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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES , MÉTODO DE GAUSS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Resuelve las ecuaciones de primer grado: a) 1 x 2x 4x 22x 3 5 15 15 b) 2 x 2x 5 x 3 5 3 c) 5x 2 7x 3 x 1 4 8 2 2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (3x 1) · (3x 1) (x 5) · (x 1) (9x 1) · (x 3) 8 9 2 18 9 b) (3x 7) · (3x 7) (x 2)2 (2x 1)2 6 2 4 c) x · (x 1) (x 5)2 (x 3)2 (3x 1) · (3x 1) 15 5 3 15 3. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 10x2 11x 6 0 b) 25x2 25x 4 0 c) (2x 1) · (3x 1) 6 4. Resuelve las siguientes ecuaciones, calculando previamente alguna solucio´n entera: a) 6x3 13x2 4 0 b) 12x3 19x2 8x 1 0 c) 4x4 5x2 1 0 5. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales. Recuerda que al final del proceso debes comprobar cua´les de las soluciones halladas son verdaderas y cua´les son falsas: a) x x 132 c) 2x 1 6x2 12x 7 0 b) 2x 3 2x 3 6 d) 3 3x 1 2 3(2x 1) 6. Aplica el me´todo de sustitucio´n para resolver los siguientes sistemas de segundo grado: a) 2x y 5 2 2x 3xy 14 b) x 3y 4 2 y 2xy 1 7. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales realizando un cambio de inco´gnita en los casos que consideres necesario: a) 42x 1 64 b) 2 4 2x2 3x c) 3x 1 3x 1 30 8. Resuelve las siguientes ecuaciones logarı´tmicas: a) 5 log x 10 b) log (x 27) log x 1 9. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2 2x 1 x 8 2 2 b) x 1 x 2 x 3 59 2 4 8 8 c) 2x2 x 6 0 10. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) x 2y z 5 x 4y z 5 x 3y z 3 b) x 3y 2z 6 2x 3y 5z 6 x 3y 2z 0 c) x 3y 2z 1 x 4y 3z 15 2x y 4z 17 11. La suma de las edades de tres amigos es 52 an˜os. Se sabe que Juan y Eva tienen la misma edad y que la suma de las edades de Eva y de Ana es 35 an˜os. Calcula las edades de los tres. SOLUCIONES 1. a) 5x 6x 4x 15 22x x 1 b) 6x 15 30 15x 5x 15 x 0 c) 10x 4 7x 3 4x 4 x 3 2. a) 2(9x2 1) 9(x2 4x 5) 9x2 26x 3 16 18x2 2 18x2 10x 32 x 3 b) 2(9x2 49) 6(x2 4x 4) 3(4x2 4x 1) 12x 125 x 125 12 c) x2 x 3(x2 10x 25) 5(x2 6x 9) 9x2 1 x 121 3. a) x x , x 11 121 240 2 3 20 5 2 b) x x , x 25 625 400 1 4 50 5 5 c) 6x2 x 7 0 x x , x 1 1 1 168 7 12 6 4. a) (x 2) (6x2 x 2) 0 x 2, x , x 1 2 2 3 b) (x 1) (12x2 7x 1) 0 x 1, x , x 1 1 3 4 c) (x 1) (x 1) · (4x2 1) 0 x 1, x 1, x , x 1 1 2 2 5. a) x (132 x)2 x2 265x 17 424 0 x 121(x 144 falsa) b) 2x 3 (9 2x)2 2x2 19x 39 0 x 3(x 6,5 falsa) c) (2x 1)2 6x2 12x 7 x2 4x 3 0 x 1, x 3 d) 9(3x 1) 12(2x 1) 3x 3 (x 1 falsa). La ecuacio´n no tiene ninguna solucio´n. 6. a) y 5 2x 2 2x 3x(5 2x) 14 4x2 15x 14 0 (x 2, y 1); 7 3 x , y 4 2 b) x 4 3y 2 y 2y(4 3y) 1 7y2 8y 1 0 ; (x 1, y 1) 25 1 x , y 7 7 7. a) 42x 1 43 x 2 b) 2 22 2x2 3x 2 0 2x2 3x x 2, x 1 2 c) 3 · 3x · 3x 30 3x 9 32 1 3 x 2 8. a) log x 2 log 100 x 100 b) log (x 27) log x log 10 log x 10 x 27 x 30 x 10 9. a) x 11 b) 5x 5 59 x 64 5 c) (x 2) (2x 3) 0 x 2 3 2 10. a) x 2y z 5 x 1 2y 2z 0 y 2 2z 4 z 2 b) x 3y 2z 6 x 1 9y 9z 18 y 1 6y 6 z 1 c) x 3y 2z 1 x 2 y 5z 16 y 1 33z 99 z 3 11. Edades (en an˜os): Juan x, Eva x y Ana 35 x. x x 35 x 52 x 17 Por tanto, Juan y Eva tienen 17 an˜os cada uno y Ana tiene 18 an˜os. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 5 b) 2 x 2 x 2 x 2 x x2 x 1 3 a2 2 x x2 x 1 1 3a2 1 2 x 2. Dada la ecuacio´n de segundo grado ax2 bx c 0. a) Demuestra que la suma de sus dos raı´ces es igual a b a b) Demuestra que el producto de sus dos raı´ces es igual a c a 3. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales: a) b) r x x2 4 x r2 x2 2rx x2 x x2 4 2 4. Resuelve la siguiente ecuacio´n exponencial: 3x 1 3x 2 3x 3 3x 2 352 5. Resuelve la siguiente ecuacio´n logarı´tmica: 5 log x log 288 3 log x 2 6. La circunferencia de la figura tiene 16 cm de radio y el punto P esta´ situado a 24 cm del centro O. La secante PA corta a la circunferencia de tal forma que las distancias PB y BA coinciden. Calcula la longitud del segmento de extremos P y A. P B A O 7. Dos grifos juntos llenan una ban˜era en 12 minutos. Calcula el tiempo que tardarı´a en llenar la ban˜era cada uno de los grifos por separado si se sabe que uno de ellos emplearı´a 10 minutos menos que el otro. 8. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x 2y 3z 3 3x 2y z 7 5x 2y 5z 1 9. Comprueba que las expresiones x u2 v2, y 2uv, z u2 v2, siendo u y v cualquier pareja de nu´meros enteros, forman una solucio´n de la ecuacio´n x2 y2 z2. ¿Co´mo sera´ el tria´ngulo formado por segmentos que midan estos nu´meros? A cualquier terna de nu´meros enteros que verifican esta ecuacio´n se la denomina terna de nu´meros pitago´ricos. SOLUCIONES 1. a) 5 5 2x2 8 (2 x) (2 x) 2x2 8 2x 2x(2 x) 2 x 12x2 20x 8 0 x 1, x 2 3 b) x2 3a2x2 x 3a2x 1 3a2 3x2 a2x2 3x a2x 3 a2 2(a2 1)x2 4(a2 1)x 2(a2 1) 0 (a2 1)x2 2(a2 1)x (a2 1) 0 x , x 1 a a 1 a 1 1 a 2. a) x1 x2 b b2 4ac b b2 4ac 2a 2a 2b b 2a a b) x1 · x2 · b b2 4ac b b2 4ac 2a 2a ( b)2 (b2 4ac) 4ac c 4a2 4a2 a 3. a) 2x 2 x2 4 x2 x x2 4 x2 4 x2 2x x4 4x2 4x3 x2 4 x 2 x2 4x 4 2x3 x2 4x 4 0 (x 2) (2x2 3x 2) 0 x 2 0 x 2 2 2x 3x 2 0 no tiene soluci´on real b) r2 x2 r 2rx x2 r2 x2 r2 2rx x2 2r 2rx x2 2rx x2 x 2rx x2 x2 x2 rx 0 x(x r) 0 x 0 x r 4. 3 · 3x 9 · 3x 27 · 3x · 3x 352 1 9 · 3x 352 3x 9 32 x 2 352 9 5. log log x5 36x3 0 x5 x3 x5 x3 288 8 288 8 x 0, x 6, x 6 x 0 y x 6 no son solucio´n del problema. 6. P B R S A O Los tria´ngulos PAR y PSB son semejantes, ya que tienen un a´ngulo comu´n P y los a´ngulos en A y en S son iguales, por abarcar el mismo arco en la circunferencia. Escribimos una ecuacio´n con la inco´gnita PB. PA · PB PR · PS PB PR PS PA 2 · PB2 (24 16) · (24 16) 320 PB 160 4 10 cm PA 2 · PB 8 10 cm 7. Si se supone que el primer grifo tarda x minutos en llenar la ban˜era y que el segundo tarda x 10: x2 34x 120 0 1 1 1 x x 10 12 x 30 x 4 solucio´n sin sentido El primer grifo tardarı´a 30 minutos y el segundo tardarı´a 20 minutos. 8. Transformamos el sistema en un sistema triangular equivalente: x 2y 3z 3 x 2y 3z 3 8y 10z 2 8y 10z 2 8y 10z 14 0z 12 La u´ltima ecuacio´n no tiene sentido y, por tanto, el sistema no tiene solucio´n. 9. (u2 v2)2 4u2v2 u4 v4 2u2v2 2 22 4 4 22 (u v ) u v 2u v El tria´ngulo es recta´ngulo.