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Método de Sustitución-Sistema de Ecuaciones de 2×2 Ejercicios Resueltos Paso a Paso PDF

METODO DE SUSTITUCION PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS-CONCEPTO Y EJEMPLOS

METODO DE SUSTITUCION PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES-EJEMPLOS

METODO DE SUSTITUCION EN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS EJERCICIO RESUELTO


METODO DE SUSTITUCION Y REDUCCION EN SISTEMA DE ECUACIONES CON 2 VARIABLES-PROBLEMA RESUELTO     
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Método de sustitución para resolver un Sistema de Ecuaciones de 2 por 2 (dos variables o incognitas ) :

Paso 1: En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar.

Paso 2:  Se sustituye su valor en la otra ecuación.

Paso 3:  Se resuelve la ecuación resultante.

Paso 4:  El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la
1ª incógnita.

Método de sustitución:
1) Resuelve:
4x 3y 1
3x 2y 5

Despejamos la x de la 1ª ecuación
(podríamos haber elegido también
la 2ª ecuación) y lo obtenido lo
llevamos a la ecuación 2ª:

Método de sustitución :
De una de las ecuaciones del sistema se despeja una de las variables o incógnitas, por ejemplo "y"; y se sustituye la
expresión que se obtiene en la otra ecuación, con lo que se obtiene otra ecuación sólo en término de "x". Resuelta esta
ecuación, se sustituye el valor de "x" hallado en la ecuación explicitada, con lo que se obtiene el valor de "y".
Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la
otra. De esta forma se obtiene una ecuación con una incógnita que una vez resuelta nos
proporciona los valores de dicha incógnita. Sustituyendo estos valores en la expresión obtenida al
despejar la otra incógnita, permite encontrar la solución buscada.
Ejemplo 4: Resolver el sistema

Para buscar su solución por el método de sustitución se elige una incógnita para despejarla, en este caso lo más sencillo es
despejar x de la segunda ecuación quedando x = 1 − 5y .
Sustituyendo esta expresión en la primera ecuación se obtiene 2(1 − 5y) − 6y + 3 = 0 , es decir, −16y + 5 = 0 .
Despejando y se obtiene =

