Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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SUCESIONES Y LÍMITES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Calcula los tres te´rminos siguientes de cada una de las siguientes sucesiones: a) 4, 7, 10, 13, 16, ... b) , , , , , ... 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 c) 1, 4, 9, 16, 25, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... 2. Halla el te´rmino general de las siguientes sucesiones: a) 10, 7, 4, 1, 2, ... c) 1, 8, 27, 64, 125, ... b) , , , , , ... 2 4 6 8 10 3 5 7 9 11 d) 0, 7, 26, 63, 124, ... 3. Dada la sucesio´n de te´rmino general an : n 1 n 1 a) Calcula sus tres primeros te´rminos. b) Halla el lugar que ocupa el te´rmino as . 15 17 c) Demuestra que es estrictamente creciente. d) Halla, si es que existen, una cota superior y una cota inferior. e) Calcula el lı´mite de la sucesio´n. 4. Dadas las sucesiones: an: 1, 3, 5, 7, 9, ... bn: 5, 4, 3, 2, 1, ... cn: 2, 7, 12, 17, 22, ... a) Halla los tres primeros te´rminos de la sucesio´n 2an 3bn cn. b) Halla los tres primeros te´rminos de la sucesio´n an · (2bn cn). c) Halla los tres primeros te´rminos de la sucesio´n . an bn 5. Dada la sucesio´n an 3 : 1 n a) Demuestra que es estrictamente decreciente y acotada inferiormente. b) Calcula su lı´mite. c) Averigua a partir de que´ te´rmino los te´rminos siguientes se aproximan a 3 con un error menor de 0,001. 6. En el an˜o 2002 y en un cierto bosque habı´a 10 000 m3 de madera. Si se supone que cada an˜o la cantidad de madera crece en un 4 %: a) Escribe los tres primeros te´rminos de la sucesio´n de las cantidades de madera segu´n los an˜os transcurridos. b) Escribe el te´rmino general de dicha sucesio´n. c) ¿Cua´nta madera habrı´a en el an˜o 2048 si se siguieran dando estas mismas condiciones? 7. Calcula los siguientes lı´mites: a) lim 2n 2 2n 3 n 3 n 2 d) lim (2n 3) · ( 3n 2) 3 2n 2 n 7 g) lim 3 (8n 3) · ( n 3) n 2 3n 6 b) lim 2n 3 2n 2 3 n 2 2n 3 e) lim 2n 3 n 1 · 2 n 1 5 h) lim 3n 1 2n 5 2n 1 n 7 c) lim 2n 2 2n 3 3n 2 3n 5 f) lim n 3 4n 3 i) lim ( 2n 2 1 n ) j) lim ( 2n 2 1 n 2 1) SOLUCIONES 1. a) a6 19 a7 22 a8 25 b) a6 a7 a8 11 13 15 12 14 16 c) a6 36 a7 49 a8 64 d) a6 37 a7 50 a8 65 2. a) an 10 (n 1) · ( 3) 3n 13 b) an c) an n 3 d) an n 3 1 2n 2n 1 3. a) a1 0 a2 a3 0 1 2 1 2 3 4 2 b) as 15 · (s 1) 15 s 1 17 s 1 17 · (s 1) s 16 Es el te´rmino que ocupa el lugar nu´mero 16. c) an 1 an n n 1 2 n 2 n 1 n 2 3n 2 Esta expresio´n es siempre positiva. Por tanto, an 1 an y la sucesio´n es estrictamente creciente. d) an 1 . Una cota superior es 1 y una 2 n 1 cota inferior es 0. e) lim lim 1 1 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 n 4. a) a1 11 a2 1 a3 13 b) a1 8 a2 3 a3 30 c) a1 1 5 a2 3 4 a3 5 3 5. an 1 an 3 3 1 1 1 n 1 n n 2 n La u´ltima expresio´n es siempre negativa. Por tanto, an an 1 y la sucesio´n es