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SUCESIONES Y SERIES CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS , DEMOSTRACIONES - UNIVERSIDAD PDF

SUCESIONES LÍMITE DE UNA SUCESION PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES Teorema del emparedado para sucesiones PRUEBA DE LA RAZÓN PARA CONVERGENCIA DE SUCESIONES Teorema de la media aritmética. Teorema de la media geométrica. SUCESIONES DIVERGENTES SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS SERIES INFINITAS DE NÚMEROS REALES PROPIEDADES DE SERIES INFINITAS Criterio del n-ésimo término para la divergencia de una serie SERIE GEOMÉTRICA SERIE ARMÓNICA DE OROEN P SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS: CRITERIOS DE CONVERGENCIA CRITERIO DE ACOTACIÓN CRITERIO DE COMPARACIÓN Criterio de comparación en cllímite del cociente). CRITERIO DEL COCIENTE CRITERIO DE LA RAíz CRITERIO DE LA INTEGRAL CRITERIO DE RAABE SERIES ALTERNADAS Teorema de Leibniz. CRITERIO DE LA RAZÓN ABSOLUTA SERIES DE POTENCIAS OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN En el lenguaje corriente las palabras "sucesion" y "serie" son sinónimos y se usan para designar un conjunto de cosas o sucesos dispuestos a un orden. En matemática, estas palabras tienen un significado especial. La palabra sucesión tiene un sentido similar al del lenguaje corriente, pues con ella se indica un conjunto de objetos colocados en orden, mientras que la palabra serie se usa en un sentido completamente diferente. En este capítulo primero se aborda el concepto de sucesión que es la base para comprender satisfactoriamente el concepto de series de números reales positivos y serie de potencias. Definición 1.- Se denomina succsion di' números real es a toda función de ru en IR{ y se denota por: a: Esto es. una sucesion al' a2' a3, a4, as, ... es un arreglo ordenado de números reales. de modo que tiene un primer elemento. un segundo elemento. un tercer e lernento v as í suces ivarnente. Una sucesión se puede especificar proponiendo suficientes elementos iniciales. corno por ejemplo 3 ,0n,I'"' j, 1 o0,.:'.)...')",,'-',) S·,' .. > o dando una fórmula expl icita para el n-eximo elemento, esto es o mediante una regla de recurrencia a.; = a.;-1 + S, n > 2, al = 3 Ejemplo 1.- En cada lino de estos ejemplos hemos exhibido el n-ésimo elemento para así tener en forma más co.npacta de la forma general de elementos de la sucesión. Una representación gráfica más conveniente de una sucesión se obtiene marcando simplemente los puntos al/ a2' a-, ,." an, .. , sobre la recta real IRL Este tipo de diagrama indica hacia donde va la sucesión. Por ejemplo. se tiene LÍMITE DE UNA SUCESION Definición 2.- Se dice que la sucesión {un }n2:1 tiene COlTIO límite el número real L. y se escribe Si L es finito. se dice que la sucesión {an}n2:1 es convergente, y si L es infinito o no existe, se dice que la sucesión {an}n2:1 es divergente. 1 Ejemplo 2.- Demuestre que la sucesión { n } tiene como límite 2. 2n + 1 r..2:1 Solución n 1 Dado E > O, se debe encontrar un N > O tal que 2 < E, Vn > N 2n+ 1 n 1 1 1 1 - 2E En efecto 2 < E <=> 4n + 2 < E <=> 4n + 2 > E <=> n > 4E = N 2n+ 1 1-2E n 11 Por tanto, Vn > N = 4 ' se tiene - - < E E 2n + 1 2 Ejemplo 3.- Demuestre que la sucesión {(-l)n}n~l no es convergente. Solución Suponga que lim (-1) n = xo. Entonces, para E = 1, 3N » O, n-+oo tal que Vn > N, se tiene 1 (-l)n - Xo 1 < 1 Ahora, para nl par Ynl > N resulta 11 - Xo 1 < 1 y para n2 impar con n2 > N~se tiene 1-1 - xol < 1 Luego, al aplicar la propiedad de la desigualdad triangular se obtiene 2 = 1-1 - 11 < 1-1 - xol + 11 - xol < 1 + 1 = 2 ASÍ, se tiene 2 < 2 (contradicción). Por tanto, la sucesión {(-l)n}n~l es divergente. Ejemplo 4.- Determine si la sucesión {n sen (Tr)} es convergente o divergente. n nz t Solución 1 Al hacer el cambio de variable x = - (x ~ O cuando n ~ 00), se tiene n . (Tr). sen (~) . sen (rrx) L~. tt ccs(rrx) hm n sen - = lírn 1 = hm = hm = tt n-+oo n n-+oo x-+O X '--+0 1 n Por tanto, la sucesión {n sen (Tr)} es convergente y converge a tt, n nz t Observación 1.- En los problemas sobre el cálculo del límite de una sucesión, es recomendable utilizar la relación siguiente Si lim [(x) = L Y ten) = Un' Vn E N, entonces lim an = L x ....00 n-:<.t' Esto nos permite aplicar la regla de L'Hospital al problema de calcular el límite de una sucesión. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES Sean tan}n2:1 y (bn}n2:1 sucesiones convergentes y e una constante. entonces 1) lim e = e 2) lim can = e lim a n-llXJ n-oo n-.oo n a lim a.; lirn b n = ~~IX\ b ' si b., "* O n-.oo n l Il] n n-.1)(. Como las demostraciones de estas propiedades son semejantes a las correspondientes para funciones. se deja como ejercicio para el lector. Ejemplo 5.- Pruebe que lim r" = 0, si O < r < 1 Y es divergente si r > l. .·1--f • Solución Para O < r < 1. se necesita probar que, dado E > O existe N > O tal que [r" - 01 < E, vn. > N Así, para E > O se tiene ln(E) irn - 01 < E ~ r" < E <=::> n ln(r) < In E <=::> n > = N ln(r) In(E) L""\O"o Irn - 01 < c- Vn> N =-- ut;o J e, ln(r) Para r > 1, lirn r" = +00. Por tanto, la sucesión es divergente. n -, 1)(. Teorema 1.- Teorema del emparedado para sucesiones. Sean tan} y {bnJ sucesiones convergentes a L, esto es. lim Cln = lim b.; = L Y existe un entero M 11-'1.11 n ,l)(. tal que an < c., < b.; vn > M.Entonccs lirn cn =-=- L n-,OC) • sen (n) Ejemplo 6.- Pruebe que lim = O n-oo n Solución De acuerdo a la propiedad de la función seno para 11. > 1. se tiene :.. sen (n): ' -1 < sen (n) < 1(:::-::)- < - <-, v n. > 1 n n n- / 1\ ~ Como lim ( -~) = O = lim ~, entonces por el teorema del emparedado Il-oo \ n n-lOOn obtiene sen (n) lim = O n-oo n Ejemplo 7.- Determine si la sucesión {ln~~2)} es convergente o divergente. n2:1 Solución aplicar la regla de L'Hospital, se tiene In(n2) . 2 InCn) t.u 2 lim = lim . ~ lim = O n-tOO sn n-oo 51l n .00 n sn In 5 tanto. la sucesión es convergente)' converge a O. 8n3 + 511': ¡. 7 Ejemplo 8.- Calcule lim - - n...o.c.. 2n3 - (,,, + ·1 Solución 8n3 + Sn.2 + 7 lim------ n-tOO 2n3 - 6n + 4 B+':'"S l1i111 -- 11 11-00 2 (l, JI" 7 11 < .__ -_n.1_- 1- - ·1 2~ 113 E.J I~I~(~I( 'I()S . 1 Demuestre que la sucesión ~- .. ) converge a O. t n.lo { ._ (H + 1) Demuestre que la sucesión 1 \ converge a 1. 1, n ) Determine si las sucesiones siguientes son convergentes o divergentes. Si son convergentes encuentre su lím ite. :,- T;::: ~.....',1 '. e I ~ r : ,yt • '1.. J ( n'2 (Tr n )lJ e) ~ sen l2n + 1 tt n2 (Tr H "en(-) Sugerencia: lim ') ... sen -) = lim __ . n :t-t~_,,-n I ~ ·n n-·('.(' 2n + 1 l/n ¡}n(l1l't f) ~ _. , sugerencia:aplicar la reula de L l lospirai -, n= .._. g) f 1 J \vn2 + 1- 1 i) {vn + 2 - vn + 1} { ( _l)n+l(n + 1)} h) 2n Demuestre cada uno de los siguientes límites: 1 1 a) lím = - " n-.oo 2n + 1 2 ( e) lim 4n+l') = -4 n-oo 5n - 4- S (-l)n b) li111 (2 + ) = 2 1t -t oo n ( 5nZ + 8n + 1) d) 1i111 5 3 2 = - S ll-'OO + n-n PRUEBA DE LA RAZÓN PARA CONVERGENCIA DE SUCESIONES Teorema 2.- Sea tan} una sucesión de números reales. la . lil Il) : n.,.li , < 1....e.ntonces I..l Il'l aTo. = (J' :1.-. oc. I an . ";'1 _, IX Ejemplo 9.- Determine si la sucesión {~~} es convergente o divergente. n! Solución 511 Como a11. = =: y aH',.) n: SlI+l I - ) ,elll()llc~~ se tiene ~11 -ro 1 ! 511 ~ 1 lim (n+ 1)! lim SIl·d.n! 5 lim - -- =: lim =: o n .•",. (.0 S11 • ln + 1)! 11. _ • .,. IX¡ n -f- : n! o-n Luezo. iirn un = .im - = G ..... :1.-.-r-IX· n--.,.110 n! Por tanto. la sucesión es converu.e....nte . Ejemplo 10.- Determine si la sucesión {n!} es couvcrzente o divercente. 11n ._ .... Solución n! (n ¡ 1)! . Puesto que Un == -n--::: Y Un".:"l == \n -r l).n...,. 1 . entonces se tIene (n + 1)! l . a.;+1 l. en + 1)n+1 l. n nen + 1)! 1m = 1m ----- = 1m ------ n-tOO an n ....co n! n-óoo n! en + 1)n+l nn n n = lirn ( ) n-tOO n + 1 1 1 lim n = - < 1 n-.co ( 1) e 1+-n n! Luego. lim an = lirn - = O n~.,..l, donde :; . 1 [8 15 7n + 1] =vn3+2n2+3-vn2+4n+l+ .-' -+-+ ...+--- n V· 17:' +4n +1 3 4 n +2 Solución 3' o 1l [6 15 7n.,,11 lim Gil = lim (~n3 + 2112 -t- 3 - -vn2 + 411 + 1) + lim -, =.. ~+ -• ." ...." ") : a~cr. ;¡-->o,' :, ·r.) V 1)'- + t¡ 11 ." 1 ,) 't /1 -r- L.o ~ 4 YI U 1r '111 ' L " (l •.1 . ...;- = - - + lirn . lirn I - ~ - -;- ... -;- I ...... "" \ -"" . -, .) .'1.-':X1 'V n~-;-4n -7: :t-()."..::, '1 .'1. -;- ~ / - , Ir ...-- .,.. OlllU lirn -. = -:,enronces por el teorema de ra media aritmética resulta '-,-lÁ n I .:._ 1 [Q ..... L·...... 1 S '•In ..!I......a.. 1- • l' I ...., lim - - + - I ... I J = . 71-..,-(>.) n.) .... "-1t nI ' ........ n Para el primer factor se tiene lim == 1 n--+ f ..Jn2 + 4n + 1 Por tanto. 4 17 lim. an == - -~ -t- 1(7) == - ., n-- -t- • .) .) Ejemplo 14.- Determine si la sucesión { n 2 ~ n2 + 1 8' 23 ... Snz + 3 es convergente diverue.....nte . Solución Se tiene. s n~+ 1 1 lim a.; == S n-.CXI U 2. == .)