 Método de Sustitución
El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos
ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las ecuaciones,
vamos a sustituir este despeje en la otra ecuación y así tenemos un problema de una ecuación
lineal con una incógnita. Después resolvemos esta ecuación lineal y encontramos el valor de una
de las variables.
Para encontrar el otro valor podemos sustituir el valor de la variable conocida en el despeje que
hicimos antes y terminamos.
El siguiente ejemplo te muestra el procedimiento.
Resuelve:
x + y = 10
x 􀀀 y = 2
Este ejemplo es el primero que estudiamos con el método de eliminación, así que ya conocemos
la solución de este sistema: x = 6, y = 4.
Primero vamos a despejar una variable de alguna de las ecuaciones.
Vamos a despejar y de la primera ecuación.
Para esto, sumamos en ambos lados de la primera ecuación 􀀀x, y así obtenemos:
􀀀 x + x + y = 10 􀀀 x
y = 10 􀀀 x
Ahora utilizamos este despeje para sustituirlo en la otra ecuación.
La sustitución es válida en este procedimiento porque si y = 10􀀀 x, entonces, los valores de
x y de y satisfacen a la primera ecuación.
Pero también deben satisfacer a la otra ecuación, por eso sustituimos ese valor de y, pues en
ambas ecuaciones debe ser el mismo.
Aquí está la sustitución:
x 􀀀 y = 2
x 􀀀 (10 􀀀 x) = 2
Observa que ahora tenemos solamente una ecuación con una sola incógnita.
Obtuvimos esto porque la condición que impone la primera ecuación ya está incluida en
esta nueva ecuación lineal.
Y esto se incluyó cuando sustituimos el despeje que obtuvimos de ella.
Ahora debemos realizar las operaciones indicadas y resolver para encontrar el valor de la
única variable que se encuentra en la ecuación:
x 􀀀 10 + x = 2
2 x 􀀀 10 + 10 = 2 + 10
2 x = 12
x = 6
Vemos que el valor de x es el que ya conocíamos.
Ahora vamos a calcular el valor de y. Para esto sustituimos el valor de x que acabamos de
encontrar en el despeje que hicimos antes:
y = 10􀀀x
= 10 􀀀 6
= 4
Y de nuevo, el valor que encontramos coincide con el resultado correcto.
Para decidir qué variable despejar y de qué ecuación, es una buena idea identificar la variable que
tenga coeficiente igual a uno en una de las ecuaciones. Esto te facilitará los cálculos posteriores.
Resuelve:
2 x + y = 18
3 x 􀀀 4 y = 5
Primero observamos que la variable y en la primera ecuación tiene coeficiente igual a uno.
Por eso, vamos a despejar esa variable de esa ecuación:
2 x + y = 18
y = 18 􀀀 2 x
Ahora sustituimos este despeje en la otra ecuación:
3 x 􀀀 4 y = 5
3 x 􀀀 4 (18 􀀀 2 x) = 5
Ahora vamos a realizar las operaciones indicadas para a encontrar el valor de la única
variable en esta ecuación: x
3 x 􀀀 4 (18 􀀀 2 x) = 5
3 x 􀀀 72 + 8 x = 5
11 x 􀀀 72 + 72 = 5 + 72
11 x = 77
x = 7
Ahora que conocemos el valor de una variable, podemos utilizar este valor para encontrar
el valor de la otra variable.
Para esto, sustituimos en el despeje que hicimos al principio:
y = 18 􀀀 2 x
= 18 􀀀 2 (7)
= 18 􀀀 14
= 4
Entonces, la solución de este S.E.L. es: x = 7, y = 4.
Ahora vamos a comprobar que la solución que encontramos es correcta:
2 x + y = 18 ) 2 (7) + 4 = 18
3 x 􀀀 4 y = 5 ) 3 (7) 􀀀 4 (4) = 5
Una vez que hayamos encontrado el valor de una de las variables, también podemos encontrar el
valor de la otra variable sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones que forman en S.E.L.
Esto se justifica porque la solución debe satisfacer a cada una de las ecuaciones que forman el
S.E.L.
Resuelve:
3 x + 2 y = 7
2 x + 3 y = 8
Podemos ver que ninguno de los coeficientes de las variables es igual a 1.
Esto nos indica que debemos despejar alguna variable y tendremos que trabajar necesariamente
con fracciones.
Elegimos despejar x de la segunda ecuación:
2 x + 3 y = 8
2 x = 8 􀀀 3 y

Ahora debemos sustituir este despeje en la primera ecuación:
3 x + 2 y = 7
3

4 􀀀
3 y
2

+ 2 y = 7
Ahora podemos resolver la ecuación y tratar de encontrar el valor de y:

Ahora que conocemos el valor de y, podemos sustituir este valor en cualquiera de las dos
ecuaciones y encontrar el valor de x:
3 x + 2 y = 7
3 x + 2 (2) = 7
3 x + 4 = 7
3 x = 7 􀀀 4 = 3
x = 1
Y la solución del S.E.L. es: x = 1, y = 2.
Ahora verificamos que la solución sea correcta:
3 x + 2 y = 7 ) 3 (1) + 2 (2) = 7
2 x + 3 y = 8 ) 2 (1) + 3 (2) = 8
Como viste en el ejemplo anterior, algunas veces, cuando usemos este método, necesariamente
tendremos que trabajar con fracciones.
Otras veces, podremos simplificar el trabajo cuando tengamos una ecuación con una variable
despejada.
Resuelve:
x + y = 8
y = 2 x 􀀀 1
Como en la segunda ecuación la variable y ya está despejada, vamos a sustituirla de inmediato
en la primera ecuación:
x + y = 8
x + (2 x 􀀀 1) = 8
3 x 􀀀 1 = 8
3 x = 9
x = 3
Ahora, a partir del valor de x, podemos encontrar el valor de y utilizando el despeje:
y = 2 x 􀀀 1
= 2 (3) 􀀀 1
= 6 􀀀 1
y = 5
Entonces, la solución del S.E.L. es: x = 3, y = 5.
Ahora comprobamos que la solución esté correcta:
x + y = 8 ) 3 + 5 = 8
y = 2 x 􀀀 1 ) 5 = 2 (3) 􀀀 1
En algunos casos aplicados, una ecuación tendrá despejada una variable, sugiriendo el empleo de
este método para resolver el S.E.L.
Alberto es 2 años mayor que Blanca. Si sus edades suman 32 años, ¿qué edad tiene cada uno? Primero tenemos que convenir en los símbolos que denotarán las edades de cada uno.
Por comodidad, podemos elegir como A la edad que tiene Alberto y B la edad que tiene
Blanca.
Ahora vamos a traducir a una ecuación la primera información que se nos da: «Alberto es 2
años mayor que Blanca.»
Si Blanca tiene, por ejemplo, 5 años, entonces, Alberto tendrá 5 + 2 = 7 años.
Es decir, para encontrar la edad de Alberto, sumamos dos a la edad de Blanca.
La ecuación que modela esa restricción impuesta en el problema es:
A = B + 2
Ahora vamos con la segunda restricción: «Sus edades suman 32 años...»
Esta restricción es muy sencilla de traducir: dado que A representa la edad de Alberto y B
representa la edad de Blanca, la suma: A + B debe ser igual a 32:
A + B = 32
Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, con la primera ecuación ya despejada.
Así que sustituimos esta primera ecuación en la segunda y resolvemos:
A + B = 32
(B + 2) + B = 32
2 B + 2 = 32
2 B = 30
B = 15
Hasta aquí sabemos que Blanca tiene 15 años.
Entonces, como Alberto tiene 2 años más, debe tener 17.
Y se cumple que la suma de sus edades es 32 años: 17 + 15 = 32.
Observa cómo cuando resolvimos el S.E.L. podemos fácilmente traducir la penúltima ecuación
(2 B = 30) como: «Pensé un número, lo multipliqué por 2 y obtuve 30. ¿Qué número pensé?» Obviamente,
pensó el 15.
La ecuación anterior (2 B + 2 = 32) se traduce así: «Cuando al número 2 B le sumo 2 obtengo 32.
¿Cuánto vale el número 2 B?», pues vale 32 􀀀 2 = 30.
Es una buena idea traducir a palabras cada ecuación que sepas cómo traducir. Eso te ayudará a
entenderlas mejor cada vez.
La familia Álvarez viaja de Acaxochitlan hacia Bacaxochitlan a una velocidad de 91 km/hr.
La familia Blanco viaja de Bacaxochitlan hacia Acaxochitlan a una velocidad constante de 65
km/hr. Si ambos inician su viaje exactamente a la misma hora, ¿cuántas horas tardarán en
encontrarse si la distancia entre ambas poblaciones es de 455 kilómetros y utilizan la misma
ruta para viajar?
Para resolver este problema suponemos que las dos familias utilizan la misma ruta para ir
de una población a la otra.
Como ambos inician el recorrido al mismo tiempo, ambos han utilizado la misma cantidad
de tiempo para la hora en que se encuentran.
Si denotamos como A al tiempo que lleva de recorrido la familia Álvarez, y B la cantidad de
tiempo que ha recorrido la familia Blanco, tenemos que:
A = B
La familia Álvarez viaja a una velocidad constante de 91 km/hr.
Esto significa que en A horas ha recorrido: (91 A) kilómetros.
Por su parte la familia B viaja a 65 km/hr.
Por lo que ha recorrido (65 B) kilómetros en B horas.
Cuando ellos se encuentren en el camino, la suma de las distancias que han recorrido será
igual a la distancia entre Acaxochitlan y Bacaxohitlan.
91 A + 65 B = 455
Pero ya sabíamos que A = B, por lo que:
91 A + 65 B = 455
91 A + 65 A = 455
156 A = 455
A =
455
156
=
35
12
= 2 +
11
12
= 2 +
55
60
Esto es, 2 horas con 55 minutos.
Vamos a verificar el resultado, para esto utilizamos la siguiente ecuación:
91

35
12

+ 65

35
12

= 455
3 185
12
+
2 275
12
=
6 090
12
= 455