estrictamente decreciente. Por ejemplo, una cota inferior de la sucesio´n es 3. lim 3 3 0 3 1 n Wan 3W 0,001 0,001 1 3 3 n 0,001 n 1 001 1 n 6. a) 10 000, 10 400, 10 816, ... b) an 10 000 · 1 · 04n c) a48 65 705 7. a) lim lim 0 2 2 3 2n 2 2n 3 n n 2 n 3 0 n 3 n 2 1 1 1 n b) lim lim 2 3 2 2n 3 2n 2 3 n n 3 2 n 2 2n 3 1 2 3 0 n n 2 n 3 c) lim lim 2 3 2 2n 2 2n 3 n n 2 2 3n 2 3n 5 3 5 3 3 n n 2 d) lim lim (2n 3) · ( 3n 2) 3 6n 2 5n 9 2n 2 n 7 2n 2 n 7 lim 3 5 9 6 n n 2 6 1 7 2 2 n n 2 e) lim lim 2n 3 n 1 2n 2 5n 3 · 2 n 1 5 5n 2 5n lim 5 3 2 n n 2 2 5 5 5 n f) lim 3 1 n 3 n 3 n lim lim 4n 3 4n 3 3 4 n 1 1 4 2 g) lim 3 (8n 3)·( n 3) 3 8n 2 21n 9 lim n2 3n 6 n 2 3n 6 2 21 9 3 8 n n 2 3 lim 8 3 6 1 2 n n h) lim 3n 1 3n 1 lim 2n 5 2n 1 2n 5 2n 1 lim n 7 n 7 2 2 1 3 5 n lim 2 1 2 n n 3 lim 2 23 8 2 7 1 n i) lim ( 2n 2 1 n ) lim ( 2n 2 1 n ) · ( 2n 2 1 n) 2n 2 1 n lim 2n 2 1 n 2 1 2n 2 1 n 0 0 j) lim ( 2n 2 1 n 2 1) lim n 2 1 2n 2 1 n 2 1 0 0 1. Se considera la siguiente sucesio´n definida por recurrencia: a1 2 an 1 an 2. a) Calcula sus cuatro primeros te´rminos. b) Demuestra que se trata de una progresio´n aritme´tica y halla su te´rmino general. c) Demuestra que es mono´tona creciente. d) Demuestra que no esta´ acotada. 2. Se considera la siguiente sucesio´n definida por recurrencia: a1 3 an 1 2 · an. a) Calcula sus cuatro primeros te´rminos. b) Demuestra que se trata de una progresio´n geome´trica y halla su te´rmino general. c) Demuestra que es mono´tona creciente. d) Demuestra que no esta´ acotada. 3. Dada la sucesio´n definida por recurrencia a1 1 an 1 1 an 1 a) Calcula sus primeros te´rminos. b) Sabiendo que es convergente, calcula su lı´mite. 4. Dada la sucesi´on definida por recurrencia a1 2 an 2 · a n 1 a) Calcula sus primeros te´rminos. b) Sabiendo que es convergente, calcula su lı´mite. 5. Se depositan durante 5 an˜os 10 000 euros en una entidad bancaria que ofrece un intere´s compuesto del 6 % anual. Escribe los primeros te´rminos de la sucesio´n de los intereses que se abonan al final de cada perı´odo si dichos perı´odos son de: a) un an˜o; b) un mes; c) un dı ´a. Se supone que los intereses de cada perı´odo se suman al capital depositado en cada momento. Halla el total de intereses recibidos en cada caso. 6. Se forma un cubo de lado n con cubos de lado 1 y se pintan las caras del cubo grande. Finalmente, se cuentan los cubos pequen˜os que tienen tres caras pintadas, los que tienen dos y los que tienen una. a) Forma la sucesio´n del nu´mero de cubos con tres caras pintadas segu´n que el lado del cubo grande sea 2, 3, 4, etc. Escribe el te´rmino general. b) Forma la sucesio´n del nu´mero de cubos con dos caras pintadas segu´n que el lado del cubo grande sea 2, 3, 4, etc... Escribe el te´rmino general. c) Forma la sucesio´n del nu´mero de cubos con una cara pintada segu´n que el lado del cubo grande sea 2, 3, 4, etc... Escribe el te´rmino general. 