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MATEMATICAS EJERCICIOS DEL SEGUNDO BIMESTRE DE SEGUNDO DE SECUNDARIA EN WORD

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CLICK AQUI PARA VER VIDEOS En la multiplicación así como en la potenciación existen expresiones que pueden escribirse directamente los resultados teniendo en cuenta ciertos principios. A éstas expresiones se llaman PRODUCTOS NOTABLES. 01. Binomio al cuadrado Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto Efectuar: 02. Binomio al cubo 03. Producto de la suma por diferencia Resulta una diferencia de cuadrados. Efectuar: (x+3)(x-3) = ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... (a + b + c + d)(a + b – c – d) = ...................................................................... 04. Producto de dos binomios con un término común Equivalencias de Stiven Efectuar: (x+5)(x+8) = ...................................................................... (2x-3)(2x+7) = ...................................................................... = ...................................................................... (a+b+5)(a+b-3) = ...................................................................... 05. Producto de un binomio por un trinomio Efectuar: (x+2) = ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... (xy+z) ...................................................................... 06. Trinomio al cuadrado Forma desarrollada: Forma abreviada: Efectuar: 07. Trinomio al cubo Forma desarrollada: Forma abreviada: Efectuar: EQUIVALENCIAS IMPORTANTES 08. Equivalencias de Legendre Ejemplos: ...................................................................... ...................................................................... 09. Equivalencia de Lagrange Ejemplo: ...................................................................... 10. Equivalencia condicional A) Si: a + b + c = 0, se demuestra que:  =- 2(ab+bc+ac)  = 3abc  (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 B) Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac  a; b; c  R Se demuestra que: a = b = c EJERCICIOS DE CLASE 01. Indique la igualdad correcta: a) b) c) d) e) 02. Efectuar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1 03. Hallar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. ¿A qué es igual: ? a) x-y b) x+y c) d) e) xy 05. Reducir: a) a b) c) b d) e) ab 06. Efectuar y simplificar: a) -40 b) 30 c) 15 d) -15 e) N.a. 07. Efectuar: a) a+b b) c) 2 d) 4ab e) a/b 08. Si el producto de 2 números es igual a 1 y su suma es 4, hallar la suma de sus cuadrados. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 09. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados. a) 21 b) 19 c) 18 d) 15 e) 12 10. Después de efectuar y simplificar: se obtiene: a) 1 b) -1 c) d) e) 11. Efectuar: a) 12 b) 18 c) 15 d) 36 e) 45 12. Si: a + b = 5; ab = 2. Hallar: S = a) 21/95 b) 95/21 c) 21/17 d) 17/21 e) 19/21 13. Si: . Hallar: a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) No se puede determinar 14. Calcular: E = xy + xz + yz. Si:  x + y + z = 9. a) 26 b) 20 c) 81 d) 52 e) 16 15. Si: a + b = 5 ; = 17. Hallar a – b; si a > b. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. Suponiendo que: x + y + z = 0, entonces el valor de: a) 3 b) 2 c) 1 d) -2 e) N.A. 17. Calcular : E = a) b) c) d) e) 18. Simplificar: a) a b) c) ab d) abxy e) 19. ¿Cuánto vale “m” si se sabe que la siguiente expresión: es un trinomio cuadrado perfecto a) - 4 b) 0 c) 7 d) 16 e) 27 20. Hallar: E = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4), para x = a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Simplificar: a) 81 b) c) d) e)N.A. 02. Simplificar: a) b) c) 4 - d) e) N.A. 03. Simplificar: a) b) c) d) e) N.A. 04. Si: x + y = 6, el valor de: M = , es : a) 48 b) 36 c) 30 d) 28 e) N.A. 05. Efectuar: A = a) 18 673 901 b) 16 738 591 c) 16 873 951 d) 14 863 951 e) 26 873 951 06. Simplificar: a) 7 b) 12 c) 11 d) 0 e) 8 07. ¿Cuál es el valor de: - 2 r – 2. Si: r = + 1 a) 1 b) -1 c) 0 d) e) - 08. Si: ab = 4; a + b = 3. Calcular: a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 6 09. Si: a + b = ab = 3. Obtener: a) 0 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 10. Evaluar: , si sabemos que m – n = 8. a) 32 b) 40 c) 72 d) 64 e) 90 11. El resultado de: es equivalente a: a) b) c) d) e) N.A. 12. Efectuar: a) b) c) d) - e) 13. Si: a + b + c = 3 , . Calcular: E = a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 14. Efectuar: (1+ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Si: a + b + c = 3 ; . Obtener: N = (a+b)(b+c)(a+c). 16. Calcular: a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 17. Sabiendo que: a + b + c = 4; = 6. Hallar: ab + ac + bc. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 18. Dados: x + y = 3 ; . Luego xy resulta. a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3 19. Calcular el valor numérico de: N = . Si: x = ; y = a) 5 b) 0 c) –3 d) -9 e) 13 20. Luego de efectuar: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 TAREA DOMICILIARIA 01. La sexta potencia de: es: a) 4 b) 64 c) 81 d) 27 e) 216 02. Si: . ¿Cuál es el valor de P? a) – 1/4 b) 2 c) 3 d) -2 e) 1 03. Si: a + b + c = 0. Calcular: E = a) 0 b) 1 c) 3 d) 1/3 e) 1/9 04. Efectuar: a) 12 b) 18 c) 15 d) 36 e) 45 05. Conociendo que: ax + by = 8 ay – bx = 6 Calcule: a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25 06. Si: a + b = 6 ; . Hallar: . a) 54 b) 52 c) 48 d) 36 e) 45 07. Efectuar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. Si: a – b = b – c = 2, hallar el valor de: a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20 09. Si se cumple que: = 2. Calcular: a) 1 b) 256 c) 1256 d) e) 0 Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada cociente dadas otras dos denominadas dividendo y divisor de modo tal que se cumpla: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) De donde: D(x) : dividendo d(x) : divisor q(x) : cociente r(x) : resto o residuo I. Ley de Signos (+)  (+) = + (+)  (-) = - (-)  (-) = + (-)  (+) = - II. Ley de Exponentes Para dividir potencias de igual base, se coloca la base común y como exponente resultante la diferencia de los exponentes del dividendo y divisor. Ejemplo: III. Clases de División a) División exacta: Si: r(x) = 0  D(x) = d(x) . Q(x) En este caso, también se afirma que D(x) es divisible por d(x). b) División inexacta: En este caso, el residuo no es nulo; r(x)  0 IV. Métodos para dividir polinomios A. Método Clásico Pasos a seguir: 1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en forma descendente), en caso falte un término, este se completa con un cero. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniéndose el primer término del cociente. Luego éste se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se coloca con el signo cambiado, debajo de cada término del dividendo, sumando luego ordenadamente el producto obtenido con el dividendo. 3. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más de un grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) o en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio idénticamente nulo. Ejemplo: Dividir: entre . Solución: Luego: Q(x) = r(x) = - 25x + 8 B. Método de Horner Se recomienda cuando el polinomio divisor es de segundo grado o más y se opera sólo con los coeficientes de los polinomios ordenados y completos. Dichos coeficientes se distribuyen en un cuadro como el siguiente: El procedimiento se detalla a continuación: 1. Se anotan los coeficientes del dividendo en la parte superior del cuadro en forma horizontal (ordenados y completos) 2. Se anotan los coeficientes del divisor en la parte izquierda del cuadro en forma vertical con los signos cambiados a excepción del primero. 3. La línea de trazos no continuos separa al cociente (Q) del residuo (r) y para su trazo se considera el grado del divisor: se cuentan tantos espacios como grado tenga el divisor, desde la columna final (extremo derecho). 4. El primer término del cociente (Q) se obtiene dividiendo el primer coeficiente de (D) entre el primer coeficiente de (d). 5. Este primer coeficiente de (Q), multiplica a los demás coeficientes de (d) que cambiaron de signo y los resultados se escriben en forma horizontal a partir de la siguiente columna hacia la derecha. 6. Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado se divide entre el primer coeficiente de (d), repitiéndose el procedimiento hasta coincidir con la última columna del dividendo. 7. Para acabar, se suman directamente las columnas correspondientes al residuo, lo que conformará los coeficientes del polinomio residuo. Ejemplo: Dividir: entre Q(x) = r(x) = 3x - 1 C. Método de Ruffini Se emplea para dividir polinomios entre divisores de la forma: ax  b, o cualquier expresión transformable a ésta. Pasos a seguir: 1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola variable. En caso falte este se completa con cero. 2. En caso hubiesen dos o más variables se considera sólo a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del esquema. 3. Se baja el primer coeficiente del (D) siendo este el primero del (Q). Luego se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna. 4. Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del (D). Llegado este momento se reduce la columna que falta y siempre se cumplirá que la última columna le va a pertenecer al resto, y éste siempre será un valor numérico. Esquema Gráfico: Ejemplo: Dividir: entre x + 2. Solución: Ordenando el dividendo: Aplicando el método de Ruffini : x + 2 = 0  x = -2 Luego: Q(x) = r(x) = 121 V. Teorema del Resto Este teorema se emplea para hallar directamente el resto en la división, sin necesidad de efectuar toda la operación. El divisor debe ser de la forma ax + b o transformable a ella. Pasos a seguir: 1) Se iguala a cero el divisor, encontrándose un valor para la variable. 