VERSO , COVERSO , EXSECANTE , EXCOSECANTE LÍNEAS AUXILIARES EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA PROBLEMAS CON RESPUESTAS PDF

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LÍNEA VERSO Segmento horizontal (dirigido) cuyo extremo inicial coincide con el extremo inicial de la línea seno y su extremo final es el origen de arcos. QA = Versα PA = VersΦ NA = Versθ MA = Versβ Observa de la figura: f Conclusión: func{Versα ~= ~ 1-Cosα} ANÁLISIS DE LA LÍNEA VERSO 0 π 2π Vers 0 1 2 1 0 LÍNEA COVERSO Segmento vertical (dirigido) cuyo extremo inicial coincide con el extremo inicial de la línea coseno y su extremo final es el origen de complementos. FB=Covα GB=Covβ HB=CovΦ IB=Covθ Observa de la figura: ANÁLISIS DE LA LÍNEA COVERSO 0 π 2π Cov 1 0 1 2 1 LÍNEA EXSECANTE Segmento horizontal (dirigido) cuyo extremo inicial es el origen de arcos y su extremo final coincide con el extremo final de la línea secante. AM=Exsecα AN=Exsecθ AG=ExsecΦ AF=Exsecβ Observa de la figura: Conclusión: func{Exsecα ~= ~ Secα-1} ANÁLISIS DE LA LÍNEA EXSECANTE 0 π 2π Exsec 0 0 -2 2 0 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CONCEPTO: Son aquellas igualdades donde intervienen funciones trigonométricas de una cierta variable, las mismas que se verifican para todo valor admisible de dicha variable. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (n ∈ Z) 1. IDENTIDADES RECÍPROCAS (n ∈ Z) 2. IDENTIDADES POR COCIENTE 3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES ❖ Sen4x + Cos4x = 1- 2Sen2x.Cos2x ❖ Sen6x + Cos6x = 1-3Sen2x.Cos2x ❖ Tgx+ Ctgx = Secx.Cscx ❖ Sec2x + Csc2x = Sec2x.Csc2x ❖ (1±Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx) (1 ± Cosx) ❖ func{{Senx}over{1+Cosx} ` `= ` ` {1-Cosx}over{Senx}}; func{{Cosx}over{1+Senx} ` `= ` ` {1-Senx}over{Cosx}} PROBLEMAS RESUELTOS 01. Simplificar: func{E ` `= ` ` {Secα - Cosα}over{Cscα - Senα}} Resolución: A seno y coseno: f 02. Simplificar: K = Tg3α (1-Ctg6α) + Ctg3α (1-Tg6α) Resolución: Efectuando: 03. Si: Tgθ+Ctgθ = 3 calcular: M = Tg3θ + Ctg3θ Resolución: M = (Tgθ+Ctgθ) (Tg2θ +Ctg2θ - 1) M = (Tgθ+Ctgθ) ((Tgθ+Ctgθ)2 - 3) M = (3) ((3)2 - 3) = 18 04. Si: Sen2θ + Sen2α = func{{1}over{8}} calcular: Cos2θ.Cos2α - Sen2θ.Sen2α Resolución: M = (1-Sen2θ)(1-Sen2α) - Sen2θ.Sen2α M = 1 -(Sen2θ+Sen2α)  M = 1 -(1/8) = 7/8 05. Sabiendo que: 3SenΦ+4CosΦ=5 calcular: E = 3CscΦ + 4SecΦ Resolución : Del dato: 3SenΦ+4CosΦ=5 se deduce: func{sqrt{3 sup 2 + 4 sup 2} `= ` 5} entonces: SenΦ=func{3 over 5} y CosΦ=func{4 over 5} luego: E = func{3 left\({5 over 3} right\) `+ ` 4 left\({5 over 4} right\) `= ` 10} 06. Sabiendo que: func{{Sen sup 4 θ + Cos sup 4 θ}over{Sen sup 6 θ + Cos sup 6 θ} = m}, calcular: Sec2θ+Csc2θ Resolución: Aplicando identidades auxiliares se deduce: func{{1-2 Sen sup 2 θ.Cos sup 2 θ}over{1-3Sen sup 2 θ. Cos sup 2 θ} `= ` m ` ` ` ` Sen sup 2θ.Cos sup 2 θ =` {1-m}over {2-3m }} se pide: Sec2θ + Csc2θ = Sec2θ.Csc2θ = func{{1}over{Sen sup 2 θ . Cos sup 2 θ} `= ` {2-3m}over{1-m}} 07. Eliminar “θ”: Senθ+Cosθ = m Senθ-Cosθ = n Resolución: Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro (Senθ+Cosθ)2 + (Senθ-Cosθ)2 = m2+n2  2(Sen2θ+Cos2θ) = m2+n2 ∴ m2+n2 = 2 08. Eliminar β de: Sec2β+Csc2β=a Tgβ-Ctgβ = b Resolución: Elevando al cuadrado: (Tgβ-Ctgβ)2 = b2 Tg2β + Ctg2β - 2 = b2  Sec2β - 1 + Csc2β - 1 - 2 = b2 func{Sec sup 2 β+Csc sup 2 β `= `b sup 2 + 4 } # { ∴ a = b2+4 ∨ a-4=b2
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