7. En un cierto paı´s, se supone que la poblacio´n crece anualmente en un 2 %. a) Escribe la sucesio´n del nu´mero de habitantes segu´n el nu´mero de an˜os transcurridos desde el 2002 sabiendo que en este an˜o eran 3 500 000 habitantes. b) Calcula en que´ an˜o se doblara´ la poblacio´n inicial. c) Indica si la sucesio´n es mono´tona y si es acotada. 8. Calcula los siguientes lı´mites: a) lim b) lim 1 2 3 ... n 2 4 6 8 ... 2n 2n 2 n 2 1 SOLUCIONES 1. a) a1 2 a2 0 a3 2 a4 4 b) Es una progresio´n aritme´tica, ya que la diferencia entre dos te´rminos consecutivos es siempre constante. an a1 (n 1) · d 2 (n 1) · 2 2n 4 an 2n 4 c) an 1 an 2 0 an 1 an Es estrictamente creciente. d) No esta´ acotada superiormente, ya que lim (2n 4) . 2. a) a1 3 a2 6 a3 12 a4 24 b) Es una progresio´n geome´trica ya que el cociente entre dos te´rminos consecutivos es siempre constante. an a1 · r n 1 3 · 2n 1 an 3 · 2n 1 c) an 1 an 3 · 2n 3 · 2n 1 3 · (2 · 2n 1 2n 1) 3 · 2n 1 0 an 1 an Es estrictamente creciente. d) No esta acotada superiormente ya que lim (3 · 2n 1) 3. a) a1 1 a2 1 1 1 1 2 a3 a4 1 2 1 3 1 3 2 5 1 1 2 3 b) Como se sabe que la sucesio´n es convergente: lim an lim an 1 L. Por tanto: L L 2 L 1 0 1 1 L L 1 5 2 (La solucio´n L no tiene sentido, ya 1 5 2 que una sucesio´n de te´rminos positivos debe converger siempre a un nu´mero nulo o positivo.) 4. a) a1 2 a2 4 2 2 8 8 a3 4 8 2 8 128 a4 8 16 2 128 32 768 b) Como se sabe que la sucesio´n es convergente: lim an lim an 1 L. Por tanto: L 2L L 2 2L L 2 2L 0 L · (L 2) 0 L 2 (La solucio´n L 0 no tiene sentido, ya que todos los te´rminos son mayores que 1.) 5. Un capital C durante t an˜os a un r % produce: • CF C · cada an˜o. t r 1 100 • CF C · cada mes. 12t r 1 1 200 • CF C · cada dı ´a. 365t r 1 36 500 Por tanto: a) Intereses recibidos cada an˜o: 1.o: 600, 2.o: 636, 3.o: 674,16 y 4.o: 714,61 Total de intereses: CF C 10 000 · 1,065 10 000 3 382,26 b) Intereses recibidos cada mes: 1.o: 50, 2.o: 50,25, 3.o: 50,50 y 4.o: 50,75 Total de intereses: CF C 10 000 · 1,00560 10 000 3 488,5 c) Intereses recibidos cada dı ´a: 1.o: 1,64, 2.o: 1,64, 3.o: 1,64, 4.o: 1,64 y 5.o: 1,65 Total de intereses: CF C 10 000 · 10 000 1825 6 1 36 500 3 498,26 6. Siendo n la medida del lado del cubo grande: a) Tres caras pintadas: 8, 8, 8, 8, ... an 8 b) Dos caras pintadas: 0, 12, 24, 36, ... an 12(n 2) c) Una cara pintada: 0, 6, 24, 54, ... an 6 · (n 2)2 7. a) a2002 3 500 000 a2003 3 570 000 a2004 3 641 400 a2005 3 714 228 a2006 3 788 513 b) PF 3 500 000 · 1,02t 7 000 000 1,02t 2 t · log 1,02 log 2 t 35 an˜os log 2 log 1,02 De forma aproximada, la poblacio´n se doblara´ en el an˜o 2037. c) Es mono´tona creciente y acotada inferiormente pero no superiormente. 8. a) lim lim 1 2 3 ... n (1 n) · n 2n 2 2 · 2n 2 lim n 2 n 1 4n 2 4 b) lim lim 1 2 4 6 8 ... 2n (2 2n )·n 2 n 2 1 2n 2 2 2