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NUMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS EJERCICIOS RESUELTOS DE TERCERO DE SECUNDARIA PDF

Esta unidad abrirá un nuevo ámbito numérico para los alumnos. Para comenzar, destaque la importancia de este conjunto numérico y cómo encontramos en la naturaleza formas fractales, que se generan a partir de estos. Si bien el concepto de “fractal” será visto más adelante, usted puede darlo a conocer y contextualizarlo. Es importante tener en cuenta que, en el proceso histórico de desarrollo de este conjunto, subyacen algunas ideas fundamentales del trabajo matemático. Destaquemos por ejemplo que, la construcción de los números complejos se hace a partir, fundamentalmente, de las leyes del álgebra en los reales y la ampliación de la raíz cuadrada a números negativos con la definición pertinente de la unidad imaginaria, con lo que este constructo de conocimientos, se basa en conceptos anteriores. Necesidad de ampliación del conjunto de los números reales a los números complejos. Identificar las situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números reales a los números complejos. Clasifica números dados en reales y no reales. Números imaginarios Identificar la unidad imaginaria como solución de la ecuación x 2 + 1 = 0 y su utilización para expresar raíces cuadradas de números reales negativos. Identificar un número imaginario como aquel de la forma b i, con b  R. Resuelve ecuaciones del tipo a x 2 + c = 0, donde a y c son de igual signo. Identifica números imaginarios. Adición y sustracción de números imaginarios. Sumar y restar números imaginarios. Resuelve sumas y restas de números complejos. Potencias de i Definir regularidad para calcular potencias de i. Resolver ejercicios que involucren potencia de i. Deduce regularidad para encontrar el valor de una potencia de i. Resuelve ejercicios que involucren potencias de i. Números complejos Definir un número complejo como aquel de la forma a + bi, donde a  R y bi es un número imaginario. Definir el conjunto de los números complejos. Reconoce un número complejo. Diferencia un número complejo de un número real y de un imaginario puro. Reconoce el conjunto de los números complejos como un conjunto que contiene a los números reales. Representaciones de un número complejo. Representar un número complejo en forma canónica, como par ordenado y de manera gráfica. Escribe un complejo dado en las otras representaciones. Reconoce un complejo escrito en cualquiera de sus representaciones. Operatoria de números complejos. Extender las nociones de adición, sustracción, multiplicación, división y potencia de los números reales a los números complejos. Resolver ejercicios que involucren operatoria de números complejos. Deduce las reglas de la operatoria de números complejos a partir de las nociones de la operatoria algebraicas y de la de los números reales. Resuelve ejercicios que involucren operatoria de números complejos. Propiedades de la adición y la multiplicación en el conjunto de los complejos. Extender las propiedades de la operatoria de los números reales a los números complejos. Formula conjeturas y demuestra propiedades relativas a los números complejos. Verifica las propiedades de los números complejos haciendo una analogía con las definidas en el conjunto de los números reales. Módulo de un número complejo. Definir el módulo de un complejo como una característica heredada de los números reales. Calcular el módulo de un número complejo. Resolver ejercicios que involucren módulo de números complejos. Define el módulo