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PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Calcula la distancia que separa a los puntos A y B, as´ı como la medida del ´angulo rAOB de la figura. Y O 1 X 1 A B 2. Calcula la medida de los lados del hexa´gono de ve´rtices: A(2, 1), B(1, 2) C( 1, 2), D( 2, 1), E( 1, 3), F(2, 2). 3. Calcula los a´ngulos de cuadrila´tero cuyos ve´rtices son: A(2, 2), B(2, 4), C( 1, 1), D( 1, 1). 4. Calcula la medida de los lados y de los a´ngulos del tria´ngulo de la figura. Y 1 X 1 A B C 5. Demuestra que las siguientes rectas son paralelas y, despue´s, calcula la distancia que las separa: r: 2x y 2 0 s: x 2 2t y 1 4t 6. Dadas las rectas r: 3x y 5 0 y s: 2x 3y 4 0 y el punto P(3, 4): a) Calcula la suma de las distancias que separan P de cada una de las rectas. b) Calcula la distancia que separa a P del punto de corte de ambas rectas. Y O 1 X 1 A B 7. Dados los puntos A(2, 1) y B(4, 5): a) Calcula la ecuacio´n de la mediatriz del segmento de extremos A y B. ¿Que´ verifican todos los puntos de este lugar geome´trico? b) Calcula las coordenadas de un punto situado en el eje de ordenadas y que equidiste de los puntos A y B. 8. Calcula las coordenadas de los ve´rtices y el a´rea del tria´ngulo cuyos lados esta´n sobre las rectas: r: x 2y 4 0 s: 2x 3y 1 0 t: 4x y 5 0 9. Calcula las coordenadas de un punto que pertenezca a la recta r: x 2y 3 0 y tal que la distancia que le separa del punto P(6, 1) sea igual a 5 unidades de longitud. 10. Se considera la recta que tiene por ecuacio´n r: x y 4 0 y los puntos que tienen por coordenadas A(0, 7) y B(3, 2): a) Calcula la ecuacio´n de la recta s que pasa por A y por B. b) Calcula las ecuaciones de las bisectrices determinadas por las rectas r y s. SOLUCIONES 1. d(A, B) WABW 49 4 53 cosrAOB cos (rOA, OB) OA · OB 12 15 WOA W · WOB W 34 · 5 rAOB 84,09... 84 5 38 2. d(A, B) WABW (1 2)2 (2 1)2 2 Calculamos del mismo modo: d(B, C) WBCW 4 2 d(C, D) WCDW 10 d(D, E) WDEW 5 d(E, F) WEFW 10 d(F, A) WFAW 9 3 3. AB (0, 2), BC ( 3, 3), CD (0, 2), DA (3, 3) Por tanto, se trata de un paralelogramo. cosrDAB cos (ArD, AB) AD · AB 6 WAD W · WAB W 18 4 rDAB 135 rBCD 135 cosrABC cos (BrA, BC) BA · BC 6 WBA W · WBC W 4 18 rABC 45 rCDA 45 4. A( 2, 3), B( 3, 2), C(4, 2) AB ( 1, 5), BC (7, 4), CA ( 6, 1) d(A, B) WABW 1 25 26 d(B, C) 65 d(C, A) 37 cosrCAB cos (ArB, AC) AB · AC 6 5 WAB W · WAC W 26 37 rCAB 91,84... 91 50 51 cosrABC cos (BrA, BC) BA · BC 27 WBA W · WBC W 26 65 rABC 48,94... 48 56 42 rBCA 39,20... 39 12 26 5. x 2 y 1 s: 2x y 3 0 2 4 r: 2x y 2 0 Las rectas son paralelas. d(r, s) W 2 3W 1 5 22 12 5 5 6. a) d(P, r) d(P, s) W9 4 5W W6 12 4W 9 1 4 9 10 14 14 13 10 10 13 13 b) Punto de corte: Q( 1, 2) d(P, Q) (3 1)2 (4 2)2 20 2 5 7. a) Mediatriz del segmento AB: (x 2)2 (y 1)2 (x 4)2 (y 5)2 x 2y 9 0 Todos los puntos de esta recta equidistan de A y de B. b) El punto es P x 2y 9 0 9 0, x 0 2 8. A(2, 1) x 2y 4 0 2x 3y 1 0 B( 2, 3) x 2y 4 0 4x y 5 0 C( 1, 1) 4x y 5 0 2x 3y 1 0 Base d(A, B) 16 4 20 2 5 Recta que pasa por A y por B: r: x 2y 4 0 Altura d(C, r) W 1 2 4W 7 1 4 5 S · 2 · 7 unidades cuadradas 1 7 5 2 5 9. r: Sea Q( 3 2t, t) x 3 2t y t d(Q, P) 5 t , t 3 19 (9 2t)2 ( 1 t)2 5 El problema tiene dos soluciones: Q1 , Q2 (3, 3) 23 19 , 5 5 10. a) 5x 3y 21 x y 7 3 2 7 s: 5x 3y 21 0 b) Wx y 4W W5x 3y 21W 12 ( 1)2 52 32 34(x y 4) 2(5x 3y 21) 34(x y 4) 2(5x 3y 21) Las ecuaciones de las bisectrices son: ( 17 5)x ( 17 3)y 4 17 21 0 ( 17 5)x ( 17 3)y 4 17 21 0 1. Calcula la ecuacio´n de la recta que pasa por el punto P(3, 2) y forma con la parte positiva del eje de abscisas un a´ngulo de 120 . 2. Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2, 3) y forman con la bisectriz del primer y tercer cuadrantes un a´ngulo de radianes. 6 3. La recta r: x 5y 8 0, al cortar a s: 3x 2y 6 0 y al eje de abscisas, determina un segmento de extremos A y B. Calcula la longitud de dicho segmento, ası´ como la ecuacio´n de su mediatriz. 4. Una recta paralela al eje de abscisas divide al tria´ngulo de ve´rtices A(1, 1), B(3, 7) y C(7, 1) en un trapecio y en otro tria´ngulo. Calcula la ecuacio´n de dicha paralela para que el a´rea del trapecio sea las tres cuartas partes del a´rea del tria´ngulo inicial. 5. Calcula la recta que dista 5 unidades del punto que tiene por coordenadas (0, 3) de entre todas las rectas que pasan por el punto P(0, 2). C B X r A 90° s Y 6. Considera las rectas perpendiculares r y s de la figura. a) Escribe el a´ngulo en funcio´n del a´ngulo . b) Suponiendo que mr y ms son las pendientes de r y de s, respectivamente, demuestra que ms . 1 mr 7. Suponiendo que mr y ms son las pendientes de las rectas r y s, respectivamente, demuestra que el a´ngulo que forman dichas rectas puede ser calculado mediante la siguiente fo´rmula: tg m m r s 1 m · m r s 8. Dadas las rectas r: x y 0 y s: x y 7 0 y el segmento de extremos A(2, 9) y B(5, 8), calcula las coordenadas de los extremos de un segmento CD de la misma longitud que AB, paralelo a e´l y tal que el punto C pertenezca a la recta s y el punto D a la r. 9. Traza el camino que debe seguir la bola A para que, despue´s de haber rebotado en las bandas LM y MN consecutivamente, choque con la bola B. Y 1 N X L M O A B 1 SOLUCIONES 1. m tg 120 tg 60 3 y 2 3(x 3) 2. La bisectriz del primer cuadrante forma con la parte positiva de OX un a´ngulo de 45 . Por tanto, si consideramos que es el a´ngulo que forma la recta buscada con la parte positiva del eje OX: 45 30 75 y 3 tg 75 (x 2) siendo tg 75 2 3 3,7320... 45 30 15 y 3 tg 15 (x 2) siendo tg 15 2 3 0,2679... 3. A , x 5y 8 14 18 3x 2y 6 13 13 B(8, 0) x 5y 8 y 0 AB , 90 18 13 13 WABW 8 100 324 18 26 132 13 Mediatriz de AB: 59 9 M , 13 13 u (18, 90)X(1, 5) 65x 13y 304 0 4. Los dos tria´ngulos implicados son semejantes. Como la razo´n de sus a´reas es , la razo´n de sus 1 4 lados sera´ ; lo cual quiere decir que los ve´r- 1 1 4 2 tices del tria´ngulo menor son MBN, siendo M(2, 4) y N(5, 4) los puntos medios de los segmentos AB y BC. La recta buscada es la paralela al eje OX: y 4. 5. La recta buscada tendra´ por ecuacio´n r: y 2 mx mx y 2 0 d(r, (0, 3)) 5 5 2 1 m m 2 2x y 2 0 m 2 2x y 2 0 6. a) 180 (180 90 ) 90 b) ms tg tg(90 ) sen(90 ) cos(90 ) cos 1 1 sen tg mr 7. Y X s r O 180 (180 ) tg tg( ) tg tg m m r s 1 tg · tg 1 m ·m r s 8. Ecuacio´n de s , trasladada de s, segu´n AB (3, 1): s sera´ de la forma x y k 0 y pasa por el punto (3, 6). Por tanto: x y 9 0. El punto D es la interseccio´n de r y s y C sera´ el trasladado de D segu´n AB ( 3, 1). Y X s s' r 1 A(2, 9) x – y = 0 x + y –7 = 0 B(5, 8) O 1 92 92 D( , ) 32 11 C( 2 , ) 9. Llamamos B , sime´trico de B respecto de MN, y B , sime´trico de B respecto de LM. La interseccio´n de AB con LM es el punto C y la de CB con MN es D. El camino que ha de seguir la bola A es: A C D B , Y 1 N X L M O A B C(4, 4) B' B'' 1 D 6 ( ) 83