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MATEMATICAS EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE PRIMERO DE SECUNDARIA EN WORD

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CLICK AQUI PARA VER VIDEOS IDEA DE CONJUNTO, RECONOCIMIENTO Y DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS I. Objetivos Específicos: - Resume los datos bibliográficos del creador de la teoría de Conjunto. - Explica con un lenguaje sencillo la idea de conjunto. - Reconoce las de conjunto e identifica sus elementos con responsabilidad. - Determina por extensión un conjunto dado por comprensión y viceversa. II. Procedimiento: A. Motivación. Se imaginan ustedes como llevaría el control de sus ventas el administrador de una tienda comercial, la señora que vende frutas en la esquina de una calle, el señor que vende pescado en el mercado, la señora que vende ropa en su bazar; como el cajero de un banco tendría que atender a un cliente con tanta rapidez cuando tenga que pagarle S/. 3548 240, todo ese control obedece a una manera de tener cada cosa en su respectivo lugar. Seguramente el cajero del banco tiene agrupados los billetes de S/. 200, de S/. 100, de S/. 50, de S/ 10, pequeños montoncitos de S/. 5, de S/. 2, de S/. 1, de S/. 0.50, de S/. 0.20, de S/. 0.10 para poder pagar en forma rápida y precisa el monto a un determinado cliente. Sabemos que existen varias clases de conjuntos, tales como: finito, infinito, determinado, indeterminado, etc. Algunos de ellos pueden pertenecer a una o dos clases, por ejemplo el conjunto “El presidente del Perú” que es un conjunto determinado y unitario, asimismo hay otros conjuntos con estas características. B. Contenido Teórico RESEÑA HISTÓRICA El creador de la teoría de conjuntos, GEORGE CANTOR, nació en Sant Petersburgo (Rusia), el año 1845, de padre Danés y madre alemana, pero su formación matemática la materializó en Alemania, Introdujo la idea de “infinito actual”, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos. Tuvo entre uno de sus principales opositores a LEOPOLDO KRONECKER científico eminente que a pesar de haber sido su maestro, le impidió el acceso a lo que en la época era un cargo importante, es decir, dictar cátedra en la Universidad de Berlín, limitándose a dictar clases en la no muy brillante Universidad de Halle. La enemistad entre Kronecker y Cantor duró casi toda la vida hasta que se reconciliaron cuando ya Cantor estaba muy enfermo. ¿Qué defendía Kronecker?. El decía que “los números naturales son obra de Dios y lo demás es obra nuestra”; abogada por la combinación finita de los números, le era muy difícil reconocer la existencia de los decimales infinitos y de las demostraciones matemáticas de infinitos pasos. Cantor por el contrario fue considerado como el “profeta del infinito”. Existen conjuntos – decía – cuyos elementos son tales que no podemos establecer cuál es el último. A este número muy grande, Cantor le denominó ALEPH CER. En un principio su descubrimiento fue ridiculizado, pero finalmente Cantor vivió lo suficiente para ver que su obra era aceptada en todo el mundo. Murió en Enero de 1918. IDEA DE CONJUNTO Por conjunto entendemos como: una colección, agrupación de objetos denominados elementos del conjunto, los cuales (los elementos), pueden ser de naturaleza real o material (carpetas, libros, alumnos, etc.) y abstracta o inmaterial (puntos, rectas, ideas, etc.). Así tenemos los ejemplos siguientes: Ejemplo 1. “La colección de estudiantes de tu grupo”. Cada estudiante es un elemento. Ejemplo 2. “La colección de estados de la materia”. Sus elementos son: sólido, líquido, gaseoso. Ejemplo 3. “La colección de todas las ciudades del Perú”. Lima es un elemento del conjunto. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO Para representar un conjunto se ha convenido emplear llaves { }, dentro de las cuales se nombran los elementos del conjunto, unos a continuación de otros. Dichos elementos, se denotan por letras minúsculas, gráficas, nombres, números, que van separados por comas y punto y coma (;). Finalmente para dar nombre al conjunto e identificarlo fácilmente se emplea o denota por letras mayúsculas. Así tenemos: Ejemplo 1. Sea el conjunto: A = {Teresa, Nelly, Carmen, Adelina} Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: Teresa, Nely, Carmen, Adelina”. Ejemplo 2. Sea el conjunto: B = {2; 4; 6; 8 } Se lee : “B es el conjunto cuyos elementos son: 2; 4; 6; 8” DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los elementos que forman dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. 