., , ... ,un == 5 2 ., ' ... y L..) .H +.) Luego, por el teorema de la Media Gcornétr ica, resulta 1.1m n/2 . ~ n2 + 1 _ ~ "'"'1 - n--oo ~ 8 23 Sn' + 3 S EJERCICIOS 1.- Determine si las sizuientes sucesiones son convergentes () diverucntes. Para el ~ ~- caso que sea convergente encuentre su limite. .• 1 """ 'l a) a.; == v n e: + n + 1 - y n.) + 4n- + 1 5 2.- Encuentre el límite de las sucesiones siguientes (10000)n 1) an == , R. O 2) an = V2 n. R. 1 n n 4) an = - R. 2 {ñ-l vn+l 3 + 5 + 7 + oo.+ (2n + 1) 3n + 1 5) an = 271 + 3 - 6 1 R. 12 Sugerencia: Aplique la suma de n términos de una progresión aritmética. SUCESIONES DIVERGENTES Definición 3.- Se dice que una sucesión. (an}n~l es divergente a +00, esto es, lim an° == +00 (::::> Dado M > 0, 3N > 0, tal que 'Vn > N => a.; > M n-+oc.l Definición 4.- Una sucesión (an}n~l es divergente a -oo~esto es, lim a.; == -00 ~ Dado M > 0, 3N > 0, tal que 'Vn > N :=:) an < -M n-.oo Ejemplo 15.- La sucesión {n2}n~1diverge a + 00, pues lim n2 == +00 n-+oo La sucesión {-2n + 8}n~1diverge a - 00, pues lim (-2n + 8) == -00 n...o.o La sucesión {Sn + 8}n~1diverge a + 00 (n-n3) n-n3 La sucesión i 2 J diverge a - 00, pues lim 2 == -00 \.n + 1 nz í n-+oo n + 1 SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS Definición 5.- Dada la sucesión {an }1l~ 1 se dice que i) es creciente, si an < an+1, Vn E ru ii) es estrictamente creciente, si a.; < un+1, Vn E N iii) es decreciente, si a; > a; ~l' v n E ru iv) es estrictamente decreciente, si a.; > an+1, Vn E N Con la frase sucesión monótona se describe a sucesiones crecientes, estrictamente crecientes, decrecientes y estrictamente decrecientes, Ejemplo 16.- --1 "\ La sucesión l~~ es estrictamente decreciente. \.n)-n~: ~ 1"' La sucesión {- ~~ es estnctamente creciente. l nJn~l La sucesion {(-l)n}n~l no eS creciente ni decreciente. esto es. no es monótona. La sucesión ton}n~l es creciente. (1 "'1 La sucesión ~- (_l)nTl ~ en n~;' no es monótona. Definición 6.- i) Se dice que la sucesión lan}n~l es acotada inferiorrnente, y sólo si ii) La sucesión {a71}n~l es acotada superiormente. si y sólo ~ iii) La sucesión f an}n11 es acotada, si y sólo si existen lc., kz E IRt tal que k , < au < k2, v n. E ~ Ejemplo 17.- ) La sucesión [~} es acotado. o cota inferior y 1 cota superr. 2) La sucesión jt.- -1} es acotado, -1 cota inferior v O cota slerior. n . 3', La sucesión tn¿} es acotado inferiormenre y no superionrlte. 4) La sucesión {.- 2n} no es acotado in fcriormente pero es altado superiormente. In - 1) 5) { > es acotado, O cota inferior v 1 cota superior. ~ 11 .1 ., Oefin ición 7.- Si A es una cota inferior de una sucesión {d 1l~ 1 ~ $1 :\ llene la propiedad Oc que para cada cota inferior e de {an.ln¿:], 6: A. entonces A se llama mavima cota inferior de la sucesión. Analogamen si B es una cota superior de una succs ion f a; 1n~ 1 ) ~i B t icne la propiedad ~ que para cada cot a superior D de f a; }n?J' B < D. entonces B se llama 111 ínin cota superior de la succsion. Teorema 5.- Toda sucesión acotada v monótona es conveente. Si ¡an}n~J es creciente 1. decreciente), entonces 1u· n a.; = sup {an.~) ,")11f {lCnJ1' , :1-0': Observación 1.- Sea {~n;' una sucesión creciente ~ supon_gau,:; ..[ue :._.'~~ ':;,Jté. supcr.or de esu, sucesión. entonces t t:n.' t::- .con v;:r.gerr.::· .~~:;''':r. < ~ Observ ación 3.- Sea tC;:n.~ una sucesión decreciente 2,t supon.mos que :_~~s ~111é. cota inferior. Entonces tU:n~' es convergente y liltÁn '> e tlTeorema 6.- Una sucesión monótona convergente es acotada. Ejemplo 18.- Pruebe que la sucesión..iz ..J2v'2 ..j2..J2v'2 ... converge a 2 Solución Sean al :=...[2, a2:= J2al' ... I an == .J2an_v n > 1 Por demostrar que la sucesión {an} es creciente y acotada superiormente por 2. La prueba se hace por inducción matemática. an < 2 Y an < an+l, vn. E ~ i) Para n := 1, al:=...[2 < 2 Y al := ...[2 < .J 2...[2 := a2 ii) Supongamos que para n := Ii, ah < 2 Y ah < ah+l iii) Probaremos para n := h + 1; aJI+l == .j2ah < v4 := 2, pues 2ah < 4 (hipótesis inductiva). Entonces ah+l < 2 Y ah+l = .J a~+ 1 :- j2Ú,,- < J2ah+l := ah+2 Por tanto. la sucesión converge a 2. Una forma algebraica de determinar lim (1" es el sigu iente: n-·rJ.., Se toma lim a.; := L, entonces dado que (lit - /2(1,._1 se tiene n-+oo .. L := lim an:= 2 lim an-l :=m(:) 1,: 12L.l\hora, al elevar al cuadrado n-.oo n ....o..o ambos miembros y despejando L se tiene lim an = L zr: 2 n • I Ejemplo 19.- Suponiendo que an-t-l = .JS + an y al = Vs, halle nl_im' an 00 Solución Sea L = lim an. Entonces. dado que an+1 = JS + an' se tiene L = -VS+ L n-oc . Al elevar al cuadrado ambos miembros y al despejar L > 0, se obtiene .. l+m 11m a.; = 2 n_, 00 EJERCICIOS 1.- Encuentre la expresión más simple para el n-ésimo término de las sucesiones que se dan a continuación. Diga si las sucesiones son o no convergentes. de serlo halle el límite. 3.- Determine el límite de la sucesion ~2 + v 2 + ,,/2 -;.-." R. 2 4.- Determine si las sig._uientes sucesiones son crecientes. decrecientes o no monótonas y encuentre el límite de las sucesiones convergentes. , tl"3n - 1J' b) 4 .... nT.J ( 1. ') e) l t ln + sen (n2)J ( ')n '1 ~, tl : 2nJ 1/n Sug. lim 2 = O le .....oc 1+ sen n n f n! } g) t1.3.5 ....'C2n - 1) { '1.3.5 .... (2n - 1)) h) z-. ~ n~ ) 5.- Encuentre los siguientes límites . (n +1)(n +2)(n +3) a) hm 3 n-+oo n n+(-1)n b) lim---- n~oon-(-1)n Vn2 + 1 d) lim--- n-s co n + 1 2n-rl + 3n+1 e) lim R. 3 n~oo 2n + 3n ( 1 1 1 1 ) e) lim -+-+-+ ...+- n~oo 2 4 8 2n R. 1 R. O 1-r" R. 1 Sugerencia: Usar Sn == a --1--r n 12+22+32+ .. ·+n2 1 L 1 f) lim' 3 R. 3 Sug. Usar i2 == 6 n(n + 1)(2n + 1) n .....o.o n n sen (n!) g) lim ---- n-veo n2 + 1 i=l -n nsen (n!) n R. O Sug. n2 + 1 < n2 + 1 < n2 + 1 6.- Halle el limite de las siguientes sucesiones cuyo n-ésimo término se da 1 3.n+l 1 n a) an = (1+ 3n + 1) R. e b) a" = (1+ n + 4) ( 1)n ( l' 6n c) a.; == 1 + 2n R. .ye d) a.; == 1 + n + 1) ( 1\ n! R. e f) an == 1+ n!) R. e R. e 7.- Halle el límite de las siguientes sucesiones cuyo n-ésimo término se da. a) an == n 2 rcos (~) - 11 , l n J 3n4 sen2 (~) In ( 1+ ~) b) an == ( tt n ) (n + 2) cos 4n + 1 ( nn 0) ( 3nrr ) ( Snrr \ e) a.; == .y4n6 + 1sen sen 1 sen . 1)J \n + 1 n + n 1- :( 5) d) an -: == 5 a.; + a n ' a~ == 5 e) a.; == 1V;;Z. lfb4. z:jb8 ...3W b f) an == f(n)(2), [ex) == In x 1 1 1 g) an == + + ...+ ~:::;=:=== vn2 + 1 -vn2 + 2 Vn2 T n 1 R.-- 2 R. 3~ R. 30rr :3 v5 R. 2 R. b R. díverge R. 1 R.40 5+1 n n 1 n.an =--------- R. 2 1( 1) R. 2 1 - e 1 8.- Dada la sucesión {(lH}Il~l definida por al > 1 Y an+1 = 2 - -, "In > 1, un demuestre que {a,t1n'> 1 converge Y luego calcule sus puntos de convergencia. j) an = n1[ 2 ·2 2 ] Z e-1/n + 2e-4/7t + 3e- mantener 300UO machos esterilizados en ía población, ¿cuántas moscas debenliberarse cada día? R. 6000. 7.2 SERIES INFINITAS DE NÚMEROS REALES Definición 8.- Sea {an}n~l una sucesión de números reales. La SUlTIainfinita de los elementos de la sucesión {an}ll2:J se llama serie infinita de números reales. es decir. es una serie infinita de números reales. donde aJ I a2, ... , an, ... son llamados términos de la serie infinita. La sucesión {Sn}n~l definida por s...= al -1- a... .... "- n Sr. = al + tI: + ...+ a" = IQ" 1(=', se denomina sucesión de sumas pare ia les de la serie. donde S" es la n-esirna suma .Jarcia! . Defin ición 9.- Se dice que una SllCCS ¡ón {(l" 1TIC: I I.!S suma ble. s i la sucesión de sumas parciales {SnJn.2:l converge. En este caso se denota por .1<:=1 k=l S recibe el nombre ce suma de la sucesión f atl}ll~l' Observación 4.- Si ia sucesión {Snjn~; es convergente. convencionalmente se sustituye por la afirmación de que la serie ;~ .:-Ir: .._.. .1= . • J S ) 'S .ouveruente : s ..... ~r.>" es .._, n."" "_.A divergente. entonces decimos que la serie >:¡1" es divergente. n=", PROPIEDADES DE SERIES INFINITAS 00 00 00 00 00 Teorema 7,- Si ¿a.; y ¿bn son series convergentes con sumas a y b n=l n=l respectivamente, y si e es un número real. entonces 1) ¿(an + bn) es convergente y ¿(al! + bn) = ¿an +¿»; = a + b n=1 11-1 11=1 n=l IYI ;XI 2) ¿can. es convergente ~ Ica" = e¿u" n=i 11-1 n=1 Hasta ahora no se tiene un procedimiento matemático para determinar si una serie infinita converge o diverge. más aún en el caso convergente. no se sabe cómo calcular su suma. Comenzamos el estudio de convergencia y divergencia de series. enunciando un método sencillo que se usa para la divergencia de una serie. Teorema 8.- (Criterio del n-ésimo término para la divergencia de una serie]. x Si la serie "L .In = ü: + 4: ... " -¡- G.n T ... es convergente. entonces lirn Gro. = o n-.IX' :1=: De forma equivalente. si lim a.; :¡:. O . entonces la serie diverge. n ~. Ejern plo 20.- Dctcrm inc cuáles ele las s igu icnies series es divergente. oo ¿n2 + n + 3 a) lnen + 1) n=: J' '\: 7n + 6 c) / ~3n+ 1 n--~... tx: ej- >:(3 - sen n.