Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

Método de Eliminación-Sistema de Ecuaciones de 2×2 Ejercicios Resueltos Paso a Paso PDF

METODO DE REDUCCION PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS-CONCEPTO Y EJEMPLO

METODO DE REDUCCION PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES-EJEMPLO-METODO DE GAUSS

METODO DE REDUCCION - CAMBIO DE VARIABLE - SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS EJERCICIO

METODO DE SUSTITUCION Y REDUCCION EN SISTEMA DE ECUACIONES CON 2 VARIABLES-PROBLEMA RESUELTO     
CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2   ****
**** Método de reducción
a) Mediante multiplicaciones apropiadas, se obtiene un sistema equivalente con los coeficientes de una misma incógnita opuestos.
b) Se suman las dos ecuaciones.
c) Se resuelve la ecuación resultante.
d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita. a) Se multiplica la 1ª ecuación por 3 y la 2ª se cambia de signo.

Ejemplo
Resuelve por reducción el sistema:
La mejor estrategia que se puede utilizar en el apartado a) cuando los coeficientes
no sean iguales, opuestos o uno múltiplo del otro consiste en:
a) Si no son primos entre sí, se halla el m.c.m. de ambos y se multiplica cada
ecuación por un número, de forma que este m.c.m. sea el coeficiente.
Ejemplo
m.c.m. (4, 6) = 12 ⇒ ⎧

9x + 6y = 36
5x – 6y = – 8
c) Se resuelve la ecuación resultante.
d) Se sustituye el valor obtenido en la ecuación
inicial más sencilla.
La solución es x = 2, y = 3
x = 2
x = 2 en 3x + 2y = 12
3 · 2 + 2y = 12
6 + 2y = 12
2y = 6
y = 3
X
Y
3x + 2y = 12
5x – 6y = – 8
P (2, 3)
Se resuelven fácilmente por
reducción los sistemas en los
que una incógnita tenga los
coeficientes:
a) Iguales: restando ambas
ecuaciones.
b) Opuestos: sumando ambas
ecuaciones.
c) Uno múltiplo de otro:
multiplicando la ecuación
que tenga el menor coeficiente
por un número para
que ambos coeficientes
sean opuestos.
Ejemplo
7x = 21
x = 3
2 · 3 + 3y = 12
3y = 6
y = 2
Solución: x = 3, y = 2
⎧ ⎨ ⎩
2x + 3y = 12
5x – 3y = 9
b) Si son primos entre sí, se multiplica cada ecuación por el coeficiente de la
incógnita de la otra ecuación.
Ejemplo
¿Qué método utilizar?
Todos los sistemas se pueden resolver por los tres métodos, pero hay sistemas
en los que un método es mucho más sencillo de aplicar que otro. Para elegir
un método se puede tener en cuenta:
Ejemplo
¿Por qué método se debería resolver cada uno de los sistemas siguientes?
a) b) c)
El sistema del apartado a) se debe hacer por igualación. La incógnita y
está despejada en las dos ecuaciones.
El sistema del apartado b) se debe hacer por reducción. No parece fácil
despejar ninguna de las incógnitas.
El sistema del apartado c) se debe hacer por sustitución. La incógnita x ya
está despejada en la 1ª ecuación y de la otra ecuación no parece fácil de
despejar.

Resuelve el siguiente sistema por reducción:
Resuelve el siguiente sistema por reducción:
Resuelve el siguiente sistema por reducción:
Resuelve el siguiente sistema por reducción:
Resuelve el siguiente sistema por el método más
sencillo:
Resuelve por el método más sencillo el siguiente
sistema:
Resuelve el siguiente sistema por el método más
sencillo:

x = 2y – 1
x = 3y – 6
19

2x + 3y = 7
4x – 3y = – 4
18

y = 4x – 1
2x + 3y = 25
17

3x – 2y = 13
4x + 5y = 2
16

2x + 3y = 5
6x + 5y = 3
15

3x – 2y = 8
3x + 7y = – 1
14

3x + 2y = 7
5x – 2y = 1
13
A P L I C A L A T E O R Í A
a) Se resuelven por sustitución los sistemas en los que una de las incógnitas
ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en una de las ecuaciones.
b) Se resuelven por igualación los sistemas en los que una de las incógnitas
ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en las dos ecuaciones.
c) Se resuelven por reducción los sistemas en los que se tenga una incógnita
con coeficientes iguales u opuestos, o no parezca fácil aplicar sustitución
o igualación.
Método de reducción:
5) Resuelve:
4x 3y 1
3x 2y 5
 + = 
 − =−
Manipulando convenientemente
las ecuaciones conseguiremos que
una de las dos incógnitas se cancele
y obtengamos así los valores
buscados.
4x 3y 1 8x 6y 2
3x 2y 5 9x 6y 15

