Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

MEZCLA Y ALEACION PROBLEMAS RESUELTOS PDF






















Mezcla y Aleación Aunque se supone que el descubrtmiento accidental del cobre nativo en Europa y Asia aconteció en el lapso comprendido entre los años 12000 y 8000 años A.C .. dependiendo de la zona geográfica y los grupos humanos que la habitaron; el conocimiento y el empleo del cobre se atribuyen a los Sumerios. de quienes se conservan objetos ornamentales de más de 6500 años de antigüedad elaborados a partir de cobre nativo El cobre fue utilizado en estado puro o ligado inicialmente al plomo y después al estaño en una aleación conocida como bronce. en la fabricación de armas. monedas y utensilios domésticos. Este uso fue de tal 1mportanc1a que esta época recibe el nombre de Edad de Cobre y Bronce en la historia de la humanidad. Hacia el 3000 AC. los egipcios ya utilizaban el cobre en una variedad muy amplia de objetos creados para satisfacer las necesidades de la vida co~tidiana . Asimismo. perfeccionaron los procedimientos de aleación del cobre y estaño. de los cuales se obtiene bronce. De igual manera. este símbolo representó para los egipcios la vida eterna. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

4.0 OBJETIVOS Determinar las cantidades que deben tomarse de cada ingrediente para satisfacer las exigencias del mercado ya sea del precio o de la calidad. CASOS QUE SE REPRESENTAN 1. Mezcla de sustancias de diferentes precios. 2 . Mezcla de sustancias de diferentes densidades. 3. Mezcla de sustancias de diferentes concentraciones. 4. Mezclas alcohólicas 5. Mezcla de metales (aleaciones). 4.1 MEZCLA DE SUSTANCIAS DE DIFERENTES PRECIOS PRECIO MEDIO Pm El objetivo principal de este caso es calcular el Precio Medio el cual es el precio de un unidad de mezcla (kilogramo o litro por ejemplo). Ejemplo: Un comerciante tiene: 20 kg de azúcar de SI. 1.50 el Kg. 30 kg de azúcar de SI. 2.00 el kg. 50 kg de azúcar de SI . 2.20 el kg Si los mezcla ¿Cuál es el precio medio de la mezcla? Resolución: Se puede definir el precio medio como: Pm = Costo de toda la mezcla Cantidad total final de mezcla La cantidad total de mezcla que se considera se toma descontando las pérdidas de materia prima que se producen en el proceso de mezcla. En este ejemplo no se dice que hay pérdida. Luego el precio medio es: Pm = 20· 1, 50 + 30 . 2, 00 + 50 . 2, 20 20+ 30+ 50 200 soles Pm = 100 kg Pm = SI. 2.00 el kilogramo. Es importante precisar 10 siguiente: a. El precio medio es un promedio aritmético ponderado de los precios y como promedio debe cumplir la propiedad fundamental. I Precio Menor < Pm < Precio mayor b. Si los precios dados como datos son de costo o de compra. el precio medio que se obtiene es el Precio Medio de Costo. c. Si los precios son de venta obtenemos el Precio Medio de Venta. d. SI el comerciante vende el azúcar sin mezclar obtiene la misma cantidad (SI. 200) que obtiene al vender los 100 kg de mezcla a SI. 2.00 el Kg. e. Si por ejemplo en la mezcla se pierden 20kg el precio medio es: 200 Pm = 80 kg = SI. 2.50 Para deducir la fórmula del precio medio Pm tenemos: Las cantidades: y los precios: CI. C2 • e3 . ....... . . .. Cn (Kg. litros. etc) PI . P2 • P3 ............. Pn (Soles) El precio medio Pm se calcula (observe el ejemplo anterior) . En donde a = porcentaje de pérdida de ingredientes. REGLA DEL ASPA Para el caso de dos sustancias la fórmula del precio medio es (sin considerar pérdidas a = O) : CI PI + C2 P Pm = 2 ~~--~~ C I +C2 C l . Pm + C2 . Pm = C 1 . PI + C2 P2 CI (Pm - PI) = C2 (P2 - Pm) Esta fórmula se puede obtener a partir de la siguiente disposición practica conocida como Regla del Aspa. Una observación importante para evitar errores en la aplicación de esta regla, es la ubicación del precio medio en las diferencias: en una de las diferencias es el sustraendo y en la otra es el minuendo o viceversa porque Ptn esta comprendido entre PI y P2 . Ejemplo: Se compra aceite comestible de 5/.3 Y 5/. 4 el litro, ¿En qué proporción se les debe mezclar para obtener: 1. Aceite cuyo precio de costo sea SI . 3.80 el litro? 2. Aceite cuyo precio de costo sea SI. 3.30 el litro? 3. Aceite cuyo precio de costo sea SI. 3.50 el litro? 