1. POR EXTENSIÓN. Un conjunto se determina por extensión cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto. Así tenemos: Ejemplo. Sean los conjuntos: R = {este, oeste, norte, sur } S = { a, e, i, o , u } T = {1; 3; 5; 7; 9; ...} En el conjunto de R, se indican cada uno de sus elementos que son los 4 puntos cardinales; en el conjunto S se indican las letras vocales de nuestro abecedario; del mismo modo, en el conjunto T se indican todos los números naturales impares. 2. POR COMPRENSIÓN. Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Así tenemos: Ejemplo 1. Considerando el conjunto: A = {x / x es P } Se lee: El conjunto de todos los elementos x, tales que x es P (P es la propiedad) Ejemplo 2. Sea el conjunto: B = {x / x es una nota musical } Se lee: El conjunto B de todos los elementos x, tales que x es una nota musical. Ejemplo 3. Sea el conjunto: T = { x  N / 2 < x < 7 } Se lee: T es el conjunto de los x, tal que x pertenece a N y x es mayor que 2 y menor que 7; o sea que esta formado por los números comprendidos entre 2 y 7; es decir: T = {3; 4; 5; 6 } Ejemplo 4. Sea le conjunto: V = { x  N / x = a +2  a < 5 } Solución: Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que presenta: • Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4 • Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en x = a +2; así: Valores x = a + 2   Si a = 0 x = 0 + 2 = 2 Si a = 1 x = 1 + 2 = 3 Si a = 2 x = 2 + 2 = 4 Si a = 3 x = 3 + 2 = 5 Si a = 4 x = 4 + 2 = 6 Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera: V = { 2; 3; 4; 5; 6 } CLASES DE CONJUNTOS Entre las principales clases o tipos de conjuntos, de acuerdo al número de elementos, se pueden considerar los: conjuntos finitos y conjuntos infinitos. 1. Conjunto Finito. Es el conjunto cuyos elementos se pueden contar de uno en uno desde el primero hasta el último. Ejemplos: E = { x / x es un día de la semana } F = { 3; 6; 9; 12; ...; 2 505 } Dentro el conjunto finito tenemos los siguientes tipos de conjuntos: conjunto nulo o vacío y conjunto unitario o singletón . CONJUNTO VACÍO.- Es el conjunto que carece de elementos, y se denota por el siguiente símbolo  o { }. Ejemplos: M = {hombres que viven en Marte} N = { x / x  Z , x > 8 , X < 7 } CONJUNTO UNITARIO.- Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos C = { El alcalde actual de tu ciudad } D = { x / x  N , 7 < x < 9 } 2. CONJUNTO INFINITO. Cuando en el proceso de contar, no se puede llegar al último elemento. Ejemplo. R = { 0; 1; 3; 5; 7; .. } S = { x/x es una estrella del universo } El conjunto infinito puede clasificarse como: numerable o innumerable. CONJUNTO INFINITO NUMERABLE.- Se denomina así, al conjunto cuyos elementos se pueden enumerar consecutivamente, aunque no en su totalidad. Ejemplos. A = {2x – 1 / x  Z+} B = { 2 ; 4; 6; 8; 10; ... } CONJUNTO INFINITO INNUMERABLE.- Se llama así al conjunto cuyos elementos no se pueden enumerar consecutivamente. Ejemplo: A = { x / 5  x  7 , x  R } B = { x / x  Q} PRÁCTICA DE CLASE Actividad A: En base a la lectura anterior, desarrolle en forma personal la tarea que se precisa a continuación. I. Responda Ud. a las siguientes preguntas: 01. ¿A quién se le considera el creador de la teoría de conjuntos? 02. ¿A qué nacionalidad pertenece y donde mayormente estudio? 03. ¿Qué defendía el creador de la teoría de conjunto? 04. ¿Quién su principal opositor y qué defendía? 05. ¿Cómo se llama una colección cualquiera de objetos? 06. ¿Hay diferencia de significado entre: “Un conjunto de objetos” y “una colección de objetos”? 07. ¿Pueden formar un conjunto, un elefante, una flor, y un alfiler? 08. ¿Qué son elementos de un conjunto? II. Coloca verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios: 01. El conjunto es una reunión sólo de objetos materiales ......................................... ( ) 02. Para que sea conjunto bien definido, la idea debe ser precisa ............................. ( ) 03. Los entes que pertenecen a un conjunto se llaman elementos ............................. ( ) 04. Los elementos pueden ser materiales como inmateriales ..................................... ( ) 05. El conjunto de alumnos de C.P “Lord kelvin” no está bien definido .................... ( ) 06. El conjunto de letras: a, b , c, d es un conjunto mal definido ............................... ( ) 07. Dado: “El conjunto de perros” es un conjunto mal definido ................................ ( ) 08. El conjunto de los planetas del Sistema solar” no es un conjunto mal definido ..... ( ) Actividad B: Complete los espacios, según se te indica: 01. Concepto de conjunto determinado: ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Ejemplos: a) ............................................................................................................................................ b) ............................................................................................................................................ 02. Concepto de conjunto infinito: ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Ejemplos: a) ....................................................................................................................................... b) ....................................................................................................................................... 03. Concepto de conjunto unitario: ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Ejemplos: a) ....................................................................................................................................... b) ....................................................................................................................................... Actividad C: En los paréntesis colocar la clase de conjunto a la que pertenece, en caso de ser conjunto bien definido y (no se puede determinar) en el caso contrario. 01. El conjunto se sillas de tu casa (....................................... ) 02. Los profesores de matemática saben las operaciones básicas (.......................................) 03. A = { x/ x = 2} (....................................... ) 04. ¿Mercurio pertenece al sistema solar? (....................................... ) 05. ¡Auxilio! (....................................... ) 06. Los perros ladran, señal que estamos avanzando (....................................... ) 07. W = { 1; 1; 1; ...} (....................................... ) 08. Los alumnos del colegio “lord kelvin” (....................................... ) Actividad D: En base a la lectura anterior, desarrolle las ideas que se precisan a continuación: I. Colocar (V) o (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios. 01. Un conjunto está determinado por extensión cuando no se designa a ninguno de sus elementos ................................................................................................ ( ) 02. Un conjunto se determina por comprensión cuando no se designa a ninguno de sus elementos ................................................................................................ ( ) 03. El conjunto E = {x/x = 3} esta determinado por extensión ................................ ( ) 04. Dado: A = {n; i; d; o; s}, se lee "A es el conjunto cuyos elementos son las letras n; i; d; o; s " ........................................................................................................ ( ) 05. Si: T = {x/x es una capital Sudamericana}, se lee "T es el conjunto de todas las x tal que x es una capital Sudamericana"............................................................ ( ) EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01 I. A continuación se te propone una serie de ejercicios tipo IBM, los cuales deberán desarrollar, luego encierra en una circunferencia la alternativa que contiene tu respuesta. No olvides cotejar tus respuestas con la clave (aparece al final de esta sesión). 01. De los siguientes conjuntos: I. A = {x/ x   x  10} II. B = {es una vocal fuerte} III. C = {4; 4; 4; 4} IV. D = {x/x A  2  x  3} Están determinados por extensión a) Sólo I y II b) Sólo II y IV c) sólo I y IV d) todas excepto III e) N. a. 02. Se le considera como el creador de la “Teoría de los conjuntos” a: a) Tales de Mileto b) Pitágoras c) Newton d) Euclides e) Cantor 03. El conjunto: M={x2-1 / x   0  x  5 } Determinado por extensión es: a) {0; 1; 2; 3; 4} b) {-1; 0; 3; 8; 15} c) {0; 5} d) {0; 3; 8; 15} e) N. a. 04. El conjunto “A” es un conjunto cuyos elementos son números naturales y A={ }, determinado por extensión es: a) { } b) {1; 2; 3; 4; 5} c) {0; 2; 4; -6} d) (0; 2; 4; 6) e) {0; 2; 6} 05. El conjunto cuyos elementos son: . Determinado por compresión es: a) { / x N} b) { / x  