Solución:
Soluciones:
( ) 1 4
x, y ,
13 13
  =−   
Ejercicio avanzado propuesto:
7) Resuelve:
4x 2y z 3
x y 2z 7
2x 5y z 5
 − − =−  − + + = 
 − + =− 
Las soluciones tienen que ser
(x, y, z) = (1, 2, 3)
multiplico todo por 2
multiplico todo por 3 multiplico por 2
multiplico por –5
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Se llaman ecuaciones lineales simultáneas a aquellas de dos o más variables que se
satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
En un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se pueden obtener los
siguientes resultados:
a) Una solución, la cual representa un punto y se dice que las rectas son oblicuas y
compatibles
b) Soluciones infinitas, si las ecuaciones son equivalentes, esto es, representan la
misma recta. A este tipo de ecuaciones se les conoce también como rectas
coincidentes
c) No hay solución si las rectas son paralelas, esto es, las rectas nunca se cortan y se
dice que son incompatibles.
Métodos de resolución:
Para resolver un sistema de ecuaciones nos auxiliaremos de los siguientes métodos:
 Reducción
 Sustitución
 Igualación
 Determinantes
 Gráfico
Reducción:
Este método consiste en eliminar una de las incógnitas al sumar las dos ecuaciones y
obtener una ecuación de primer grado, la cual se resuelve por los métodos antes
mencionados.
Ejemplo 1: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
3 4 6
2 5 19
  
 
x y
x y
Solución: Primero se determina la variable a eliminar, en este caso “x”, por lo que
buscamos que los coeficientes de “x” en ambas ecuaciones sean los mismos pero de signo
contrario.
Multiplicando la primera ecuación por -3 y la segunda por 2:
2(3 4 6)
3(2 5 19)
  
  
x y
x y
Se obtienen dos ecuaciones equivalentes a las originales; estas ecuaciones se suman y el
término en “x” se cancela, obteniendo así una ecuación de primer grado la cual dará el
valor en “y”:
6 8 12
6 15 57
  
   
x y
x y
3
23 69

  
y
y
Elaboró: MEA Héctor A. Guerrero Martínez. Este resultado y=3 se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el
valor de “x”, en este caso la sustitución será en la ecuación 2x5y 19 , entonces x  2 ;
por lo tanto la solución del sistema de ecuaciones es x  2 y y  3 .
Ejemplo 2: Hallar las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
3 5 11
5 3 7
  
  
x y
x y
Solución: En este ejemplo se elimina la incógnita “y”, por lo que la primera ecuación
será multiplicada por 5 y la segunda por 3:
  
  
  
3(3 5 11)
5(5 3 7)
x y
x y
9 15 33
25 15 35
  
  
x y
x y
Al sumar estas ecuaciones se elimina los términos en “y”, obteniendo una ecuación de
primer grado, la cual nos dará el resultado de “x”:
2
34 68
 
 
x
El valor de x  2 se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el
valor de “y”, como sigue:

