta: ‘‘C’’