Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF


FRACCIÓN ALGEBRAICA
Una fracción algebraica racional es toda aquella división indicada de dos polinomios denominados Numerador y Denominador donde el grado del denominador es mayor o igual a uno.

CLICK AQUI opción 2 PDF *****
CLICK AQUI PARA VER VIDEOS
Donde:
*  N(x) : Numerador
*  D(x) : Denominador
Ejemplos:




CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
1) SEGÚN EL GRADO DE SUS TÉRMINOS
A) fRACCIÓN ALGEBRAICA PROPIA:
Es cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador :


Ejemplos:




B) fRACCIÓN ALGEBRAICA IMPROPIA:
Es cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.


Ejemplos:





2) DE ACUERDO A SU DENOMINADOR :
A) FRACCIONES HOMOGÉNEAS:
Son aquellas cuyos denominadores son polinomios idénticos.
Ejemplos:



b) FRACCIONES HETEROGÉNEAS:
Son aquéllas cuyos denominadores no son polinomios idénticos.
Ejemplos:


 RELACIÓN ENTRE  FRACCIONES
FRACCIONES EQUIVALENTES :
Dos o más fracciones algebraicas son equivalentes si tienen el mismo valor numérico para valores arbitrarios atribuidos a sus “Letras”.
Ejemplo:





FRACCIONES ALGEBRAICAS IRREDUCTIBLES
Una fracción algebraica es irreductible si sus términos son polinomios primos entre sí (P.E.S.I.)
Ejemplos:


SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN
Simplificar una fracción es transformarla en otra equivalente cuyo numerador y denominador no tengan más factores comunes que la unidad , . La fracción que resulta es irreductible. Esta reducción se lleva a cabo descomponiendo en factores el numerador y el denominador, simplificando, seguidamente, los factores comunes siempre que sean distintos de cero.
Ejemplo:



*  Siempre que
REGLA  DE  SIGNOS  EN  UNA FRACCIÓN  ALGEBRAICA
Tres signos están asociados a una fracción:
el correspondiente al numerador , el del denominador y el de la fracción. Se pueden alterar dos cualesquiera de ellos, simultáneamente, sin que varíe el valor de la fracción. Si a una fracción no se le antepone signo alguno, se sobre entiende que este es positivo (más)
Ejemplo:


Muchas veces la simplificación consiste en un cambio de signo .
Ejemplo 1:




Ejemplo 2:


Resolución:
* Llevándolo a una suma de fracciones homogéneas:





* Efectuando directamente los numeradores:



OPERACIONES  CON FRACCIONES  ALGEBRAICAS
Para reducir fracciones, debemos efectuar operaciones entre ellas. Para lo cual estableceremos los siguientes algoritmos:

I) SUMA  ALGEBRAICA  DE FRACCIONES:
Que tienen el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es el denominador común.
Ejemplos:




II) PARA SUMAR Y RESTAR FRACCIONES:
De distinto denominador, se transforman éstas en otras equivalentes que tengan un denominador común. El denominador común mínimo (D.C.M.) de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de sus denominadores.
ejemplo 1 :




Ejemplo 2 :
Reducir :
Resolución:



* Efectuando operaciones básicas:



observación:
Hemos aplicado el método del aspa, así:




Ejemplo :
Reducir :
Resolución:



* Aplicando productos notables, se tiene:



III) MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA DE FRACCIONES :
La operación se efectúa multiplicando numeradores y denominadores entre sí.




Ejemplo 1:






Ejemplo 2:
Reducir:
Resolución:



* Factorizando en el numerador, resulta:



Ejemplo 3:
Efectuar:


Resolución:





IV) división  de  fracciones  algebraicas :
La operación se efectúa invirtiendo la fracción que hace de divisor y luego se procede como en el caso de la multiplicación:




Ejemplo 1:
Reducir:


Resolución:
* Luego de invertir el divisor, resulta:



* Factorizando:



Ejemplo 2:
Reducir:



Resolución:





V) una   fracción   compuesta :
Es aquella que tiene una o más fracciones en el numerador o en el denominador. Para simplificarla:
I) Se reducen el numerador y denominador a fracciones simples.
II) Se dividen las dos fracciones que resultan.
Ejemplo:




propiedad:


Si la fracción:

es independiente de “x” e “y” ó tiene un valor constante para todos los valores reales de “x” e “y”. Entonces :





Ejemplo 1:
Si la fracción algebraica:




Asume el valor numérico de 3, para cualquier universo de valores reales para “x” e “y”. De acuerdo a esto, calcular el valor de (m + n + p)
Resolución:
* De acuerdo a la premisa:




* Luego, por la propiedad, se tiene:




* Resolviendo las ecuaciones: m=13,  n=1,  p=1
* Por lo tanto: m + n + p = 15
fracciones  parciales
Es una operación de descomposición inversa a la adición de fracciones , permite expresar una fracción propia como la adición de fracciones simples.

primer caso:
Si el denominador de la fracción a descomponerse presenta factores de primer grado “No Repetidos”, entonces tendrá cada factor de la forma:
Ejemplo 1:
Expresar:  como adición de fracciones.
Resolución:





* Entonces: 5x + 1 = (A + B)x + (2A – B)
* Luego: A + B = 5; 2A – B = 1
* Resolviendo el sistema, resulta:  A = 2 y B = 3
* Luego se obtendrá:
segundo caso:
Si el denominador de la fracción a descomponer presenta factores repetidos de primer grado; entonces se escriben tantas fracciones como factores repetidos existen.
Si el denominador de la fracción “F” es de la forma:

* Entonces:



Ejemplo 1:
Expresar:  como adición de fracciones.
Resolución:










* Entonces:


* Donde:


* Resolviendo:

* Luego, se tiene que:




OBSERVACIÓN:
Si el denominador contiene factores cuadráticos no repetidos de la forma : x2 + bx + c; deberá asumirse  «n» fracciones parciales de la forma:

Donde A1 , A2 , A3 , ....... , An ; B1 , B2 , B3 ,......., Bn son expresiones numéricas o coeficientes que se calculan utilizando los criterios de polinomios idénticos (dando valores a sus variables)




PROBLEMA 1:
Simplificar:
A) 3         B) 0  C) –2              D) 5
Resolución:
* La fracción propuesta es reductible, ya que acepta el factor común ( x + 2), tanto en el numerador como en el denominador. Veamos:





RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 2 :
Reducir la suma mostrada:




Resolución:
* Factorizando los denominadores, resulta:



* Se obtiene como MCM = x(2x + 1)(x – 1)



* Efectuando operaciones y reduciendo:




RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 3 :
Si la fracción :
es independiente de “x” e “y”. Calcular “m – n”.
A) 0     B) 16         C)–17          D) 4          E) 8
Resolución:
* Utilizando el teorema se tiene:



* De I y II:
* De I y III:

* Piden calcular:
RPTA: ‘‘c’’

PROBLEMA 4 :
Simplificar la fracción :



Resolución:
* Factorizando los dos términos de la fracción se tiene:
Numerador:
Denominador:


* La fracción equivale a esta otra:



* Cancelando los factores comunes, queda:



RPTA: ‘‘d’’
PROBLEMA 5 :
Simplificar la fracción:






Resolución:
* Efectuando las operaciones indicadas en el numerador y denominador, se tiene:




* Reagrupando para factorizar:








RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 6 :
Efectuar:


Resolución:
*







* Simplificando queda:


       
 



* Finalmente queda :  
RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 7 :
Obtener la suma de las fracciones:




Resolución:
* Factorizando y buscando el MCM de los denominadores:









* Finalmente:
RPTA: ‘‘b’’
PROBLEMA 8 :
Simplificar:
Resolución:
Factorizando el denominador:











PROBLEMA 9 :
Simplificar:

Resolución:

PROBLEMA 10 :
Simplificar:

Resolución:

PROBLEMA 11 :

Descomponer en fracciones parciales:
Resolución:














Luego :

PROBLEMA 12 :
Simplificar:

Resolución:
Haciendo dos cambios de variable:

Con lo cual la fracción queda así:

Pero: , reemplazando:

PROBLEMA 13 :
Hallar el verdadero valor de:



ResoluciÓn:








PROBLEMA 14 :
Al término de la simplificación de la fracción:



Dar la diferencia del numerador menos el denominador.
A) 12           B) 13           C) 14           D) 15           E) 16
Resolución:
* Descomponiendo : , y multiplicando convenientemente por la regla de Stevin:







* Sustituyendo :
* Resulta :
* Efectuando :



* Finalmente:
* Nos piden:
RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 15 :
Simplificar:


Resolución:
* Transformando el numerador y denominador, se tiene :
* Ordenando :
* Por productos notables, resulta:



* Luego, el equivalente irreductible será:


RPTA: ‘‘b’’
PROBLEMA 16 :
Efectuar:
A) 1      B) 2            C) –2          D) 0          E) 10
Resolución:
* La expresión dada se puede escribir en la forma :



* El MCM es pues: , de modo que se puede escribir :



* Efectuando las operaciones indicadas en el numerador :



*Luego la fracción es nula, es decir “0”.
RPTA: ‘‘d’’
PROBLEMA 17 :
Realizar la siguiente operación:




A) 1     B) a             C) b           D) –b   E) –a
Resolución:
* Transformando la fracción compleja, la operación se reduce a:


* De la cual resulta :
* Simplificando queda : –a
RPTA: ‘‘e’’
PROBLEMA 18 :
Hallar el resultado de:




Resolución:
* La operación propuesta equivale a esta otra:



* Dando un común denominador, se tiene:


* Efectuando y reduciendo:
* Factorizando el numerador:
* Simplificada se convierte en:  
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 19 :
Muestre el producto resultante de:






Resolución:
* Efectuando operaciones en cada factor:


* Por lo tanto :
RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 20 :
Calcular la suma de la serie Stirling:
´



Resolución:
* Expresando la serie finita del siguiente modo:


* De los numeradores, se deduce que:


* Desdoblando cada fracción, se tiene:



* Luego:
RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 21 :
Señale la fracción irreductible:






Resolución:
* Efectuando operaciones y factorizando:








* Finalmente:
RPTA: ‘‘E’’
PROBLEMA 22 :
Reducir la expresión:



A) 1    B) 2        C) 4            D) 0          E) 3
Resolución:
* Cambiando de signo a las fracciones:



* Como el , se tiene:



* Por diferencia de cubos, resulta:



RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 23 :
Dados:


Determine la suma de
A) 0   B) 1     C) 2         D) 3     E) 4
 Resolución:
* Haciendo:
                 

* Se obtienen :
* Nos  piden :






RPTA: ‘‘A’’

PROBLEMA 24 :
Si la fracción racional:




es independiente de sus variables. Calcular el valor de


Resolución:
* Aplicando la propiedad  se tiene:



* De (I) y (II) :
* De (II) y (III) :
* De  :
* Nos piden :
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 25 :
De la descomposición parcial mostrada:



Calcular el valor de
A) 1    B) 2      C) 3      D) 4       E) 5
Resolución:
* Efectuando operaciones e identificando:


* Tomando valor numérico en ambos miembros:




* Por lo tanto:  
RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 26 :


Reducir:    ´
                 




Resolución:
* Efectuando:










RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 27  :

La expresión :
                           
equivale a:


Resolución:
* Reduciendo la fracción de abajo hacia arriba:




RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 28 :
Efectuando el producto :



resulta:



Resolución:
* Operando en cada uno de los paréntesis :







RPTA: ‘‘c’’
PROBLEMA 29 :
Si se simplifica la expresión : ; se obtiene:


Resolución:
* Haciendo transformaciones dentro del paréntesis:



RPTA: ‘‘c’’

PROBLEMA 30 :
Simplificar:



Resolución:
* Transformando denominadores:


* Dando común denominador:




                   

RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 31 :
Si: , entonces:
A) A + B = 0 y B – A = 1     B) A + B = 0  y  A – B = 1
C) A + B = 1 y B – A = 0
Resolución:
* Efectuando en el segundo miembro y transformando en el primero, se tendrá:




* Entonces:

* Dando valores adecuados:





RPTA: ‘‘A’’

PROBLEMA  32 :
El valor de la expresión:




A) Es 0          B) Es 1 C) Depende de «x» e «y»
Resolución:
* Haciendo transfomaciones tanto en el numerador como en el denominador:









       
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 33 :
La fracción :
se obtuvo sumando las fracciones:



Los valores de A y B son:
A) 5x; –11        B) –11; –5x        C) –1; 3        D) 3; –1
Resolución:
* Del enunciado se deduce que:





* De aquí se tendrá:


* Dando los valores convenientes:

* para:

* para:                                  
RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 34 :
Al simplifcar la fracción :
La suma del numerador y denominador de la fracción resultante es:

Resolución:
* Factorizando numerador y denominador:



se pide:
RPTA: ‘‘B’’
PROBLEMA 35 :
Si , entonces calcular el valor de E:



A) 0 B) 1 C) –1 D) x E) x–y
Resolución:
* Transformando y reduciendo la segunda fracción tendremos:
                     


* Dando común denominador:






 RPTA: ‘‘A’’
PROBLEMA 36 :
Efectuar la siguiente operación:



Siendo a, b y c números distintos entre sí y distintos de cero.


Resolución:
* Haciendo denominadores con términos iguales:



* Operando y simplificando:














RPTA: ‘‘D’’
PROBLEMA 37 :
Si x, y, z son números que cumplen la condición:


             
Entonces el valor de la expresión
 es:


Resolución:
* Si:
* Pero:
* Entonces:






* Reemplazando xyz por 7:
                 


RPTA: ‘‘A’’

PROBLEMA 38  :
, entonces al simplificar la siguiente expresión:

se obtiene:


Resolución:
* Transformando a:





* Luego de factorizar el numerador:

   

RPTA: ‘‘A’’