Métodos algebraicos para resolver S.E.L.
Existen varios métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. En este curso estudiaremos
los más comunes.
Antes de iniciar con el estudio de los métodos algebraicos, damos la siguiente definición:
Solución de un S.E.L.
Es el conjunto de valores que se debe sustituir en las variables de un S.E.L. para que cada una de las
ecuaciones se reduzca a una igualdad verdadera.
En el programa de estudio de la Dirección General de Bachillerato se sugieren los siguientes:
3 Eliminación, también conocido como Suma y Resta,
3 Sustitución,
3 Igualación, y finalmente
3 Determinantes.
Estrictamente hablando, ya se introdujo el método más laborioso, que consiste en la graficación
de las dos ecuaciones y encontrar el punto donde se intersectan. Este método se conoce como el
método gráfico.
La desventaja de este método consiste en que la solución no siempre son números enteros, y en
estos casos, lo más que podemos es hacer una aproximación a la solución del S.E.L.
Con los métodos algebraicos siempre obtenemos el valor exacto de la solución del sistema de
ecuaciones lineales, sean enteros o no.
Método de Eliminación
Este método es de los más sencillos. Empezamos observando el S.E.L. Si es posible sumar las
ecuaciones para obtener otra nueva ecuación con una incógnita menos, sumamos.
Resuelve:
x + y = 10
x 􀀀 y = 2
Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos una sola ecuación con una sola incógnita, porque
la literal y tiene el mismo coeficiente, pero con signo cambiado:
x + y = 10
x 􀀀 y = 2
2 x = 12
Esta ecuación lineal con una incógnita es tan fácil de resolver que la traduciremos: «Pensé
un número, lo multipliqué por 2 y obtuve 12, ¿qué número pensé?» Obviamente pensó el número
6. Entonces, x = 6.
Para encontrar el valor de y podemos multiplicar por 􀀀1 cualquiera de las dos ecuaciones
(elegimos multiplicar la segunda ecuación) y obtenemos un S.E.L. equivalente:
x + y = 10
􀀀 x + y = 􀀀2
2 y = 8
En palabras, esta última ecuación nos dice: «Pensé un número, lo multipliqué por 2 y obtuve 8,
¿qué número pensé?» Sí, pensó el número 4. Entonces, y = 4.
Y la solución del S.E.L., es: x = 6, y = 4.
Se te queda como ejercicio verificar que la solución es correcta.
Esta solución no debe causar ninguna sorpresa, dado que ya la conocíamos, pues resolvimos este
mismo sistema por el método gráfico.
Sin embargo, no todos los S.E.L. que encontraremos podrán resolverse simplemente sumando las
ecuaciones. Algunas veces necesitaremos encontrar algún factor que nos ayude con los coeficientes
de una variable para que sean iguales y con signo contrario.
Resuelve:
x + y = 6
x 􀀀 2 y = 0
Primero observamos que los coeficientes de la variable y tienen signos cambiados.
Podemos empezar buscando un número que multiplicado por una ecuación iguale al coeficiente
de la otra ecuación.
Vamos a multiplicar la primera ecuación por 2 para obtener:
2 x + 2 y = 12
Ahora hemos transformado nuestro problema inicial a otro problema equivalente que sí
sabemos como resolver, porque el ejemplo anterior representó uno de estos casos:
Cuando sumamos las ecuaciones una de las variables se «eliminó»:
2 x +􀀀􀀀 2 y = 12
x 􀀀􀀀􀀀 2 y = 0
3 x = 12
Y la última ecuación implica: x = 4.
Para encontrar el valor de y podemos multiplicar la segunda ecuación por 􀀀1, así cambiamos
el signo del coeficiente de x de esta ecuación:
x + y = 6
􀀀 x + 2 y = 0
3 y = 6
Que implica: y = 2.
Por tanto, la solución del S.E.L. es: x = 4, y = 2.
Ahora verificamos que la solución es correcta:
x + y = 6 ) 4 + 2 = 6
x 􀀀 2 y = 0 ) 4 􀀀 2 (2) = 0
En otros casos, tendremos los coeficientes de todas las variables con el mismo signo, como en el
siguiente ejemplo:
Resuelve:
x + y = 6
x + 2 y = 0
En este caso primer multiplicamos por 􀀀1 cualquiera de las dos ecuaciones: así tenemos los
coeficientes de la variable x iguales con signo contrario:
􀀀 x 􀀀 y = 􀀀6
x + 2 y = 0
y = 􀀀6
Para encontrar el valor de x necesitamos «eliminar» la variable y.
Vamos a multiplicar la primera ecuación por 􀀀2, así los coeficientes de esta variable son
iguales y de signo cambiado:
􀀀2 x 􀀀 2 y = 􀀀12
x + 2 y = 0
􀀀x = 􀀀12
Multiplicando por 􀀀1 ambos lados de la última igualdad obtenemos: x = 12.
La solución de este S.E.L. es: x = 12, y = 􀀀6
Ahora comprobamos la solución:
x + y = 6 ) 12 􀀀 6 = 6
x + 2 y = 0 ) 12 􀀀 2 (6) = 0
Y en otros casos se requerirá multiplicar ambas ecuaciones para poder «eliminar» una de las
variables.
Resuelve:
3 x + 2 y = 13
2 x + 3 y = 12
En este caso, la única posibilidad de resolver este problema1 es multiplicar la primera
ecuación por 2 y la segunda ecuación por 3.
Así obtenemos en los coeficientes de la variable x del S.E.L. equivalente 6 en ambas ecuaciones.
Solamente quedará pendiente quién será la que tenga coeficiente negativo.
1Podemos resolverlo también multiplicando por alguna fracción una de las ecuaciones, pero este método involucra
operaciones con fracciones y no es el más sencillo.
Elegimos multiplicar por 􀀀2 la primera ecuación y por 3 la segunda:
􀀀 6 x 􀀀 4 y = 􀀀26
6 x + 9 y = 36
13 y = 26
Dividiendo ambos lados de la última igualdad entre 13, obtenemos el valor de la variable y
13 y
13
=
26
13
) y = 2
Ahora vamos a «eliminar» la variable y para encontrar el valor de x
Para esto, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 􀀀2:
9 x +􀀀􀀀 6 y = 39
􀀀4 x 􀀀􀀀􀀀 6 y = 􀀀24
5 x = 15
De la última igualdad inmediatamente obtenemos: x = 3
La solución es: x = 3, y = 2
Ahora verificamos que la solución sea correcta:
3 x + 2 y = 13 ) 3 (3) + 2 (2) = 13
2 x + 3 y = 12 ) 2 (3) + 3 (2) = 12
Resuelve:
3 x + 2 y = 0
4 x + 3 y = 1
Ahora vamos a tener que multiplicar ambas ecuaciones por coeficientes que igualen los
coeficientes de la variable que deseemos «eliminar».
Para empezar vamos a eliminar la variable y, para así encontrar el valor de x.
Así que vamos a multiplicar la primera ecuación por 􀀀3 y la segunda por 2:
􀀀9 x 􀀀􀀀􀀀 6 y = 0
8 x +􀀀􀀀 6 y = 2
􀀀x = 2
Entonces, x = 􀀀2
Para encontrar el valor de y debemos eliminar la otra variable (x).
Ahora vamos a multiplicar la primera ecuación por 􀀀4 y a la segunda por 3:
􀀀 12 x 􀀀 8 y = 0
12 x + 9 y = 3
y = 3
Y la solución del S.E.L. es: x = 􀀀2, y = 3.
3 x + 2 y = 0 ) 3 (􀀀2) + 2 (3) = 0
4 x + 3 y = 1 ) 4 (􀀀2) + 3 (3) = 1
Recuerda que no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución.
Cuando tengas un S.E.L. sin solución, este método puede causar que te confundas. El siguiente
es uno de esos ejemplos, para que sepas qué hacer en esos casos.
Resuelve:
x + y = 2
4 x + 4 y = 10
Empezamos observando que si multiplicamos por 􀀀4 la primera ecuación podemos «eliminar
» x de ambas ecuaciones:
􀀀 4 x 􀀀􀀀􀀀 4 y = 􀀀8
4 x +􀀀􀀀 4 y = 10
0 = 2 (Falso)
Pero esto no tiene sentido, porque 0 6= 2.
Y es que en realidad no tiene sentido buscar el punto donde se intersectan dos rectas que
son paralelas y que no son la misma recta.
En conclusión, el S.E.L. no tiene solución.
Sin embargo, existe otro caso: el S.E.L. con un número infinito de soluciones.
Resuelve:
x + y = 2
4 x + 4 y = 8
En este caso solamente ha cambiado el número 10 que estaba a la derecha de la segunda
igualdad por un 8.
Si aplicamos el mismo procedimiento que usamos en el ejemplo anterior obtenemos:
􀀀 4 x 􀀀􀀀􀀀 4 y = 􀀀8
4 x +􀀀􀀀 4 y = 8
0 = 0 (Cierto)
Y la última igualdad es verdadera.
Lo que pasa en este caso es que una ecuación es múltiplo de la otra, es decir, ambas ecuaciones
son equivalentes.
En efecto, si multiplicamos la primera ecuación por 4, obtenemos la segunda ecuación.
En el ejemplo anterior, cuando el S.E.L. no tenía soluciones, al multiplicar por 4 la primera
ecuación obtenemos una ecuación que era igual en los coeficientes de las variables, pero en