de un número complejo. Calcula módulo de un número complejo. Resuelve ejercicios que involucren el cálculo de números complejos. Conjugado de un número complejo. Definir el conjugado de un número complejo como la reflexión de este con respecto al eje real. Calcular el conjugado de un número complejo. Resolver ejercicios que involucren complejos conjugados. Define el conjugado de un complejo gráficamente. Calcula el conjugado de un complejo. Resuelve ejercicios que involucren el calculo de complejos conjugados. Representación de un número complejo según su módulo y ángulo que forma con el eje real. Definir un complejo en base a su módulo y al ángulo que forma este con el eje real. Escribe complejos dados en las representaciones anteriores, usando su módulo y el ángulo que este forma con el eje real. Potencias y raíces de un número complejo. Calculan potencias y raíces de un número complejo, usando la notación de modulo y ángulo con el eje real. Resuelve ejercicios de cálculo de raíces y potencias de un número complejo. Resolución de desafíos y problemas de planteo. Conocer y utilizar procedimientos del cálculo algebraico en expresiones y problemas en los que intervienen números complejos. Resuelve problemas que involucren propiedades y operatoria de números complejos. Introduciendo la unidad Para iniciar ésta y otras unidades, es bueno contextualizar los problemas que pueden ser resueltos por los contenidos que aprenderán los estudiantes. Para esto, se debe despertar el interés, planteando varios problemas desde distintos ámbitos, y la necesidad de resolverlos. Se deben tomar minutos de la clase en la que se comenzará la unidad para esto. Un posible camino es la presentación, la reflexión y la posible solución de situaciones y/o problemas que conduzcan al tema: Problema 1. Antonio, profesor de Matemática de un liceo del sur de Chile, escribe varias ecuaciones en la pizarra y solicita a sus alumnos que las resuelvan de inmediato. Insiste que todas tienen una respuesta numérica. Uno de sus alumnos descubre que x 2 + 9 = 0 y 2 x 2 + 7 = 0 no debieran estar presentes allí. ¿Por qué? Sin embargo, el profesor sigue teniendo la razón. ¿Cómo encontrar una solución numérica que satisfaga a ambos? Problema 2. Valentina es una alumna de tercero medio que siempre hace las preguntas más inimaginables para todos. Además, es muy insistente en que le den respuestas claras y bien fundamentadas a sus dudas. Ella piensa: “Si bien es cierto que hay cosas que en un ámbito no tiene solución, en otro la tienen. Entonces ¿por qué no habrá otro universo, con otros números, donde los cuadrados de ellos sean negativos? ¿Y cómo serán esos números? ¿Qué características tendrían? ¿Tendrán relación con los que conocemos? ¿Se podrá operar con ellos? Y si esto ocurriera, ¿habrán leyes que las rijan?”. Problema 3. Aníbal está mirando cómo su hermana mayor Rocío, dibuja una estrella de nueve puntas. Previamente, hace unos cálculos con unos números compuestos extraños que le permiten después dar la orden precisa a un graficador en su computador. Acto seguido, aparecen en la pantalla las nueve puntas para seguir el dibujo. Días posteriores, su hermano que está estudiando en la universidad, llega a hacer una tarea de electricidad donde también le aparecen esos números extraños. Además en su cuaderno dice por allí i 2 = − 1...”¿ Qué es esto? ¿Qué son esos números extraños? ¿Cómo son? ¿Por qué tengo que aprenderlos ahora que estoy en tercero medio? ¿Dónde se aplican? EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A: 1 Identificar situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números reales a los números complejos, caracterizando a estos últimos y los problemas que permiten resolver. 