4. Aceite cuyo precio de costo sea SI. 4 ,20 el litro? 5. Aceite que al venderlo en SI. 3,52 el litro se este ganado el 10% del costo? 6. Aceite que al venderlo en SI. 4.50 se este ganando el 20% del precio de venta? Resoluci6n: 1. Aplicamos la proporción de mezclado o simplemente la Regla del Aspa que es lo mismo. (C¡)_ 5/.3 0.20 _(1) ~ 5/·3.80 ~ ~0.80 -(4) Luego: Esto quiere decir: que por cada litro de SI. 3 . se debe agregar 4 litros de SI. 4. Es importante no perder la perspectiva conceptual del precio medio. primero que está comprendido entre SI . 3 Y SI. 4 Y en segundo lugar observemos que si mezclamos 1 litro de SI. 3 con 4 litros de S/ .4 tendremos 5 litros cuyo costo total es 1.3 + 4.4 = SI. 19. que dividido entre 5 litros nos da: SI. 19 Pm = 5 Lt. = SI . 3.80 el litro También es oportuno mencionar que aplicando la fórmula general para dos sustancias se llegará al mismo resultado. pues la regla del aspa se ha deducido de ella. sino. veamos: C l ·3 +C2 · 4 3,80 = C C 1+ 2 3.80 Cl + 3.80 C2 = 3Cl + 4 C2 0.80 C l = 0.20 C2 C l 0, 20 1 C2 = 0,80 = 4 2. Aplicando la regla del aspa (C1)- SI. 3 0 .70 _ (7) ~ SI. 3,30 (C2)- SI . 4 ~ ~0,30-(3} La proporción de mezcla es como 7 a 3 Cl O 50 1 3. Aplicando la regIa del aspa obtenemos: C 2 = O: 50 = "1 O sea Partes Iguales. Esto siempre se obtiene cuando el precio medio es La Media Arltm~tlca de los Precios, incluso. cuando intervienen -mas de dos sustancias. 4. Con precios de costo de SI. 3 Y SI. 4 es imposible obtener un precio medio de costo de SI. 4.20 pues esta fuera del rango. (C1)- SI. 3 ~ ~ 0.20 _(1) SI. 4.20 S/.4~ ~1.20-(6) Lo cual es un grave error establecer el esquema mostrado. 5 . . En este caso tenemos el precio de venta Pv = SI. 3.52 Y lo primero que se hace es calcular el precio de costo Pc como sigue: Pv = Pc + G Pv = Pc + 10% Pc 3.52 = 110% Pc 110 3.52 = 100 PC Pc = SI. 3.20 Este precio Pc = SI. 3.20 se debe obtener mezclando los aceites cuyos precios de costo son SI. 3 Y SI. 4. Aplicando la regIa del aspa. (el)=- SI. 3 0.80 _ (4) ~ SI. 3.20 (e2.l- SI· 4 ~ ~ 0.20 - (1) La proporción de mezcla es de 4 a 1 6. Es similar a la pregunta anterior. Pv = Pc + G Pv = Pc + 20% Pv 80% Pv= Pc 80 100 4.50 = Pc ~ Pc = SI. 3.60 (precio medio de costo). Ahora. aplicando la regla del aspa. (el)- SI. 3 ~ 0.40 _(2) ~ SI. 3.60 (e2) - SI. 4 ~ ~ 0 .60 - (3) La proporción de mezcla es de 2 a 3 OBSERVACIÓN IMPORTANTE La regla del aspa permite calcular la proporción de mezcla de dos sustancias para un precio medio dado a partir de los precios de dos sustancias iniciales. Pero si intervienen tres sustancias. para dar la proporción de mezcla. necesitamos algún dato adicional. de lo contrario tenemos Un Problema Indeterminado es decir. existen infinitas formas de úacer la proporción de mezcla. Ejemplo: ¿En que proporción se debe mezclar vino de SI. 6 . SI . la y SI. 15 el litro para obtener vino de SI . 12 el litro? Resoluci6n: Una forma puede ser: 2 litros de S/.6. 3 litros de SI . 10 Y x litros de SI. 15. Calculamos x. 12 = 2·6+3 · IO+x·15 2+3+x ~ x = 6 litros de SI. 15 Otra forma podría ser: 1 litro de SI. 6 . 4 litros de SI. la y x litros de SI. 15. calculamos x 12= 1·6+4·10+x·15 1+4+x ~ x = 4.67 litros de SI. 15 Se puede dar Datos Arbitrarlos de dos de las calidades y obtener la cantidad x del tercer precio aplicando la fórmula. Como se puede ver el problema Admite Infinitas Soluciones. Luego es el ejemplo dado indetermJn?.do. 4.2 MEZCLA DE SUSTANCIAS DE DIFERENTES DENSIDADES El objetivo principal de este caso es obteder la densidad de la mezcla resultante o sea La Densidad Mecha Dm. Se tiene como elementos de n sustanciaS¡: Los volúmenes: VI ' V2 ' V3 ' ............ Vn Las densidades : ° 1 ' O2 ' 0 3 ' ............ On La densidad media se define como: Om = Masa de la mezcla Volumen de la Mezcla REGLA DEL ASPA El análisis y deducción es igual que lo que se hizo precio medio. Por lo tanto solo la disposición observaciones respectivas. G -DI /1 ~ °2- 0m °m G) / ~I -02 0m - 01 De donde obtenemos: con el y las Esta es la Proporción de Mezcla en Volumen La proporción de mezcla en MASA es: MI VI·O I M2 = V2 ·02 MI _ (02 -Om)OI M2 - (Om- O I)02 Debe cuidarse de la ubicación de la densidad media (Dm). al igual que se hizo con el precio medio. También debemos recordar que esta regla del aspa nos da la proporción de mezcla en volumen o en masa para solamente dos sustancias y que en el caso de más de dos. el problema es indeterminado. Ejemplo: ¿En qué proporción. en volumen y en masa. se debe mezclar las sustancias cuyas densidades son 0.8 y 1.2 para obtener otra sustancia cuya densidad sea 0.9? Proporci6n en Volumen Aplicando el aspa. G_Dl=O.8~ - (3) DI= 0.9 8-D2=1.2/ ~ 0.1 - (1) Es decir por cada 3 litros de la sustancia agregar 1 litro de la 2da. Prueba la formula general para llegar al mismo resultado. Proporci6n en Masa MI VI·DI M2 = VI ·D1 = 3· O, 8 _ 2,4 l· 1,2 - 1,2 2 1 4.3 MEZCLA DE SUSTANCIAS DE DIFERENTES CONCENTRACIONES Concentración.- La concentración de una mezcla respecto a una sustancia que la forma, es el contenido en fracción o porcentaje de dicha sustancia dentro de la mezcla. Ejemplo: Se tiene una mezcla de 3 litros de gaseosa y 1 litro de vino. Se tiene: Concentración de la mezcla respecto al vino::;: l! 3 = ¡ = 25°;ó Concentración de la mezcla respecto a la gaseosa 3 3 1 +3 = 4 = 75% Para resolver un problema se puede usar como referencia cualesquiera de las sustancias. La concentración media de una mezcla de n sustancias se obtiene como el promedio de las n sustancias de la siguiente manera. En donde: Kl K2 , .... . .. . .. Kn: Cl C2 ' ... . ..... Cn: Regla de Aspa Son las concentraciones en fracción o porcentaje. Son las cantidades en Kg, litros, etc. Para el caso de dos sustancias. donde: k 1 < km < k2 Ejemplo: Se preparan dos mezclas de vino con agua: la primera se hace colocando 1 litro de agua por cada 3 litros de vino y la 2& colocando 2 litros de agua por cada 3 litros de vino ¿En qué proporción se deben mezclar los preparados anteriores para obtener una mezcla en la cual 20 litros de mezcla contengan 7 litros de agua? Resolucl6n: Tomando la concentración respecto al vino tendremos: Concentración de la 1 & mezcla Kl = 1 ~ 3 = ~ = ;~ Concentración de la 2& mezcla K2 = 2 ~ 3 = ~ = ;~ Concentración Media Km = ;~ f::\ 15 . 1 ~ -Kl = 20"'" 13/ 20 _ (1) @_K') 20 12/ ~~ = 20 20 - (2) Tomando la concentración respecto al agua: 5 Concentración de la 1 a mezcla = 20 1 20 " / Concentración media = 7 / 20 '\. -8 -2 20 20 Concentración de la 2 a mezcla = Como se puede ver La respuesta es la misma. 4.4 MEZCLAS ALCOHÓLICAS ( 1) (2) Una mezcla alcohólica contiene alcohol puro yagua, la concentración de alcohol recibe el nombre de grado alcohólico (G). siendo: Ejemplo: G = Volumen de Alcohol Puro. 100 Volumen de la Mezcla Se tiene una mezcla de 120 cc de alcohol puro y 80 cc de agua. El grado alcohólico g = 120. 100 = 60% 200 El resultado nos dice que la mezcla contiene un 60% de alcohol puro en volumen y el 40% de dicho volumen es agua, por esto el Grado Alcohólico también se denomina Porcentaje . de Pureza. Ejercicio: Calcule el contenido de alcohol de: 1. Botella de cervez'1 de 620 cc y 4° 2. Botella de pisco de 750 cc y 40° 3. Botella de vino de 750 cc y 11 ° Resoluci6n: 1. Volumen de alcohol puro = 4% 620 = 24.80 cc 2. Volumen de alcohol puro = 40% 750 = 300 cc 3. Volumen de alcohol puro = 11 % 750 = 82.5 cc Grado Medio gm Es el grado de una mezcla de varios alcoholes y es el promedio ponderado de los grados alcohólicos de los alcoholes que intervienen. siendo: Donde: VI V2 ...... ... .. Vn son los volúmenes de los alcoholes y gl' g2 •........ .. .. .... . &t sus grados alcohólicos respectivos. Regla del Aspa Se puede aplicar dicha regla solo para dos alcoholes: V I - gl '" / (g2 - gm) Para alcohol puro: Para agua pura: gm g2/" "" (gm - gl) g = 100° ó 100% g = 0° ó 0% 4.5 ALEACIÓN Una aleación es una mezcla homogénea .le metales mediante fusión. Una vez realizada, no se distingue cada uno de los elementos (metales) que la forman. Ley de una Aleación (L) Es la concentración de un metal de la mezcla respecto al total de la aleación. Se puede tomar como la concentración de la aleación respecto al metal fino o el más importante. Luego: L = Peso del Metal Fino Peso de la Aleación En joyería los metales finos son: oro, plata y platino y los metales ordinarios son el cobre, zinc. plom.o. etc. Ejemplos: l. Si una aleación contiene 30 g de oro y 50 g de cobre. su ley 30 respecto del oro es: L = 80 = 0 ,375 2. Si una aleación contiene 40 g de oro, 20 g de plata y 10 g . 