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SEGUNDA PRUEBA-EXAMEN ADMISION 2016-1- UNIVERSIDAD DE INGENIERIA-MATEMATICAS-SOLUCIONARIO 2016-I PDF y RESULTADOS DEL CONCURSO

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Pruebas Desarrolladas de ingreso a la Universidad de Ingeniería- (UNI)....
*Pregunta 02
Sea Q el conjunto de los números racionales,
luego todos los valores racionales posibles x de
manera que
x2 + x + 3
sea racional, son de la forma:
A) ,
q
q
q Q
2 1
3
2
2
! +

B)
q
q
2 1
3 2
+

, q ∈ Q\ 2
$- 1 .
C)
q
q
2 1
3 2
+
+
, q ∈ Q\ 2
$- 1 .
D)
q
q
2 1
3 2
-
-
, q ∈ Q\ 2
$ 1 .
E)
q
q
2 1
3 2

+
, q ∈ Q\ 2
$ 1 .
Rpta.:
q
q
2 1
3 2
-
-
,q∈
2
Q $ 1 .
Pregunta 01
Sean N y M números naturales. Al extraer la
raíz cúbica al número 2N+M y al extraer la raíz
cuadrada al número N-M, tienen como residuo
cero y ambas raíces son iguales. Determine la
suma de las cifras del mayor N menor que cien
que satisface tal propiedad.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 9
E) 12
Rpta.: 12
Prohibida su venta
Pregunta 03
Señale la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F), según el orden dado.
I. Existen números positivos a, b, c, d
que forman una proporción geométrica
discreta y armónica discreta a la vez.
II. Es posible encontrar dos números
que están en relación de 3 a 5 cuya
diferencia es 200.
III. Existen números positivos a, b, c, d
que forman una proporción geométrica
discreta y aritmética discreta a la vez.
A) VVV
B) VFV
C) FVV
D) FVF
E) FFF
Rpta.: VVV
Pregunta 04
La probabilidad de que haya un temblor en
Chile es 0,8 y la probabilidad de que haya
un temblor en Perú, dado que hubo uno en
Chile es 0,4. Determine la probabilidad de que
sucedan ambos eventos.
A) 0,12
B) 0,32
C) 0,38
D) 0,40
E) 0,68
Rpta.: 0,32
Pregunta 05
Sea el número N = 4a(a+b)b(12) . Se afirma
I. Existen valores para a y b tal que la
división N ÷ 12 es exacta.
II. Existen valores para a y b tal que la
división N ÷ 9 es exacta.
III. Existen valores para a y b tal que la
división N ÷ 1000 es exacta.
Rpta.: I y II
Pregunta 06
Indique la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F), según el orden dado.
I. El producto de dos números enteros es
un número natural.
II. La suma de todos los elementos del
conjunto de los números enteros
siempre es cero.
III. El cociente de dos números naturales es
un número entero.
A) V V V
B) V F V
C) F V V
D) F V F
E) F F F
Rpta.: FFF
Prohibida su venta
Pregunta 07
Determine el menor número natural divisible
por los números primos p, q y r, sabiendo que
r - q = 2p y rq + p2 = 676.
A) 2001
B) 2031
C) 2061
D) 2301
E) 2331
Rpta.: 2001
Pregunta 08
Indique la secuencia correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F).
I. En un conjunto de 4 números cuyo
máximo común divisor es igual a 1,
entonces dichos números son primos
dos a dos.
II. Si a y b son números primos entonces
a + b también es primo.
III. Si a > 3, siendo a primo, entonces a es
de la forma a = 6k ÷ 1 o a = 6k - 1,
con k ∈ N .
A) VFF
B) VFV
C) FFF
D) FFV
E) FVV
Rpta.: FFV
Pregunta 09
Sea f: A → R una función definida por:
f(x) Ln[log1/2 (5 - x2)] ,
donde A = Dom (f) ⊂ R. Entonces la cantidad
de números enteros que posee el conjunto A
es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Rpta.: 0
Pregunta 10
Se vende 300 unidades de un cierto libro con
un precio unitario de S/ 60. Luego por cada
descuento de S/ 5 en el precio unitario se
venden 45 unidades más. Determine el precio
máximo a fijar para obtener un ingreso de al
menos S/ 19 500.
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
Rpta.: 50
Pregunta 11
Sea A y B dos conjuntos, definidos por:
A={n∈R: n<2↔2n>1} y
B={n∈R: n∈A→n<1}
Determine A,B.
A) z
B) 2 ;
1 2
C) ; 2 ;
−3 1 B,62 +3
D) 2 ;
81 2B
E) R
Rpta.: R
Pregunta 12
Considere las siguientes ecuaciones cuadráticas,
donde a≠1:
x2+ax+1=0,
x2+x+a=0,
x2+(b−1)x−b=0.
Sabiendo que las tres ecuaciones poseen una raíz
real en común y una de las ecuaciones posee dos
raíces enteras positivas, siendo una el triple de la
otra, determine a+b.
A) −1
B) −2
C) −3
D) −4
E) −5
Rpta.: –5
Pregunta 13
Sea f(x)=Log(|senx|), entonces el rango de f es
el conjunto:
A) 60;+3
B) -3;0@
C) R
D) 60;1@
E) -1;1
Rpta.: -3,0@
Pregunta 14
Sea f una función afín y biyectiva, tal que f(1)=3
y f) (0)=2. Calcule f) (6)
[ f) : función inversa de f]
A) −2
B) −1