N} c) { / x  N} d) { / x  N} e) N.a. 06. Sea R={x/x  N  x < 18  x es número primo} determinado por extensión es: a) R = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 17} b) R = {0; 1; 2; 17} c) R = {3; 5; 7; 11; 13; 17} d) R = {1; 17} e) N.a. 07. El conjunto M = {2; 3; 4; 5; 6; 7}, determinado por comprensión: a) b) c) d) e) N.a. 08. Sea el conjunto: . Determinado por extensión es: a) T = {6; 9; 12} b) T = {1; 2; 3; 4} c) T = {2; 3; 4} d) e) N.a. 09. Dados los conjuntos: La cantidad de elementos comunes es: a) 2 b) 3 c) 0 d) 6 e) N.a. 10. De las afirmaciones: I. Los atletas más valores del mundo. II. ¿Por qué los conjuntos es una colección de elementos? III. Los peces respiran por las branquias. IV. Los alumnos de alto coeficiente intelectual. Son conjuntos bien definidos: a) Sólo I y II b) Sólo I y IV c) Sólo III d) Ninguno e) Todas TAREA DOMICILIARIA I. Determinar por extensión los siguientes conjuntos. 01. El conjunto de los días de la semana. 02. Los números naturales comprendidos entre 5 y 26. 03. El conjunto de los números naturales. 04. 05. 06. 07. II. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos. 01. L = {3; 4; 5; 6; 7} 02. Q = {a; e; i; o; u} 03. B = {13; 14; 15; 16} 04. G = {0; 1; 2; 3; 4; 5;....} I. Objetivos Específicos: 1. Halla el cardinal de un conjunto dado por extensión como por comprensión. 2. Reconoce cuando un elemento pertenece a un conjunto. II. Procedimientos: A. Motivación: Responda a las siguientes preguntas: * ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?. A = { 0; {1; 2 } ; {1;3;4} } Respuesta: ................................................. * ¿El elemento 1 pertenece al conjunto A? Respuesta: ................................................. ¿ { 3 } pertenece al conjunto A ?. Respuesta: ............................................... ¿ {1; 2} pertenece al conjunto A ?. Respuesta: ............................................... B. Contenido Teórico: RELACIÓN DE PERTENENCIA Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo  y en caso contrario se escribe el símbolo . Así tenemos: Ejemplo 1. Si A = {1; 2; 4; 7}, entonces podemos afirmar que: 1  A  “1 pertenece a A” 2  A  “2 pertenece a A” 3  A  “3 no pertenece a A” 4  A  “4 pertenece a A”. 5  A  “ 5 no pertenece a A” 6  A  “7 pertenece a A” Ejemplo 2. Si B = {a; b; c; d}, entonces podemos afirmar que: a  B  “a pertenece a B” b  B  “b pertenece a B” f  B  “f no pertenece a B” c  B  “c pertenece a B” Ejemplo 03. Dados los conjuntos: A = {1; 2; {3}; 4; {5; 6}; 7} y B = {0; {1}; 2; 3; {4}} Se tiene que: a) 1  A b) {1}  B c) {3}  A d) 7  A e) {7} B f) {5}  A g) 6  A h) {2}  B NUMERO CARDINAL Se denomina número cardinal o simplemente cardinal de un conjunto, al número de elementos de dicho conjunto. Se denota de la siguiente manera: Car (A) = n(A) = Nº de elementos de A Ejemplo 1. Determina el número cardinal del siguiente conjunto: A = { r, s, t, u, v, x, y, z} Solución: Analizando el conjunto A, notamos que tiene 9 elementos, porque: {r, s, t, u, v, x, y, z }         1 2 3 4 5 6 7 8 N° cardinal de A Por lo tanto el conjunto A indica que tiene 8 elementos, es decir: Car(A) = n(A) = 8 Ejemplo 2. Sea el siguiente conjunto: B = {2; 4; 6; 8; 10 } Solución: Observando que el conjunto de B tiene 5 elementos, es decir: Car(B) = n(B) = 5 NUMERO ORDINAL Se llama número ordinal, al número natural que corresponde a cada elemento del conjunto. Así por ejemplo, si contamos los elementos del conjunto A (Ejemplo 1), de izquierda a derecha, el ordinal de los elementos será: De “r” es 1  “r” es el 1er elemento. De “s” es 2  “s” es el 2do elemento. De “t” es 3  “t” es el 3er elemento. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS Los conjuntos se representan gráficamente, haciendo uso de regiones planas, cerradas que tienen diferentes formas: ovaladas, triangulares, rectangulares, circulares, dentro de las cuales se ubican los elementos que le pertenecen al conjunto, y fuera, los elementos que no le pertenecen. A esta representación gráfica de los conjuntos se llama diagramas de Venn, en honor al matemático John Venn, quien sistematizó su empleó. Ejemplo 1. Representa gráficamente los siguientes conjuntos: U = {2; 3; 5; 7; 9} A = {2; 5; 7; 9} Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: 2; 5; 7; 9. Además observamos: 2  A ; 5  A 7  A ; 3  A Ejemplo 2. Gráficamente representa los siguientes conjuntos: A = { 1; 3; 5; 6; 8; 10 } B = {7; 5; 3; 9; 10 } C = {9; 8; 5; 3; 11 } 1  A 10  A  B 7  A 7  B 9  B  C 8  B 11  C 8  A  C 1  C PRÁCTICA DE CLASE I. Desarrolle lo que se le solicita: 01. Sea: A = {1; 2; 3; { 2 } } ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? * 1  A * {2; 3}  A * {2}  A *   A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a. 02. Colocar el valor de verdad a cada proposición si: A = {2; 3; {1} ; {2; 1} } *   A ( ) * 3  A ( ) * 1  A ( ) * {1}  A ( ) * {3}  A ( ) *   A ( ) a) FVFFVV b) FFVVFF c) FFFVVV d) FVFVFV e) N.A 03. P y Q son dos conjuntos tales que: n (P U Q) = 30; n(P - Q) = 12; n (Q - P) = 10 Calcular: n (P) + n (Q) a) 15 b) 35 c) 28 d) 38 e) 18 04. Calcular la suma de los elementos del conjunto A. A = {x/x  N; 10 < 3x + 2 < 18 } a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 23 05. Colocar el valor de verdad a cada proposición si: A = {{2} ; 3; 1 ; {2; 1} } *   A ( ) * 3  A ( ) * 1  A ( ) * {1}  A ( ) * {3}  A ( ) *   A ( ) a) FVVVVV b) FVFVFV c) FFFVVV d) FFVVVV e) N.a. 06. Se tiene: A = {1; {1}; 1; }. ¿Cuál es el cardinal de A?. a) 4 b) 3 c) 2 d) no se puede determinar e) N.a. 07. Calcular la suma de los elementos del conjunto B. B = {x/x  N; 17 < 3x + 2 < 21 } a) 17 b) 6 c) 11 d) 15 e) N.A. EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01. Dado el conjunto A = {0; {1}; 2; {3; 4}} y las afirmaciones: I. {0}  A II. {2}  A III. n(A) = 5 IV. {4}  A Son ciertas: a) Sólo I y II b) sólo II y III c) Solo III y IV d) Sólo II e) N.A. 02. Si: a  M; b  M; {c; d}  M y {e}  M El conjunto M es: a) {a; b; c} b) {a; {c; e}; d} c) {a; c, d} d) {a; {c; d}} e) N.a. 03. Dado: A  B = {2; 3; 4, 5, 7, 8, 9}; A  B = {2; 7} B - A = {8; 9; 10}. Hallar n(B): a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 5 04. Del conjunto: R = {3; {4; 5}; 0}, se afirma: I) {0}  R II) {4; 5}  R III) {3}  R IV) 4  R V) {5, 4}  R Son ciertas: a) 2 b) 3 c) 10 d) 1 e) N.a. 05. Si: n(A-B) = 2; n(B-A) = 5 y n(AB) = 4. Hallar: n(A) + 2n(B) a) 10 b) 11 c) 24 d) 16 e) 17 06. Del gráfico: ¿Cuántos elementos pertenecen al rectángulo y al círculo pero no al triángulo? a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0 07. Determinar por comprensión: F = {1; 3; 5; 7; 9} a) F = {x / x es par} b) F = {x / x es impar} c) F = {x / x = 2n-1} d) F = {x / x = 2n+1  1  n  5} e) F = {x / x = 2n – 1  1  n  5} 08. Para dos conjuntos M y N se tiene que: M  N = {x / x  N  2  x  8} M  N = {5} M – N = {4; 6; 7} Hallar la suma de los elementos de N: a) 31 b) 18 c) 12 d) 15 e) 20 09. P y Q son dos conjuntos, tales que: n(P  Q) = 38; n(P – Q) = 12; n(Q - P) = 20 Calcular: n(P) + n(Q) a) 15 b) 35 c) 28 d) 38 e) 44 10. Sea: A = {1; 2; 3; {2}} ¿Cuántas de las proposiciones son verdaderas? * 1  A * {2; 3}  A *   A * 2  A a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 TAREA DOMICILIARIA 01. Sea M = {3; 4; {5}; {6; 7}} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? I) {3} M II) {6}  M III) {7, 5}  M IV)   M V) {{5}}  M 02. Dados: n(AB) = 50; n(A-B) = 10; n(A B)=15 Calcular: n(B-A) 03. Calcula la suma de los elementos del conjunto R = {2x- 1 / x  N, 10 < 3x – 2  19} I. Objetivos Específicos: * Establece los diversos tipos de relaciones que existen entre cada par de conjuntos. * Halla el conjunto potencia y su respectivo cardinal. II. Procedimientos: A. Motivación: ¿Qué relación existe entre los conjuntos A y B en cada caso? A = {x/x es una letra de la palabra amor} B = {Es una letra de la palabra mar} B. Contenido Teórico: 1. Relación de Inclusión. Se dice que un conjunto A está incluido en B, cuando todos los elementos del conjunto A, están contenidos en el conjunto B; es decir, es un subconjunto. Simbólicamente se denota: A  B o también B  A. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = { 1; 2; 3 } ; B = {1; 2; 3; 4; 5} Se verifica que A es subconjunto de B, es decir, que el conjunto A está contenido en B. Aplicando el Diagrama de Venn se tiene: A  B ó B  A Se lee : “A es subconjunto de B” “A está incluido en B” ó “B incluye a A” “B contiene a A” Cuando un conjunto se encuentra incluido dentro de otro se dice que ambos son conjuntos comparables. 