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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. La hipotenusa de un tria´ngulo recta´ngulo es igual a 20 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula el valor del otro cateto, ası´ como la medida de su a´ngulo opuesto. 2. Uno de los catetos de un tria´ngulo recta´ngulo es igual a 24 cm y el otro mide 10 cm. Calcula el valor de la hipotenusa, ası´ como la medida de los dos a´ngulos agudos. 3. Resuelve los siguientes tria´ngulos recta´ngulos. En todos los casos el a´ngulo de 90 es el C. a) c 230 m, B 35 b) b 75 m, a 100 m 4. Resuelve los siguientes tria´ngulos: a) a 10 cm b 12 cm c 14 cm b) a 10 cm B 30 C 50 5. Calcula el a´rea del tria´ngulo sabiendo que A 90 , b 30 cm, c 16 cm. 6. Los lados de un recta´ngulo miden 10 y 5 cm, respectivamente. Calcula el valor del a´ngulo que una de las diagonales forma con el lado menor del recta´ngulo. 7. Una sen˜al de carretera indica que la inclinacio´n en ese tramo es del 12 %, lo cual quiere decir que por cada 100 m que se recorre se asciende 12 m verticales. ¿Que´ a´ngulo forma la carretera con la horizontal? 8. Calcula la medida de la altura sobre el lado mayor de un tria´ngulo cuyos lados miden 10, 15 y 20 cm, respectivamente. 9. Desde un cierto punto del suelo se ve la copa de un pino bajo un a´ngulo de 45 . Si nos alejamos 2 m hacia otro punto del suelo, alineado con el anterior y con el pie del pino, vemos la copa bajo un a´ngulo de 25 . Calcula la altura del pino. 10. Calcula el a´ngulo que forman la diagonal de la cara y la diagonal del cubo representadas en la figura. d a D SOLUCIONES 1. C B A 20 cm 12 cm b c 202 122 16 cm cos C 12 20 C 53,13... 53 7 48 2. B C A a 10 cm 24 cm a 242 102 26 cm tg B 10 24 B 22,61... 22 37 11 tg C 24 10 C 67,38... 67 22 48 3. a) A B C 230 m 35° b a b 230 · sen 35 131,9 m a 230 · cos 35 188,4 m A 90 35 55 b) A B C c 75 m 100 m c 752 1002 125 cm tg B 75 100 B 36,86... 36 52 12 tg A 100 75 A 53,13... 53 7 48 4. a) B A C 10 cm 14 cm 12 cm cos A b2 c2 a2 240 2 bc 336 A 44,41... 44 24 55 B 57,12... 57 7 18 C 78,46... 78 27 47 b) A 100 b 5,1 cm 10 · sen 30 sen 100 c 7,8 cm 10 · sen 50 sen 100 5. C A B a 30 cm 16 cm S 240 cm2 30 · 16 2 El a´rea del tria´ngulo es 240 cm2. 6. 5 cm 10 cm 2 10 tg 5 63,43... 63 26 6 El a´ngulo mide 63 26 6 . 7. 12 m 100 m tg 0,12 6,84... 6 50 34 8. B C A 20 cm 10 cm 15 cm ha 20 · ha S 22,5 · 12,5 · 7,5 · 2,5 2 ha 7,26 cm La altura del tria´ngulo mide, aproximadamente, 7,25 cm. 9. 25° 45° 2 m x h h tg 45 x h tg 25 2 x x x · tg 25 2 · tg 25 x 1,75 2·tg 25 0,93... 1 tg 25 0,53... El pino mide, aproximadamente, 1,75 m. 10. tg a a 1 d 2a2 2 36,26... 35 15 51 1. Teorema de las tangentes. a) Comprueba que en toda proporcio´n nume´rica se verifica la siguiente propiedad: Si , entonces a c a c b d b d a c b d b) Aplica el apartado anterior para demostrar que en todo tria´ngulo se verifica que: , a b sen A sen B a b sen A sen B siendo a y b dos de sus lados y A y B los correspondientes a´ngulos opuestos. c) Calcula el valor de dos a´ngulos x e y, tales que su suma sea igual a la medida del a´ngulo A y su diferencia igual a la del B. d) Ayuda´ndote de los apartados b y c, demuestra el siguiente teorema: «En todo tria´ngulo se verifica que , siendo a y b dos lados cualesquiera y A y B sus A B tg a b 2 a b A B tg 2 correspondientes a´ngulos opuestos». e) Resuelve el tria´ngulo ABC del cual se conoce a 15 cm, b 12 cm y A B 15 . 