C) − 2
1
D) 0
E) 2
Rpta.: 0
Pregunta 15
Del polinomio p(x)=2x3−6x2+11x−3, se puede
decir que:
A) Tiene dos raíces enteras y una racional.
B) Tiene una raíz entera y dos racionales.
C) Tiene tres raíces enteras.
D) Tiene tres raíces racionales.
E) Ninguna raíz es racional.
Rpta.: Ninguna raíz es racional
Pregunta 16
Considere las matrices B=
0
1
1
1
-
e o y
f
f
f
f B B B B 2I 11
1
12
2 22
25 24 23 = G= + + +f+ +
Calcule f11+f12+f21+f22
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rpta.: 5
Pregunta 17
Dado el sistema de ecuaciones
x2+y2−10x−6y<−30,
y−x2+10x<27,
10x−x2−y<21.
Señale el gráfico más próximo al conjunto
solución del sistema anterior.
A) y
6 x
3
B) y
5 x
3
C) y
5 x
3
D) y
5 x
3
E) y
6 x
3
Rpta.:
y
5 x
3
Pregunta 18
Sean x, y x y 1^ h = + ,
x, y máx x , y 2 ^ h = " , para (x,y)∈R2 .
Calcule el área de la región C, donde
C x,y : x,y 1 y x,y 1 2 1
= "^ h ^ h # ^ h $ ,
A) 0
B) 1
C) 2
D) 2
E) 2 2
Rpta.: 2
Pregunta 19
De la sucesión (an) donde
a 3 4 n
n nn
1
= ^ + h donde n ∈ N.
Podemos afirmar que:
A) 5 a 7 n 1 #
B) 4 a 6 n 1 1
C) 4 a 7 n 1 1
D) 3 a 6 n 1 #
E) 3 a 8 n 1 #
Rpta.: 3<an≤8
Pregunta 20
Calcule el valor mínimo de la función objetivo
f(x,y)=3x+6y sujeto a las siguientes
restricciones:
2x + 3y $ 12,
2x + 5y $ 16,
x $ 0,
y $ 0.
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
Rpta.: 21
Pregunta 21
ABCD−EFGH es un hexaedro regular, con
M∈AE, N∈BF, P∈CG y Q∈DH. Si AM=2 u,
PC=4 u, AE=6 u, y el volumen del sólido
ADC−MQP es 42 u2, calcule la diferencia
NB−QD (en u).
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Rpta.: 4
Pregunta 22
En un triángulo ABC, AB=1 u, AC= 3 u. Se
toma un punto P exterior al lado BC, de modo
que mBBPC=2mBBCA.
Si BC=PC y AB//CP, calcule (en u) el valor de
la mediana relativa al lado AC.
A) 2
5
B) 4
3
C) 2
7
D) 2
3
E) 3
2
Rpta.: 2
7
Pregunta 23
En una circunferencia se trazan dos cuerdas
paralelas a un mismo lado del centro, una
de 15 cm y la otra de 25 cm. Si distan entre
sí 8 cm, ¿cuál es la longitud (en cm) del
diámetro de la circunferencia?
A) 25,1
B) 25,2
C) 25,3
D) 25,4
E) 25,5
Rpta.: 25,5
Pregunta 24
La figura representa un cubo de arista “a” cm.
Calcule el área (en cm2) del polígono PQRSTU,
si P, Q, R, S, T, U son puntos medios de las
aristas.
Q
T
S
U
R
P
A) 2 3 a2
B) 3 2 a2
C) 3 3 a2
D) 2
3 3
a2
E) 4
3 3
a2
Rpta.: 4 a
3 3 2
Pregunta 25
Por los vértices de un triángulo equilátero ABC
se trazan rectas paralelas. Si las distancias de
las rectas paralelas extremas a la central son
3 u y 5 u, respectivamente, calcule el área del
triángulo ABC (en u2).
A) 15 3
B) 3
46 3
C) 3
47 3
D) 16 3
E) 3
49 3
Rpta.: 3
49 3
Pregunta 26
En la figura AB=8 cm, AC=12 cm, AE=10 cm,
y D es punto medio de BE.
Calcule BB
BB
m
l .
A B C
D
B″
B′
E
A) 5
2
B) 7
3
C) 2
1
D) 5 3
E) 5
4
Rpta.: 2
1
Pregunta 27
Determine el número de triángulos escalenos,
de perímetro menor que 10 u y cuyos lados
tengan medidas enteras.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rpta.: 1
Pregunta 28
Se inscribe un cuadrilátero ABCD en una
circunferencia como se aprecia en la figura.
El perímetro del cuadrilátero es de 50 cm y
el diámetro de la circunferencia AC es igual
a 20 cm. Calcule r1+r2 en cm.
r2
r1
O
A
B
C
D
A) 3
B) 5
C) 6
D) 6,5
E) 7,2
Rpta.: 5
Pregunta 29
En la siguiente figura, del punto P se traza
una tangente PT y una secante PC.
Si AC=12,5 cm, CE=13,5 cm y AL=6 cm.
Determine el valor de AB
BC .
P A
L
E
B
T
C
A) 1,25
B) 1,50
C) 1,75
D) 2,00
E) 2,25
Rpta.: 1,50
Pregunta 30
En un tetraedro regular A−BCD de arista
igual a 4 u, exterior a un plano P, las
distancias de B, C y D al plano P son 2 u,
6 u y 4 u respectivamente. Calcule (en u) la
distancia del incentro del triángulo BCD al
plano P.
A) 2,5
B) 3,0
C) 3,5
D) 4,0
E) 4,5
Rpta.: 4,0
Pregunta 31
En la figura siguiente AB=RC
A
B
6x 7x
x
R C
Determine el valor de x.
A) 8º
B) 10º
C) 12º
D) 14º
E) 15º
Rpta.: 12°
Pregunta 32
Si los radios de dos circunferencias miden
2 u y 6 u y la distancia entre los centros es de
20 u. Calcule (en u) la distancia entre el punto
de intersección de las tangentes interiores
y el punto de intersección de las tangentes
exteriores comunes a las dos circunferencias.
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 15
Rpta.: 15
Pregunta 33
Determine el rango de la función
f:[-1,1]→R definida por
( )
( )
( )
cos
f x
arc x
arc sen x
2
2
r
r
=