2. Relación de no inclusión. Esta relación se presenta, cuando un conjunto no es subconjunto de otro. Se presenta dos casos: • Cuando los dos conjuntos en referencia tienen algún elemento en común, se tiene una relación de intersección. Ejemplo. Sean los conjuntos: A = { a, e, o} B = {i, o, u } A  B • Cuando dos conjuntos en referencia no tienen ningún elemento común, reciben el nombre de conjuntos disjuntos. Ejemplo. Sean los conjuntos: M = { 4; 6; 8 } N = { 5; 7; 9 } Verificamos que M y N son conjuntos disjuntos, porque M y N no tienen ningún elemento que se repite o común. NOTA: Para que quede claro la relación entre conjuntos, es importante definir un subconjunto. Subconjunto. Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A está en B. Simbólicamente se denota : A  B. Aclarando el concepto, sabemos que: si A es un subconjunto de B, decimos que A es parte de B, que A está incluido en B, o que B contiene a A. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = { a, b, c, d } B = { b , d } En los conjuntos observamos que: b  B y b  A d  B y d  A Luego los elementos b y d de B están en A, entonces B A. Si A no es subconjunto de B, se escribe A  B; se lee: A no es subconjunto de B A no es parte de B A no está incluido en B Subconjunto Propios. Dado un conjunto A, su número de subconjuntos será: No se considera el mismo conjunto A. Ejemplo: Sea el conjunto A={2; 4; 6}, los subconjuntos propios de A serán: {2},{4},{6},{2;4},{2; 6},{4; 6}, No es subconjunto propio de A: {2; 4; 6} PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN La inclusión goza de las siguientes propiedades: reflexiva, conjunto vacío y transitiva. * Reflexiva. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo; es decir : A  A * Conjunto Vacío. Es subconjunto de cualquier conjunto; es decir:   A * Transitiva. Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, entonces el primer conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es decir, se cumple: Si A  B y B  D  A  D 3. Relación de Igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Si: A = B  A  B  B  A Ejemplos: M = { 1; 3; 5; 7 } N = { 2x – 1 / x  Z ,1  x < 5}  M y N son dos conjuntos iguales. 4. Conjuntos Diferentes. Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro. Ejemplos: A = { 3; 4; 5 } B = {3; 4; 5; 6 } 6 es elemento del conjunto B, pero no es elemento A  A  B. 5. Conjuntos disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elemento común alguno. Ejemplos: A = { 2 ;4 ; 6; 8 } B = { x / x es una vocal } 6. Relación de Coordinabilidad de conjuntos. Dos conjuntos son coordínables, equivalentes o equipotentes ( < >), si tienen el mismo número de elementos o el mismo cardinal. A ={ 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}      B ={ a ; e ; i ; o ; u } Graficando, tenemos: 7. Conjunto de Conjuntos. Es aquel conjunto, donde al menos uno de sus elementos es un conjunto a su vez. Así tenemos: Ejemplo 1. Sean los conjuntos siguientes: a) M = { { 5; 4}, { 7},  } Analizando el conjunto de conjuntos, observamos que: M = { {5; 4}, {7} ,  } conjunto vacío conjunto con 1 elemento conjunto con 2 elementos Entonces M es una familia de conjuntos. b) N = { { 1; 2} ; {4; 3}; 9 :  } Entonces N no representa a una familia de conjuntos, pero si es un conjunto de conjuntos. Ejemplo 2. Sean los conjuntos: A = { 3; 4; {5 }; 1} B = { {Ana}, {Dora, María }, {Rosa} } C = { {2; 4; 6}; {a, b, c }7 ; 8 } D = { {e, f }, {0; 1; 3} Es importante saber que cuando todos los elementos de un conjunto, son conjuntos; recibe el nombre de familia de conjuntos. Así tenemos en el ejemplo anterior. A, B, C, D son conjuntos de conjuntos B, D son familia de conjuntos 8. Conjunto Universal. Es el conjunto referencial que nos permite identificar a otros conjuntos incluidos en él. Se denota por la letra U y su gráfico se realiza preferentemente en un rectángulo; así tenemos: Ejemplo: Sean los conjuntos A = { Aves } B = {peces } C = [ mamíferos} Analizando los conjuntos, concluimos que el conjunto universal está formando por todos los animales, es decir: U = { los animales } Su diagrama correspondiente es el siguiente: CONJUNTO POTENCIA Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P(A). El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por: donde n(A) representa el número de elementos del conjunto A. Ejemplo 01: Dado: A = { 14; 17}  n[P(A)] = 22 = 4 Su conjunto potencia será : P(A)={ {14}, {17}, {14;17},  } Ejemplo 02: Si: n[P(A)] = 16. Hallar n(A) * De la definición: Ejemplo 03: Si: n[P(A)] = 64; n[P(B)] = 32 n[P(A  B)] = 8. Hallar; n[A  B] * Aplicamos la definición en cada caso: * Ahora graficamos y colocamos los cardinales obtenidos. * Ahora calculamos lo que nos piden: n(AB) = 3 + 3 + 2 = 8 Rpta. PRÁCTICA DE CLASE ACTIVIDAD: En base a la lectura anterior, desarrolle las tareas que se precisan a continuación. I. Colocar verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios: 01. El conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8} es un conjunto finito. ( ) 02. El conjunto C = {0; 1; 3; ...