MCD Y MCM DE POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO EN ÁLGEBRA
EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS (M.C.D)
El máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente numérico (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados. P
ara hallar el M.C.D. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:
I) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos(se factoriza).
II) El M.C.D. es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.
OBSERVACIÓN
Dos o más polinomios son primos entre sí, si su M.C.D. es la unidad .
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS (M.C.M)
En dos o más polinomios, es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada uno de los polinomios dados.
Para hallar el M.C.M. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:
I) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos(se factoriza).
II) El M.C.M. es el producto obtenido al tomar todos los factores, comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.
MÉTODO DE LAS DIVISIONES SUCESIVAS PARA DETERMINAR
EL M.C.D. Dado dos polinomios P(x) y Q(x) de tal manera que el grado del primer polinomio P(x) sea mayor o igual que el grado del segundo polinomio Q(x) ordenado en x.
Se efectuará la división de P(x) entre Q(x) . si es exacta entonces es el M.C.D.
Si la división es inexacta ; se divide el divisor entre el primer residuo , esto entre el segundo residuo y así sucesivamente , hasta obtener un resto nulo , ocurrido esto el MCD será el último divisor utilizado.
PREGUNTA 1 :
Hallar el M.C.D. de:
P(x, y) = x³ – xy² + x²y – y³
F(x, y) = x³ – xy² – x²y + y³
A) x + y
B) x – y
C) x² – y²
D) (x + y) (x – 3y)
E) x³ – y³
PREGUNTA 2 :
Hallar el M.C.M. de:
A(x, y) = x² – y²
B(x, y) = x² – 2xy + y²
C(x, y) = x² + 2xy + y²
A) (x + y)³
B) (x – y)
C) (x – y)³
D) (x² – y²)³
E) (x² – y²)²
PREGUNTA 3 :
El M.C.D. de:
A(x) = x³ + 5x² + 8x + 4
B(x) = x³+ 3x² – 4
A) (x + 2)
B) (x + 2)²
C) (x – 1)
D) (x + 2)³
E) (x – 2)²
PREGUNTA 4 :
Si: (x – 1) es divisor de:
(x³ – 6x² +11x – 6) y de (x³ – 7x + 6)
¿Cuál es el M.C.D?
A)(x² – 3x + 2)
B) (x – 2)
C) (x – 1) (x + 2)
D) (x + 2)
E) x² –4
El Máximo Común Divisor (MCD) de polinomios es el polinomio de mayor grado que divide a dos o más polinomios sin dejar residuo. Se usa mucho en matemáticas para simplificar expresiones algebraicas, resolver ecuaciones, y en áreas como la teoría de control, codificación, y más.
¿CÓMO SE USA EL MCD DE POLINOMIOS?
Para calcular el MCD de dos polinomios, se puede usar el algoritmo de Euclides, similar al que se usa con números.
APLICACIONES DEL MCD DE POLINOMIOS
• SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
• RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Cuando varias ecuaciones tienen un polinomio común, factorizarlas y hallar su MCD ayuda a simplificar el sistema o encontrar soluciones comunes.
• DISEÑO DE CONTROLADORES (EN INGENIERÍA)
En control automático, al diseñar sistemas usando funciones de transferencia (cocientes de polinomios), se usa el MCD para simplificar funciones de transferencia o encontrar polinomios controladores.
• CÓDIGOS CORRECTORES DE ERRORES (EN INFORMÁTICA)
Se utiliza en la construcción de códigos cíclicos, como los códigos BCH, donde el MCD ayuda a detectar y corregir errores.
• TEORÍA DE ANILLOS Y ÁLGEBRA COMPUTACIONAL
En álgebra abstracta, el MCD de polinomios es esencial para trabajar en anillos de polinomios, especialmente al definir elementos primos o irreducibles.
¿QUÉ ES EL MCM DE POLINOMIOS?
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo común de todos ellos. Es decir, el menor polinomio (en grado) que puede ser dividido exactamente por cada uno de los polinomios dados.
APLICACIONES DEL MCM DE POLINOMIOS
• SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Cuando sumas fracciones con denominadores distintos, necesitas un denominador común.
El MCM de los denominadores te da ese mínimo común denominador
• RESOLUCIÓN DE ECUACIONES FRACCIONARIAS
En ecuaciones con fracciones algebraicas, multiplicar ambos lados por el MCM de los denominadores elimina las fracciones y simplifica la resolución.
• PROGRAMACIÓN Y ÁLGEBRA COMPUTACIONAL
En software de álgebra simbólica como Maple, Mathematica o MATLAB, el MCM se usa para simplificar expresiones, resolver sistemas o reducir fracciones simbólicamente.
• INGENIERÍA Y TEORÍA DE CONTROL
Al combinar varias funciones de transferencia (fracciones de polinomios), se usa el MCM para encontrar un denominador común y así analizar o diseñar sistemas dinámicos.
