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NUMEROS REALES E IRRACIONALES EJERCICIOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

Números irracionales y problemas geométricos , Aproximación y construcción de números irracionales , Números irracionales en la recta numérica y orden , Números reales, Resolución de problemas , Para no cometer errores El estudio de la música de manera sistemática comenzó en la antigua Grecia gracias a Pitágoras que captó la relación entre el largo de una cuerda pulsada y el sonido que produce, según la vibración. Estas relaciones han permitido la creación de escalas musicales, adaptadas posteriormente para generar distintos tipos de sonidos y crear nuevas obras. Aunque con algunas diferencias, todas tienen un origen común: la observación de Pitágoras. • Si golpeas una lámina de metal muy gruesa y otra muy delgada, ¿en qué se diferencian los sonidos que producen? • ¿Cómo se forman las notas al tocar una guitarra? 1. Identifica a qué tipo de número decimal corresponde cada uno de los siguientes números racionales: decimal finito, decimal periódico o semiperiódico. a) 0,72 b) 1,21 c) 0,234 d) 2,1 e) 3,24 f) 5,2335 g) 6,03 h) 5,2372 i) 0, 421 j) k) 32 90 l) 57 18 2. Expresa los siguientes números decimales como fracción. a) 6,2 b) 4,38 c) 2,552 d) 7,9913 e) 0,51 f) 0,025 g) 0,426 h) 2, 435 3. Expresa las siguientes fracciones como número decimal. a) 75 2 b) 31 4 c) 5 7 d) 16 27 e) 1 45 f) 8 15 Práctica guiada 4. Identifica cuáles de los siguientes problemas requieren de números irracionales para obtener el resultado. Ejemplo: el cálculo del perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 4 metros. 2 9 Para calcularlo debemos utilizar la fórmula 2πr, donde r corresponde al radio de la circunferencia. 2π4 = 8π =8 • 3,1415926... Por lo tanto, se requieren números irracionales para calcularlo. a) Calcular el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 7 cm. b) Calcular el área de una circunferencia cuyo radio mide 12 cm. c) Calcular el perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide 2 cm. d) Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 19 cm. e) Calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm. f) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 12 cm y 5 cm. g) Calcular el perímetro de un rectángulo, si uno de sus lados mide 12 cm y su área es de 60 cm . Aplica 5. Calcula en forma exacta el perímetro de las siguientes figuras. a) 2 cm 3 cm b) 5 cm 2 cm c) 1 cm 3 cm d) 1 cm 2 cm 1 cm 6. Desafío: se tiene un círculo cuya área es un número racional, ¿cuál puede ser la medida de su radio? Justifica. Aproximaciones sucesivas Si no contamos con una calculadora es posible obtener una aproximación de una raíz cuadrada empleando aproximaciones sucesivas. Para el caso de 54 . buscamos los cuadrados perfectos menor y mayor cercanos a 54. 7² = 49 y 8² = 64, entonces 7 < 54 <8 Vemos que 54 está entre 7 y 8, probamos ahora con valores intermedios, en este caso con el promedio de ambos 7,5. 72 = 49; 7,5 2 = 56,25 ( ) , entonces 7 < 54 <7, 5 Probamos con el promedio entre 7 y 7,5; 7,25. 7,25 =52,5625; 7, 5 = 56,25 2 2 ( ) ( ) , entonces 7,25< 54 <7,5 Probamos con el promedio entre 7,25 y 7,5; 7,375 7,25 =52,5625; 7,375 = 54,390625 2 2 ( ) ( ) , entonces 7,25< 54 <7,375 Hemos encontrado una aproximación sucesiva de tres decimales para 54. Casos especiales Existen números irracionales que no corresponden a raíces cuadradas. Uno de los más importantes es , que relaciona la medida del diámetro de una circunferencia con su perímetro, o el área de un círculo con su cuadrado circunscrito, como se muestra en la figura. El escriba Ahmes, en Egipto, estimó su valor en el papiro Rhind, que data del siglo XVI a.C. Para ello consideró un cuadrado cuyo lado mide 9 unidades, y lo dividió en 81 partes. Luego cortó esquinas de lado 3 unidades para construir un polígono de 8 lados. Se puede ver que el área del polígono corresponde a 18 cuadraditos menos que el cuadrado grande es decir, 81 – 18 = 63 cuadraditos, y su área es un poco menor que la del círculo. Por lo tanto, Ahmes estimó que el área del círculo sería de 64 cuadraditos. El radio de este círculo es 4,5 unidades, por lo que si aplicamos la fórmula para el área se obtiene que: 64= • 4,5 = 64 20,25 2 3,16 Otras culturas, como los griegos y los chinos obtuvieron aproximaciones aun más cercanas utilizando métodos similares. Gracias a los computadores hoy es posible obtener hoy centenares de miles de cifras decimales de . 