2 Identifi car la unidad imaginaria como solución de la ecuación x 2 += y su utilización para expresar raíces cuadradas de números reales negativos. 3 Extender las nociones de adición, sustracción, multiplicación, división y potencia de los números reales a los números complejos y los procedimientos de cálculo de estas operaciones. 4 Formular conjeturas y demostrar propiedades relativas a los números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos. Esto es lo que les ocurrió a un grupo de matemáticos del siglo XVI... Para ese entonces, los matemáticos dedicados al álgebra, se deleitaban resolviendo ecuaciones de distintos grados, con el afán de encontrar una fórmula maestra que resolviera cualquiera de ellas. A ellos, no les resultaba difícil, resolver ecuaciones como por ejemplo, x 2 =; porque bastaba encontrar un número que multiplicado por sí mismo resultara . Tampoco les era dificultoso resolver x 2 =, porque hacía tiempo que se había aceptado que √ __  (la raíz cuadrada de ) era un número que, sin ser racional, representaba la diagonal de un cuadrado de lado . Sin embargo, no todo les era tan usual al resolver sus ecuaciones. Imagínate cuántas discusiones provocó esta humilde ecuación: x 2 += Naturalmente, procedieron a despejar x 2 , pero la sorpresa era que obtenían x 2 = −. Echaron mano a todos los números que conocían. Pero sus búsquedas fracasaban; no encontraron un número que, multiplicado por sí mismo diera −. ¡No valía la pena ni siquiera imaginarse un cuadrado cuya diagonal fuera igual a la raíz cuadrada de −! Algunos de ellos, seguramente, abandonaron la idea de seguir adelante. Afortunadamente, Jerome Cardan, uno de los participantes en esta aventura de resolver ecuaciones, se topó con el siguiente problema: Tenía que resolver una ecuación cúbica, es decir, de grado tres, donde ya sabía que la solución era un número real, comprendido entre 2 y 3. Aplicando correctamente los pasos algebraicos en su desarrollo, aparecían raíces cuadradas de números negativos... ¿qué hacer frente a esta situación? ¿Cómo resolver este dilema? Si él aceptaba que estas raíces no eran números, no tenía otra opción que concluir que la ecuación no tenía solución, contradiciendo que “la solución era un número real, comprendido entre 2 y 3”. Pero, si consideraba que estas raíces aparecían, naturalmente, mediante un desarrollo matemáticamente correcto, aceptándolas como números, entonces obtenía la solución esperada. Cardan se inclinó por esto último. Así pasó a ser el primero en declarar que las raíces cuadradas de números negativos, eran números distintos a los conocidos hasta entonces. Más tarde, en 1777, Euler, les dio el nombre de números imaginarios y los definió formalmente. En 1975, Benoit Mandelbrot denominó fractales (del latín fractus, irregular) al conjunto de formas que, generadas normalmente por un proceso de repetición de números complejos, se caracterizan por poseer detalle a toda escala, por tener longitud infinita y por exhibir dimensión fraccional. También se utilizan los números complejos en la física para tratar algunos temas de electricidad. En este capítulo los conocerás para luego aprender a trabajar con ellos, y saber en las diversas áreas en que ellos prestan utilidad. Conocimientos previos Como ya sabes, hay conceptos en matemática que se usan en forma transversal a través de los años y que se utilizan análogamente en diversas situaciones. Algunos de estos conceptos