40 de cobre, su ley respecto al oro es: L = 70 = 0.57. 3. Si una aleación tiene 30 gr de cobre y 70gr de zinc su ley se calcula respecto a cualesquiera de ellos . 30 RespeCto al cobre: L = 100 = 0 ,30 Respecto al zinc: 70 L=100=O.70 De los ejemplos anteriores. se deduce que: O:SL:S 1 L = 1 Metal fino o principal puro. L = O Metal ordinario puro. La plata se toma como ordinario cuando esta frente al oro, pero es fino frente al cobre. La ley de la plata tradicionalmente se expresa en milésimos por ejemplo plata de 850 significa que su leyes L = 0.850 Ley Media (Lm) Es la ley de la aleación resultante de la fusión de varias aleaciones. Así como los casos anteriores es una aplicación de mezclas de diferentes concentraciones y por 10 tanto se obtiene como sigue: Donde: PI. P2 ............ Pn son los pesos de las aleaciones. Ll ' P2 ' ........... Ln son las leyes respectivas. Regla del Aspa Se puede aplicar dicha regla Para 2 aleaciones Ley de Oro en QuUates: Si una aleación de oro es de: 10 quilates entonces peso de oro puro: 2140 del peso total . 18 18 quilates entonces -peso de oro puro= 24 del peso total - K quilates entonces peso de oro puro = ~ del peso total. De donde: Peso de Oro Puro K Peso Total = 24 K L = 24 Si K = 24 se trata de oro puro. K = 24L Si.K = O se trata de metal ordinario puro. La ley media en qullates es: Regla del Aspa Se puede aplicar dicha regla Para 2 aleaciones G-kl km G-k2 / "--B 4.6 PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 Un tonel de vino se llena hasta 2/3 de su capacidad con vino de S/.10 el litro; después se agrega vino de SI. 19 hasta completar % de su capacidad. Se sacan 30 litros y se agregan 45 litros de vino de SI. 20 el litro. completando así 7/8 de su capacidad. finalmente se completa con alcohol de S/.6 el litro. el cual pierde lA, de su volumen al mezclarse con el vino. ¿En cuánto debe venderse el litro de la mezcla. si se quiere ganar 12.5% sobre el precio de venta? Resoluci6n: "Cuando el tonel está lleno hasta % de su capacidad se sacan 30 litros de mezcla y se agregan 45 litros de vino de SI. 20. llegando así a 7/8 de la capacidad". De este dato se deduce que: (7/8 - 3/4) capacidad = 45 - 30 = 15 litros. U/8) capacidad = 15 litros. CAPACIDAD = 120 LITROS Con la capacidad del tonel ya conocida podemos calcular el pre~io de la primera mezcla. Se mezclan: 32 . 120 = 80 litros de vino de SI. 10 el litro. (! -;) 120 = 10 litros de vino de SI. 19 el litro. El precio medio de esta mezcla es: P _ 80· 10 + 10· 19 SI 11 llitr mI - 80 + 10 = . e o. En este momento el tonel contiene 90 litros de SI. 11 el litro Ahora se sacan 30 litros, luego, quedan 60 litros de vino de SI. 11 el litro, a esto se agregan 45 litros de vino de SI . 20 el litro; para completar el tonel de 120 litros faltan 15 litros que se completan con alcohol de S/.6 el litro pero si el alcohol pierde V. de su volumen al mezclarlo con el vino entonces: 3 15 litros = 4 del volumen que se compra. 20 litros = volumen de alcohol que se compra. El precio medio de la mezcla final se calcula como sigue: P m - Costo Total de la Mezcla 2 - Volumen Final de Mezcla P _ 60· 11 + 45 . 20 + 20 . 6 m2 - 120 ....;;S~•/ ~. ...;;1....:;,6.;:..80..;:.. Pm2 = -1=-20 litros Pm2 = SI· 14 el litro Este es el precio de costo que se debe considerar para hallar el precio de venta, ganando 12.5% de dicho precio de venta. Siendo: Pv = Pc + G Pv = 14 + 12.5% Pv Pv= 14+! Pv 8 Pv = SI. 16 el litro. Problema N° 2 En 80 litros de agua se disuelve 2 libras de azúcar ?Cuántos litros de agua se deben agregar para que en la nueva mezcla por cada 10 litros se tenga 1/6 de libra de azúcar? Resolucl6n: La concentración de azúcar que tiene la mezcla se calcula de la siguiente manera: _ _ Masa de Azúcar Concentracion de azucar = Voumiedn e M ezc1 a Si agregamos x litros de agua a los 80 litros que había inicialmente se tendrá 80 + x litros de mezcla y siempre habrá 2 libras de azúcar. luego: Concentración de Azúcar = 2 l:;as d~i:zúcar = 1/61ibra de azúcar + x ros 10 litros de mezcla de donde x = 40 litros Problema N° 3 Se mezcla agua. gaseosa y vino en la proporción de l . 