MCD Y MCM DE POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS -MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO-ÁLGEBRA PDF
EL MÁXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)
El máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente numérico (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados.
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i)Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos(se factoriza).
ii) El M.C.D. es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.
* Dados los monomios :
* Como :
* Luego :
* Finalmente :
* El cual, es la expresión de mayor G.A. que está contenida en A y B simultáneamente.
Ejemplo 2 :
* El M.C.D. de:
es:
Ejemplo 3 :
Determinar El M.C.D. de:
resolución:
*factorizando :
OBSERVACIÓN :
Dos o más polinomios son primos entre sí, si su M.C.D. es la unidad .
Ejemplos:
* Se tienen los polinomios :
* Resulta:
* Siendo este polinomio, el de mayor G.A. que está contenida en las expresiones P y Q.
ejercicio :
Hallar el MCD de:
Resolución:
Factorizando los polinomios, se obtiene:
El MCD de los polinomios es (a+1)
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)
En dos o más polinomios, es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada uno de los polinomios dados.
*Para hallar el M.C.M. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:
I)Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos(se factoriza).
II)El M.C.M. es el producto obtenido al tomar todos los factores, comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.
Ejemplo 1:
*Dado los monomios:
*Como:
*Luego:
* Finalmente:
* El cual, es la expresión de menor G.A. que contiene exactamente a A y B simultáneamente.
Ejemplo 2 :
* Se tienen los polinomios:
* Se obtiene:
* Siendo este polinomio, el de menor grado absoluto que contiene a las expresiones P y Q.
Ejemplo 3:
* El M.C.M. de:
y
* es:
Ejemplo 4:
Hallar el MCD y MCM de:
Resolución:
PROPIEDAD :
Dados dos polinomios cualesquiera P y Q, se cumple la siguiente identidad polinómica:
Ejemplo:
* Dados dos polinomios P y Q, tales que:
Si uno de ellos es .
Hallar a que es equivalente el otro.
Resolución:
* Por propiedad, se obtendrá:
*Reemplazando el dato para Q, resulta:
* Simplificando se tiene:
método de las divisiones sucesivas para determinar el m.c.d.
dado dos polinomios p(x) y q(x) de tal manera que el grado del primer polinomio p(x) sea mayor o igual que el grado del segundo polinomioq(x) ordenado en x.
Se efectuará la división de p(x) entre q(x) . si es exacta entonces es el m.c.d.
Si la división es inexacta ; se divide el divisor entre el primer residuo , esto entre el segundo residuo y así sucesivamente , hasta obtener un resto nulo , ocurrido esto el MCD será el último divisor utilizado, es decir :
Ejemplo :
Determinar El M.C.D. de:
resolución:
PROBLEMA 1:
Extraer el M.C.D. de:
A)xyz B) x5yz C)x2yz2 D)x2y2z4
Resolución:
*El M.C.D. son los factores repetidos con menor exponente :
Rpta: ‘‘D’’
PROBLEMA 2:
Del problema anterior extraer el M.C.M.
A)x2y2z4 B) x5y2z6 C) x3y5z6 D)x5y3z6
Resolución:
*El M.C.M. son los factores repetidos y no repetidos con el mayor exponente.
Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA 3:
Sacar el M.C.D. de:
Resolución:
* Analizando se obtendrá que:
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 4 :
Obtener el M.C.M. de:
Resolución:
* El M.C.M. será:
Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA5 :
Obtener el M.C.D. de:
Resolución:
*Factorizando primero cada polinomio.
;
*El M.C.D. será:
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 6 :
Encontrar el M.C.D. de:
Resolución:
*Factorizando ambas expresiones:
* Operando :
* Agrupando un trinomio cuadrado perfecto:
* Diferencia de cuadrados:
Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA 7 :
El M.C.D. de los siguientes polinomios:
Resolución:
*Factorizando cada polinomio:
*Agrupando :
*Por divisores binómicos:
*Para:
*Un factor es (m – 1) y el otro lo obtenemos
dividiendo por Ruffini, Así:
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 8 :
Sea:
Si (x–1) es el MCD de .Hallar
A)1 B)2 C)3 D)4 E)6
Resolución:
*(x – 1) deberá ser divisor de
* Entonces:
* Recordando en el teorema del resto:
* Resolviendo el sistema:
* Piden:
Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA 9:
El M.C.D. y M.C.M. de dos polinomios son respectivamente:
Si uno de los polinomios es:
hallar el otro polinomio.
Resolución:
*Sean los polinomios A(x), B(x) . Por propiedad :
*Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:
*Reemplazando valores:
Rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA 10 :
Hallar el MCM/MCD de las siguientes expresiones:
Resolución:
*
* Piden:
Rpta: ‘‘E’’
PROBLEMA 11:
Si el MCD de los polinomios:
es (a–2(a–3) . Calcular el MCM de dichos polinomios.
