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MCD Y MCM DE POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS -MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO-ÁLGEBRA PDF


EL MÁXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)
El máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente numérico (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados.

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* Para hallar el M.C.D. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:


i)Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos(se factoriza).
ii) El M.C.D. es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.

Ejemplos:
* Dados los monomios :
       

* Como :
* Luego :
* Finalmente :
* El cual, es la expresión de mayor G.A. que está contenida en A y B simultáneamente.

Ejemplo 2 :
* El M.C.D. de:




es:

Ejemplo 3 :
Determinar  El M.C.D. de:

resolución:
*factorizando :




OBSERVACIÓN :
Dos o más polinomios son primos entre sí, si su M.C.D. es la unidad .

Ejemplos:
* Se tienen los polinomios :


* Resulta:
* Siendo este polinomio, el de mayor G.A. que está contenida en las expresiones P y Q.
ejercicio :
Hallar el MCD de:
Resolución:
Factorizando los polinomios, se obtiene:




El MCD de los polinomios es (a+1)
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)
En dos o más polinomios, es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada uno de los polinomios dados.
*Para hallar el M.C.M. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:

I)Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos(se factoriza).

II)El M.C.M. es el producto obtenido al tomar todos los factores, comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.

Ejemplo 1:
*Dado los monomios:

*Como:
*Luego:
* Finalmente:
* El cual, es la expresión de menor G.A. que contiene exactamente a A y B simultáneamente.
Ejemplo 2 :
* Se tienen los polinomios:




* Se obtiene:

* Siendo este polinomio, el de menor grado absoluto que contiene a las expresiones P y Q.
Ejemplo 3:
* El M.C.M. de:
 y
* es:
Ejemplo 4:
Hallar el MCD y MCM de:

Resolución:





PROPIEDAD :
Dados dos polinomios cualesquiera P y Q, se cumple la siguiente identidad polinómica:


Ejemplo:
* Dados dos polinomios P y Q, tales que:

Si uno de ellos es .
Hallar a que es equivalente el otro.
Resolución:
* Por propiedad, se obtendrá:

*Reemplazando el dato para Q, resulta:

* Simplificando se tiene:

método de las divisiones sucesivas para determinar  el  m.c.d.
dado dos polinomios p(x) y q(x) de tal manera que el grado del primer polinomio p(x) sea mayor o igual que el grado del segundo polinomioq(x) ordenado en x.
Se efectuará la división de p(x) entre q(x) . si es exacta entonces es el m.c.d.
Si la división es inexacta ; se divide el divisor  entre el primer residuo , esto entre el segundo residuo y así sucesivamente , hasta obtener un resto nulo , ocurrido esto el MCD será el último divisor utilizado, es decir :



Ejemplo :
Determinar  El M.C.D. de:

resolución:



















PROBLEMA 1:
Extraer el M.C.D. de:


A)xyz             B) x5yz              C)x2yz2             D)x2y2z4
Resolución:
*El M.C.D. son los factores repetidos con menor exponente :


Rpta: ‘‘D’’
PROBLEMA 2:
Del problema anterior extraer el M.C.M.
A)x2y2z4         B) x5y2z6             C) x3y5z6          D)x5y3z6
Resolución:
*El M.C.M. son los factores repetidos y no repetidos con el mayor exponente.


Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA 3:
Sacar el M.C.D. de:



Resolución:
* Analizando se obtendrá que:


Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 4 :
Obtener el M.C.M. de:



Resolución:
* El M.C.M. será:



Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA5 :
Obtener el M.C.D. de:


Resolución:
*Factorizando primero cada polinomio.

 ;

*El M.C.D. será:


Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 6 :
Encontrar el M.C.D. de:



Resolución:
*Factorizando ambas expresiones:








* Operando :
* Agrupando un  trinomio cuadrado perfecto:
 
* Diferencia de cuadrados:



Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA 7 :
El M.C.D. de los siguientes polinomios:


Resolución:
*Factorizando cada polinomio:

*Agrupando :






*Por divisores binómicos:
*Para:

*Un factor es (m – 1) y el otro lo obtenemos
dividiendo por Ruffini, Así:







Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 8 :
Sea:



Si (x–1) es el MCD de .Hallar
A)1               B)2              C)3               D)4              E)6
Resolución:
*(x – 1) deberá ser divisor de
* Entonces:
* Recordando en el teorema del resto:



* Resolviendo el sistema:




* Piden:
Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA 9:
El M.C.D. y M.C.M. de dos polinomios son respectivamente:


Si uno de los polinomios es:
hallar el otro polinomio.