2) El valor hallado para la variable se reemplaza en el dividendo, obteniéndose así el residuo. Ejemplo: Hallar el resto de dividir: P(x) = 3x2+ x + 1 entre 2x – 4. Procedemos así: 1) Igualamos a cero el divisor: 2x – 4 = 0 x = 2 2) Sustituimos x = 2 en el dividendo: r(x) = P(2). R(x) = 3 + (2) + (1) = 15 El resto es 15 EJERCICIOS DE CLASE I. Efectuar por el método clásico 1. 2. 3. 4. II. Efectuar por el método de Horner 1. III. Efectuar por el método de Ruffini IV. Ejercicios aplicativos de los métodos estudiados. 1. Calcular A + B , si la división: es exacta. 2. Calcular B - A , si la división: es exacta. 3. Calcular A . B , si la división: es exacta. 4. Calcular A - B , si la división: deja como resto 4x + 5. 5. Calcular A . B , si la división: deja como resto 3x - 1. 6. Calcular A+B+C, si la división: deja como resto +11x+7. V. Teorema del Resto. Calcular el resto de dividir: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Calcular “a” si la división es exacta: PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El resto de la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma (x-a) se obtiene sustituyendo en el polinomio dado: a) la “x” por –a b) la “x” por a c) (x-a) por (x+a) d) “a” por 1 e) N.A. 02. En una división por el método de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado: Hallar: a + b - c + d – e. a) -11 b) 13 c) 18 d) 19 e) -15 03. Al dividir: entre la suma de los coeficientes del cociente es: a) 11 b) 3 c) 13 d) 14 e) 15 04. Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta: a) a = 1 b) a = c) a = 1 d) a = 4 e) N.A. b = 5 b = - 6 b = - 6 b = 7 05. Al dividir P(x) = entre (x - a) el residuo es cero (0). ¿Cuál es el valor de a? a) -4 b) 8 c) 1 d) 4 e) 2 06. Calcular a + b, si la división: deja por residuo 7x + 8. a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 17 07. ¿Qué valor debe tomar “r” para que el polinomio: sea divisible por x+y? a) b) - c) 2y d) –2y e) - y 08. Al dividir: ; b  0, se obtuvo de resto 7, y además el término independiente del cociente es: (-2 ab). Calcular a + b. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 09. Calcular el resto que resulta al dividir: sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 37. a) 40 b) -40 c) 3 d) 42 e) 44 10. En una división efectuada por el método de Horner se obtuvo este esquema: Determinar la suma de coeficientes del dividendo: a) -4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 11. Calcular el residuo de dividir: a) 0 b) -4 c) 4 d) 2 e) -2 12. Calcular el residuo de dividir: a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 3 13. Calcular m+n, si es divisible entre x-1. a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2 14. Calcular el resto de dividir: a) 3x + 1 b) 4x + 2 c) 5x + 20 d) 6x - 3 e) 7x – 1 15. El residuo de dividir entre x + 2 es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10 16. Hallar m sabiendo que el resto de dividir: entre (x+2) es 1. a) -1 b) 2 c) –2 d) 1 e) 3/2 17. Hallar el residuo de la división: entre -2x+15. a) 0 b) x-1 c) 2x+4 d) 2x-4 e) x+4 18. En el esquema de Horner mostrado determine el valor de:  = (m+n+p) – (a+b+c). a) 5 b) 1 c) –2 d) 0 e) N.A. 19. Hallar la suma de coeficientes del dividendo de la siguiente división efectuada por la regla de Paolo Ruffini. a) -5 b) -10 c) –25 d) -50 e) -100 20. Si en la división siguiente: el residuo no es de primer grado. Hallar dicho residuo. a) -9 b) 13 c) 22 d) 18 e) 24 TAREA DOMICILIARIA 01. Calcular A/B si la división: es exacta: a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 2/3 e) 3/2 02. Calcular el resto en : a) 0 b) - c) 126 d) 128 e) - 126 03. Dividir: entre . Dar la suma de coeficientes del cociente. a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) -2 04. Determínese el resto en: a) 36x-21 b) x-1 c) 12x+7 d) 24x-5 e) N.A. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable. 2. Proporcionar el desarrollo del cociente de una división notable. 3. Resolver ejercicios y/o problemas que involucran cocientes notables. PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACION En el estudio de la división algebraica, hemos logrado hallar el cociente y el residuo mediante la aplicación correcta de métodos, técnicas, procedimientos o algoritmos. Ante una determinada estructura de las expresiones algebraicas denominados Dividendo y Divisor, ¡ahora! Nos asiste tratar con divisiones que por su forma o estructura las denominamos DIVISIONES NOTABLES, que originarán en su desarrollo COCIENTES NOTABLES o INMEDIATOS. B. CONTENIDO TEORICO 1. COCIENTES NOTABLES Reciben este nombre aquellos cocientes que se originan de divisiones que adquieren la forma: , n El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general: Podemos extraer las siguientes características: . El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos. . Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo. . Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable. 2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLE Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos. Primer Caso Aplicamos el Teorema del Resto: x – a = 0  x = a Reemplazamos en el Dividendo: R =  R = 0 Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente notable exacto. Luego el cociente es: Segundo Caso Aplicamos el Teorema del Resto: x – a = 0  x = a Reemplazamos en el Dividendo: R =  R =  0 Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego el cociente es: Tercer Caso Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0  x = - a Reemplazamos en el Dividendo: Si n es un número par R = 0 Origina un cociente exacto. R =  Si n es un número impar R = -  0 Origina un cociente completo. Luego el cociente obtenido es: Si “n” es un número par Si “n” es un número impar Cuarto Caso Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0  x = - a Reemplazamos en el Dividendo: Si n es un número par R = 0 Origina un cociente completo. R =  Si n es un número impar R = 0 Origina un cociente exacto. Luego el cociente obtenido es: Si “n” es un número par Si “n” es un número impar OBSERVACIONES Por lo expuesto anteriormente podemos concluir: - Los divisores de la forma (x – a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos. - Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así: +, -, +, -, .... - El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose - A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1, mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n – 1). - El desarrollo es un polinomio homogéneo. 3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE Es división notable o inmediata si y sólo si: Donde: n = número de términos del cociente. m, p, q, r  R  n  De la división notable expuesta podemos concluir: * Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas. * Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r – q). * Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q – r). Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo No. 1 G.A.  18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30 Ejemplo No. 2 G.A.  20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15 4. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás: Para una división de la forma:       1 2 3 k n-1 n El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar. * Cuando el divisor es de la forma (x – a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+). * Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será : (-) Si el lugar que ocupa es PAR. (+) Si el lugar que ocupa es IMPAR. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Ejemplo 1. Hallar el octavo término del desarrollo de: Resolución: Cómo el divisor es de la forma (x+a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el sino será negativo (-). Ejemplo 2. Calcular el valor de “n” en: , para que sea un cociente notable. Resolución:   8n – 12 = 5n  3n = 12 Ejemplo 3. Si el grado del octavo término del cociente notable: , es 12, hallar el número de términos de su desarrollo. Resolución: Número de términos será: n/3 Luego: n – 24 = 12. Luego, el número de términos será 12. Ejemplo 4. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252? Resolución: Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada. G A = 160 – 4k + 7k – 7 = 3k + 153. Por dato del problema: G.A. = 252 3k + 153 = 252 PRACTICA DE CLASE En su cuaderno de trabajo y con ayuda de sus compañeros de grupo efectúe los siguientes ejercicios. 1. Hallar los cocientes de las siguientes divisiones notables. a) b) c) d) e) f) 2. Hallar el término que se indica en cada uno de los desarrollos de las divisiones notables. a) de : b) de : 3. Dado el cociente notable: Determinar los valores de “m” y “n” sabiendo que su desarrollo tiene 8 términos. 4. Encontrar el cociente de dividir el entre el del siguiente desarrollo: 5. Indicar cuántos términos tiene el siguiente desarrollo: 6. Si la expresión: Es un cociente notable. Indicar cuántos términos tiene su desarrollo. 7. En el desarrollo de: Existe un término cuyo grado absoluto es 122. Hallar la diferencia entre los exponentes de “x” e “y” en dicho término. 8. Simplificar: PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Indique la división que dio origen al cociente notable: x4n – 2 - x4n – 4 + x4n – 6 - ....+ x2 - 1 a) -1 b) c) d) e) 02. Sabiendo que uno de los términos del desarrollo notable de: es –x4 y10 Calcular: ab a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 50 03. Calcular el término idéntico de los desarrollos: a) b) c) d) e) 04. Calcular el número de términos de términos del cociente notable: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 05. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 06. Hallar  +  en el cociente notable: Si: a) 20 b) 84 c) 48 d) 36 e) N.a 07. Hallar el número de términos del siguiente producto: a) 31 b) 22 c) 21 d) 28 e) 27 08. Si: xa y24 es el término central del desarrollo del C.N: , el valor de a + b + c, es: a) 49 b) 73 c) 91 d) 85 e) 89 09. Calcular el número de términos racionales enteros en el cociente notables. a) 5 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 10. Hallar la suma de los términos naturales del desarrollo de: a) 602 b) 160 c) 1602 d) 1702 e) 2403 11. ¿Cuál será el cociente de la división: a) x4 - 2x3 + 4x2 – 8x + 16 b) x4 + x3 + x2 + x + 2 c) x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 d) x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 16 e) N.a 12. La expresión: an + bn es divisible exactamente entre a – b, cuando: a) n es impar b) n es cualquier entero c) n es par d)n es mayor que a + b e) nunca es divisible 13. Hallar la suma de los polinomios que se obtienen al desarrollar estos cocientes: a) 2x3 + 2a2 x b) 2ax3 + 4a3 c) x3 + ax d) x3 - a x +2 e) 4x4 + 2a3 14. Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo de: a) 24 b) 52 c) - 34 d) 34 e) 54 15. El número de términos de: es ocho. ¿Cuál es el quinto término? a) x20 y9 b) x8 y18 c) x9 y20 d) x18 y8 e) x12 y20 16. Hallar "n" si la división: origina un cociente notable a) x20 y9 b) x8 y18 c) x9 y20 d) x18 y8 e) x12 y20 17. Hallar (m + n) si el T17 del cociente notable: a) 480 b) 470 c) 460 d) 450 e) 440 18. ¿Qué lugar ocupa el desarrollo del cociente notable: el término que tiene grado absoluto 34. término? a) 4to b) 5to c) 6to d) 7mo e) 8vo 19. x12 + x8 + x4 +1 es cociente de: a) b) c) d) e) 20. Calcular el t21 en el cociente notable: a) a+1 b) a - 1 c) d) e) (a – 1)20/21 TAREA DOMICILIARIA 01. El cociente notable: Calcular el valor numérico del término central para x = 1; y = 2 a) 256 b) 428 c) 512 d) 1048 e) 864 02. Si en el desarrollo del siguiente cociente notable: el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38. El número de términos del desarrollo es: a) 12 b) 16 c) 18 d) 25 e) 32 03. Reducir: a) x8 + 1 b) x6 + 1 c) x5 + 1 d) x7 + 1 e) x8 - 1 04. Hallar el número de términos de un cociente notable que tiene los siguientes términos consecutivos: a) 4 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 05. Suponiendo que a169 b36 se encuentra contenido en el desarrollo del cociente: Calcular n – m: a) 7 b) 13 c) 6 d) 19 e) N.a 06. Si el cuarto término es independiente de x; en el cociente notable: Calcular la relación entre n y m. a) b) c) d) e) 07. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir: a) 256 b) 128 c) 1024 d) 1684 e) 343 08. La siguiente división: genera un cociente notable cuyo menor término racional es: a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 09. En el cociente notable generado por la división: ¿Cuántos términos son irracionales? a) 6 b) 30 c) 31 d) 7 e) 29 10. La suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de: ; es: a) 2400 b) 2500 c) 2600 d) 2700 e) 2800 METODOS DEL FACTOR COMUN Y ASOCIACION OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Comprender que la factorización algebraica es el proceso contrario a la multiplicación. 2. Aplicar el método del factor común en la factorización de polinomios. 3. Aplicar el método del factor común por asociación, en la factorización de polinomios. 4. Transformar polinomios racionales enteros en una multiplicación de factores (factorización) por medio de métodos sencillos o por una combinación de éstos. PROCEDIMIENTOS: MOTIVACION Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera: x(x + y + z) = + xy - xz Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos: + xy – xz = x (x + y + z) De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. CONTENIDO TEORICO FACTORIZACION ALGEBRAICA Factorizar una expresión algebraica racional entera y de coeficientes racionales, es la transformación equivalente de la mencionada expresión en un producto indicado de potencias de sus factores primos también racionales enteros y de coeficientes racionales. Ejemplo: Factorizar: 3 +x – 10 = (3x – 5)(x + 2) Términos del Factores polinomio Factor: Es una expresión que forma parte de una multiplicación y que nos conduce a la expresión dada inicialmente. Ejemplos: 15 x 11 = 165  15 y 11 son factores de 165 A x B = C  A y B son factores de C (x+5) =  y (x+5) son factores de Factor Primo Es aquel factor que no puede expresarse como la multiplicación de otros polinomios, diferentes de él mismo y la unidad. Ejemplo: Los factores primos son: x ; y ; + y. Mientras que no son factores primos. Observaciones: Se dice que las factorizaciones se llevan a cabo en expresiones algebraicas primitivas, que conducen a la obtención de factores primitivos (coeficientes de sus términos, primos entre si). La definición inicial de factorización se puede ampliar a otros campos de los números, pero dejando claramente establecido en qué campo estamos trabajando. Por ejemplo, si alguien me pide factorizar (x – y), la respuesta es no se puede, pero si alguien me pide expresar (x – y) como un producto de dos factores en el campo de las expresiones algebraicas irracionales, el resultado es: En la factorización se presentan diversos grados de dificultad inherentes a cada expresión propuesta para tal fin, por lo que es necesario disponer de un conjunto de reglas, procedimientos o métodos que permitan la factorización en forma correcta, ordenada y sistemática. PRINCIPALES METODOS DE FACTORIZACION Método del factor común Es posible utilizar este método cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio. Ejemplo 1.