Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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VECTORES EN EL ESPACIO EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Efectu´a las siguientes operaciones: a) (5, 3, 2) ( 3, 1, 1) b) ( 2, 4, 1) ( 1) [(2, 1, 2) ( 1) ( 3, 4, 0)] c) ( 2) (3, 3, 3) 3( 3, 3, 0) (1, 0, 1) d) 3 [2( 2, 3, 2) ( 2) (3, 4, 1)] ( 1, 2, 0) 2. Dados los vectores u ( 2, 1, 0) y v ( 1, 1, 3), calcula: a) Los mo´dulos de u y de v. b) El producto escalar de u y v. c) La medida del a´ngulo que forman u y v. d) La proyeccio´n de u sobre v. e) La proyeccio´n de v sobre u. 3. Dados los vectores u (x, 3, 1) y v (1 x, 1, 3): a) Calcula los posibles valores de x que hacen que los vectores u y v sean ortogonales. b) Calcula el valor del producto escalar de u y v para x 1. 4. Escribe un vector paralelo al que tiene por coordenadas u ( 1, 2, 2) y que sea unitario, es decir, que su mo´dulo sea la unidad. 5. Escribe un vector paralelo al que tiene por origen el extremo del vector OA ( 1, 2, 0) y por extremo el extremo del vector OB (2, 0, 1) y que, adema´s, tenga por mo´dulo 2 unidades de longitud. 6. Dados los vectores u ( 2, 1, 0) y v ( 1, 1, 2): a) Calcula el producto vectorial u v. b) Calcula el a´rea del paralelogramo determinado por ambos vectores. 7. Dados los vectores u ( 2, 1, 0), v (2, 2, 1) y w ( 1, 1, 2): a) Calcula el producto mixto [u, v, w]. b) Calcula el volumen del paralelepı´pedo determinado por los tres vectores. 8. Calcula los valores de x e y para que el vector u (1 x ) i yj 2k sea ortogonal a los vectores v 2i j k y w 2j 3k. 9. Calcula los posibles valores de x que hacen que la proyeccio´n del vector u ( 1, 2, 2 x ) sobre el vector v (1, x, 2) sea igual a la unidad. 10. Dada la figura: O Z u w v Y X a) Calcula las coordenadas de los vectores u, v y w. b) Calcula el volumen del paralelepı´pedo determinado por los tres vectores. 1. a) (5 3, 3 1, 2 1) (2, 4, 1) b) ( 2, 4, 1) [(2, 1, 2) (3, 4, 0)] ( 2, 4, 1) (5, 3, 2) ( 7, 1, 1) c) ( 6, 6, 6) ( 9, 9, 0) (1, 0, 1) ( 14, 15, 7) d) 3 [( 4, 6, 4) ( 6, 8, 2)] ( 1, 2, 0) 3 ( 10, 14, 2) ( 1, 2, 0) ( 30, 42, 6) ( 1, 2, 0) ( 31, 40, 6) 2. a) Wu W ( 2)2 12 02 5 Wv W ( 1)2 12 32 11 b) u · v ( 2) · ( 1) 1 · 1 0 · 3 3 c) cos (u · v ) u · v 3 3 Wu W Wv W 5 · 11 55 (ru, v ) arccos 66 8 20 3 55 d) Proyeccio´n de u sobre v u · v 3 Wv W 11 e) Proyeccio´n de v sobre u u · v 3 Wu W 5 3. a) Como los vectores dados son no nulos, se verifica que u es ortogonal a v K u · v 0 u · v x (1 x ) 3 3 x 2 x 6 0 x 2, x 3 b) u ( 1, 3, 1) y v (0, 1, 3) u · v 0 3 3 6 4. Wu W ( 1)2 22 ( 2)2 3 Uno de los dos vectores cuya direccio´n es la de u y cuyo mo´dulo es 1 es: v , , u 1 2 2 Wu W 3 3 3 5. OA AB OB AB OB OA (3, 2, 1) WABW 32 ( 2)2 ( 1)2 14 v 2AB 6 4 2 , , WAB W 14 14 14 6. a) u v 2i 4j k i j k 2 1 0 1 1 2 u v (2, 4, 1) b) S Wu v W 22 42 ( 1)2 21 4,58 7. a) [u, v, w] 13 2 1 0 2 2 1 1 1 2 b) V W [u, v, w] W W 13W 13 8. a) v w 5i 6j 4k i j k 2 1 1 0 2 3 v w ( 5, 6, 4) 1 x y 2 5 6 4 x , y 3 3 2 9. Proyeccio´n de u sobre v u · v Wv W 1 1 2x 4 2x 1 x 2 4 x 2 5 3 x 2 5 9 x 2, x 2 10. O Z u w v Y X a) u (1, 0, 3), v (0, 5, 3) y w (1, 5, 0) b) [u, v, w] 15 15 30 1 0 3 0 5 3 1 5 0 V W [u, v, w] W W 30W 30 1. Consideramos tres vectores u, v y w tales que u 2v 3w 0. Demuestra que si se toman representantes de esos tres vectores con un mismo origen entonces sus extremos esta´n alineados. 