} es un conjunto infinito. ( ) 03. El conjunto de "estudiantes del planeta tierra es un conjunto finito. ( ) 04. El conjunto A = {x/ x = 1,333 ...} es un conjunto infinito. ( ) 05. El conjunto finito es aquel conjunto en el que el número de elementos no se puede contar. ( ) 06. El conjunto Universal es un conjunto menos amplio que un conjunto vacío. ( ) 07. los diagramas de Venn-Euler, se representan mediante figuras sólo rectangulares. ( ) 08. Si M = {*}, N = {1; *}, U = {1; 2; *} entonces: * M, * N, {*}  U. ( ) 09. Conjuntos disjuntos son los conjuntos que tienen, por lo menos, un elemento común. ( ) 10. Los conjuntos: D = {x  N/ x  3}, E = {x N/ x  3} son conjuntos disjuntos. ( ) 11. Dados: L = {x N/20  x  21}, M = {20; 21; 22} son conjuntos diferentes. ( ) 12. Dados los conjuntos: C = {x  N/ x = 3y ^ 2 y  7}, D = {8; 9; 7; 6} son conjuntos no disjuntos. ( ) II. Dados los conjuntos, identificar que clase de conjunto es: 01. A = {{0}} (........................................) 02. B = {x/ x es una persona que mide 10 metros de altura}. (........................................) 03. Q = {x/ x es una "x"} (........................................) 04. El conjunto de personas que viven en el Sol. (........................................) 05. El conjunto de células de la planta de la mano de un gato. (........................................) 06. El conjunto de puntos de una recta. (........................................) 07. Z = {x  N/ x es múltiplo de 3} (........................................) 08. M = { x – 2/x  N ^ – 2 < x < 100000}. (........................................) EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03 01. Dados los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; A = {x/ x  N  1  x  6}; B = {x + 1/x  N  0  x  4} y C = {1; 2; 6} Hallar: n[P(A)] + n(B) – n[P(C)] a) 28 b) 16 c) 32 d) 24 e) N.a. 02. ¿Cuántos subconjuntos tiene R? R = {1; {1}; 1; } a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) N.a. 03. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene W? W = {{3; 4}; {5; 6}; 0} a) 3 b) 4 c) 7 d) 8 e) 9 04. Si el conjunto A tiene 2 elementos, ¿Cuántos subconjuntos propios tiene P(A)? a) 3 b) 4 c) 7 d) 8 e) 15 05. La unión de dos conjuntos A y B tienen 126 subconjuntos más que su intersección que es un conjunto unitario.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, si (B – A) tiene dos subconjuntos? a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e) 2 06. Del gráfico; se cumple: a) a = n(A) – n(BC) b) b = n(B) – n(AC) c) c = n(C) – n(AB) d) Todas e) Ninguna 07. Del gráfico, hallar n(A) + n[P(B C)] a) 6 b) 12 c) 15 d) 8 e) 9 08. Dado el conjunto: A = {2; {3; 4}; {5}} es un elemento de P(A). a) {2; 3} b) {{3; 4}} c) {5} d) {{2}} e) N.a. 09. El conjunto "M" tiene 2 subconjuntos más que "N" que es unitario. Hallar n(M): a) 1 b) 2 c) 16 d) 8 e) 9 10. El número de subconjuntos de { } es: a) 0 b) 2 c) 1 d) No se puede determinar e) faltan dados TAREA DOMICILIARIA I. Coloque la clase de conjunto a la que pertenece: 01. El conjunto de los dedos de la mano derecha: (.........................................) 02. El conjunto de los cabellos de todas las personas que viven en Trujillo: (.........................................) 03. Los gatos más veloces: (.........................................) II. Halla los subconjuntos y el cardinal del conjunto potencia de: 01. A ={a; b; c} 02. B = {m; n; p; q} 03. C = {x/ x  Z; – 3  x  2} 04. D = {x + 1/ x  3  x es natural} I. Objetivos Específicos: * Interpreta y aplica la definición de las operaciones entre conjuntos en la solución de ejercicios y problemas. II. Procedimientos: A. Motivación: Colocar verdadero (V) o falso (F), en cada caso * A  A = A ( ) * A  B = B A ( ) * A  (B  C) = (A B)  C ( ) * A  A = A ( ) * A  B = B  A ( ) * A  (B  C) = (A  B)  C ( ) B. Contenido Teórico: Actividad: Lea analíticamente los contenidos que se te alcanza, subraya todo lo que te parece de importancia para la comprensión del tema y completa intuyendo los espacios punteados. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. 