=1 \ Solución Para las series dadas en b) y d t : se obtiene 1 6 lím --r.. = O .v1 iim - = O n-oo J ' n-oo n Luego. ei criterio del n-ésirno término no deciae con respecto a la convergencia o diverzencia áe ia serie. En Íos otros casos, se tiene: '-' n2 + n + 3 7n + 6 7 Para las series a), e) y e) se verifica lim 1 ( ) == +00, lirn == - y n-tOO n n + 1 n~oo 3n + 1 3 !~(3 - sen (:)) = 3, respectivamente; entonces, por el criterio de n-ésimo término se concluye que las series dadas en a). c) y e) divergen. Ejemplo 21.- Utilice la sucesión de sumas parciales para determinar si la serie <.lO I(5n _ 3;(5 n + 2) COIl vergé o di verge. S i converge. calcu les 1I sum a. n=l . Solución La n-ésirna suma parcial de la serie es <; _ ~ 7 = n - ¿(Sí - 3)(sl + 2) l=1 Ahora. al descomponer el r-csuno termino de la suma parcial en fracciones parciales. se tiene SERIE GEOMÉTRICA Definición 10.- Una serie de la forma 00 ¿~ ar n-~ = a .. ar -t- Q1.2· T"'" a. r n -.t-... ( a =1= O) n- .. -A se denomina serie geometnca de razón r. 00 Teorema 9.- La serie geométrica Iarn-1 converge. si Irl < 1 Ydiverge n=~ si irl > 1. Para el caso convergente la suma de la serie es 00 , arn-1 = a Z: l-r n=l 00 Ejemplo 23.- Determine si la serie I38n es convergente u divergente. n=l Solución Como la serie tiene la forma oo 00 ~ 8 8 1 n-l 8 8 1 8 1 2 L.3n = I 3 (J = 3 + 3 C)+ 3 (3) + ... 8 1 deduce que es una serie geométrica con a = 3 Yr = 3 < 1 Por lo tanto. la serie converge y su suma es n=l n=l 00 ~ 8 8/3 ¿ 3n = 1 - 1/3 = 4 n--".a1. Ejemplo 24.- Exprese cada decimal periódico como el cociente de dos enteros. a) 0,535353... b) 0,012012012... e) 0.123123123... d) 0,142857142857... e) 1,23422342... Solución Sea A = 0,5353535 ... = 0.53 + 0.0053 + 0,000053 + .., 53 53 53 53 ( 1 1 ) = 100 + 1002 + 1003 + ...= 100 1 + 100 + 1002 + o" I 1 100 La suma de la serie geométrica es S = 1- 1 99 ._ 100 . 53 (100\ 53 Por tanto, A = 100 99) = 99 En este caso, se tiene A = 0,012012012 ... = 0,012 + 0.000012 + ... 12 12 12 12 ( 1 1 ) = 1000 + 10002 + 10003 + ... = 1000 1 + 1000 + 10002 + ... 12 (1000) 12 4 = 1000 999 = 999 = 333 El decimal periódico se escribe como A = 0,123123123123 ... = 0,123 + 0,000123 + ." 123 ( 1 1 ) 123 (1000) 123 4-1 = 1000 1 + 1000 + 10002 + ... ) =.1000 999 = 999 = 333 El decimal periódico se escribe como A = 0,142857142857 ... 142857 142857 142857 ( 1 ) = 1'000000 + 1'0000002 + ... = 1'000000 1 + 1'000000 + o •• 142857 (1/000000) 142857 5291 - 1'000000 .999999 - 999999 37037 El decimal periódico se escribe como 234 234 = 1 + O234 + O000234 + ...= 1 + + + ... " 1000 10002 234 ( 1 1 ) = 1 + 1000 1 + 10001 + 10002 + ... = 1 + 234 (1000) = 137 1000 999 111 A = 1,234234234234 ... 00 [ 1 n 1 n] Ejemplo 25.- Calcule ~ 5(9) - 7 (4) ;}- .. Ejemplo 26.- Se deja caer una pelota de una altura de 20m. Cada vez que roca el sueío rebota hasta tres cuartos de su alt ura máxima anterior. Encuentre la distancia total que viaja la pelota antes de llevar a reposo. Solución distancia vertical total que viaja la pelota está dado por Solución series geométricas de cada término I[S (~f-7 Gn == SI(~f-7IGf n=l n=l n=l 1 1. tienen como razón a r = 9 Yr = 4' Como lrl < 1. la serie dada converge, y su suma es ~ [ (1\n (1\.n"l LX: (1\ n L.XY l1~- ) 7 'i r. - ,'\ 7 ("l\n _l .: 9 \ \, 7 (~ 4- \ , '9 - \4) I == :_, \.9) - 1,4} ==:_,~, 1 :.' - ~ ~ ...;.' l=~ ... n=~ n=: \ - 91 \ 1- 4- 41 24 . '" 3 "., ro 3\ z ') ( 3 1;: \ ') a == 2 o ~ 2 (¿ (2 O)) ~ 2 \ ( - j (2 O)) "7" ... ~ 2 I (-) (2 Q) l "7" ••• ~ 4/ \ 4 ) J 3 (3\2 (3\ 7: 1 == 2 (}-:- 40 f t. -- · -) + ...+ \4) =r : •. , ~, \4 \ . , ~ J f .~ "11 I,!- -._) 1i = 2Ú -+- 40 lí ~~I== 140m 4J _ EJERCICIOS Determine si las siguientes series convergen o divergen. Proporcione las sumas de las series que convergen. :lO k a) I;k ;(=ü b) I52/k k=O 00 e) Ie-n n=l rr rr 0) rr + - + ...+ + ... b ..¡z v2n-1 'JO e) I22k~1 k=O 35 R (> rrV2 R. M v2 - 1 Exprese cada decimal periódico como el cociente de dos enteros a) 0,4444... b) 0.232323... e) 0,612612612 ... Escriba los cuatro primeros términos de la serie infinita dada y determine que la serie es divergente. a) ~_n__ ¿n+l n=l 00 ~2n+ 1 b)¿ 3n + 2 n=l e) f G)" n=l IOO en d) (_l)n+l_ n3 n=l 00 In2 - 2n + 3 c) 2n2 + n + 1 11-1 00 f) ¿::sen (rm) 11-1 En los siguientes ejercicios. encuentre los 4 término' de la sur sión de sumas parciales {Sn} y halle una fórmula para Sil en términ s de n. Determine también si la serie infinita es convergente o divergente. y si es convergente encuentre su suma. 00 a) I(2n - 1)1(2n + 1) n=l ..,.. R. 2 00 n=l n=~ OG 2 2n + n2 + n g) . 2n+ln(n -1- 1) R. : n=1 00 i) ') n l.' 1 ~ (n + 1) ((n + 2) (n + 3) H. 4 n=l Nota. Estas series son series telescópicas. j~. 1 3 '5.- Cuatro personas A. B. e y D dividen una naranja de la siguiente manera: primero la dividen en cinco partes y cada uno toma un quinto: después dividen la quinta parte sobrante en cinco partes y cada quien toma uno. y así sucesivamente. Demuestre que cada uno obtiene un cuarto de la naranja. 6.- Suponga que el cuadrado ABCO tiene lados de 4 cm de largo y que E, F, G y H son los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD. Un nuevo cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado EFGH y dos de los triángulos fuera del tercer cuadrado están sombreados (ver figura adjunta). Determine el úrea de las regiones sombreadas, si este proceso se repite indefinidamente. H, 2(5) 22(11) 2~(17) " i.- Dada la serie () + (S' + ,+ ..,,encuentre una formula para la 7 3 9) 11(7) n-esima suma parcial de la serie. luego determine si la serie converge o diverge. R. diverge. oo L 96n + l1B 8.- Determine si la serie 7" 12("2n .'.. '»)) (i.'.)11 - 1) n 1 converge o diverge. SERIE ARMÓNICA DE OROEN 1) Definición 1t.- Una serie de la formé! .x ~ :.. _ 1 ,1:" :. L - - -------- .,.-----... , nt:' lP' 2r . 3r . ~; . --'''-A' se denomina serie armónica de orden p. donce p t: JL .x- Teorema 10.- La serie armónica de orden p.In~'diverge si p < 1 ) n=l ccnverze si p > 1. b Demostración. Ver sección '; .3. ejemplo 48. Ejemplo 27.- C() I 1 3 a) La serie --:¡¡2 converge, pues p = - > 1 n . 2 n=l 00 ~ 1 1 b) La serie Z: n1/3 diverge, pues p = 3 < 1 n=l 00 e) La serie ¿~ n~ diver.ge, pues p = 1 < 1 n=l Las series armónica de orden p se usan con frecuencia para comparar con otras senes. 7.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS: CRITERIOS DE CONVERGENCIA 1) CRITERIO DE ACOTACIÓN Teo rem a l l. - Una serie de térm inos pos iIivos ¿.¡11 :;5 con vergeme, s ¡y sólo si "=1 la sucesión de sumas parciales tiene una cota superior. n Demostración (<=)Sea Sn =¿ak la n-ésima suma parcial de la serie, entonces K=Q a.; = Sn - Sn-l > O, pues los términos de la serie son positivos. luego la sucesión {Sn} es una sucesión creciente. Por hipótesis, esta sucesión tiene una cota superior. sigamos M. entonces Sn < M1 Vn E N. Como la sucesión es monótona y acotada. entonces la sucesión {Sn} es convergente y además Sn _, S < 1'v:' ..;c, Ejemplo 28.- Demuestre que la serie ¿~: es convergente n=l Solución x: ~ ~ . r.-: S ~J4. .;' .4 A I A ~ea == L'. - == 1-;-- -'- + ...-,; Ji ... rt .,n.i -J:O1.'.-.¿'..... 1 2 ~ 1 '1 '-1 .0..) .¿.j. n. :.=1 Ahora. al comparar esta serie con la serie geométrica n. ~ 1 1 1 1 ¿ 2k-1 == 1 + 2 + 22 + ... + 2n-1 ' se tiene k=l 00 00 1 1 ~1 ~ 1 k! < 2k-1' Vk == 1,2, ... Entonces, S; == ¿ k! < ¿ Zk-l < 2, pues n=l n=l la serie geométrica converge a 2. Luego, Sn < 2, vn. E ru Por tanto, por el criterio de acotación la serie dada, es convergente. 1I) CRITERIO DE COMPARACIÓN Teorema 12.- Suponga que existe un entero positivo N, tal que O < an < bn. i sm > N. 00 00 i) Si I»; converge. entonces la serie Ian converge. n=1 n=l ii) Si Ia.; diverge, entonces la serie Ibn diverge. n=l n=l Demostración. 1) ~¡-:ans; = al + az + ...+ an y Tn == b, + bz + ...+ bn, n-ésirnas sumas 00 oc parciales de las series IUn YIb.; respectivamente. n..;.l rt-,1 00 Como la serie Ib.; es convergente. entonces la sucesión tTn} es convergente n=l y por tanto acotada. Así, {Sn} es acotada. Luego, por el criterio de 00 acotación la serie Ian es convergente. n=í ii) Es consecuencia lógica de la pane i), oo 1 - Ejemplo 29.- Estudie la convergencia de la serie ): In k 1<=2 Solución 1 1 Puesto que In k < k para todo k > 2, entonces In k > k' \lk > 2. Como la serie 00 00 armónica ¿~es divergente, entonces la serie ¿,:k es divergente. k=2 k=2 Ejemplo 30.- 00 ¿2 + sen3(n + 1) Estudie la convergencia de la serie 2 2n +n n=l Solución 2 + sen 3 en + 1) 3 Puesto que - 1 < sen3 (n + 1) < 1, entonces O < 2 2 < 2 2 n+n n+n 1 1 otro lado, 2n + n2 > 2n I Vn E ~, entonces < - vn. E ru 2n' -t- n2 - r.m...' (X) ::x, 2 + sen3(n -7 1) 3 ~ 3 ~ (1)i1 Luego, O < 2n + n2 < 2n . Como la serie ¿ 2n == 3¿ 2 es una n=l n=l 00 • r • ¿2+sen3(11+1) serie geometnca convergente. entonces 2-' n +n'" n=l es convergente. 