- Factorizar: Factor Común Monomio: . Luego: Ejemplo 2.- Factorizar: Factor Común Polinomio: (x+y+z), Luego, la expresión factorizada es: (x+y+z)( ) Método del factor común por asociación Consiste en agrupar convenientemente los términos que conforman el polinomio, de tal manera que se consiga los factores comunes. Ejemplo: Factorizar: Por simple inspección, vemos que el polinomio tiene un factor común monomio a todos sus términos; entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus términos. Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así: x El polinomio expresado dentro del paréntesis no tiene factor común a todos sus términos; entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus términos. Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así: x Ahora extraemos el factor común binomio: (x + y) x(x+y)[ ] Volvemos a agrupar convenientemente: x(x+y) [ ] x(x+y) [ ] PRACTICA DE CLASE I. Factorice por el método del factor común. 1. 2. 3. 4. (a+b)(x+y+z) + (a+b)(x-2y-2z) II. Factorice por el método del factor común por asociación 5. 6. 7. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios. 1. 2. 3. 4. D. TAREA: Factorizar 1. 2. F(a,b,c,x,y,z) = ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz 3. G(m,n) = 4. P(x,y,z) = 5. E (x,y,z,a) = 6. M(a,b,c) = 7. R(x) = 8. N(x,y,z) = OBJETIVOS ESPECIFICOS Aplicar el método de las identidades en la factorización de polinomios. PROCEDIMIENTOS MOTIVACION En el módulo anterior hemos tenido la oportunidad de estudiar los dos primeros métodos para la factorización de polinomios. El presente módulo nos va a permitir el estudio de otro método de factorización, el cual hace uso de identidades algebraicas conocidas (productos notables), tales como: trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, etc. CONTENIDO TEORICO METODO DE LAS IDENTIDADES Consiste en dar la forma de un producto notables a la expresión propuesta; para luego factorizar en base a dicha identidad. Trinomio cuadrado perfecto Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en un binomio al cuadrado. Es necesario tener en cuenta que donde aparecen cuadrados perfectos, existe la posibilidad del trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo: Factorizar Diferencia de cuadrados Ejemplo 01: Factorizar Solución: =     Luego: = Ejemplo 02: Factorizar Solución: = = [(x +y)+z3 ][(x+4) – z3 ]   (x+y) z3 Luego: = Suma y diferencia de cubos Ejemplo 01: Factorizar Solución: =  Diferencia de cuadrados =  Suma y Diferencia de cubos = Utilizando sumas y rectas (método del pon y quita) Ejemplo 02: Factorizar Solución:  Diferencia de cuadrados Ejemplo 03: Factorizar Solución:  Diferencia de cuadrados PRACTICA DE CLASE En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes ejercicios : Factorice cada uno de los siguientes polinomios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. TAREA Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada una de los siguientes polinomios: 1. OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa simple en la factorización de polinomios. 2. Aplicar el método del aspa simple en la factorización de polinomios. 3. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa doble en la factorización de polinomios. 4. Aplicar el método del aspa donde en la factorización de polinomios. PROCEDIMIENTOS MOTIVACION En el presente módulo, vamos a abordar tres de los métodos más conocidos para la factorización de polinomios, nos referimos al método del aspa simple, aspa doble y aspa doble especial, el primero de ellos bastante aplicado en la solución de ecuaciones de segundo grado o convertibles. CONTENIDO TEORICO METODO DEL ASPA SIMPLE Se utiliza para factorizar trinomios de la forma: ó Ejemplo 1.- Factorizar: + 14x – 8. Resolución: Luego: + 14x – 8 = Expresión Factorizada. Ejemplo 2.- Factorizar: Resolución: Luego: Expresión Factorizada. METODO DEL ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Nota: En caso de faltar algún término, se puede completar con cero. Ejemplo 1.