2. Dado el paralelogramo de la figura: a) Escribe los vectores D y d, correspondientes a sus diagonales, en funcio´n de los vectores u y v, correspondientes a sus lados. b) Con ayuda del ca´lculo vectorial, demuestra que la suma de los cuadrados de las medidas de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de las medidas de dos de sus lados concurrentes. 3. Los mo´dulos de tres vectores u, v y w son 4, 4 y 2, respectivamente. Se sabe, adema´s, que dichos vectores son perpendiculares dos a dos: a) Determina el vector suma de u, v y w. b) Determina el mo´dulo del vector suma. c) Calcula el valor de los a´ngulos que el vector suma forma con cada uno de los vectores considerados. 4. Consideramos el tria´ngulo de ve´rtices A, B y C: a) Considerando los vectores u AB, v BC y w CA. Con ayuda del producto vectorial, escribe el a´rea del tria´ngulo ABC en funcio´n de los vectores u y v, en funcio´n de los vectores u y w y en funcio´n de los vectores v y w. b) Con ayuda del apartado anterior, demuestra el teorema de los senos. 5. Se consideran los vectores a 2i xj 3k, b i xj y c i 2j xk : a) Calcula los posibles valores de x que hacen que el volumen del paralelepı´pedo determinado por los tres vectores sea igual a 10. b) Estudia si existe algu´n valor de x que haga que los tres vectores sean coplanarios. 6. Se considera el vector de coordenadas u ( 1, 1, 1): a) Halla, con ayuda de los para´metros necesarios, la expresio´n de todos los vectores ortogonales a u. b) Escribe el vector a ( 3, 0, 3) como suma de dos vectores, uno de los cuales sea paralelo a u y el otro ortogonal a u. 7. Se consideran los vectores de coordenadas u ( 1, 1, 1) y v (4, 2, x ): a) Calcula el valor de x que hace que los vectores u y v sean perpendiculares. b) Para el valor de x calculado en el apartado anterior, expresa el vector u v u como producto de un nu´mero real por el vector v. C O u d D v A B O Z u w u + v + w v Y X A B C SOLUCIONES 1. Se considera u [OA], v [OB] y w [OC]. Hay que demostrar que A, B y C esta´n alineados: u AB v u AC w Como u 2v 3w 2(u AB) 3(u AC) u 2AB 3AC 0 AB y AC son proporcionales A, B y C esta´n alineados. 2. a) u OA, v OC, D OB y d CA D u v ; d u v b) D · D WD W2 (u v ) · (u v ) 2 d · d Wd W (u v ) · (u v ) Wu W2 Wv W2 2u · v 2 2 Wu W Wv W 2u · v WD W2 Wd W2 2(Wu W2 Wv W2) 3. a) Se pueden tomar como direcciones de los tres vectores dados las de los ejes coordenados. Entonces: u 4i , v 4j , w 2k, y el vector suma viene determinado por las coordenadas s u v w (4, 4, 2) b) Wu v wW 42 42 22 36 6 c) cos (s, u ) s · u 16 2 Ws W · Wu W 6 · 4 3 r(s, u ) arccos 48 11 23 2 3 cos (s, v) s · v 16 2 Ws W · Wv W 6 · 4 3 r(s, v ) 48 11 23 cos (s, w) s · w 4 1 Ws W · Ww W 6 · 2 3 (rs, w) 70 31 44 4. a) S Wu vW Wu wW Wv wW 1 1 1 2 2 2 b) Wu v W Wu wW 1 1 2 2 Wu v W Wu wW Wu v W Wu W · Wv W · sen (180 B) Wu w W Wu W · Ww W · sen (180 A) Wu W · Wv W · sen B WvW Ww W Wu W · Ww W · sen A senA senB De la misma manera: WvW Wu W sen A sen C De estas dos igualdades se deduce: a b c sen A sen B sen C 5. a) 10 2x 2 6 3x x 2 10 2 x 3 1 x 0 1 2 x x 2 3x 4 0 x 4, x 1. b) Para que los vectores sean coplanarios, su producto mixto debe ser nulo: 0 2x 2 6 3x x 2 0 2 x 3 1 x 0 1 2 x x 2 3x 6 0 Esta ecuacio´n no tiene soluciones reales. 6. a) (a, b, c) · ( 1, 1, 1) 0 a b c 0 a b c Los vectores pedidos son de la forma ( , , ). b) ( 3, 0, 3) ( x, x, x ) ( , , ) x 3 x 0 x 3 x x 3 x 3 x 2, 2, 1 ( 3, 0, 3) ( 2, 2, 2) ( 1, 2, 1) 7. a) u · v 0 ( 1, 1, 1) · (4, 2, x ) 0 4 2 x 0 x 2 b) u v 6j 6k i j k 1 1 1 4 2 2 u v u 12i 6j i j k 0 6 6 6k 1 1 1 Por tanto: u v u 3v B O C A v u w