111 Ejem plo 31.- Estudie la convergcnc in de la serie ". 1 ...I ... .... ¿2'~-1+sen"'lno») Tl=~ Solución .... n-ésimo término de la serie es prácticamente z-: pues 1 elegirnos un numero cualquiera e > L entonces ~e cumple 1 1 .... ..L O < 2r. - ;. -.( ..,.< e -, para ri suficientemente grande. 1-t- sen' no») 2n .x: " oc Como la serie '¿\' 2er.. es convergente. entonces la serie ¿'\' 2 _ : '( ') n - 1 -r- sen" n> n=l n=l convergente. Ejemplo 32.- 00 Determine la convergencia de la serie' 1 ¿"'¡n+ 1 n=l Solución 1 1 1 1 Como n2 > n + 1,'In > 2, entonces 2" < <=> - < --;:==== n n + 1 n .,jn + 1 Por tanto. la serie 00 es divergente, pues la serie dominada I: n=l es divergente. 00 00 Teorema 13.- Si Cl,C2, •.. , Cn, ... es una sucesión de números positivos tal que lim C; = c, e > O,entonces las dos series de términos positivos n ....oo Iak ,Ic,«, convergen o divergen simultáneamente. k=l k=l Demostración. e 3C Como lim C; = C > O, existe un número N tal que -2 < Ck < -2 ,Vk > N n ....oo 00 e 3C ~ Luego, 2" ak < c,«; < 2ak·Si k > N y la serie Z: ak converge. entonces 1(-1 oo también converge Lc,«, .Recíprocamente. si la serie ICkak es convergente k-l k=l 00 también lo es I~ak k=l 00 v' 2 C ya su ve/. LClk ,- eI2 tlk . Esto demuestra que k=l ¡{=l 00 XI IUk converge. A su vez. esto implica que La; diverge si y sólo si k=l 00 1:c.«, diverge. &=1 oo ~ k+l Ejemplo 33.- Estudie la convergencia de la serie ¿ K(2k _ 1) <=1 SOlución La serie propuesta se puede escribir en la forma ~. ~l r 1] k+1 1-rk 1 ¿k(2k-l) = ¿l2-.! k K=l K=l k 1 1+- 1 Com o li111 k = - > O If-.+rx: ') _ .!. 2 ~ k y la serie armón ¡ca 00 ¿~diverge. entonces la serie k=l dada diverze..... . ce, Ejemplo 34.- Examine la convergencia de la serie ' 1 ~ .Jn(2n + 1) Solución ..x' La serie propuesta se puede escribir en la forma ¿ n 1 11- 1 ,in(2n -r- l) n :.< Como lim :1 = ~ > O :" la serie armónica ).: diverge. entonces :1.- • nr?'Y\ _;_+ . ....1:2 ;.....J t; "\. , .... H.'..L_¡ v 1 'llta serie propuesta diverge. Teorema 14.- (Criterio de comparación en cllímite del cociente). Sean ¿a" y Ib" dos series de términos positivos. Entonces se tiene: n.=l tl-"-l . a a) Si lim ~ = L > 0, entonces ambas series convergen o arnbas divergen. ;-.-H)() or; x: ,xl b f Si iim ~n = O j s: >~b¿ converge. entonces ~ Un. converge. :1-t IX) o1í. L· --' ... - A. .-,-,--... JI.. x .,~... ar.. ,.¿. L . .:) Si 21m -r - = -r-X, y Si en. aiverge. entonces un .nver-;e. •• 00 Or..r.. __ " ...-~. .¡= A Ejemplo 35.- Estudie la convergencia de la serie ~ n'· Z: 5n5 -:- 4 ...... _ .. H,,-A Solución n4 Sean a.; = 5ns +4 y I 1 I1 bn = - I donde la serie armónica - n n n=l es divergente. a nS 1 COlTIO lim b n = lim 5 s == 5 > O y n-H)Q n n-tOO n + 4 00 ~¿n1 diverge, entonces la serie n=-l 00 4 Z\' : 5n~+4 divcrge n=l Observación 5.- Para aplicar el criterio de comparación en el límite del cociente a una serie dada al utilizar las series armónicas u otras series, es necesario escoger en cada caso la serie correcta de modo que el término n-ésimo sea de la misma grandeza que el de la serie dada. Por ejemplo: 00 00 i) Dada la serie ~ 3 5 I c.; +n+8 elegir c~ .;~ n=l n=l 00 00 I n3 - 8n + 4 I 1 ii) Dada la serie -2-7---- I elegir nn + 6n + 1 4 n=l n=l 00 00 I Vn3 +4 I1 iii) Dada la serie s ' elegir - Vn 10 + n4 + 1 11 n=l n 1 00 "1 I 3n + COs311 I31I iv) Dada la serie A ). I elegir -,,- e'dI -+- 71' + 3 e'dl 11-1 n-l 00 el) ;: 3n! + 2 cose I /n) In! v) Dada la serie , I elegir -, 7'1. + él re la 11( 511 ) 711. 11-1 11 1 Esto es, para encontrar una serie ptll d comparar, se debe despreciar en el numerador y denominador del término n-ésimo de la serie dada todas las expresiones de menor cuantía, excepto las de magnitud máximo. 00 Ejemplo 36.- Determine si la serie Isen (!) converge o diverge. 11=1 Solución 00 00 Al comparar la serie Isen (!) con I~(serie armónica divergente). se tiene n=l n=l a ~ (5) n sen (-5) sen (-5) Iim bn = Iim sen - .- = lim 1 n = 5lim 5 n = 5(1) = 5 n-ro n n~oo n 1 n-+oo n-veo n. n el criterio de comparación en el límite del cociente. se deduce que la serie 00 Isen C) diverge. n=l Ejemplo 37.- en In2,sn + 7 Determine si la serie 9 6 2 converge o diverge. n + n 11=1 Solución depreciar todas las expresiones lit: menor cuantía. salvo las de magnitud máxima en el numerador y en el denominador, se compara las series el criterio del n-ésimo término para la div .rgencia, la segunda serie diverge. sn lim 4 = +00 n...o.o..n Como 1 + (7)-- o !)7tn2. 1 : lim ------ / ') = -9' 1I-~OC. 9 + ~;~) entonces ia serie dada diverv..e.. . Ejemplo ~g.- x. sV"n! -7- 8 Determine si la serie "\' Vñ con~erge o diverge. L3n4 + 22 n -t- 2 n=l Solución depreciar todas las potencias de n, salvo las de maxirna cuantía en el numerador y en el denom inador, se compara las series .~ ::; ¡selle armónica de orden 3 n=::' n-A convergente l. "_- Como. tl - f ,5\;n7 -r 8 \ (n5/3\ .5n4 -t- 8n~/3 5 iim . r. = lirn í ~ _ -1 - ~= lim . ~ = - r n~oo Dn n-oo \3n4 -7 22 ;/n "7 "2.) \ Jl.) n~.x> 3n4 ~ 22 \Iri. -:- 2 3 entonces por el criterio de comparación en el límite del cociente, la serie dada converge. Ejemplo 39.- Determine si la serie oo ( 1) Z" : tanVi1i13 converge o diverge. H...;.2Z Solución Al comparar la serie oo ( 1) ~ ta~ :_l? con ¿ '111 11=22 L nIO/3.... (serie armónica convergente), se tiene n~22 ( a tan (,31")') (n10/3) ( 1. tan ( 1') 3" ~inl bn == lim 3;! . -1 == lim n3 tan 3) == lim 1n == 1 •• --00 n i1.-tOO '\ v n \.J., í'l-tOC n n--oo n3 Por tanto. la serie dada converge, 111)CRITERIO DEL COCIENTE ,JO Teorema 15.- Se~ L«; una serie de términos positivos y suponga que n=l H an.,.'.1 lIl) -- == r. entonces: n-- cx" an ,,)0 1) Si r < r. ia serie L<1" converge . ii) Si r > 1. la serte y u" divcrgc 1) cuando lim '¡n~l ~l""'(X \1n == -t-CX) .x iii) Si r == -;.._ ei criterio no decide y C\,.be rccurrirse a otro cnterio. x: Ejemplo 40.- Determine ia convergencia de la sene L ~: .... -~ H.-A. Solución n n+l Para esta serie. se tiene a:.. = -2Ti Jv an~l -- 2n+:1 Jv . an- ~, 2nen + 1)' n + 1 1 11"m .... l' J' ..¡¡ 1 -- == um . .. == .1m == == ~ < 1 11.__ -r- 00 an n--t- L la serie es divergente. iii) Si R = 1, el criterio no decide y debe recurrirse a otro criterio. 00 Ejemplo 44.- Estudie la convergencia de la serie ¿[(n : 1) nr 11-1 Solución Para esta serie. se t icnc _ n 71 1 1, «¡ l' () 1 \r 1111 V ü " = 1111 I _- = - < ~ 11 I + m /J • j CJ) \ 1L + 1 e Por tanto, por el cnterio de la raíz, la serie Jada es convergente 00 ¿n10 Ejemplo 45.- Determine la convergencia o divergencia de la serie 7n n=l Solución Para la serie, se verifica n/n..--- 10 n10/n lim Van = lirn 1-= lim n ......+oo 71---+00 '\j 711 11--++00 7 1 lim en1.U 1n(71 ' 1 o 1 J = -e = - < 1 771-1+00 7 7 Luego, por el criterio de la raíz, la serie converge, Ejemplo 46.- Determine la convergencia o divergencia de la serie '¿\' [In 1n11! n=:, Solución Para esta serie, se veri fica I 11 i 1 1 tin1':¡a;; = lim :_ -- = lim -- = O < 1 n- co n ,1.....00 ~ [l11 11 JI! n ·00 In n Luego, por el criterio de la raíz, la serie dada converge. Ejemplo 47.- IO" nJ[v'2 + z]" Estudie ,~la...convcrucncia de la serie -_._-- 3n n=l Solución Para la serie. se verifica ., H r- 11 ín3[v'2 + :~J iim '~ a. = liIn I n-oo 1. 11 .....00 ~ 3" . n3/n(V2 + 2) v 2. I = lim - - n-.oo 3 3 Por tanto, la serie es divergente. V) CRITERIO DE LA INTEGI{AL Teorema 17.- Sea f una función positiva, continua y decreciente para x > l , y ¡en) = an, \In E ~. Entonces. 00 la serie I(1" =Iten) converge o diverge de acuerdo con que la integral 11-1 n=l impropia LX> [(x)dx converge o diverge 1 ~-----------------------------------------------------------._.~ ~ 00 Ejemplo 48.- La serie p, I:p converge si p > 1 Y diverge si p < 1 n=l Solución 1 Para esta serie, se tiene f ex) = xP v fex, ~ = lim fA ~dx = lím - _1 - ("-~:_:- 1) = _1__•.'¡ P > 1(ó 00 si p « 1) .. :. xP ,4--1(lO 1 xP A ....00 P - J ,¡1¡.' • P -- 1 Por tanto, por el criterio de la integral, si p > 1 la serie p converge y si p < 1 la 00 serie p diverge. Para p = 1, la serie I~es la serie armónica que es divergente. n=l 00 Ejemplo 49.- Determine si la siguiente serie converge o diverge L :k k=l Solución x La función {(x) = -= xe-x es positiva y continua para x >1 Y e'\ ['(x) = e-X(1 - x) Así, [' (x) < O,vx > 1. Luego. la función [ satisface las condiciones para el criterio de la integral y se tiene Por tanto, la serie dada es convergente. 00 Ejemplo 50.- Determine la convergencia de la serie I(k + 1) I~(k + 1) k=l Solución 1 L..: funcion [(x) == . l) es positiva y continua para x > 1 '/ (x + 1) In(x + 1 - l+ln(x+l) ['ex) = - ---~- [ex + 1) 111(x + 1) 1.1 ASÍ, [' ex) < o, vx > 1. Luego, la función I satisface las condiciones para el criterio de la integral y se tiene ¡-t-oo dx == lim JA d_X _ 1 ex + 1) ln(x + 1) A4+00 (x + 1) ln(x + 1) = lim [lneln(A + 1)) -ln(1n 2)] = +00 A->-t-oo Por tanto, la serie es divergente. 