- Factorizar: Resolución: Apliquemos aspa simple en los tres primeros términos. Luego descomponemos el último término para formar otra aspa simple: Finalmente se forma otra aspa simple con los términos extremos (aspa simple auxiliar). Luego los factores se toman en forma horizontal, así: Expresión Factorizada OBSERVACION: Aparentemente el proceso anterior es largo, pues la explicación se realizó paso a paso; en la práctica, las tres aspas simples se pueden realizar en una misma figura (se superponen las aspas). Ejemplo 2.- Factorizar: Resolución: Luego de comprobar, el polinomio factorizado es: METODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomio de una sola variable, generalmente de grado cuatro, pero no necesariamente, puede tener la forma general: Nota: La forma de proceder es similar a la del aspa doble. Ejemplo 1.- Factorizar: Resolución: En primer lugar descomponemos los términos extremos para formar un aspa simple, así: Si sumamos los productos de multiplicar en aspa, se obtiene . Observe en el polinomio que necesitamos obtener . Para obtener lo que se necesita sumamos , que es el término que desdoblado convenientemente se coloca en el centro de las dos aspas simples: Nótese que al multiplicar en aspa y sumarlos, se obtiene , luego tomamos los factores en forma horizontal y obtenemos la expresión factorizada, así: PRACTICA DE CLASE En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes expresiones polinómicas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. TAREA Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada uno de los siguientes polinomios: OBJETIVOS ESPECIFICOS Identificar en qué casos es posible hacer uso del método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios. Aplicar el método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios. PROCEDIMIENTOS MOTIVACION En el presente módulo, estudiaremos un método más para factorizar determinados polinomios, empezaremos nuestro estudio identificando cuáles son las características que debe reunir un polinomio para ser factorizado por este método y finalmente detallaremos el procedimiento a seguir para la factorización de dicho polinomio. CONTENIDO TEORICO METODO DE EVALUACION O DIVISORES BINOMIOS Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, (de preferencia, el grado debe ser mayor que 2). Además debe aceptar por lo menos un factor de primer grado. FORMA GENERAL: CONCEPTOS PREVIOS: TEOREMA DEL FACTOR De esto se deduce que si P(a) = 0, entonces P(x) es divisible por (x - a). Observación: En la práctica no se calcula el valor numérico de P(a), sino se divide usando el algoritmo de RUFFINI. CEROS RACIONALES DE P(X) Además, si para x = a, P(a) = 0, entonces; se dice que “a” es un cero de P(x). El método se fundamenta en buscar los ceros racionales del polinomio; para lo cual, identificamos los posibles ceros de la siguiente manera: Ejemplo 1.- Factorizar: Posibles ceros = Posibles ceros =  1 ;  2 ;  3 ;  6 ; ..... Luego: P(x) = Finalmente: Ejemplo 2.- Factorizar: P(x) = Resolución: Posibles ceros = Posibles ceros =  1 ;  2 Ahora debemos determinar cuál de estos cuatro valores son ceros de P(x); para lo cual evaluamos el polinomio para cada valor del conjunto de los posibles ceros, usando el algoritmo de RUFFINI. P(x) = Luego: P(x) = (x-1)(x+1)( +3x+2) Aplicamos aspa simple P(x) = (x - 1) (x + 1) (x + 1) ( x + 2) Finalmente: Ejemplo 3.- Factorizar: P(a) = (a+1)(a+3) – 5 a(a+4) - 27 Resolución: Efectuando las operaciones indicadas tenemos: P(a) = - 27 Realizamos el siguiente cambio de variable: + 4a = x . Así: P(x) = (x + 3)(x + 4) – 5x - 27 P(x) = + 7x + 12 – 5x - 27 P(x) = + 2x – 15 x – 3 x + 5 P(x) = (x – 3) (x + 5) Finalmente regresamos a la variable original. Así: Ejemplo 4.- Factorizar: P(x) = Resolución: Cuando el grado es par, formaremos un trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de esta situación se formará una diferencia de cuadrados. Para formar el trinomio cuadrado perfecto reemplazamos: por . Luego: P(a) = Trinomio Cuadrado Perfecto P(a) = Trinomio Cuadrado Perfecto P(a) = Diferencia de cuadrados P(a) = PRACTICA DE CLASE En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes expresiones polinómicas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. x12 – 1 TAREA Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada uno de los siguientes polinomios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. PRÁCTICA DE REFORZAMIENTO Haz uso de tu habilidad e ingenio en la solución de los siguientes ejercicios. I. Factorizar por el Método común 1.1 Factorización de un polinomio con factor común monomio. 1. 8x2 y + 6x3 yz – 10 xy2 w. 2. 2.4ab2 – 1.8a3 b – 0.9 ab 3. 12x3 y2 z3 - 15x3 yz3 – 6 x2 y3 z4 + 9x3 y5 z3 4. (2/ 6)x2 y2 + (4/ 9)x3 yz + (8/ 15) (xy w) 5. - 48ab3 + 64a3 bx – 16 a2 b2 x2 6. 0.8x2 y2 - 1.6x y3 + 0.4 xy 7. 3xa + 2xa + 1 – xa + 2 8. 3xa + 3 + 21x3a – 14 xa + 2 1.2 Factorización de un polinomio con factor común polinomio. 1. 8a2 (x – 2)4 + 16a3 (x – 2)2 - 24a5 (x – 2)3 2. 5x (2a – 7b) – 2a + 7b 3. 5x2 (a + b – 3c) – 2x3 (3c – a- b) 4. 9ab2 y3 (x2 – z2 ) – 5a2 by2 (x2 - z2 ) 5. - 6x2 + 9y2 + 4w(2x2 – 3y2 ) 6. (a + b) (5x – 2y – z) – (a – 2b) (2y + z – 5x) 7. 