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SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa gráficamente mediante dos rectas, que pueden ser secantes (solución única), paralelas (no tiene solución) o coincidentes (infinitas soluciones).La resolución de problemas en matemática supone, muchas veces, una abstracción de la vida real que “aísla” las situaciones, sin considerar las interacciones entre las múltiples variables que intervienen en un fenómeno. Así, cuando planteamos una ecuación, estamos representando solo una relación (o quizás dos, a lo más) entre las variables involucradas. Sin embargo, muchas veces es necesario satisfacer simultáneamente un gran número de condiciones en un problema, lo que obliga a encontrar métodos para determinar la respuesta y verificar que cumple con los requisitos. A esto apuntan los ejemplos planteados aquí, como el horario escolar o la distribución de fechas de un campeonato deportivo. Si consideramos una sola condición tenemos muchas opciones (en ocasiones, infinitas), pero en la medida que se integran más, la discusión ya puede centrarse respecto de la más conveniente de las soluciones, o incluso respecto de la existencia de una solución. Los sistemas de ecuaciones lineales constituyen un primer paso en la resolución de este tipo de problemas, y se puede motivar su estudio a partir de estas situaciones. Dedique un tiempo a la motivación de este contenido a partir de sus interesantes aplicaciones. ¿Qué debes saber? Plantear y resolver problemas con ecuaciones de primer grado Se espera que los estudiantes no tengan problemas en la resolución de ecuaciones de primer grado, aunque no siempre sean capaces de explicar formalmente los mecanismos utilizados para resolverlas. Verifique que manejan el vocabulario adecuado y aplican los procedimientos correctos, evitando descripciones coloquiales, ya que en esta sección deberán formalizar procedimientos. Es importante también que verifique que los estudiantes manejan adecuadamente el lenguaje algebraico y son capaces de representar proposiciones simbólicamente. Revise con el curso estos ejercicios enfatizando la relación entre expresiones y operaciones de uso común (la mitad y dividir por 2, el triple y multiplicar por 3, etc.) Identificar, graficar y analizar funciones afines Para este indicador, recuerde a los estudiantes cómo se grafican rectas utilizando los conceptos de pendiente y punto de intersección con el eje Y. Enfatice también, especialmente, que un punto pertenece a una recta determinada si sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta; y a la inversa se puede afirmar que si satisfacen la ecuación entonces pertenecen a la recta. En la historia de la matemática abundan ejemplos en los que, ante un problema determinado, se ha buscado incesantemente la solución hasta que alguien se pregunta si, efectivamente, el problema puede tener solución o no. La búsqueda de la resolvente de la ecuación de quinto grado es un ejemplo de ello, cuando los matemáticos buscaban una fórmula para ella y Galois se dedicó a demostrar (y lo consiguió) que era imposible encontrarla. La determinación de las características de la eventual solución de un problema (incluso antes de encontrarla) ha sido una forma clásica de trabajo en matemática. Para los sistemas de ecuaciones, asociar sus ecuaciones a rectas nos permitirá saber si efectivamente existe una solución, y si esta es única. Orientaciones didácticas Los estudiantes ya han construido gráficos de rectas en el plano cartesiano y, además, cuentan con la experiencia necesaria en el uso de software desde la sección anterior, por lo que no deberían producirse mayores dificultades a este respecto. Lo que nos interesa ante todo es analizar un sistema de ecuaciones por medio de un gráfico, más que construirlo o utilizarlo para resolver (que puede ser un método muy engorroso y hasta poco eficiente). Es importante mencionar a los estudiantes que no todos los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas están formados por funciones afines; en muchos casos estarán formados por funciones lineales del tipo y = ax o por ecuaciones de la forma x = a o y = b. Enfatice que aunque no sean funciones afines es posible graficarlas y determinar la solución de un sistema de ecuaciones compuesto por alguna de estas rectas. Muestre a los estudiantes las características de este tipo de rectas, es decir, cuáles rectas que pasan por el origen, cuáles son verticales o cuáles son horizontales. Es importante señalar a los estudiantes que, al tratarse de dos rectas, no pueden darse casos de intersección en, por ejemplo, dos puntos: las soluciones o son infinitas, o es única o inexistente. Recalque esto para reforzar la utilidad del análisis gráfico. En esta lección los estudiantes podrían tener problemas para graficar, si es que interpretan de forma errónea las pendientes y coeficientes de posición de las ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones. Para evitar estas dificultades pida a los estudiantes que expresen cada ecuación en su forma principal, y luego determinen los valores de los parámetros involucrados. Respecto de lo anterior, conviene de todos modos explicar a los estudiantes que en una función se distingue una variable dependiente y otra independiente, pero en el caso de una ecuación con dos incógnitas, no hay una que pueda considerarse dependiente de la otra por derecho propio, es decir, cada una podría considerarse en propiedad como variable independiente. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Propósito: identicar y plantear un sistema de ecuaciones lineales. Decimos que un conjunto de valores satisface una ecuación si, al evaluar la ecuación para dichos valores, la igualdad se cumple. Por ejemplo, los valores x = 2, y = –1 satisfacen la ecuación 3x + 2y = 4 pues 3 • 2 + 2 • –1 = 4 6 – 2 = 4 4 = 4 Debes saber… En la fiesta del colegio el curso de Paulina vendió papas fritas en porciones de $300 y $500. Para realizar el conteo del dinero, Paulina preguntó a dos de sus compañeros sobre el total vendido y ellos le dieron las siguientes respuestas: Andrea: en total recaudamos $12 800. Pablo: se vendieron 34 porciones en total. Para averiguar cuántas porciones de cada precio se vendieron, Paulina aplica los siguientes pasos. Paso 1 Asigna las variables x e y, respectivamente, al número de porciones de $300 y $500 pesos vendidas. Con ello, plantea las siguientes ecuaciones: x: porciones de $300 y: porciones de $500 Andrea: en total recaudamos $12 800 → 300x + 500y = 12 800 Pablo: se vendieron 34 porciones en total → x + y = 34 Paso 2 Realiza una tabla de valores para la primera ecuación. x 1 6 11 16 21 26 31 y 25 22 19 16 13 10 7 Paso 3 Analiza cuál de los siguientes pares de valores anteriores corresponde con lo que le dijo Pablo, es decir, cuáles de los valores anteriores satisfacen la ecuación x + y = 34 x = 1, y = 25 → x + y = 26 x = 16, y = 16 → x + y = 32 x = 6, y = 22 → x + y = 28 x = 21, y = 13 → x + y = 34 x = 11, y = 19 → x + y = 30 x = 26, y = 10 → x + y = 36 x = 31, y = 7 → x + y = 38 Paso 4 Con esto Paulina concluye que x = 21 e y = 13, pues estos valores se corresponden tanto con la información que le dio Andrea como con la que le dio Pablo. Es decir, se vendieron 21 porciones de papas de $300 y 13 de $500. Lo que ha hecho Paulina es resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas (una ecuación es lineal si el mayor exponente de sus incógnitas es igual a 1), es decir, ha planteado dos ecuaciones con incógnitas x e y y ha determinado un par de valores de ellas que satisfacen simultáneamente a ambas ecuaciones. En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede representar de las siguientes maneras: ax+by e cx+dy f ax+bx e cx+dx f = = = = a, b, c y d se llaman coeficientes mientras que e y f son los términos libres. La solución del sistema se escribe como un par ordenado (x, y). En el ejemplo, la solución del sistema es (21, 13). Razona y comenta § ¿Habrías planteado el problema de otra manera? ¿Cuál? Explica y verifica si llegas al mismo resultado. En resumen Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de ecuaciones lineales. Se representa de la forma ax by e cx dy f + = + = donde a, b, c, d, e, f