2 Y 4 respectivamente y se prepara una segunda mezcla de agua. gaseosa pero con otro vino en la prdporción de 2.5 y 7 respectivamente ¿En que proporción debe mezclarse los preparados anteriores para que el vino represente el 51 3/7% del volumen final? ¿Cuál es el grado de la mezcla. si el primer vino utilizado era de 10° y el segundo era de 15°? Resoluci6n: Calculamos las concentraciones de las mezclas respecto al vino. Concentración de la 1 a mezcla = 4 _ 4 1+2+4-7 Concentración de la 2a mezcla = 2 + ~ + 7 . 51 3/7 Concentración de la mezcla final = 513/7% = 100 360/7 18 = 100 = 35 Calculamos la proporción de mezcla usando el aspa, dando denonúllador común 70 a las concentraciones para s1Inplif1- car el calculo. 4 40 (VI) - KI = -7 = -70 "'- Km = 18 = 35 -----/ Luego la proporción de mezcla es: 1 = 4 ~(l) 36 70 ~(4) Es decir por cada litro de la prilnera mezcla se debe agregar 4 litros de la segunda mezcla. Si tomamos una cantidad de 5 litros de mezcla, en ella, se tiene una cantidad de vino de 10° y otra de 15° que calculamos de acuerdo a la concentración que tenía la primera y en segunda mezcla como sigue. 4 4 En 1 litro de la primera mezcla hay 7' 1 litro = 7 litros de vino de 10°. ~n los 4 litros de la segunda mezcla hay 4(~) = 2 litros de vino de 15° Volumen de alcohol puro = 10% :4; + 15% . 2 litros 10 4 15 = 100':;+100. 2 = 1 5 4 Litros de alcohol puro que hay en 5 litros de mezcla. Luego el grado alcohólico de la mezcla final es: Problema rr- " g = 5/14. 100 5 g=71/7° Se ha preparado un compuesto a base de ingredientes cuyos precios son 5/. 37. 5/. 74 y 5/. 111 respectivamente. La masa del segundo es 20% más que la masa del primero y la masa del tercero es 25% más que la masa del segundo ¿En cuánto se debe vender el Kg de la mezcla para ganar el 21% del precio de venta? Resolucl6n: Sean las masas respectivas ; M 1 • M2 Y M3 120 M2 = 120% M 1 ~ M2 = 100 . M 1 6 M2 6 M2 = - . Ml ~ Ml 5 = 5 ... (1) M3 = 125% M2 125 ~ M3 = 100 . M2 5 . M2 M3 5 M2 =- ~ =4 4 M2 ... (2) En las proporciones (1) y (2) la masa M2 debe tener Un mismo número proporcional: para lograr esto. pensando en un múltiplo común de 6 y 4. La proporción (1) se escribe: M2 6 12 MI = 5 = 10 M3 5 Y la proporción (2) se escribe: = 4- M2 =1-5 12 Para hacer la mezcla podemos tomar las masas: MI = 10kg M2 = 12 Kg Y M3 = 15Kg Entonces el precio medio de costo de la mezcla será: Pm = lOx37+12x74+15xlll P 5/ 79 10 +-12 + 15 . -t m = . . Para vender con una ganancia de 21 % del precio de venta se tendrá: Pv = Pc + G Pv = 79 + 21 % Pv 79 -t 100 Pv = 79 Pv = 5/.100 Resolucl6n: La primera mezcla que se preparó tiene 75 litros de bebida cuya concentración respecto al vino es: Pero la bebida requerida debe tener una concentración de: 15 15 ~ = 15+ 1 = 16 Esta será la concentración media de la mezcla resultante planteando la regla del aspa tenemos: La 10 mezcla: 5 75 litros - K¡ = 6 ~ Vino que se agrega: x Ittros_ Kg = 1 1 75 16 3 x = 5" = 5 48 x = 125 litros Vol" ¡uen final de bebida es igual a 75 + 125 = 200 litros Problema N° 6 Se tienen dos pipas de vino de diferentes precios. En la prtmera hay A litros y en la dos B litros. Para tener en las dos. vinos de igual precio · se deben intercambiar n litros. Hallar n. . Resolucl6n: La situación inicial es: 1 a pipa A litros B Litros Precio = SI. p} Precio = SI. P2 Después de intercambiar n litros se tie,n e: 1 a pipa (A - n) litros de SI. p} n litros de SI. P2 (B-n) Litros de SI. P2 n litros de SI. p} El precio medio de las 2 mezclas debe ser el mismo, luego. (A-n)P} +n ' P2 (B-n)P2 +n.P} Pm= A = B De donde: ABP} - nBP} + nBP2 = ABP2 - nAP2 + nAP} AB (p} - P2) = nP 1 (A+B) - nP2 (A + E) AB (p} - P2)= n (A + B) (p} - P2) n=A-·BA+ B Problema N° 7 Para fabricar ciertos elementos de máquinas se usan una aleación de cobre y zinc que contiene 30% de zinc. Para otros elementos se emplea una aleación que contiene los mismos metales, pero solo 10% de zinc. ¿Cuántos kilogramos de zinc se deben fundir COl, la segunda aleación para obtener 90 kg de la primera? Resolucl6n: Se desea obtener 90kg de aleación que tenga 30% de zinc, para lo cual debemos fundir: x kilogramos de zinc puro o sea al 100% de zinc con (90 - xl kilogramos de aleación que tenga 10% de zinc Aplicamos la regla del aspa y tenemos: x Kg de zinc 100% ............. .......