son los relacionados con la operatoria de expresiones algebraicas y son los que revisaremos en esta sección. Un término algebraico es un conjunto de números y letras unidas por multiplicación y/o división; por ejemplo, 3 x2 y o −_ _ 2 mnp. Además, recordarás que una expresión algebraica es un conjunto de términos unidos por los signos de los propios términos; por ejemplo, 4 x 2 − yk+ xc. Y, por último, te acordarás que los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal; por ejemplo, 2xy con −9xy o__ 3  x 2 h con 7h x 2 Ahora bien, se pueden operar (sumar, restar, multiplicar y dividir) las expresiones algebraicas, por ejemplo: Sean P= x+ y Q=−x+ x 2 , R=x+  S=−x+ y 2 , determina: a. P + Q – S = ( 2x+ ) + ( −x+ x 2 ) − ( −x+ y 2 ) ⇒ x+ y−x+ x 2 +x− y 2 = x+ y+ x 2 − y 2 (reduciendo términos semejantes) Algunas imágenes de fractales son: (eliminando paréntesis) (recuerda que se cambian los signos si hay un signo negativo antes de un paréntesis) Trabaja b. 2P−3QR=2 ( 2x+4y) −3 ( −3x+2 x 2) ( x+) =4x+y−3 ( −3 x 2 −24x+2 x 3 + x 2) =4x+y+9 x 2 +72x− x 3 −  x 2 (reduciendo términos semejantes) =− x 3 −39 x 2 + x+y c. Resta el producto de P y S al producto de Q y R ⇒QR−PS= ( −x+ x 2 ) ( x+) − ( 2x+ ) ( −x+ y 2 ) =− x 2 − x+ x 3 + x 2 − ( − x 2 + x y 2 − xy+ y 3 ) =− x 2 − x+ x 3 + x 2 + x 2 − x y 2 + xy− y 3 = x 3 +  x 2 − x+ xy− x y 2 − y 3 d. P 2 − R 2 = ( 2x+ ) 2 − ( x+) 2 = x 2 + xy+ y 2 − ( x 2 + x+ ) (resolución de cuadrado de binomio) = x 2 + xy+ y 2 − x 2 − x− = x 2 + xy+ y 2 − x−  (reduciendo términos semejantes) 1 Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones: a. 3x− y+x+y b. m+ d−m+d+ m− d+m c. a 2 b+ a 2 − a 2 − a 2 b d. ( 3_ _ 2 a− b+ _ _ 3 ) − ( 4_ _ 3 a+b+_ _ 3 ) + 2_ _ 4 a 2 Multiplica y reduce términos semejantes en los siguientes ejercicios: a. ( x+) ( 2x−) + ( 4x−) ( 2y−) b. 3 ( x+) 2 + ( x−) ( 2x−) c. ( p+q−) ( q− ) − ( 2p−) ( q+) 3 Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras geométricas: a. b. D A B C 4s−3r 2r−s 4x− 4 Reduce al máximo las siguientes expresiones algebraicas: a. − ( 3a− ) + a+− ( a− ) b. ( 3 x 2 + x−) + ( 2 x 2 −x+ )  − ( 9 x 2 − x− ) c. { − ( m− ) }  − [ − {  m−p− ( 2m−p−) } ] d. 44ab+ { bz− ( az+bz−) +  }  − { ab−bz+ za− ( 4ab+ ) } e. { ( _ _ 2 m2 − _ 3_  n 2 ) } − { ( _ 3_ 4 m2 + _ _ n2 − _ _  ) + ( −_ _  m2 +_ __   n 2 − _ 7_  )} f. ( 9 − ) 3 − − 2 [ ( x− ) (  − ) 2 − ( x − ) 2 (  − ) ] g. 22h+ g−  ____________  7a − 37 g 2 h+ g __________  7a  +  g− g 2 h−h _______________  7a 5 Desarrolla los siguientes productos: a. ( x+) 2 d. ( 2a+b+) 2 b. ( p+) ( p−) e. ( 3 a 3 + b 4 ) 2 c. ( 2a−) 3 f. ( 4x− ) 2 − ( y−) 2 (aplicando propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición) 6 Completa las siguientes igualdades, según el desarrollo de los productos en cada caso: a. ( +) 2 =++ x 2 b. ( + ) 2 =+ x+ c. ( p−) ( + ) = p 2 − d. h 2 −= ( h− ) ( h+ ) 7 Al multiplicar un número par por once , y luego restarle su sucesor, se obtiene 239: a. Plantea al ecuación que permite obtener dicho número par. b. ¿Cuál es el número? 8 Une los productos de la columna A con sus respectivos resultados de la columna B. * Ver tabla (1) 9 Los ángulos interiores de un triángulo miden 2x, 3x+x+. Determina el valor de x que permite conocer el valor de cada ángulo. 10 La siguiente máquina ingresa expresiones algebraicas y las transforma, según se indica en la figura. Determina la expresión algebraica resultante en la salida de la máquina, si entran cada una de las siguientes expresiones algebraicas: Entrada Multiplica Salida por a Suma 3a + b2 Resta abb + a2 a. 3 a 2 + ab+b b. ( 4a− ) b c. ( a+ ) ( b−) d. ( 3a+ ) ( a−) e. ( a+b+) ( a+b−) 11 Responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero de lado 4a+b−? b. ¿Cuál es el área de un triángulo de base 3a+ y altura 2a+? c. ¿Cuál es el área de un rombo de diagonales 2a+b+ y 4a− b+? d. ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo de lados 3 x 2 + y y  x 2 −y? e. ¿Cuál es el área de un trapecio de bases 2a+b y a−b y altura a+b? f. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo de lados x+y− z, x+y−z y x+y+z? g. ¿Cuál es el perímetro de un círculo de radio ( a+) b+ ( 2b− ) a? 12 Los lados de un triángulo miden y− y+ y+ , todas expresadas en cm y su perímetro mide  a. Calcula el valor de y. b. ¿Cuánto vale cada lado? 13 Si el perímetro de un romboide es igual a  , y sus lados miden x+ 9 y 2x−, encuentra el valor de cada lado. 14 Las aristas de un paralelepípedo son 2z+  4z−z −. Si la suma de ellas es : a. Determina la medida de z. b. ¿Es verdad que un par de las caras son cuadradas? ¿Por qué? c. Calcula el perímetro del paralelepípedo. d. Calcula el área del paralelepípedo. * Tabla (1) Columna A Columna B ( x+) ( 2x−) + xy − x 2− xy+y 2 7 x 2+( 3x− ) y+y ( x+) −y 2+xy− x+ ( −x+ ) 2−( x−) 2 7 x 2− xy+ ( x+ ) ( x− ) + ( x 2− xy+ ) x 2+xy−y 2 2 ( x−) ( x−)+( 2x−) ( 3y−) 7 x 2+ xy+ y 15 Las medidas de lados de un rectángulo son p 2 −pq+ q 2 y p+q. Si la primera expresión aumenta en 2pq y la segunda disminuye en 2q, ¿en cuantas unidades varía el: a. perímetro? b. área? 16 Las medidas de un paralelepípedo son x, x+ y x+ . Si se duplica la primera medida, cuadruplica la segunda y triplica la tercera, se obtiene un nuevo paralelepípedo. a. Encuentra las áreas totales de ambos y sus volúmenes b. ¿En cuánto supera el área mayor a la menor? ¿Cuántas veces es más grande el volumen del mayor que el volumen del menor? 17 Con $ ( 3x+) se pueden comprar 4n+ lápices, y con  x, n lápices. a. ¿Cuál es el precio de 4n lápices? b. ¿Cuántos lápices se pueden comprar con $ ( x 2 +x−) ? c. Se disponía de $ ( 7x+n+) , y ya se han comprado  n lápices. ¿Cuánto dinero queda para ver si se pueden adquirir cuadernos? 18 Usando las propiedades de las potencias, reduce al máximo las siguientes expresiones: a. 2 2 m 2 −mn+ n 2 ⋅ ( _ _ 2 ) 2 n 2 −mn+ m 2 b. ( ( _ 3_  ) 3a−b ) 3a+b :( _ 9__   )  a 2 −  b 2 19 La pregunta Nº 3 de una prueba con dos filas, dice: En un paralelepípedo, a es el ancho, l es el largo y h es el alto. La tabla siguiente muestra las expresiones algebraicas de a, l y h, para cada fila. * Ver tabla (2) a. ¿Cuál es la diferencia entre el largo del paralelepípedo de la Fila B con respecto al de la otra fila? b. Encuentra la suma de todas las aristas que conforman cada paralelepípedo. c. Si el paralelepípedo de la Fila A aumentara su largo en la misma medida del ancho del otro paralelepípedo, ¿cuánto mide el nuevo largo? d. Para el paralelepípedo de la Fila B, halla el área de la cara formada por el ancho y el alto. e. Comparando las expresiones de los altos y desarrollando alguna operación algebraica, demuestra que no difieren. 20 Las proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, son: x+y x 2 −x+ respectivamente. a. Encuentra la medida de la hipotenusa. b. ¿Cuál es la expresión del valor del cuadrado de: i. el cateto a? ii. el cateto b? iii. la perpendicular bajada desde el vértice opuesto a la hipotenusa? * Tabla (2) Fila A Fila B a x 3− x 2−x+ x 3+ x 2−x+ l x 4+x 3+x 2− x+ x 4−x 3+x 2+ x+ h 4 x 2+x− 4 x 2+x− Números imaginarios... ¿qué son? En esta sección aprenderás Qué es un número imaginario, cómo se operan y a calcular potencias de i