00 Ejemplo 51.- Determine si la serie ¿~ l+nn 4 converge o diverge. n=l Solución x La función fCx) = 1 + x4 es positiva y continua para x > 1 y 1- 3x4 ['(x) = (1 +X4)2 < O.V« > 1 Luego, la función [ satisface las condiciones para el criterio de la integral y se tiene ¡TOOxdx JOA xdx 1 tt tt 1 4 = lim 1 4 = 2 lim farctanCA2 ) - -] = - 1 + X A-·+oo 1 + X A--++oo 4 8 Por consiguiente, la serie dada converge. VI) CRITERIO DE RAABE i) Si L > 1. entonces la serie es convergente. ii) Si L < 1, entonces la serie es divergente. iii) Si L = 1. el criterio no decide. oc Teorema 18.- Sea L an una serie lit: términos posuivos. tal que n=l lim n [1- an+1 ] = 1,. J~JlIOllCl;S S~ tiene: n-tOC an ''XI Ej emplo 52.- Determine si laserieZ' : ~1 ., es convergente u divergente. n.) + L. n=l Selución Para la serie, se tiene a = .... a = ,.... y lim anT1 = 1. Luego, no es posible n n 3 + 2' n+ 1 (n + 1)3 + 2 n-t 00 a.; aplicar el criterio del cociente. Al aplicar el criterio de Raabe, se obtiene 3 3 • 3 ¿ . í an..,.:¡ . n ¡ n ¡ r: .'\ .. 11m n 11 - = 11m = j > n -- oo._ an.. n-oc: (n + 1) 3 + 2 Por tanto, la serie dada converge. Ejem plo 53.- \Xl • ~ 11 3-1 Determine si la serie I 2 .. , 3 es convergente o divergente. i....J nj T '1'1=1 Solución Al aplicar el criterio de Raabe, se tiene n3 - 1 (n + 1)3 - 1 a = a ------- n 2n3 + 3' n+l - 2(n + 1)3 + 3 [ a 1] ( -n3 - 15n2 lim n 1 - - 15n - 4 ) n.,. = lim n . = O < 1 n....0.0 an n_' 00 (n 3 - 1) (2 (n + 1) 3 + 3) Por consiguiente, la serie dada es divergente. EJERCICIOS Determine si las siguientes series son convergentes o divergentes. 00 ,lnen + 1) 1. ¿ (n + 1)3 converge: Criterio de la integral n=l sx: 2.¿, 1 converge: Criterio de la integral en + l)[ln(n + 1))2 n=1 00 ,n+l 3. Z: n2n converge n=l 00 In! 4. converge: Criterio del cociente 1.3.5 ..... (2n - 1) n=l 00 I .n < diverge: Criterio de la integral oJ. (4n - 3)(4n - 1) n=l 00 I-n« - 11n(4n + 1) 6. n(n .. 1) n=l 00 I[sen (nx) I 7. 2 converge: Criterio de comparación. n converge: Criterio de comparación en el límite. n=l 00 8. L en :'2)! n.=1 00 00 , In n , 1 -r '.!n 9. Z: n-Jn + 1 converge. 10. Z: en + 1)3 - 1 n=l n=l f n cos? (n ~) 11. Z: 2n converge: Criterio del cociente y comparación. n=l converge: Cnterio del cociente. 00 12. ¿" n In n [In1(ln n)]P Ccintegral. Converge si .p > 1, diverge si p < 1 n=l n=l 2 5 10 2 17 3 15.-+-.2+-.2 +-2 +... 1.2 2.3 3.4 4.5 00 I n4 + 5n lnn ~s;:::;::;:::===========:------:-- Vn24 - 20n + 10 + 56n n=l 00 . I 7n8 + 10earctan n 3 converge. n=l (In 3)11! + Vn1S + 7n Ioo 'Vií9 + 2 . r: diver qe. 3n3 + 2vn + 8 n=l converge. divergc.c.cocicntc 00 I [sec n] 14. n=l .¡n arctan(n) diverge. diverge. converge. 00 ~ (n!)2 19. ¿(2n)! 11::..1 converge. e.cociente 00 :21. ~¿2 n! diverge: e.cociente 2n 11-1 00 3n - 2 ~ divcrge: C.culllparaciúll en el límite Z: 211 + 5n n=l 00 ~ 3n + 4n2 Z: n! + 7n n=l 00 I(n + 1)11 2 en n=1 converge: C.colllparacióll en el límite converge: e.raíz 1.)0 Lcos(rrk) k2 c. Ccomparación "if--~-, rx: Ia.rc.,tan n ni. + 1 11 I 1 _?.5 k. In k 111(111 k) divcruc~ k-'I '27 f In e: 3) diverge.c.integral k=l converge: Criterio de la integral 11:::1 oc. I (10) 00 I n. + sen n I211n! 51l I () converge 30. · + arctan 3n '- nn 11=1 n=1 00 converge: e.coclente Isen (~) converge: e.comparación 71=1 CI) al Demuestre que f'" ;: dy existe. considerando la serie I(:)" 1 11= 1 oo Demuestre que I[In I~lln k converge, aplicando el criterio de la integral k:::2 3 5 7 2n + 1 33.-=22.32 + 32.42 + 42.52 + ... + (n + 1)2(n + 2)2 + ... conv.: Cvintegral 3 (6)2 ( 9 )3 (3n )n 34.- 4 + 7 + 10 + ... + 2n + 2 + ... diverge: e.raíz (3)1/2 5 ( 7 )3/2 (2n + 1)n/2 35.- 4 + 7 + 10 + ...+ 3n + 1 + ... converge: e.raíz 36.- 1000+ 1000.1002 + 1000.1002.1004 + ... + 1000.1002 ... (998 + 2n) + ... 1.4 1.4.7 1.4.7 ... (3n - 2) Converge: c. cociente 2 2.5.8 2.5.8.11 ... (6n - 7)(6n - 4) 37.- - + + ...+ + ... 1 1.5.9 1.5.9.13.17.. (8n - 11)(8n - 7) converge: e.cociente 00 38.- Iarcsen (Jn) diverge: e.comparación en el límite n=l .JO 39.- I, 1 converge: e.comparación n3 + 3n2 + 3n > n3 n=l -Jn(n + l)(n + 2) 00 00 40.- ~ n2e-n convergente 41.- ~ m + 1 convergente L L (m+ 2)2m n=l m=l oc 42.- z:(2k ~ 1)2 convergente: e.integral I\.=J.. oc ~ (k + 1) Z: (k + 2)2k k=O f In~k"T..;..\) [{=2 zc ~ vk 45.- ~ k2 _ sen? (100k) converge ;(=2 k + 1 1 converge: e.cOJnparaci6n (k + 2)2k < 2K 43.- 44.- oo ~.yk4+1 vk4+1 1 46.- L k3 In k divergente k3 In k > k In k .!~,_ -..".. ?O IIsec_nl 47.- vn ~-.., ,l-A divergente I I 1 Isecn, .... -->-= -yn -yn 7.4 SERIES ALTERNADAS Definición 12.- Una serie de la forma 00 ¿e-l)n+1an = al - a2 + a3 - a4 + ...+'e-1)n+1an + ... y de la forma n=l ex. ¿(-l)nan == -al + a2 - a3 + a4 + ,..+ (-l)nan + "', n=l donde an > 0, vn E ru se denomina serie alternada. Teorema t 9.- Teorema de Leibniz. Si una serie alternada >:C_l)n+1an = al "'112 + a, + '" + (-l)n+1an ..... · eS tal que sus términos _~ ~ n-A al > az > a3 > '" > en > ¡tu ...1 > "',; :im L¡n = U I "-00 entonces la serie alternada es convergente. Sl1 suma es posiuva y no supera ~J •orimer término . Demostración. En las dos sumas parciales 52n == (al - a2) + (a1 - el,,) t·" + (U211-1 - a2n) todos los paréntesis son numeros positivos. pues an > an-t-l' v n E ~ por hipótesis. En consecuencia. ia sucesión {52nJ es monotona creciente y .a sucesión lS2n~:;' ;;::$ monótona cecreciente. L. uego. .')~2nn > v y 52n"t"1 < alJ \v..1n e'- 1"'\)", Luego. .v•as sucesio. nes §LS"12n':' ) :ll S . están acotadas .nrcriormente oor () \ 2n-t-1J • .J superiormente por al' Por tanto. las sucesiones son con vcrgerucs. esto i!S. lim S;,:n-t-l = lirn (52n T U2n-t-l) = lim S2n T lim a¿n-t-l = iim S2r.. = S i't-(X'". i'1-t().... 71-tOC ,,-'\.XI ¡YL-OC Así. lím Srr~= S, si m adopta valores Impares o valores pares u ambos. m-IX' Por consiguiente. ia serie ¿;-ly'1~!ar, converge al valor S, donde O < S < al, ."l='" ~ (_1)n+1 Ejemplo 54.- Determine si la serie alternada ¿ n es convergente o n.=1 divergente. '--' Solución Para la serie, se tiene 1 1 ~ a.; = -, an+n 1 = n + 1 Y Cln+ 1 < a111 'in E ~ Y lim ~ = O n-+oo n · (-lrH1 Por tanto. por el teorema de Leibniz la serie L n es convergente. n=l t L n+2 Ejemplo 55.- Determine si la serie (.-l)n ( 1" es convergente o n n + .:..) n.=A., ' divergente. Solución Para la serie. se tiene n+2 a.; = n(n + 1)' n+3 a n+1 < 1, 'in E ~ Y an+1 = (n + l)(n + 2)' an n+2 Jim a.; = 1im = O n-.+oo n-++oo n(n + 1) Por lo tanto, la serie dada es converg._ente . Ejemplo 56.- Determine si las siguientes series convergen o divergen . •r. a) L(_1)n;-1 .: ..+. '"L.) ,6n~ - 4 b)¿(-1 )"+ln3e-n3 n=2 Solución En muchos casos es muy útil la derivada para probar que an > an+1, 'in E ru En este caso, se tiene - ) 5x + 2 ffe - - -30X2 - 24x - 20 J (x = 6'" 4') X) - '6.... .1)" <. O' v x >- .1.... x ~ - 'x' - "1' e: ::J- n ~ ~') . Lueg'-o, (en). = an = 6n'...- 4 es una funcíon decreciente. esto es. 5n + 2 a.; > an+1, \:;In > 1 Y lim a.; = lim 6 2 = O n-++oo n-->;-oo n - 4 Por tanto, por el teorema de Leibniz la serie dada es convergente. '_. Para la función f ex) = x3 e -x 3 • se tiene Luego f(n) = n3e-n3 es una función decreciente, esto es. an > an+1• vn > 2 v lim a = lim n;)e-n3 "' n-+cx: n :-t.- = n -e- oc. Por consiguiente, por el teorema de Leibniz la serie dada es convergente. Definición 13.- Se dice que ia serie I0" es absolutamente convergente si la 11 . 1 x: senc L; an: es convergente. "l Ejemplo 57.- Determine si la serie ~Z: 1-1 /\"T~ _].,::._ es absolutamente 11-: onverg..e...nte . Solución , 21' 2 . (1 11 serie Z'\:: (_1)n+1 -371 = ~ - = 2" -) es una serie .u..e.ométrica , Z: 3" L 3. .. n=l 17=1 11=1 convergente. Luego, la serie dada es absolutamente convergente. Definición 14.- \ Una serie que es convergente. pero no absolutamente converge.....nte. se denomina condicionalmente converg~ente. Ejem p lo 58.- Determ ine s i la serie I(-1)n ~ es abso 1utam en te convergente condicionalmenhte converge'-nte. Solución Como la serie '\: ¡(-1) n 1 ¡ = y 1 es una serie armen ica divergente. y por L I ni '--J r.. n=~ teorema de Le ibn izo la serie ¿(-1) n ~ es convergente. entonces la serie n-'1 -r-Óx: dada es condicionalmente convergente. Teorema 20.- Toda serie absolutamente convergente es convergente. además, una serie es absolutamente convergente si y sólo si, la serie formada con sus términos positivos y la serie formada con sus términos negativos son ambos convergentes. La demostración se deja al lector. Ejemplo 59.- Determine si la serie . (nrr) "\' 10 sen ""6 Z: n1.1 ;1.= 1 es convergente o divergente. '-o Solución Los primeros términos de la serie son positivos. el sexto es cero. los cinco siguientes negativos. etc. Puesto que 'nrr (nrr) .nrr) 10 10 sen lT) lO 10 sen .6 10 -1< sen (- 6 <-' J c=:> --- < ' < -- c=:> < -~-~ n1.1 - n1.1 - n1.1 n1.1 n...