-- 20% 30% (90 - xl kg de aleación 10%""/ "---- 70% x 20 90-x = 70 7x = 180 - 2x x = 20 kg 2& Forma: También el problema se puede resolver haciendo un balance del contenido de zinc, de la siguiente manera. Contenido de zinc de los ingredientes = Contenido de zinc de la mezcla x kg + 10% (90 - xl kg = 30% 90 Kg x + 9 - xiI O = 27 9 lOx = 18 . x = 20Kg Problema N° 8 Calcular la ley en quilates de una medalla de oro que pesa 36 GR-f. Y que al sumergirse en el agua pesa solo 33GR-f las densidades del oro puro y el cobre puro son 19 y 9 GR/cm3 . Resolucl6n: Antes de . abordar el problema es necesario precisar que: l. Un cuerpo que pesa 36GR-f también tiene 36 gr de masa pues se trata de dos sistemas de unidades diferentes. 2. Por lo anterior el peso específico calculado en un sistema es numéricamente igual a la densidad calculada en el otro sistema. 3. La pérdida aparente de peso que experimenta un cuerpo sumergido en un líquido es igual al empuje hidrostático siendo este: Empuje = Volumen sumergido peso específico del líquido. Si el cuerpo esta totalmente sumergido entonces Perdida de peso = volumen del cuerpo peso específico del agua. 36 GR- f - 33 GR- f = volumen del cuerpo. 1 GR - f lem3 . De donde: volumen del cuerpo = 3 cm3 . Por lo anterior la densidad de la aleación de oro de que está fabricada la medalla es: 36gr D~nsidad de la medalla: --3 = 12 gr Icm3 . 3cm Siendo la medalla una mezcla de oro y cobre esta densidad es La Densidad Media de la Mezcla y entonces planteamos de mezcla del segundo caso. Aplicando la regla del aspa: Volumen de oro Doro = 19GR/cm3 r-(3) Volumen de cobre Dm= 12 GR/cm3 Dcobre = 9 GR/cm3 ~ ~(7) Volumen.de Oro 3 Volumen de Cobre = ;:; La relación de masas será: Volumen de Oro 3·19 19 Volumen de Cobre = 7·9 = 21 19 19 La ley de la medalla L = 19 + 21 = 40 19 La ley en quilates es K = 24 L = 40 . 24 K = 11.4 quilates Problema N° 9 Se tiene dos aleaciones a base de plata y cobre. Si de estas aleaciones se toman masas iguales y se funden. se obtiene una aleación de ley igual a 0.865. pero si se funden masas que contienen igual cantidad de cobre. entonces la ley resultante sería 0.88; determinar las leyes de las aleaciones originales. Resolucl6n: Sea Ll = Ley de la primera aleación Sea L,¿ = Ley de la segunda aleación Es evidente que estas leyes se refieren al contenido de plata. Las dos aleaciones contienen plata y cobre. La tercera aleación que se prepara se hace tomando masas iguales de las dos primeras aleaciones. Obteniéndose una ley de 0.865. luego se puede plantear usando la formula de la ley media. PI LI + P2L Lm = 2 donde PI = P2 (masas iguales) PI +P2 PILI +PIL2 0.865 = 2P1 1.73 = LI + L,¿ ... (1) La cuarta aleación que se prepara. se hace tomando masas de aleaciones originales como W 1 y W 2 de tal modo que W 1 y W2 contienen igual cantidad de cobre. Primero planteamos por la fórmula de ley media. . .. (2) Ahora planteamos: Cantidad de plata que contiene W 1 = W 1 . Ll Cantidad de cobre que contiene W1 = W1 - W1 . LI = W1 (1 - L1) Cantidad de plata qll.e contiene W2 = W2 . ~ Cantidad de cobre que contiene W2= W2 - W2 L:l = W20 -~) Entonces: W1 O - L1) = W2 O -~) W2(l-L2) W1 = 1-L l Reemplazamos (3) en (2) 0.88 = Simplificando W2 se obtiene 1.76 - 0.88 Ll - 0.88 ~ = Ll + ~ -2 Ll ~ 1. 76 - 1.88 (Ll + ~) = -2 Ll ~ 1. 76 - 1.88 0.73) = 2Ll ~ 0.7462 = Ll L:l . (1) en (4) 0.7462 = Ll 0,73 - L1) (Ll)2 - 1.73 Ll + 0.7462 = O Resolviendo: Ll = 1,73 ± JI, 73 2 - 4(0,7462) 2 Ll = 0.91 Ó 0.82 Si Ll = 0.91 en (4) sale ~ = 0.82 De modo que las leyes son 0.91 y 0.82 ... (3) ... (4) Problema N° 10 Se tienen dos aleaciones de oro cuyas mdsas son 17 Y 11 kg y sus leyes respectivas son17,5 y 10 quilates. De cada una se corta una cantidad X kilogramos y las partes restantes se funden obteniendo oro de 15 quilates. Hallar X. Resoluci6n: Las masas que se mezclan son (17 - x) Y (11 - x) Kg, luego aplicando la regla del aspa. 17-xKg 17.5 quilates ............... ~5 15 quilates 11-x Kg 10 quilates 17-x U-x -5- = 2,5 4.7 PROBLEMAS PROPUESTOS ~ 2 .5 1. Se mezcla alcoholes de 40°, 50° y 60° en la proporción de 1,4 y 5 respectivamente ¿Qué cantidad de agua (en litros) se debe agregar a cada 25 litros