2. Suponiendo que A, B y C son los tres a´ngulos de un tria´ngulo cualquiera, demuestra que la suma de sus tangentes es igual al producto de las mismas. 3. De un tria´ngulo sabemos que 1. Demuestra que se trata de un tria´ngulo recta´ngulo en B. sen(B A) sen(B A) 4. Calcula, en funcio´n del nu´mero de lados, el a´rea del polı´gono regular de n lados inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. 5. a) Demuestra que 1 cos A 2 cos2 . A 2 b) Ayuda´ndote de la fo´rmula anterior y el teorema del coseno, demuestra que en un tria´ngulo de lados a, b y c, respectivamente, se verifica que cos , siendo p el valor del semiperı´metro p . A p(p a) a b c 2 bc 2 6. a) Demuestra que el a´rea del tria´ngulo de la figura es S p · r, siendo p el semiperı´metro y r el radio de la circunferencia inscrita. B C A a r r c r b b) Calcula el radio de la circunferencia inscrita a un tria´ngulo de lados 10, 15 y 16 cm. 7. Las diagonales de un cuadrila´tero miden d y D unidades lineales, respectivamente, y forman un a´ngulo . Demuestra que el a´rea de dicho cuadrila´tero puede calcularse con la fo´rmula S d · D · sen . 1 2 8. Los catetos de un tria´ngulo recta´ngulo miden 24 y 32 cm, respectivamente. Calcula el a´rea del tria´ngulo que tiene por ve´rtices el ortocentro, el baricentro y el circuncentro del tria´ngulo dado. SOLUCIONES 1. a) k a c a kb b d c kd a c kb kd k(b d) b d a c kb kd k(b d) b d b) Por el teorema de los senos a b sen A sen B se tiene directamente a b sen A sen B a b sen A sen B c) x y A 2x A B x y B 2y A B x ; y A B A B 2 2 d) a b sen A sen B sen(x y) sen(x y) a b sen A sen B sen(x y) sen(x y) A B tg 2 sen x cos y tg x 2 2 cos x sen y tg y A B tg 2 e) A 57,33... 57 20 12 B 42,33... 42 20 12 C 80,32... 80 19 37 c 17,6 cm 2. A B 180 C tg(A B) tg(180 C) tg C tg A tg B 1 tg A · tg B tg A tg B tg C tg A · tg B · tg C tg A tg B tg C tg A · tg B · tg C 3. 1 sen(B A) sen(B A) sen(B A) sen(B A) B A B A A 0 No ser´ıa tria´ngulo. (B A) (B A) 180 2B 180 B 90 Por tanto, se trata de un tria´ngulo recta´ngulo en B. 4. Se llama St a la superficie de un tria´ngulo cuyos lados son un lado del polı´gono y dos radios de la circunferencia circunscrita, el a´rea del polı´gono de n lados inscrito en una circunferencia de radio 10 cm es: 1 360 360 S n · S n · · 102 sen 50n · sen t 2 n n 5. a) 1 cos A 1 cos2 sen2 2 cos2 A A A 2 2 2 b) 2 cos2 1 cos A 1 A b2 c2 a2 2 2bc 2bc b2 c2 a2 (b c)2 a2 2bc 2bc (b c a) · (b c a) 2p(p a) 2bc bc cos A p(p a) 2 bc 6. a) Se puede descomponer el tria´ngulo ABC en tres tria´ngulos, cada uno de los cuales tiene por base un lado del tria´ngulo dado y por altura r: S S1 S2 S3 a · r b · r c · r 2 2 2 p · r (a b c) · r 2 b) S p · r 20,5 · 10,5 · 5,5 · 4,5 20,5r 73 r 3,56 cm 7. Dado el cuadrila´tero, dibujamos el paralelogramo que se obtiene al trazar por cada ve´rtice la paralela a la diagonal que no pasa por e´l. d D Sparalelogramo D · d · sen 1 1 Scuadrila´tero 2 2 8. Al ser un tria´ngulo recta´ngulo, el ortocentro H coincide con el ve´rtice del a´ngulo de 90 . Si trazamos la mediatriz del cateto de 24 cm y aplicamos el teorema de Tales, observamos que dicha mediatriz pasa por el punto medio M de la hipotenusa. Por tanto, el circuncentro del tria´ngulo esta´ situado en el punto medio de la hipotenusa. Por u´ltimo, el baricentro G esta´ situado en el segmento de extremos del ortocentro y el circuncentro, ya que este es una de las medianas del tria´ngulo. Por tanto, los tres puntos esta´n alineados, por lo que no forman un tria´ngulo. H M G