·• .I 10 v la serie dominante -n1"....es convergente. entonces por el criterio de n=~ comnaración. !a serie dada es absolutamente convcruemc. Por tanto, la serie dada , ... es convergente . ..__ Ejemplo hO.- Dcrci mine ia convergencia () divergencia de la serie ;1.. \' ~ 1· • A , • .. " A • , - .l \ l'-t -r tan I - 1, _/, ~I vn ) . .1=·- . Solución Por el criterio de; n-esimo termino (le :a ~C) le ve lIc!1L: que la sene :x x \~ . '1']' / !(-l)n !4+ tan \ -) I = ~I 1 J \ 4 + lf111 t -)} e~ divergente. pues ~ . .. ,n,! t.....J n.. n=r. n=h 11) 1iITl Un == 1ím (4;.- ta n (- ) == '1 ::;::.l) il--""CX :1. .......,.. (x, , n Además, esta serie no satisface el teorema de Leibniz. Por tanto. .a serie dada ~~ CRITERIO DE LA RAZÓN ABSOLUTA ro Teorema 21.- Sea IUn una serie 'infinita para la cual a.; '* 0, vn. E f\l n=l . an+l y supongamos que hm = r. Entonces: n-ro an i) Si r < 1, la serie es convergente. ii) Si r > 1, la serie es divergente o si lim an +l = 00 tambien diverge. n-f..() an iii) Si r = 1, nada se puede concluir acerca de la convergencia. Demostración. Se deja al lector. Ejemplo 61.- 00 I(_l)n-ln Pruebe la convergencia de la serie --_--~n n=l Solución Para la serie, se tiene (-1)n-1n v '" . I i( ...7.1n~ t¡ . ¡an 1 - 1) ~ .. -e- 1 • . . ~ 5n-r l •. n. ~ ~ A hm = Alm I • ,= .im == ::- < '. ¡¡-OC. Un' ::-~) I ( _ í )7:-1 _,_, n-u Sn .... 1 •. A ~~11 . Por tanto, por ei criterio de ia razón absoluta la sene aaaa es convergente. Ejemplo 62.- Determine si ia serie ~L(_l)nTl nn es convergente () divergente, n! n=:! Solución Para la serie, se tiene nii. a = (_l)n~l_ 11. n., ' r.n -,-,,·)n..,..: Á _ ( JO)1t;-2_' _ Qn. ~ -;. - \. - .... (n" ) .. ..... I ( #1 )r. ( . Iaro - A e l n -- ~ ni )n. l' •, ... I ,. '- l' JO 11m = AIm = .HI1 := t. > .Jo.. n ....r.o; an I ·....IX... ( r.. ""•7 -A1 )\'' ni-. 7l-1X Por consiguiente, por el criterio de la razon .a sene es diverzente. o ~ x: Ejemplo 63.- Determine si la serie converge u diverge '"/ (_l)n-r:! v.n. _ ~ ti"'i- ~ ~-- 'L-v Solución Al aplicar el criterio de la razón, se tiene lim an+l - lim [(Vn + 1)(n + 8)] - lim [ ¡P+ 1 (n +8)1- 1 n-.oo an - n~oo n + 9 vn - n-tOO n n + 9 - Luego, por el criterio de la razón no se puede concluir nada acerca de la convergencia de la serie. :'1 r:::. 'yx Ahora. al considerarf (x) = se obtiene x+B 8 - 2x j' (x) = 3X2/3 (x + 8):C: < 0, vx > 5 Así, ten) = vn8 = an I!S una función decreciente y a.; > an+1' 'In > 5 ?1+ Además, por la regla de L' Hospital se obtiene ~n 1 lim an = lírn _ = lim 3 = O :1-T ,J. I convergente -.. -----------~--_ .... ~. . - . :, 2 3,/3 4"J 4 J\" 5 :rv 6 converz..e... nre --.. v ; j_.A. - - __ - - - __ -- ••• ~....2 '?3..... ~....? ~~ .c..onve"r"z.:e::n; tleit ,.. 2 4 -". ..".. __. ... 72 _. ... . ":' _._... 4.... .... ~_ k __ ~ • A Y 'A • A x ~I J. ) ~-1)r.. ~ convergente ~ m n n=2 n- .. -J.. ~ _ x ~ n: ~ inn 7.¿(_1)n+l n3 -i- 2 converge: e.íntegral 8.¿\-1 )n-rl n2 converge --' I~- A pí1. _1 v:"::__ diverze: «: cociente A) v. ...,.~...,. V.t.J W ~ .... '- 1/' \ ~\.;. /- "\Ir. :; n -~--~ conc. converg. .jr .. - A .... _. , ..- ~.. ..y _, 1 ... - .... 00 00 3n 1 11. L"(-_1)n+l -n, . converge: e.coc. 12',L,( -l)n+l n(1nn)2 diverze: e coc b'" n=l n=2 00 (_l)n-l (j)n 13.L" n'" diverg.: e.COC. 00 (_s)n-l 14.L" nn.I abs.conv.: e.coc. n=~ n=l IXl 00 (-1)n-1n! (_l)n-l(n + 1) 15.L'\' 1.3.S.. (2 n _ 1) converg.: e.coc. 16.L'\' n,¡nn cond.conv. n=l n=l 00 00 " (-1)n2.4.6 .. (2n) " (_1)n-l(n!)22n 17. L 1.4.7 .. (3n _ 2) converge 18.L (2n)! C.coc. n=1 n=l oo 00 1(-1)n(6n2 - 9n + 4) 1(-1)n+l1n(n + 1) 19. ~ 20. n.l n + 1 n=l cond. Converg. C. integral n=l cond. Converg.. descomponer en sumas 00 "'\: n2+n n L(-1)-2- 2n ahs. conv. C.I':l:t.Oll n=1 f (2n + l)n 23. L(-l)n 3n + 1 n=1 Abs. convergente: C. rarz • 25.Ir.: :)"-1tan e~) '(nverg, ~-' 11.- A ~ ('1.3.5 ... (2n _ ..))3 27. \ (-1)í1 Z: 2.4.ñ ... 211) n=l oc 1 (21+1. '1 no' n 28. (-l)n ,) conv.: e.raíz 3 n. -t- 1 n=l ..)O 1(-l)n(n + 1) 22. cond.conv. n-l (n + l}v'n + 1- 1 IX) 1 1 1.4.7 ... (3n - 2) 24. (-l)n- . 7.9.11 ... (2n+S) '1'-1 diverge: C. razón 1.. ., \ sen (na) ... J.¿ (in 10/~ ......--,~ converge .onvergente: C.razón oc 29.1(-l)n (1 - cos ~) 11=1 00 (-1)n 30. L" cond.convergentc 2" 1- 2-11 < 2e" lnlen + e-n) n=l ~ (-lr' 1 1 31. L' 2 converge ----- < --- i n lri (n+l) nln'2(n-r )-n!n2n n=l 00 ~ (_1)nn3/í .¿'\ (11Ti)! conv. Crazón 71=1 00 34.Isen (In n) divergente 71=1 Ji1+1 e-X 33.¿(_1)n X dx conv.c.razón 71_-11 n -" 00 35.¿(-l)n ( 1 - nsen (~)) n=l ;:Q >:In (n sen ~) con n sen ~ < 1. entonces In (n sen ~) < O ,J(. I(-l)n arctan en]1) convergente: e.integral n=l 00 I(-l)n (; - arctarin n)) condicionalmente convergente n=l 00 ~ I(_1)n [e - ( 1+ ~ condicionalmente convergente n-l L(\ I n(n-l) n100 (-1) 2 - .?...n fl-l ~\ 3 ~ 1" Ji- I(sen n) cnverge: C.razón 1 1 conveiente sen - < - criterio de comparación n n -:1=1 1 1 sen (l) 1 convergite sen - <=, entonces n <- n n n n2 eo I(1 - cos (~)) corerge ( 1" 44. Lf' 1 - n s:n n) converge n=1 n=l .x. (-l)k 46.Ik ln2k converge ,{=.:. x: cos (r.A.;r ~ / L .,,' convers.._ '" . L(-1) tan ~ cond.cnvergente. e.comparación en el limite oc "\ (\-l")n"":¡n L üol"vtge "lOOOn ¡ 106 n=l n=~ I00 " (_l)n""lJn , condionalrnente convergente lOan -T- 1 n=l 53.2:00(_l)n..,.l(""n -1- l--vn) conv. n ~n ~ :. -.Jh ! n < 2n3jZ 11.=1 7.5 SERIES DE POTENCIAS Definición 15.- Una serie infinita de la forma Iai x" == aO + a¡ x + (lZX2 + ...+ ai x" + ... i<=() se denomina serie de potencias en x. donde x es una variable. Una serie de potencias en x es lo análogo para series infinitas de lo que es un polinomio en x. En general. una serie infinita de la forma Iadx - el == an -1 (/, (x - e) -1- 1!2(X - e)2 + ...+ ak(X - el + ... k=(1 recibe el nombre de serie de potencias en (x - e) o centrada en c. al Teorema 22.- Si la serie de potencias Il/k .k es convergente para Xl =!= O. , () Entonces es convergente para lodo IlÚ11le11l \. lí11 que Ixl < Ix) ! Demostración, x e()Ino 1a ~ e r ie , an X;l e s e () 11V e J'.:;' ¿ e 11Ic. l!111\111\; C~ 1 i111 u11 lX1 ) ti = l) n 'LO' n=O Luego, para El = 1 > O, 3N > O. 1,11 tille 1(1" ;'1 t • siempre que n > N Ahora. si x es cualquier númct () 1dl 'lile lA I ~ I~11. C1I1!1I1CI.!~ .". 11 r • I /1 a .".ni = ICl x"_'" - 1(,:1 .. "1 I-, I nA.. 11 1 nI - · JI. I I I . Xl I I l' A I 1/ < I · I • íl1~ "> S L~1I rx.omo .la razo-n r = . x f -. < :_,.;11l0nCl:S la serrc ~ ¿iXI''t '-' I l' ti es .onveruente. "_. .X¡. Luego. por ei cnterio oe comparación. la :-it.:I'IC: ,J1 \ 1(", v:J / t 11"" , -...J 11 'j t.:~ aOSo1utamente convergente para [x] < :x1 i. x- Por tamo, la serie Ia.nxn es convergente para x. tal [ue :x¡ < ~x¡1 entonces diverge para todo número x, tal que [x] > IX21. 00 Corolario 1.- Si la serie de potencias Lanxn diverge para un número X2. k=O Entonces. exactamente una de las siguientes alternativas se cumple: 00 Teorema 23.- Sea L unx" una serie de potencias. 11=0 i) La serie converge solamente para x = O ii) La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x. iii) Existe un número r > O tal que la serie es absolutamente convergente para todo x para el cual [x] < r y diverge si [x] > r. Demostración. :) Si x := Q, entonces ; ~nxn = ao -7- O -+- ... O + ...es convergente . ..._; 71.=2 ii) Supongamos que la serie dada es convergente para x = Xl' donde ;[,. ;= .J. entonces la serie es absolutamente convergente, \fx ral que :x: < ;x11, Ahora. si no existe ningún valor de x para C! cual la serie dada es divergente. podernos concluir que la serie es absoluramcmc convergente para torio x real. iii) Si ia serie daca es convergente para x = XI. .tonuc Xl -:¡::. Ü y es divergente para x = X2' donde :x21 > ¡Xl i: entonces. por el lCOre111á anterior la sene es divergente para todo x para el cual Ixl > 1.. 2 i. Luegc. ,x2; es .a cota superior de! conjunte' de valores de IX, para ~. cua: la SCf!C es absotutamente ~onveru.ente . Por tanto. por e~ aXiOlTI2.. ce compierez ';;!stt conjunto oc numeres reales '~ie;~e una mmima cota superior r, .a. que para todo x :)aré~c. cual x absoiutamenre ~onverQ..:em:é.. r ~ ... ~ zn :¿~nera.. se nene ~A .._ siz"-uiente teorema: iii) Existe un número r > O, tal que la serie converge vx para los cuales [x - el < r y diverge \/x para el cual [x - el > r 00 Teorema 24.- Dada la serie de potencias Ian(x - c)n n=O Entonces. exactamente una de las siguientes alternativas se verifica: i) La serie solamente converge para x = e ii) La serie converge vx E ~ El valor de r se denomina radio de convergencia de la serie de potencias. Luego. los intervalos de convergencia de la serie de potencias será uno de los siguientes intervalos: a) 1 = < e - r; e + r) b) 1 = < e - r; e .¡. r J e) J = [e - r; e + r) d) J = le - r: e l· r I " _() Teorema 25.