del alcohol resultante para bajar su concentración de alcohol en 4 unidades porcentuales? a) 1 b)2 c) 2.5 d) 3 e) 4 2. Una mezcladora de harina es alimentada por 2 duetos. El primero alimenta harina de SI. 0,50 el kilogramo a razón de 10kg cada 5 minutos, y el segundo alimenta harina de SI. 0 .70 el kilogramo a razón de 9 kilogramos eada 3 minutos ¿En cuánto debe venderse el Kg de mezcla si se quiere ganar el 7% sobre el precio de venta y se sabe que el costo de mezclaLio es el 50% del costo de la materia prima? a) 1.20 d) 1.10 b) 1.07 e) 0.99 e) 1.00 3. Dos vasijas contienen A y B litros de alcoholes de diferentes grados se intercambian x litros y se tiene alcohol de la misma concentración en las dos vasijas, entonces X es: A·B a) A-B b) A+B . A-B A·B e) A+B d) A+B 2A+B 4. Se ha mezclado 60 kg de una mercancía cuyo precio de costo es SI. 5 el kg con otra cuyo peso representa el 25% del peso total y el kg de mezcla se vendió a SI. 5 ganando así el 5% sobre el precio de venta. Calcular el precio de costo de la segunda mercancía. a) 2 b) 3 e) 4 d) 4,50 e) 4,25 5. Se mezclan tres sustancias cuyos precios son SI. 1, SI. 3 Y SI. 4 el Kg. De la primera entran tantos kilogramos como libras' entran de la segunda, y de la tercera entran 5 kg por cada 3 kg de la segunda. ¿Cuál es el precio medio de la mezcla? (1Kg = 2,2 Lbs). a) 2,25 d) 2,50 b) 2,28 e) 2,53 e) 2,44 6. Un recipiente se llena d~ alcohol de 80°, luego se extrae 1/5 y se reemplaza por agua, luego se extrae l/.l y se reemplaza por agua ¿Cuál es el grado de la mezcla resultante? . a) 32 b) 41 e) 48 d)56 e) 45 7. Se funde oro y plata en proporción de 3 a 2 obteniendo n gramos ¿En qué proporción se debe fundir esta aleación con cobre puro para obtener oro de 8 quilates? al 4 a 1 bl 3.6 a 1 el 5 a 4 dl 6 a 1 el 7 a 3 8. Se funde x Kg de cobre puro con 43 Kg de oro de 21 K Y se obtiene una aleación de n quilates menos, pero si los x Kg fuesen de oro de 14 quilates, la ley resultaría :2 quilates mayor. Hallar n. al3 bl5 cl2 dl 1 e) 4 9. Se funden n Kg de una aleación de oro de ley L con X Kg de cobre puro en la proporción de 6 a 1 ¿En qué porcentaje disminuye la ley de la aleación de oro? al 14,28 bl 16,6 e) 25 dl32 e) 12 10. Cual es la proporción en peso en que deben fundirse dos aleaciones de oro cuyas densidades son 11 y 18 para obtener una cuya densidad sea 13. al 55 a 36 bl 5 a 2 el 5 a 1 d) 53 a 77 e) 48 a 55 4.8 AUTOEVALUACIÓN l. Se tiene A y B litros de aceite comestible y se quiere intercambiar n litros para obtener aceites de igual precio, entonces n equivale a : a) Ma (A,B) d) 1/2 Mh (A,B) b) Mg (A.B) e) 2 Mh(A,Bl el Mh(A,Bl 2. Un comerciante compra vino de SI. 16 Y SI. 25 el litro y los mezcla en la proporción alb y los vende en SI. 27,50 el litro ganando así 10% del costo más el 20% de la venta. Hallar al b. a) 3/1 b)4/3 e) 5/4 d)3/4 e) 5/2 3. Se tiene azúcar de dos precios diferentes ¿En qué proporción se les debe mezclar para obtener como precio medio la media geométrica de los precios? a. En proporción inversa a sus precios. b. En proporción directa a sus precios. c. En proporción directa a las raíces cuadradas de sus precios. d. En proporción inversa a las raíces cuadradas de sus precios. e. En proporción inversa a los cuadrados de sus precios. 4. Se tiene vino de tres calidades cuyos precios son números consecutivos de soles. Se les mezcla en cantidades que son O.P. a sus precios. Si el vino de calidad intermedia cuesta 5/. n entonces, respecto a este valor el precio de un litro de mezcla costará: a) 2/3n soles menos b) 2n/3 soles mas e) 2/3n soles mas d) 1,5n soles mas e) 1,5n soles menos. 5. Se tiene dos vinos en cantidades que son directamente proporcionales a las inversas de sus respectivos precios. Se toma 1/3 de cada uno y se les mezcla, entonces el pr,ecio del 'vino resultante es igual a: a) La MG de los precios ' b) 1/3 de la MG de los precios c) La MH de los precios d) 1/3 de la MH de los precios e) 3 veces la MH de los precios. 