Resolución:
*Sean los polinomios A(x), B(x) .  Por propiedad :

*Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:
 

*Reemplazando valores:

                                 

                                                                 Rpta: ‘‘C’’

PROBLEMA 10 :
Hallar el MCM/MCD de las siguientes expresiones:


Resolución:
*

* Piden:



Rpta: ‘‘E’’
PROBLEMA 11:
Si el MCD de los polinomios:

es (a–2(a–3) . Calcular el MCM de dichos polinomios.
Resolución:
*Dividiendo por el método de Horner en ambos polinomios , así:




* Luego :










* Luego:


* Finalmente , MCM(H; G):

PROBLEMA 12:
Hallar el MCM de:
                                     




Resolución:
*Factorizando :













Rpta: ‘‘d’’
PROBLEMA 13:
Si el MCD de :
 se iguala a cero, entonces “x” es igual a:
A)1              B)2              C)3              D)0              E)–2
Resolución:
* Factorizando cada expresión:



* Multiplicando en la forma indicada:


* Efectuando:





II) x3–3x+2
   




Rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 14:
El producto que resulta de multiplicar dos polinomios de variable libre “x” es , y el cociente de dividir el MCM y MCD de dichos polinomios es . Señale a que es equivalente el MCD.


Resolución:
*Sean P(x) y Q(x) los polinomios, luego por propiedad :




*Por el 2do dato :


*Como se quiere despejar el MCD, dividamos  entre , así:






* Luego:




* Finalmente:
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 15 :
Si P y Q son dos polinomios factorizables definidos por:
     


Entonces el MCD (P, Q) es:


Resolución:
*Factorizando cada polnomio:






                                         




*luego:
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 16:
Si P , Q y R son tres polinomios factorizables por:





Entonces el MCD (P, Q, R) es:

Resolución:
* Factorizando cada polinomio:

















* luego : MCD (P,Q,R)=(x+y)2
Rpta: ‘‘D’’
PROBLEMA 17 :
Si P y Q son polinomios factorizables definidos por:




Entonces    el     término       independiente del M.C.D (P, Q), es:
A)–3             B)–6             C)–1             D)1             E)3
resolución:
* Factorizando cada polinomio:













 
                   


* Luego : MCD(x)=

Rpta: ‘‘A’’
PROBLEMA 18 :
Si P y Q son dos polinomios de variable x , tales que:
     



Entonces, el número de factores primos distintos del MCD (P, Q) es:
A)1               B)2              C)3              D) 4              E)5
Resolución:
*Por propiedad, se sabe que para dos polinomios
y  se cumple que:
*Reemplazando:





*Luego, el número de factores primos del MCD es 2.
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 19 :
Si el producto de dos polinomios es:  y el cociente de su MCM y MCD  es , entonces el MCD de dichos polinomios es:
A)x+1        B)x+2        C)x+3        D)x+4         E)x+5
Resolución:
* Por dato:
           



* Propiedad: para P y Q:







* Pero: MCM=

* Reemplazando:



Rpta: ‘‘c’’
PROBLEMA 20 :
Si p y Q son dos polinomios factorizables definidos por:



Entonces la suma de los coeficientes del
MCD (P, Q), es:

A)4              B)5              C)6               D)7              E)8
Resolución:
*Factorizando cada polinomio (por aspa doble especial):

     





     

             


 

* Luego: MCD

Rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 21 :
Sean P y Q  dos polinomios factorizables definidos por :
     


Si el MCD (P, Q) es (x–1)(x+3), entonces el MCM (P,Q) es:

A)(x–1)(x+3)(x+2)                          B)(x–1)(x+2)(x–2)
C)(x–1)(x+3)(x+2)                         D)x+1)(x+3)(x+2)
E)(x–1)(x–2)(x+2)(x+3)
Resolución:
* De:
 son divisibles entre . Entonces, por Horner :
   







       









*Luego: MCM(P,Q)=(x–1)(x+3)(x+2)(x–2)

Rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 22 :
Si P(x) y Q(x son dos polinomios, entonces determine el valor de verdad de cada una de las siguiente proposiciones:
p : Si , entonces (x+1) es un factor
del MCM (P,Q)
q : Si , entonces (x+4) es un factor

del MCD (P, q)
r: Si  y ,entonces (x–2) es un

factor del MCM (P,Q).
a)VFV       b)VVV        c)FVV       d)VFF      e)FVF
Resolución:
I) Recuerde  que MCM(P,Q) es divisible entre  y
entre;  es decir:  y  son    factores   del
MCM(P,Q)
 es factor del MCM(P,Q)
 es factor del MCM(P,Q)
* Luego: p es VERDADERO

II) El MCD(P,Q) sólo contiene factores primos  comunes de  y  ; x+4 es factor de  pero
no se sabe si es factor de ; por  lo que  x+4  no
necesariamente es factor del MCD(P,Q)
* Luego , q es FALSA


 Por el Teorema del factor (x – 2) es un factor de
   


 Por lo señalado en (I):  (x  – 2) es un factor del
 MCM(P,Q)

* Luego, r es verdadera
                                                                 Rpta: ‘‘a’’
PROBLEMA 23 :
Si P1 y P2 son dos  polinomios  factorizables definidos por:
         


Tal que a y b son enteros positivos y, entonces el valor de , es :
A)18             B)24            C)8            D)15            E)21
Resolución:
*  De:

* Como:

MCD es de grado 1.
P1 y P2 tienen un factor común de grado
1P1–P2 contiene a este


* Como , entonces:




* Luego si:




* Contienen al factor (x – 1):




* Contienen al fator (x – 3) ; pero esto no es posible,
pues:

* Entonces :      
  Rpta: ‘‘c’’