- Si para una serie de potencias I"" (x - e)" se t icnc lim !an +1! -= A1 (O ~ M < (0). n~lXl I an : entonces ei radio de convcrgcncra ue la serie ce potencias es JO. r = -, donde r = ) si :\1 = o; V r = x si Af = O' " • J • v_¡ Ejemplo fi4.- Encuentre e: intervalo de convergencia de cada una de las siguientes series de potencias. n=iJ a ~( .1 "·X2r.. I ¿ .:-) n=·J n=G zc ~ x3n el _/ (-l)r..-n,. 1 ex - 2 J . (x - 2)l (x - 2)n n - -r + ---+ ...+ + ... 3 .].'ti ~..4..~.~. 3nn2 Solución a) Dado que ar. = (-1 Y't y Iim an"?'l' = 1 = i\11 entonces el radio de n-lXl ar•. 1 convergencia de la serie es r = - = 1. Como la serie está centrada en x = {) .\1 entonces es convergente para x tal que IX21< 1= R <=> -1 < x < 1. Por tanto, el intervalo de convergencia de las series es 1 = (1; 1). 1 b) Para a11 = 3n+1 I se tiene a 3n n+1}.= +1 1 M a lIl] = - = 11 n~+oo 311+2 3 1 Luego, el radio de convergencia de la serie es r =- - = 3. Además, la serie M diverge para x = -3 y x = 3. Por tanto, el intervalo de convergencia de la serie es 1 = (-3; 3). . (1n+1 n + 1 e) Sea an = n, entonces 1lli-m~+ - = lim _- = 1== M. Luego, la serie es I an n~+I n convergente para todo x E 1 = (-1; 1). n+2 d) Para a.; = (- 2) 11 I se tiene n+l (-1)n+12n+1(n + 3)(n + 1) (-1)n211(n + 2)2 1 1 ASÍ, el radio de convergencia de la serie es r == - = -. , M 2 intervalo las series lim an+1 li a == 1m 11 n~+oo = 2 == M En los extremos del (X=~)~(_2)nn+2(~)n = ~(_1)nn+2 y 2L n+12 L n+1 11=0 n-O ( 1) ~ 11 + 2 ( 1)11 __ ~ n_+ 2 x=-2 L(-2)l1n+1 2 Ln+l n-O n O divergen. Por tanto, el intervalo de convergencia de la serie dada es 1 1 1=(-2;2) 1 a e) Dado que a.; = e-l)n - y lim n+1 n! n~+oo an n., '1 = liIn = lim = O n-s+co en + 1)! n~+oo n + 1 1 1 entonces el intervalo de convergencias de la serie es r == M == O = 00 Por tanto, la serie converge v x E ~, 1 t) Al hacer an = 3nn2 I se obtiene an+1 3nn2 1 lim = lim == - = M n~+oo an n~+oo 3n+1 en + 1)2 3 Luego. el radio de convergencia de la serie es 1 r = M = 3. Así, la serie converge si Ix - 21 < 3 <=) -1 < x < 5 En los extremos del intervalo (x = -1 Y x = 5) las series resultantes son, respectivamente 00 00 c"" .C-l)n_2:_n_ Z y ¿"" n_2_2' que son convergentes. n;O n;O Por tanto. el intervalo de convergencia de la serie es 1 = [-1; 5] Ejemplo 65.- Determine el intervalo de convergencia de las series 00 00 L n-l In n (64)11 (x - 5)311 L(X + 3)n 1 ( -1) 2771n'~i b) x + 2 4n n;3 n;1 Solución 1 In n (ó'1)" Dado que an = (-1)n-... '27 3 Y t )"'" entonces ei radio de convergencia l;~ ¡ 27 r = - = -. Como la serie está centrada en x = 5, la serie converge vx 1 1W 64 . 7~ 17 ~3 .... / ~ L.. .. tal ~ue 1ex - 5)31 < 64 <=) 1< x <1 17 23 Se comprueba fácilmente que para x =4 y x = '4I las series resultantes [ convergen. Por tanto. el intervalo de convergencia de la serie es I = 417;'243] 'x + 3\n 1 Al hacer bn = (x+ 2·). =n'": y utilizar el criterio de la razón. se obtiene . IbnTbR •. X -t• - 3 n4 I"x¡" . 31 .rm 1= nm . = n-"T"oo I bn. n-TOO X + 2 (n + 1)'~' X + 2 x+3 :5 Luego, la serie es convergente si x + 2 < 1 I~ X < - 2 00 5 1 En x = - - la serie resuítante ~ (-l)n 4 es convergente 2 ~ n n;ll 5] Por tanto, el intervalo de convergencia de la serie es ¡= (-00; - 2 EJERCICIOS l.-En los siguientes ejercicios encuentre el intervalo de convergencia de la serie de potencias dadas. II.-En cada uno de los siguientes ejercicios, determine el radio de convergencia de las series de potencias dadas. Loxo " OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS 00 De la sección anterior, se vi o que cada serie de potenc ias Ian (x - e)n defi ne n=O una función f cuya regla de correspondencia está dada por 00 [(x) =Ian(x - c)n n=O y su dominio es el intervalo de convergencia de la serie . ['(x) =Inan(x - c)'t-l = 111 -1- 2(/l(~ - e) -1- 3a3(X - C)2 + ... I n=l . lb) La función f es integrable y 00 rX ~ (X J f(t)dt = ¿ J Qn(t - c)71 dt. = I100 n=O ; e) f (x) y fln) (x) son continuas para lodo" E ~. Teorema 16.- Si I [(x) =Lan(x - e)" = ao + al(x - e) -1- a2(x - C)2 + a3(x - C)3 + ... n=O es una serie de potencias. cuyo radio de convergencia r es no nulo. entonces en el intervalo J = (e - r; e + r) se verifica: a) La función f es diferenciablc y 00 00 Ejemplo 66." La serie de potencias Lxn es convergente para [x] < 1, pues n.=G es una serie geométrica y su suma es 00 L n q • 2 3 I • n 1 . X = 1T X -t- X +- X ..... T X ..... = 1_ X I SI [x] < 1 n=O Cuando se reemplaza en esta serie x por - x, se tiene 00 L(-x)n = 1- x + X2 - x3 + ...-1- (-1)nxn + '" = 1: x ,si [x] < 1 n=O y si se reemplaza en la serie dada x por X2. se obtiene 00 IX2n = 1+ X2 + X4 + ...+ X2n + ...= 1~x2 • [x] < 1 n=O De la misma manera, si se reemplaza en la serie dada x por -x2, resulta 00 IC-l)nX2n = l-x2 +x4 -xo ...+ C_1)nx2n + ...= 1:x2 .jx] < 1 n=O x3 x5 x7 Ejemplo 67.- Muestre que arctan x = x - 3+ 5-7 - .... si [x] < 1 Solución De la serie del ejemplo 66. se tiene 1 1+ X2 == 1- X2 + x4 - x6 + ...+ (_1)nx2n + "', si [x] < 1 Al integrar esta serie término a término, se tiene Ix 1 x3 x5 x7 o 1+ t2 == arctan x == x - 3" +5- -;;+-... ( 1 Ejemplo 68.- Aproxime arctan 2) hasta el tercer lugar decimal Solución x3 x5 x7 Del ejemplo 67 arctan x = x - - -i- - - - + .... Entonces J' 3 ~ ~ JI, 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1\7 arctan (2) = 2 - 3 (z) + 5 (2) - 7(z) = 0.463 1 Ejemplo 69.- Obtenga una representación en serie de potencias de ( )2 l-x Solución Del ejemplo 66. se tiene 1 _, fex) == 1-x == 1+ x -r xl. -r ... + x1t + ...,si ¡xi < 1 1 ~ {'(x) = (1_ x)Z == 1+ 2x + ... + nxn-~ + "', si [x] < 1 00 Ixn Xl X3 xn Ejemplo 70.- Demuestre que eX == -, == 1. -r x .J_ -2 ' + -31 + ... -t- -, + ... n. .. n. n=O Solución Loxon . Sea [(x) = -n,. ' donde su dominio es el intervalo de convergen.cia (-00; +oo) n=O 00 00 00 ¿nxn-1 ¿ xn-1 ¿x" AsC['ex) = ,= e _ )' = -, = [ex), Entonces [ex) = e" n. n 1. n. n=1 n=1 n=O Ejemplo 71.- Encuentre una representación en serie de potencia de e-x Solución el ejemplo 70, al hacer el cambio de x por - x,se obtiene -x X2 x3 (-1)n n e = 1- x + - - - + '" + x + ... v x E IR{ 2! 3! n! J Ejemplo 72.- Encuentre una representación en serie de potencias de LX e-t2 dt Solución 00 (-1)nxn tiene que e-x =L~ J vx E ~. Al reemplazar x por t2, resulta n! n-O 1C, L2n 1"'le 1)1t-+· .. ]! H! Luego, 3 l' fx X x·' -t2 e dt = x - - +- o 3 2!S X ., e 1)11X 2 11+ 1 -- I ... 1 - t- ", ~! 7 ti! (211 + 1) Ejemplo 73.- Obtenga una representación CII ~, 'ri ' de potencias de lile 1 + x) Solución 1 [(t) = = 1-t+ t2 tl-I'" 1 (-1)"1" I "',si Itl < 1 1+t Luego, por el teorema 26 e) se obtiene dt X2 xJ x·1 X",I 1 --=ln(1+x)=x--+ --1",' (-1)" -+"',silxl<1 1 + t 2 ~~ 4 ,1 l· 1 Ejemplo 74.- Calcule aprox. con Ircs cil: a, decimalese! valor de L1/2 e-t2 dt Solución ejemplo 72, se tiene f1/2 1 1 1 1 o e-t2 dt = 2 - 24 + 320 - 5376 + ... = 0,5 - 0,04117 + 0,0031 - 0,0002 +oo, "" 0,4614 00 00 Teorema 27.- Dadas las series de potencias 00 00 {(x) = Ianxn y g(x) = Ibnxn ,se verifica: n=O n=O i) {(cx) =Iancnxn n=O ii) [(x) + g(x) = I(an + bn)xn n=O 00 n iii) {(x). g(x) =Ic"x" ,donde c.; =Ia¡bn_, 11;;;.0 (....;0 Ejemplo 75.- Encuentre una serie de potencias de x que sea convergente a la " In(l +x) función .., 1+ X" Solución 1 Las series potencias de las funciones [ex) = ln(l + x) y g(x) = 1" 2 son +x respectivamente X2 x3 x4 1 2 4 6 ln(l + x) = x - -2 + -3 - -4 + ... y = 1- x + x - x + ... 1+ X2 Luego. al multiplicar estas series. se obtiene ln(1 -1- x) X2 2 3 x4 13x5 . .. ----= x----x +-+ + ... SIIXI < JO. 1 ..!... 11'2 ') ~ 1 c: • . .A.. , J'\., .) 4 ....'....... EJERCICIO,- :.- En cada uno de los siguientes ejercicios. encuentre una serie oe potencias ce x que converja a la función dada y determine el radio de convergencia. 1 • 1. l ..._ a.~ (1 - R. -2-t2 + 2.3x + 3.4x¿ + 4.5x" + ...) x)~ cosx b. ~I __ v JO. • A,. c. sec x .,_ V JO,. oh d. 2 1-x+x X2 e •• (".r - \.J.._ -x/' •n(, "..'.. - Av.J Z -- x 2.- En 105 siguientes ejercicios. se define una función f por una serie de potencias. Encuentre e! dominio de f. Loox" a. f(x) = -;;- -n'" n--1.. ¿.Xxln b. fCx) = I vn n=l 00 () ¿ex -l)n d. [x = n3n n=l t.X. ..., t ~. _~(-l)nx,n- .. c. J(x) - ¿ (2n -1)! n=l En los siguientes ejercicios calcule el valor de la integral dada con 4 decimales de aproximación. Q. fale-x2 dx 1/4 tarctan x b. J g(x)dx. donde g(x) = x • x *- O o 1 x = ° 1 {ex - 1 c. { f(x)dx, donde {(x) = x ,si x =F- ° Jo 1, sí x = O R. 0,7468 R. 0,2483 R. 1,3179 6. SERIES DE T AYL()I{ Y MACLAtJRIN Una función definida por una SCJ'il! de potencias posee derivadas de todos los órdenes que se pueden obtener al derivar la serie (k .potencias termino a término acuerdo al teorema 26 a). Sí ¡ex) =¿Qk\x - e)'" . v x í: (e - r: (' I rr. don J..: " C~ <:1 radio de convergencia. entonces resulta .