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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL O STANDAR EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF
























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1. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico está en Posición Normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X. Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina Angulo del Segundo Cuadrante y análogamente para lo otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante. Ejemplos: a.   IC   IIC   IIIC b. 90º  a ningún cuadrante  no está en posición normal 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Si  es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue: Nota: El radio vector siempre es positivo Ejemplos: • Hallar “x” Resolución: Aplicamos la Fórmula: Que es lo mismo x2+y2=r2 Reemplazamos “y” por 12 y “r” por 13 en la igualdad anterior x2+122=132 x2+144=169 x2=25 x=5 Como “x” esta en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo x= -5 • Hallar “y” Resolución: Análogamente aplicamos x2+y2=r2 Reemplazamos “x” por 8 y ”r” por 17 en la igualdad anterior. (-8)2+y2=172 64+y2=289 y2=225 y=15 Como “y” esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo. y=-15 3. SIGNOS DE LA R.T. EN CADA CUADRANTE Para hallar los signos en cada cuadrante existe una regla muy práctica Regla Práctica Son Positivos: Ejemplos: • ¿Qué signo tiene? Resolución: 100º  IIC  Sen100º es (+) 200º  IIIC  Cos200º es (-) 300º  IVC  Tg300º es (-) Reemplazamos E=(+) • Si   IIC  Cos2= . Hallar Cos. Resolución: Despejamos Cos de la igualdad dada. Cos2= Como   III entonces Cos es negativo, por lo tanto: • Si   IVC  Tg2= . Hallar Tg Resolución: Despejamos Tg de la igualdad dada: Tg2= Tg= Como   IVC entonces la Tg es negativa, por lo tanto: Tg2= 4. ÁNGULO CUADRANTAL Un ángulo en posición normal se llamará Cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En conse-cuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes. Propiedades Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: (0º <  < 360º) Si   IC  0º <  < 90º Si   IIC  90º <  < 180º Si   IIIIC  180º <  < 270º Si   VIC  270º <  < 360º Ejemplos: • Si   IIIC. En qué cuadrante está 2/3. Resolución: Si   IIIC  180º <  < 270º 60º < < 90º 120º < < 180º Como 2/3 está entre 120º y 180º, entonces pertenece al II cuadrante. • Si   IIC. A qué cuadrante pertenece Resolución: Si   IIC  90º <  < 180º 45º < < 90º 115º < <180º Como esta entre 115º y 160º, entonces pertenece al II Cuadrante. R.T. de Ángulos Cuadrantales Como ejemplo modelo vamos a calcular las R.T. de 90º, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0º, 180º, 270º y 360º. Del gráfico observamos que x=0  r=y, por tanto: Sen90º = = = 1 Cos90º = = = 0 Tg90º = = = No definido=ND Ctg90º = = = 0 Sec90º = = = No definido=ND Csc90º = = = 1 R.T 0º 90º 180º 270º 360º Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tg 0 ND 0 ND 0 Ctg ND 0 ND 0 ND Sec 1 ND 0 ND 1 Csc ND 1 ND -1 ND Ejemplos: • Calcular: E= Resolución: Los ángulos están en radianes, haciendo la conversión obtenemos: =180º 2=360º Reemplazamos: E= 3 • Calcular el valor de E para x=45º Resolución: Reemplazamos x=45º en E: E=1 EJERCICIOS 1. Del gráfico mostrado, calcular: E = Sen * Cos a) b) c) d) e) 2. Del gráfico mostrado, calcular: E=Sec + Tg a) 3/2 b) –3/2 c) 2/3 d) –2/3 e) 1 3. Del gráfico mostrado, calcular: a) 24/7 b) –7/24 c) 25/7 d) –24/7 e) 7/24 4. Del gráfico mostrado, calcular: E=Ctg - Csc a) 2 b) 4 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/5 5. Si (3; 4) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de: a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 1/3 6. Si el lado de un ángulo en posición estándar  pasa por el punto (-1; 2). Hallar el valor de: E = Sec . Csc a) –5/2 b) 5/2 c) –2/5 d) 2/5 e) 1 7. Si el punto (-9; -40) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de: E = Csc + Ctg a) 4/5 b) –5/4 c) –4/5 d) 5/4 e) –4/3 8. Dado el punto (20;-21) correspondiente al lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de: E = Tg + Sec a) 2/5 b) –2/5 c) 1 d) 5/2 e) –5/2 9. Si Csc 0. ¿En qué cuadrante está ?. a) I b) II c) III d) IV e) Es cuadrantal 10. Si   II. Hallar el signo de: a) + b) – c) + ó – d) + y – e) No tiene signo 11. Hallar el signo de: E=Ctg432º.Tg2134º.Csc3214º.Sec4360º a) + b) – c) +  – d) +  – e) No tiene signo 12. Si Sen.Cos > 0. ¿En qué cuadrante está ?. a) I b) II c) III d) I  III e) II  III 13. Si Sen=    II. Hallar Tg. a) b) c) d) e) 14. Si Ctg=0,25    III. Hallar Sec. a) b) c) d) e) 15. Si Ctg2=3270º<<360º. Hallar Sen a) 1/2 b) –1/2 c) d) e) 16. Si Csc2=16  << . Hallar el valor de: a) –3/4 b) 3/4 c) –5/4 d) 5/4 e) 0 17. Calcular el valor de: E= a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –3 18. Calcular el valor de: a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –3 19. Si (5; 12) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal . Hallar el valor de a) 5 b) –5 c) 1/5 d) –1/5 e) 10 20. Del gráfico calcular: P = ctg + Csc