el lado derecho de la igualdad los valores eran distintos.
Las ecuaciones en ese caso, a pesar de que sus gráficas son rectas paralelas, no son equivalentes,
por eso obtenemos la igualdad de dos cosas distintas.
En el caso de un S.E.L. con un número infinito de soluciones, dado que ambas ecuaciones son
equivalentes, si un punto satisface a una de las ecuaciones, debe satisfacer a la otra también,
porque, por ser equivalentes, deben tener el mismo conjunto de puntos por solución.
En ambos casos hablamos de rectas paralelas.
Nota que un S.E.L. puede:
A. No tener solución, es decir, tener cero soluciones, o
B. Tener una única solución, es decir, tener exactamente una solución, o
C. Tener un número infinito de soluciones, es decir, muchos puntos que satisfacen a ambas ecuaciones,
simplemente porque al graficar las ecuaciones obtenemos la misma recta.
Es importante que entiendas que no es que la solución del S.E.L. sea infinito. Recuerda que la
solución de un S.E.L. consiste en el conjunto de valores que debemos dar a las variables para que
las ecuaciones se reduzcan a igualdades verdaderas.
Infinito no es un conjunto de valores. Es simplemente una expresión que nos indica que algo no
tiene fin.
En este último caso tenemos un número infinito de soluciones. Cada una de esas soluciones debe
especificar dos valores, uno para cada variable.
Si un punto satisface una de las ecuaciones, también va a satisfacer a la otra ecuación, si es que el
S.E.L. tiene un número infinito de soluciones.
En este caso, las soluciones pueden encontrarse usando cualquiera de las ecuaciones. Por ejemplo,
podemos tomar la primera ecuación: x + y = 2, y reescribirla como: y = 2 􀀀 x.
A partir de esta ecuación, si conocemos el valor de x, podemos encontrar el valor que le corresponde
a y para que satisfaga la ecuación. En otras palabras, hemos escrito la ecuación en forma de una
función: damos el valor de x a la función, y ésta nos devuelve un valor, que corresponde a y para
que satisfaga a la ecuación: x + y = 2.
Un bote recorre 1.8 kilómetros río arriba en 9 minutos. De regreso el bote requiere de 6 minutos
solamente. ¿Cuál es la velocidad de la corriente del río?
En el recorrido de regreso (río abajo), la corriente del río le ayuda a avanzar más rápido, por
eso tarda menos.
Para resolver este problema debemos recordar que para encontrar la velocidad promedio
dividimos la distancia recorrida entre el tiempo que requirió.
La velocidad promedio en la ida (río arriba) es igual a la distancia (1.8 km) entre el tiempo
(9 min):
vida =
1 800 m
9 min
= 200
m
min
Y esta velocidad es igual a la velocidad del bote en aguas tranquilas menos la velocidad de
la corriente.
Vamos a denotar por b la velocidad del bote en aguas tranquilas, y
r la velocidad de la corriente del río.
Entonces,
b 􀀀 r = 200
Esta es nuestra primera ecuación.
La otra ecuación contendrá la información del regreso:
Podemos encontrar la velocidad a la que viajó río abajo dividiendo la distancia entre el
tiempo:
vreg =
1 800 m
6 min
= 300
m
minuto
Y esta velocidad es igual a la velocidad del bote más la velocidad de la corriente del río:
b + r = 300
Ahora debemos resolver este S.E.L.:
b 􀀀 r = 200
b + r = 300
Para empezar sumamos las dos ecuaciones:
b 􀀀 r = 200
b + r = 300
2 b = 500
Esto indica que: b = 250 metros/minuto.
Para encontrar r podemos eliminar la otra variable multiplicando la segunda ecuación por
􀀀1:
􀀀 b + r = 􀀀200
b + r = 300
2 r = 100
Es decir, r = 50 metros/minuto.
Verificamos que se cumplen las condiciones del problema.
Río arriba la corriente hacia parecer que el bote viajaba a 250 􀀀 50 = 200 metros/minuto.
Para recorrer 1 800 metros requiere 9 minutos, ya que viaja 200 metros cada minuto.
Río abajo, la corriente hacia parecer que el bote viajaba a 250 + 50 = 300 metros/minuto.
Para recorrer 1 800 metros de regreso se necesitan 6 minutos a esa velocidad.