{=~ f"(x, =Lk(k - : }llk x - C)k-Z • en general <==z f" (x) - ~ -{r X ,~)K-; \,.1\. - ¿ i I.Ak\ -... , x: rn)(x) = >: k(k -~) ... k-n.- l)ak(x - ..¡ -11. flx E (e - r ;c TI") .<=71 función f )' sus aerivadas tienen todas ~: mismo radio de convergencia de acuerdo con el teorema de derivadas de series . .:\1 evaluar la función f y sus derivadas en el número c. se obtíene Ce) = ao, ['Ce) = al' ("Ce) = 2az, yen general !tn)(e) = n! ar- r f(nJ(c) , , , v • d . sr, an = n!. para cada entero pOSltIVO n 'j la scne e potencias que representa a f está dada por , ["(e) 2 [Cn)(e)(x - e)" [(x)=[(c)+[(e)(x-e)+ (x-e) + ...+ + ... 2! n! 00 = ~ [en)(e)(x - e)n L n! 71.=0 Definición 16.- La serie de potencias que representa a la función [ dada por f"(e) [en)(e)(x - e)" [(x)=[(e)+['(e)(x-e)+ (x-e)2+ ... + + ... 2! n! denomina desarrollo de f en serie de Taylor alrededor de x = e. Definición 17.- Si e = O, se obtiene el desarrollo de [ en serie de Maclaurin alrededor de e = O. esto es, 00 [" (O) [cn) (O)xn 1[en) (O)xn [(x) = [(O) + ['(O)x + X2 + ...+ + ... == --- 2! n! n! n=O Ejemplo 76.- Encuentre la serie de Maclaurin para [(x) == eX Solución Las derivadas sucesivas de [(x) y sus valores en x = O son [(x) == e" [(O) == 1 ['(x) == eX [(O) == 1 Por tanto, la serie de Maclaurin de /(x) = eX es . , f" (O) 2 [en) (O) n [(x)==f(O)+[(O)x+--- -x +·,,·t- x + ... 2! n! C;O X2 x3 x" 1xn eX==1+x+-+-+"·+-+"·.=-= - 2! 3! n! . n! n-O Ejemplo 77.- Determine la serie de Maclaurin para [(x) = sen x Solución Las derivadas sucesivas de [(x) y sus valores en x == O son [(x) = sen x [(O) = O ['(x) == cosx ['(O) = 1 [ " (x) == - sen x [" (O) = O [(3)(X) = - cosx [(3)(0) == -1 [(4) (x) = sen x [(4)(0) == O [(5)(x) = cosx [(5)(0) == 1 consiguiente, el desarrollo de [(x) = sen x en serie de Maclaurin es 00 x3 XS x7' I x2n+l [(x)=senx=x--+---+ ... = (-l)n_-- 3! 5! 7! (2n + 1)! . n=O Ejemplo 78.- Encuentre el desarrollo de [(x) = In x en serie de Taylor alrededor x = 1. Solución derivadas sucesivas de [(x) y sus valores en x = 1 son [(x) = lnx [(1) = O 1 ['(x) = - ['(1) = 1 x 1 ["(x) = -- X2 2 [(3)(x) =- x3 f"(l) = -1 f(lI)(l) - ( 1)"11! Luego, el desarrollo de [(x) = In x en serie de Taylor alrededor de x = 1 es (x - 1)2 (x - l ):' (x - L)" (x) = 1nx = (x - 1) - t· ----;- . - ... + (-1) 11+ 1 + ... 2 J n 00 =I(_l)n+l (X 1)_11 n n=l Esta serie converge vx E (O; 2] Ydiverge para x > 2. Ejemplo 79.- Encuentre el desarrollo de [(x) = cos x en sene de Taylor alrededor de x = ti, Solución derivadas sucesivas de [(x) y sus valores en x = tt son [(x) = cos x [(rr) = -1 [' (x) = -sen x [' (rr) = O [" (x) = - cos X [" (rr) ~ 1 f(3)(x) = senx f(3)(rr) = O f(4)(X) = cosx f(4)(rr) =-1 tanto, el desarrollo de [(x) = cos x en serie de Taylor alrededor de x = ti es (x - rr)2 (x - rr)" (x - rr)2n f(x)=-l+ - + ..·+(_l)n+l + ... 2! 4! (2n)! co f(x) = ,,{ _l)n-;-l (X - rr)2n e: (211)! n=i) serie converge \/x E IR:.. Ejemplo 80.- Encuentre la serie de Maclaurin para [ex) = eXz y especifique el intervalo de convergencia. Solución serie de Maclaurin de g(x) = eX encontrada en el ejemplo 76 es l 00 x::" xJ x" Ix" g(x)=ex=l+x+-+-+"'+-+""'= - 2! 3! 11! 11! n=O sustituir x por X2 en la serie de e", se obtiene la serie de Maclaurin para X) = eX?. esto es v4 xÓ v2r.. 2 2 "'" ...... I ¡(x) = gtx ) = 1 + x + 7: + -3' + ...+ -: • ... ...... n. intervalo de convergencia de la serie es J = (-.x>; +00:> Ejemplo 81.- Determine la serie de Maclaurin para f(xj = cos/:x Solución Las derivadas sucesivas de gtx) = cos x y sus valore" en x = ()sor. g tx) = cos x .1' O' = ~A :J' 'X) = -sen x ;'(OI=Ú ".._ .. I , ....11 _ "... v ,j X) - - ....QS .I~ ," '0' - .. ,.) I I - - A. .... , "" g".;)'( Xj = sen x a\4·,(x~= cosx ...... .. .. ,"7' 3 , t O) = (J ,.}.,4i(Q) = 1 Por consiguiente, el desarrollo de .lJ (x) = ces x en serie de Maclaurin es oo X2 x4 x(l x8 I x2n g(x)==cosx==l--+---+-_·· .. = (-l)n .. . 2! 4! 6! 8! (2n)! n=11 ~ 1.cosl2x) 1 ~ Como f (X) == cos: x = ... ' =::;- -:- ::: cost 2x) , entonces a: sustituir x ¿ ¿ or 2x en la serie ce cos x resulta . Ejemplo 8:'.- Determme 'el desarrollo de /(x) == cos(·/x - 3) er. ser:t .ie potencias en torno a x == 3. Solución sustituir x por x - 3 en la serie de Maciaurin de cos x. se tiene (x - 3)2 (X - 3)4 (X - 3)6 (X - 3)8 cos(x - 3) = 1 - + - + --- 2! 4! 6! 8! Luego, al reemplazar X - 3 por .vx - 3 en esta serie se obtiene x - 3 (x - 3)2 (x - 3)3 (x - 3)4 [(x) = cos(.vx - 3) = 1 - 2! + 4! - 6! + 8! La serie converge para todo x > 3. Ejemplo 83.- Encuentre la serie de Maclaurin para [(x) = (1 + x)", donde a es un número arbitrario y halle su radio de convergencia. Solución Las derivadas sucesivas de [(x) y sus valores en x = O son [(x) = (1 + x)" [(O) = 1 [' (x) = a(l - x)a-l t' (O) = a [" (x) = a(a - 1)(1 + x)a-2 [" (O) = a(a - 1) [(n)(x) = a(a - 1) (a - n + 1)(1+ x)a-n [(11)(0) = a(a - 1) (a - n + 1) Por tanto, la serie de Maclaurin para esta función llamada serie binomial está dada por a(a-l)x2 a(a-l) ...(a-n+l)xn f (x) = (1+ x) a = 1+ ax + + ...+ + ... 2! n! Para encontrar el radio de convergencia, se aplica el criterio de la razón, esto es a11+1 la - ni lim = lim 1 [x] = [x] 11-)+00 an n-)+oo n + Ahora, la serie es convergente si [x] < 1 Y divergente si [x] > 1. Luego, su radio de convergencia es r = 1. Ejemplo 84.- Halle la serie de Maclaurin para [(x) = VI + x = (1 + X)1/2 Solución 1 Al sustituir a = 2 en la serie binomial, se obtiene 1 [(x) = (1 + x)"Z 1 ~(~- 1) . ~(~ - 1) .., (~ - n + 1) = 1+ - x + X2 + ... -1- xn + ... 2 2! n! 1 X2 (-1)"+11(3) ... (2n-3) =l+-x---+"'+ xl1+ ... 2 222! 211n! co I(-1)11+11(3) ... 12n-31 . == 1 + 211n! x", si Ixl < 1 11=1 Ejemplo 85.- Halle la serie de potencias para [(x) == ln(x + ~1 + X2) en torno a x == O. Solución 1 Para la función {(x) == ln(x + .j1 + X2) I se tiene {'(x) == -;=====:::;: ~1 + X2 Así, para encontrar la serie de potenc ias de r, so lo es necesario encontrar la serie de potencias para [' (x) == (1 + X 2) -1/2 e integrar término a térm ino. 1 ;\ I sustitu ir a == - 2 y x por X2 en la serie binom ial, se tiene (l+x) 2 -1/2 ==l--x 1 2 + 1(3) x 4 - ... + (-1)n1(3) ... (2n - 1) x z» + ... 2 222! 211n! si X2 < 1 Por tanto, al integrar término a término se obtiene x 1 f(x) == ln(x + .jl + X2) == J dt o ~1 + t2 x3 1(3)x5 (-1)111(3) ... (2n - 1) 2 +1 ==x- + + ...+ X 11 + ... 2(3) 22(5)2! 2n(2n + l)n! Ejemplo 86.- Encuentre la serie de potencias para {(x) == arcsen x en potencias de x y determine su rad io de convergencia. Solución 1 Para la función [(x) == arcsen X, se tiene que {'(x) == == (1 - X2)-1/2 ~1- X2 La serie binomial para ['(x) es X2 3x4 15x6 ['(x) == (1_X2)-1/2 == 1 +2+8+ 48 +"',si [x] < 1 Luego, la serie de potencias de [(x) == arcsen x es [(x) == arcsen x ( X 1 x3 3 _ 15 == dt==x+-+-x::>+-x7+···,silxl<1 JO v 1 - (2 6 40 336 El radio de convergencia de la serie es r == 1. EJERCICIOS cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre la serie de potencias para las funciones dadas y muestre su radio de convergencia. 00 1.1n(x + 1) en serie de potencias de x - 1 R.I(_l)n-l (x ~ l)n .r = 1 n=1 2 . ..¡x en potencias de x - 4 00 1 I(-1)n-11.3.S ...(2n - 3)(x - 4)11 R.2+-(x-4)+2 4 2.4.6 ... (2n )411 11 1. tt 3. cos x en potencias de x· ] 1 1 IT 1 tt 2 1 IT 3 R.-2--{3(2X--)-.-(r- 3 '1 - ] ) +-{132(X--) 3 + ... r=+oo I 00 R._ 1I(-1)n-1(2x)211 4. sen 2 x en potencias de x 2 (2n)! n=1 lT 5. tan x en potencias de x -'1 00 211 ( IT)n R. "" x -4 Z: n! n=O ó.In]x] en potencias de x -1- 1 -I00 R. (x + l)n ,r _- 1 n 11=1 00 I X211+1 7. senh x en potencias de x R. (2n+1)1 11=0 00 "" X211 8. cosh x en potencias de x R.¿ (2n)! n=O 00 1-cosx I(-1)n+lx21l-1 9. en potencias de x R ------ .r = 00 x . (2n)1 11=1 10. 4x'" - lSx3 + 20x2 - 10x + 14 en potencias de x + 1 R. 63 - 111(x + 1) + 89(x + 1)2 - 31(x + l)'i + '1(x + 1)'" I l. sen 2 x en potencias de x 12 . 2x en potencias de x 3 13. (1- x )( 1+ 2x ) en potencias de x 11-0 Sug. Descomponer en fracciones parciales U'l 00 f(x)= 1 + 2 =~xn+2~(-1)n2nx11 1-x 1 + 2x Z: Z: x=O 11=0 1 15. - en potencias de x - 1 x 14. x3 - 2x2 - 5x - 2 en potencias de x + 4 R. -78 + 59(x + 4) - 14(x + 4)2 + ex + 4)3, r = 00 (x' R.¿(-1)" (x - 1)", (O< x < 2) n=l) 1... 16.--::- en potencias de x + 1 XL R.¿(n + 1)(x + 1)", (-2 < x < O) n=O 1 17. x 2 + 3x+ 2 en potencias de x + 4 00 R.¿(2-n-1 - rtt-1 )(x + 4)", (-6 < x < -2) n=O 00 ., 1 (- 1)n-1 ( 32n - 1) 18. sen: x en potencias de x R - '. x2n+l r = +00 '4¿ t2n+1)! · n=O 19.- Use la serie binomial para encontrar expansiones de las siguientes funciones en potencias de x. Determine los radios de convergencia. 20.- ..Aproxirne cada una de las siguientes integrales definidas con 4 cifras decimales. r 1/2 r 0.1 a. j sen (x2)dx R.0,0415 b. j !n(l + sen x)dx R.O,0048 'e G 1 (1- cos x c. f g(x)cix ,donde g(x) == ~ x ,sí x 0;= e R.O,2397 a Ü si x = e d. L1 / 4 __¡xsenxdx R.O,0124 e. ilsenx3dx R.O,23385