6. Se preparan dos bebidas: para la primera se toma 2 litros de vino por. cada 3 litros de gaseosa y para la segunda 4 litros de vino por cada ~ ltro de gaseosa ¿En qué proporción se debe mezclar estas bebidas para obtener una tercera en la que por cada 7cm3 de gaseosa se tenga 8cm3 de vino? a) 3 a 1 b) 4 a 3 e) 2 a 1 d) 1 a 2 e) 8 a 7 7. Si un litro de alcohol de 75° tiene una masa de 960 g ¿Cuál es la masa de un litro de alcohol de 48°? a) 974.4 d) 860 b) 614.4 e) 982 e) 574.4 8. Un envase está lleno de alcohol de 80% de pureza. Se reemplaza 1/2 de su contenido por agua. luego se reemplaza 1/3 de su contenido por agua. y finalmente se reemplaza 1/4 de su contenido también con agua ¿Qué % de alcohol contiene 1/2 litro de la mezcla final? a) 15 b) 10 e) 20 d) 25 e) 40 9. Cierto aceite compuesto contiene 70% de aceite vegetal y el resto es aceite de pescado; otro aceite del mismo tipo contiene solo 10% de aceite de pescado ¿Qué cantidad de aceite de pescado se debe agregar al segundo aceite para obtener 90 litros del primer aceite? a) 70 b) 20 e) 45 d) 60 e) 72 10. En 80 litros de agua se disuelven 2 kg de sal ¿Qué cantidad de agua se debe agregar para que en la nueva mezcla por cada 10 litros de agua se tenga 1/8 de kg de sal? a) 60 b)80 e) 40 d) 50 e) 100 11. ¿Cuántos kg de miel de abeja pura se debe agregar a 20 kg de miel de abeja de 60% de pureza para que esta aumenta a 80%? a) 30 b)25 e) 22 d)40 e) 20 12. Se tiene dos calidades de vino de precios A y B. Si para obtener como precio medio la MH de los precios se les debe mezclar en la proporción de X a Y ¿En que proporción se les debe mezclar para obtener como precio medio la media geométrica de los precios? a} y ax d) 1 a (x+y) b} (x-y) a (x+y) e) Jx a JY 13. Cuantos gramos de cobre puro de deben agregar a una aleación de oro con plata de 20 quilates para que esta ley baje un 25%? La aleación de oro original tiene n gramos. a)n b)n/3 e) n/2 d}n/5 e) 3n 14. Se tiene n aleaciones de oro cuyas leyes son: 1,2,3,4 ..... quilates respectivamente. Si se funden en partes iguales se obtiene oro de 10 quilates ¿Cuántos quilates se obtienen si se funden en proporción directa a sus leyes? a} 13 b} 14 e) 15 d) 16 e} 17.5 15. Considerando que el precio del cobre es casi cero comparado con el precio del oro, si n gramos de oro de 18 quilates cuestan A soles ¿Cuánto costaran 3n gramos de oro de 12 quilates? a}3A b)2A e) 5A d) 3A/2 e) 3A/4 16. Se tiene dos aleaciones de plata cuyas leyes son a y b con las cuales se debe preparar una tercera aleación de plata fundiendo las dos primeras t ._. proporción de 1 a 2. pero por error se invirtió esta proporción resultando la ley deseada disminuida en 1/7 de su valor ¿En qué proporción están las leyes originales? a) 8/9 b) 5/6 c) 4/7 d) 5/8 e) 3/5 17. Se tiene dos . envases de 1 litro de capacidad cada uno: en el primero hay 1h litro de alcohol puro. yen el 2°. 1 litro de agua. Con el contenido del segundo se llena el primero, y luego con el contenido del primero se llena el segundo esta operación se realiza 3 veces en total ¿Cuál es la relación entre los grados alcohólicos finales del primero y el segundo? a) 11/53 b) 22/21 C) 42/53 d) 22/53 e) 31/53 18. Se funde oro y cobre pensando obtener una ley L = 0 .80. pero en el proceso se perdió 40% del oro y 20% del cobre ¿Cuál es el número de quilates resultante? a) 18 b) 15 c) 12 d) 10 e) 11 19. Si un kg de cobre se agrega a una aleación de oro y cobre, la nueva aleación contiene 20% de oro, y cuando 1 kg de oro se agrega a la nueva aleación. entonces la aleación resultante contiene 33 1/3% de oro ¿Cuál es la ley de aleación? a) 0.20 b) 0.25 c) 0,42 d) 0 .18 e) 0.60 20. Se tiene dos aleaciones de plata. con las cuales se preparan otras tres aleaciones: para la primera de estas se toman de la la y 2a masas que son inversamente proporcionales a sus leyes respectivas. obteniéndose una ley "A"; para preparar la 2 a de las 3 aleaciones. se toman de las uos aleaciones origi.nales masas que son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus leyes respectivamente obteniéndose una ley "B". y para preparar la última de las tres aleaciones. se funden de las dos originales. masas iguales y se obtienen la ley "C". entonces se tendrá: a)A>B>C b)A>C>B c)C>B>A d)C>A>B e)B>A>C 4.9 CLAVE DE RESPUESTAS De los problemas propuestos De la autoevaluacl6n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d c d c c c a c b b 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 e e b a b d b a b c