+
A) [-1;0]
B) 2 ;
8- 1 0B
C) 2 ;
1
2
- 1
D) 2 ;
1
2
8- 1 B
E) [0;1]
Rpta.: 2 ;
8- 1 0B
Pregunta 34
La ecuación de la cónica que sigue:
x2 + 2 3 xy + 3y2 + 8 3 x − 8y + 32 = 0
corresponde a:
A) Hipérbola
B) Elipse
C) Circunferencia
D) Parábola
E) Punto
Rpta.: Punto
Pregunta 35
Sean x, y, z las medidas de los ángulos
interiores de un triángulo tales que:
cot(x)+cot(y)=-3tan(z)cot(x)cot(y).
Determine tan (x) en función del ángulo “y”.
A) 2 tan (y)
B) 3 cos (y)
C) 4 cot (y)
D) 3 tan (y)
E) 4 sen (y)
Rpta.: 4cot(y)
Pregunta 36
Una población de aves amazónicas tiene
modelo de crecimiento dado por la fórmula:
N(t) =103(2 cos(bt)+5) aves, t en años, con
fluctuaciones periódicas de 7 años. Determine
el menor tiempo en que la población será de
6000 aves.
A) 3 años y 6 meses
B) 2 años y 6 meses
C) 2 años y 5 meses
D) 1 año y 2 meses
E) 1 año
Rpta.: 1 año y 2 meses
Pregunta 37
Determine para qué valores de x∈<0;2p> se
cumple:
( ) ( )
( )
0
cot
sen x sen x
x
2 5 3
4 > 2
2
+ −
+
A) 6 ; 2
r r
B) 6 ; 4
r 3r
C) 6 ; 6
r 5r
D) 6 ; 6
r 5
r
r $ .
E) 0; 6 ; 6
5 r
r r $ .
Rpta.: 6 ; 6
r 5r
Pregunta 38
En el paralelepípedo rectangular de la figura,
determine aproximadamente la medida del
ángulo q.
θ
8
6
4
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 75º
E) 90º
Rpta.: 60º
Pregunta 39
Las letras S, C y R denotan la medida de un
mismo ángulo en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial, respectivamente.
Dadas las siguientes proposiciones:
−− Existe un ángulo no nulo tal que
S+R=C.
−− Existe un ángulo no nulo tal que S=CR.
−− Existe un ángulo tal que S>C.
Son correctas:
A) Solo II
B) Solo II y III
C) Solo I y III
D) Solo III
E) I, II y III
Rpta.: Solo II y III
Pregunta 40
En la figura mostrada M, N y P son puntos
de tangencia de la circunferencia inscrita en
el sector circular AOB. Si mBOPN=qrad,
entonces el valor de cot(q) es:
P
N
A
M
O B
A) 2 - 1
B) 2 2 - 1
C) 2 2
D) 2 + 1
E) 2 + 2
Rpta.: 2 + 1