1. Identifica cuáles de los siguientes números presentan período. Señala además cuál es el período cuando corresponda. a) 4,23232323232323… b) 3,07282828282828… c) 5,6 d) 4,013 e) 3,222222222257 f) 3,1415926 g) 6,014916253649… 2. Determina las siguientes aproximaciones, con las condiciones dadas. a) 3,53594, truncado a la décima. b) 6,81977 truncado a la centésima. c) 2,17855 truncado a la milésima. d) 5,20189, truncado a la diezmilésima. e) 3,34862, redondeado a la décima. f) 8,28457, redondeado a la centésima. g) 6,40003, redondeado a la milésima. h) 9,38531, redondeado a la diezmilésima. 3. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) 4,5+3, 8 b) 6,4+2,31 c) 7,1+ 2,024 d) 5, 5+3,2 e) 12,17+0, 44 f) 9,03 –2,3 g) 4,126 –5,28 h) 2,6+5, 8 i) 3,17+6,54 j) 2,235–0,319 k) 3,21+ 7 23 l) 4,28 – 274 13 m) 5,224+ 17 32 n) 0,38 – 51 82 ñ) 3,512–1,7 • 21 8 o) 2,3• 2,5–0,8 : 2 3 Práctica guiada 4. Utiliza una calculadora para determinar una aproximación de las siguientes raíces redondeadas a la cuarta cifra decimal. Guíate por el ejemplo. Utilizando calculadora se tiene que: 2 =1, 414213562 Redondeando a la cuarta cifra decimal se obtiene. 1, 414213562≈1, 4142 a) 3 b) 5 c) 11 d) 13 e) 19 f) 24 g) 37 h) 42 5. Calcula el error absoluto y el error relativo de las siguientes aproximaciones. Guíate por el ejemplo. 2 ≈1, 4142 Paso 1 Se calcula el valor con calculadora Se obtiene 1,414213562. Paso 2 Al valor anterior se le resta la aproximación Se obtiene 0,000013562. Este es el error absoluto. Paso 3 Se divide este valor por el valor real Se obtiene 0,00000959 0,00096%, el error relativo. Números irracionales en la recta numérica y orden Propósito: ordenar y ubicar números irracionales. Los números racionales se pueden ordenar comparándolos cifra por cifra, primero por su parte entera y luego por su parte decimal. Debes saber… Pese a que los números irracionales tienen infinitos decimales sin período, es posible comparar y ubicar algunos de ellos en la recta numérica. Para hacerlo, consideraremos los siguientes aspectos. Raíces cuadradas en la recta numérica El matemático griego Teodoro de Cirene, (465 a.C.-398 a.C.) creó la siguiente construcción denominada Espiral de Teodoro de Cirene. Comienza con un triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 1 unidad, y sucesivamente se construyen más triángulos rectángulos tomando un cateto de medida 1 y el otro es la hipotenusa del triángulo anterior. Podemos utilizar la espiral de Teodoro de Cirene para ubicar en la recta numérica una raíz como 7 mediante los siguientes pasos. Paso 1 Se ubica el 0 en la recta numérica, y se define la unidad. Luego se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, con vértices en el 0 y el 1. Con un compás, se copia la medida de la hipotenusa del triángulo, con centro del compás en 0 traza un arco de circunferencia intersecando la recta numérica. Se obtiene así 2. Paso 2 Se construye ahora un triángulo rectángulo de catetos de medida 2 y 1, y se copia su hipotenusa sobre la recta. Así se obtiene 3. Paso 3 Repitiendo sucesivamente estos pasos, se construye 7. 0 1 2 3 2 5 6 7 3 En ocasiones, el proceso puede abreviarse un poco si detectamos algunas operaciones. Por ejemplo, si queremos ubicar 7 podemos construir hasta 3, y luego construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2 y 3. Con ello, 22+ 3 = 4+3=7 2 , es decir, la hipotenusa de dicho triángulo mide 7 . Ayuda Observa que, por Teorema de Pitágoras: AB OA +OB Los conjuntos numéricos Como has visto en cursos anteriores, en ocasiones es necesario ampliar los conjuntos numéricos para poder dar solución a situaciones y problemas. Así, para poder contar, primero se crearon los números naturales () , y luego los naturales con el cero, forman el conjunto de los números cardinales (0). ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…} 0 ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…} La necesidad de representar cantidades menores que cero, y hacer siempre posible la sustracción motivó la creación del conjunto de los números enteros (). En él se incluyen los números naturales y sus opuestos aditivos. ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3...} Luego, la necesidad de dividir motivó la ampliación a los números racionales (), que a su vez incluyen a los enteros y sus inversos multiplicativos. = / , 0 a b a b b A diferencia de los conjuntos anteriores, en el conjunto  no existe la noción de sucesor o de antecesor, es decir, no es posible hablar de un único número que viene antes o después de un número dado. Además, el conjunto de los números racionales es denso, es decir, entre dos números racionales distintos cualesquiera (por ejemplo, a y b, con a < b) siempre es posible encontrar un número racional c, de modo que a < c < b. Sin embargo, hemos visto en lecciones anteriores que los números racionales no agotan todas las posibilidades ni permiten resolver todos los problemas, ya que existen los números irracionales (*). Este conjunto es distinto de los anteriores porque no verifica la clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no necesariamente es irracional. Se define entonces el conjunto de los números reales () como aquel que incluye tanto a los números racionales como a los irracionales. En resumen Se define el conjunto de los números reales () como aquel que incluye a los números irracionales y a los racionales. En la operación entre números racionales e irracionales se verifica que: racional ± irracional = irracional irracional ± racional = irracional racional (≠ 0) • irracional = irracional racional ( 0) : irracional = irracional irracional : racional ( 0) = irracional Analiza la resolución del siguiente problema. Se sabe que a es un número racional distinto de cero mientras que b es un número irracional. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) operación(es) da siempre como resultado un número irracional? Justifica. I. (a + b)(a – b) II. a²b III. ab² Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema? Justificar qué operaciones dan siempre como resultado un número irracional. b. ¿Qué información entrega el enunciado? Que uno de ellos es irracional, y el otro es racional. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Define una estrategia para resolver. Cuando sea posible, utilizaremos los criterios ya conocidos para determinar si el resultado es un número irracional. Si no es posible aplicarlos buscaremos contraejemplos, es decir, casos en que el resultado sea racional. Paso 3 Resuelve el problema Analizamos el primer caso, utilizando productos notables: (a + b)(a – b) = a² – b² a² es un número racional (a • a)y b² es el producto de un número irracional por sí mismo, lo que en ocasiones puede ser racional como se observa en el contraejemplo. (5+ 2)(5– 2)=52 – 22 =25– 2=23 Analizamos el segundo caso: a²b a² es un número racional (a • a), y ya que a es distinto de cero, necesariamente a² es distinto de cero. b es un número irracional, y sabemos que el producto entre un racional distinto de cero y un irracional es irracional. Analicemos el tercer caso: ab² a es un número racional y b² es el producto de un número irracional por sí mismo, lo que en ocasiones puede ser racional como se observa en el contraejemplo. 3• 5 =3•25=75 2 Por lo tanto, solo en el segundo caso se obtiene siempre un número irracional. Paso 4 Revisa la solución Puedes verificar, para distintos pares de números que cumplan la condición dada, que nunca se obtiene como resultado un número irracional