Resolución:
*Dividiendo por el método de Horner en ambos polinomios , así:
* Luego :
* Luego:
* Finalmente , MCM(H; G):
PROBLEMA 12:
Hallar el MCM de:
Resolución:
*Factorizando :
Rpta: ‘‘d’’
PROBLEMA 13:
Si el MCD de :
se iguala a cero, entonces “x” es igual a:
A)1 B)2 C)3 D)0 E)–2
Resolución:
* Factorizando cada expresión:
* Multiplicando en la forma indicada:
* Efectuando:
II) x3–3x+2
Rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 14:
El producto que resulta de multiplicar dos polinomios de variable libre “x” es , y el cociente de dividir el MCM y MCD de dichos polinomios es . Señale a que es equivalente el MCD.
Resolución:
*Sean P(x) y Q(x) los polinomios, luego por propiedad :
*Por el 2do dato :
*Como se quiere despejar el MCD, dividamos entre , así:
* Luego:
* Finalmente:
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 15 :
Si P y Q son dos polinomios factorizables definidos por:
Entonces el MCD (P, Q) es:
Resolución:
*Factorizando cada polnomio:
*luego:
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 16:
Si P , Q y R son tres polinomios factorizables por:
Entonces el MCD (P, Q, R) es:
Resolución:
* Factorizando cada polinomio:
* luego : MCD (P,Q,R)=(x+y)2
Rpta: ‘‘D’’
PROBLEMA 17 :
Si P y Q son polinomios factorizables definidos por:
Entonces el término independiente del M.C.D (P, Q), es:
A)–3 B)–6 C)–1 D)1 E)3
resolución:
* Factorizando cada polinomio:
* Luego : MCD(x)=
Rpta: ‘‘A’’
PROBLEMA 18 :
Si P y Q son dos polinomios de variable x , tales que:
Entonces, el número de factores primos distintos del MCD (P, Q) es:
A)1 B)2 C)3 D) 4 E)5
Resolución:
*Por propiedad, se sabe que para dos polinomios
y se cumple que:
*Reemplazando:
*Luego, el número de factores primos del MCD es 2.
Rpta: ‘‘B’’
PROBLEMA 19 :
Si el producto de dos polinomios es: y el cociente de su MCM y MCD es , entonces el MCD de dichos polinomios es:
A)x+1 B)x+2 C)x+3 D)x+4 E)x+5
Resolución:
* Por dato:
* Propiedad: para P y Q:
* Pero: MCM=
* Reemplazando:
Rpta: ‘‘c’’
PROBLEMA 20 :
Si p y Q son dos polinomios factorizables definidos por:
Entonces la suma de los coeficientes del
MCD (P, Q), es:
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
Resolución:
*Factorizando cada polinomio (por aspa doble especial):
* Luego: MCD
Rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 21 :
Sean P y Q dos polinomios factorizables definidos por :
Si el MCD (P, Q) es (x–1)(x+3), entonces el MCM (P,Q) es:
A)(x–1)(x+3)(x+2) B)(x–1)(x+2)(x–2)
C)(x–1)(x+3)(x+2) D)x+1)(x+3)(x+2)
E)(x–1)(x–2)(x+2)(x+3)
Resolución:
* De:
son divisibles entre . Entonces, por Horner :
*Luego: MCM(P,Q)=(x–1)(x+3)(x+2)(x–2)
Rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 22 :
Si P(x) y Q(x son dos polinomios, entonces determine el valor de verdad de cada una de las siguiente proposiciones:
p : Si , entonces (x+1) es un factor
del MCM (P,Q)
q : Si , entonces (x+4) es un factor
del MCD (P, q)
r: Si y ,entonces (x–2) es un
factor del MCM (P,Q).
a)VFV b)VVV c)FVV d)VFF e)FVF
Resolución:
I) Recuerde que MCM(P,Q) es divisible entre y
entre; es decir: y son factores del
MCM(P,Q)
es factor del MCM(P,Q)
es factor del MCM(P,Q)
* Luego: p es VERDADERO
II) El MCD(P,Q) sólo contiene factores primos comunes de y ; x+4 es factor de pero
no se sabe si es factor de ; por lo que x+4 no
necesariamente es factor del MCD(P,Q)
* Luego , q es FALSA
Por el Teorema del factor (x – 2) es un factor de
Por lo señalado en (I): (x – 2) es un factor del
MCM(P,Q)
* Luego, r es verdadera
Rpta: ‘‘a’’
PROBLEMA 23 :
Si P1 y P2 son dos polinomios factorizables definidos por:
Tal que a y b son enteros positivos y, entonces el valor de , es :
A)18 B)24 C)8 D)15 E)21
Resolución:
* De:
* Como:
MCD es de grado 1.
P1 y P2 tienen un factor común de grado
1P1–P2 contiene a este
* Como , entonces:
* Luego si:
* Contienen al factor (x – 1):
* Contienen al fator (x – 3) ; pero esto no es posible,
pues:
* Entonces :
Rpta: ‘‘c’’