3x (2a – b + 3c) – 5y (b – 2a – 3c) 1.3 Factorización por agrupación de términos. 1. ac + ad + bc + bd 2. mx + m – x - 1 3. 2x2 + 2xc – 3bx – 3bc 4. 3y2 - 2ax + 3x – 2ay2 + 4 - 6 5. x2 +1/ 5x + 5x + 1 6. xn+2 + x3 + xn + x + x2 + 1 7. 3by + az + cy + 3bz + ay + cz 8. 6 ax – 5bx + 5by – 6ay + 6axy – 5bxy II. Factorizar por el Método de identidades 2.1 Factorización por trinomio cuadrado perfecto. 1. x2 – 8x + 16 7. 49a2 x2 + 28a2 x + 4a2 2. x2 + 26x + 169 8. 0.36x4 - 1.2x2 y + y2 3. 121x2 + 132x + 26 9. 9x6 + 1.2x3 + 0.04 4. x2 - 12x + 36 10. 4x2 + 28x + 49 5. 49x4 - 14x2 + 1 11. 25a4 - 30ab + 9b2 6. 2x2 - 8xy + 8y2 12. 36x2 - 12x + 1 2.2 Factorización por diferencia de cuadrados. 1. 16x2 – 36 6. x2 - (y – x)2 2. 0.64 – x8 7. x4 – 16b2 3. 16a2n - 25 8. x4 - y4 4. (2x – y)2 - (3x + z)2 9. 9x3 - x2 - 9x + 11 5. (x + y)2 - 4z2 10. 64x2 - z2 + 6z – 9 2.3 Factorización por suma de cubos 1. 8x3 – y6 6. 0.027x3 + y3 2. 27 + 125a3 7. 8a6 + 1000b3 3. 0.001 + x9 8. x3n + 1 4. 27a3 + 64b3 9. (x + 2y)3 + 64z3 5. 125x3 + 1 10. 64x6 + 216 2.4 Factorización por diferencia de cubos. 1. 8a3 - a6 6. (x + y)3 - (3 – y)3 2. 27a3 – 64b3 7. (x + y )3 - 27 y3 3. 1 – x3n 8. 8(x – 2)3 - (2x + 1)3 4. 64x3 - (x – 1)3 9. (x – 3y)3 - (2x + 1)3 5. (2x + y)3 - 8x6 11. 8x3n – 27y3n III. Factorizar por el Método del aspa 3.1 Factorización por aspa simple 1. x2 - 9x + 14 6. 2x2 + 7x + 6 2. x2 + 11x + 24 7. 3x2 - 10x - 8 3. x2 - 14x - 32 8. 3x2 - 10x - 8 4. x2 + 15x - 16 9. 5x2 - 17x – 12 5. x2 - 128 – 8x 11. 10x2 + 17x + 6 6. x2 + 9x + 14 12. 6x2 + 19x + 3 3.2 Factorización por aspa doble. 1. 6x2 + 3xy – 3y2 + 19x + 13y + 10 2. 15x2 + 7xy – 2y2 + 41x - 3y + 14 3. 8x2 + 4xy + 18x + 6y + 9 4. 7x2 + 19xy – 6y2 + 35x - 10y 5. 15x2 - 19xy + 6y2 - 11y + 19x - 10 IV. Factorizar por el Método de Evaluación 1. x3 + 2x2 - 5x - 6 2. x4 - 9x2 + 4x + 12 3. 3x3 + x2 - 8x + 4 4. x3 - 8x2 + 17x - 10 5. 2x3 – 5x2 + x + 2 6. 12x5 – 8x4 – 13x3 + 9x2 + x – 1 V. Aquí se presentan diversos casos, con los cuales tú tendrás que decidir que método aplicar. 1. x4 - 13x2 + 36 2. x6 - 64 3. x6 + 26x3 - 27 4. x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y - 15 5. ax + az + bx + by + cy + cz + ay + bz + cx 6. (x2 + y2 )2 - 4x2 y2 7. (a + x)2 - (ax + 1)2 8. 2x2 – xy – y2 + x + 5y- 6 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular uno de los factores del polinomio: 1 +x(x+1)(x+2)(x+3) a) x2 + x + 1 b) x2 + 3x + 1 c) x2 - x + 1 d) b) x2 + 1 e) N.a 02. Hallar los factores del polinomio (x – 1) (x + 3) (x2 - 4) + 4 a) x2 + x + 1 b) x2 + 3x + 1 c) x2 + x - 4 d) b) x2 + 1 e) N.a 03. Señalar uno de los factores del polinomio: (x – 2)2 (x2 – 4x + 6) –8 y dar como respuesta la suma de ellos: a) 2x2 -8x + 10 b) 2x2 - 6x + 7 c) 2x + 3 d) b) x2 + 4 e) N.a 04. Sabiendo que: x2 + y2 - 10x – 6y = - 18. Hallar R = (x – 5)2 + (y – 3)2 a) 9 b) 25 c) 35 d) 16 e) 18 05.Cuál es uno de los factores del polinomio: x4 - 2x2 + x2 a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) x2 + 1 d) x – 1 e) 2x + 3 06. Señalar un factor primo de: E = ab (x2 + y2 ) + xy (a2 + b2 ) a) (a + b) b) (x + 4) c) (ax + by) d) (a – b) e) (ax – by) 07.Uno de los factores de: 3m3 – 20 + 12m2 - 5m es: a) m + 3 b) m2 + 2 c) m - 4 d) m + 1 e) m + 4 08.¿Cuántos factores primos tiene la expresión: mn (x2 – y2 ) + xy (m2 - n2 ) ? a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 09. Señale uno de los factores de: x(y2 + z2 ) + y (z2 - x2 ) a) x - y b) x + 2y c) x d) y + 1 e) x + y 10. Dar uno de los factores primos de: ac (a + c) + ab (a – b) – bc ( b + c) a) b2 + c b) b + c c) b + c2 d) b + 5c e) b – 5c 11.Uno de los factores de: x2 + 4xy + 4y + 2x + 4y2 es: a) x – 2y b) x + 2y c) x + y d) b) x - y e) x + 1 12. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de: 9m2 + 12mn + 6m + 4n + 4n2 a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 5 13.¿Cuántos factores primos lineales admite? x5 - 4x3 + x2 - 4 a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3 14. ¿Cuántos factores lineales se obtiene al factorizar P(x)? Si: P (x) = 18x4 + 25x2 - 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) Ninguno 15.¿Cuántos factores primos lineales tiene P(x) si: P (x) = 3 x6 - 2x3 - 1? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene P)x, y), si: P (x, y) = 8x8 y + 63x5 y – 8x2 y a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. ¿Cuántos factores primos lineales tiene: P (x) = 2x4 - 3x2 - 20? a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 18. ¿Cuántos factores primos se segundo grado tiene P (x)? Si: P (x) = 3x6 + 23x3 - 8? a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 19. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos en: P (x) = 4x4 - 3x2 - 1? a) 0 b) 1 c) 2 d) -2 e) 3 20. Señalar uno de los factores de: P (x) = 18x4 + 55x2 - 28? a) 3x - 6 b) 6x - 3 c) 5x - 1 d) 3x + 2 e) 3x - 7 SOLUCIONARIO Nº EJERCICIOS PROPUESTOS