1. REUNIÓN ENTRE CONJUNTOS: La operación de reunión entre los conjuntos A y B, son todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. La operación de Reunión tiene como símbolo:  Simbólicamente se denotaría así: A  B = {x/ x  A ó x  B} Y gráficamente así: Ejemplo: Dado los conjuntos: A = {2; 3; 5} y B = {1; 2; 4; 6}, hallar: a) A  B b) B  A c) A  A d) B  B Solución: a) A  B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Gráficamente: b) B  A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Gráficamente: c) A U A = {2, 3, 4} Gráficamente: 2. INTERSECCIÓN: La intersección entre los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B; es decir; formado por los elementos comunes. Simbólicamente se denotaría así: A  N = {x/ x  A  x  B} Y gráficamente así: Ejemplo: Dados los conjuntos: A ={x / x  N  2 < x < 6}; B = {x /x  Z  -2 < x < 3} y C ={ x + 2 / x  Z  -5< x < 3} Hallar: a) A  B b) B  C c) A  C d) A  B  C Solución: Nota: Para desarrollar cualquier ejercicio sobre conjuntos, primeramente se debe tener el conjunto determinado por extensión. Primero: Determinando por extensión los conjuntos A; B y C, tenemos: A = {3;4;5}; B = {-1;0;1;2}; C = { -2;-1;0;1;2;3;4} Segundo: Hallando las operaciones solicitadas: a) A  B = { } b) B  C = { -1; 0; 1; 2} c) Hágalo Ud. d) Hágalo Ud. ............................................................ ............................................................ Actividad: En base a la información anterior y a tus deducciones lógicas, desarrolla lo que se te solicita. I. Colocar verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios: 01. Sean los conjuntos: P= { 0; 1; 2; 3 } ; ( ) Q= {2; 5; 6; 7}. Luego: P  Q = {0; 1; 6; 7}. 02. Se tiene: F = { x  N/ 4 < x < 8 }; ( ) G= { x+1/ x  N  2< x < 5}. Luego: F  G = { 3; 4; 5; 6; 7 }. 03. Se tiene K = {x/ x  N, 4  x  5 }, ( ) L= { x N/ x >1 }. Luego: (K  L)  (L  K) = N . 04. Dados A = { 5; 6; 8; 9 } , ( ) B = { 9; 10; 11; 12 }, entonces: A  B = { 5; 6; 8; 9; 10; 11; 12 }. 05. Dados: Q= { x  N/ 10  x < 15 }, ( ) L = { 6; 7; 8 }, Luego: Q  L = { }. 06. Dados: H = { x  N/ x < 6 } , ( ) X = { 9; 8; 7; 6 } , Y = { x+1/ x  N  4 < x < 8 }. Luego: (H  X)  ( X  Y) = {6; 7 }. II. En tu cuaderno: Dados los conjuntos: A= { x -2/ x  N  3  x < 7}; B= {x+1/ x  N  x < 8 } y C= { x/ x es múltiplo de 3; x < 18 } Determinar: a) A  (B  C) b) (A  B)  C c) C  ( B  C) d) ( A  B )  B e) ( A  B)  ( C  B) 3. DIFERENCIA: La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B; es decir, es el conjunto formado los elementos que sólo pertenecen al conjunto A. Simbólicamente se denota así: A – B = { x / x  A  x  B} Y gráficamente así: Ejemplo: Dados los conjuntos A = {x/ x  N  x < 5}, B = { x-2/ x  Z  -1 < x < 3} y C ={2x-3 / x  Z  -1 < x < 4} Hallar: a) A – B b) B - C c) C – B d) A – C Solución: Primero: Determinamos los conjuntos A, B y C; por extensión: (hágalo Ud.) A = { ...........................................................................................} B = { ...........................................................................................} C = { ...........................................................................................} Segundo: Hallamos las operaciones que se nos solicitan. (Debe hacerlo Ud.) 4. DIFERENCIA SIMÉTRICA: La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; pero a ambos. Y tiene como símbolo:  Simbólicamente se representa así: A  B = { x / x  [(A  B) – ( A  B ) ] } También puede representarse así: A  B = { x / x  [(A – B)  (B – A ) ] Y gráficamente así: (Hágalo usted) Ejemplo: Dado los conjuntos: A = { x + 3 / x  N  2  x < 6} B = { 2x – 1 / x  N  2  x  6} C = { x (x – 1) / x  N  2  x  5} Hallar: a) A  B b) A  C c) (A U B)  C Solución: Primero: Determinar cada conjunto por extensión: Hallando lo solicitado. A = {5, 6; 7; 8} B = { 3; 5; 7; 9, 11} C = { 2; 6; 12; 20} a) A  B = { ......................................................} b) A  C = { ......................................................} c) A  B = { ......................................................} Luego: (A  B)  C = { ......................................................} 5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO RESPECTO A UN CONJUNTO UNIVERSAL O DE REFERENCIA: El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal; pero no pertenecen al conjunto A; es decir, los elementos sólo pertenecen al conjunto U. Su símbolo es: ; ; ; CA Simbólicamente sería así: A  = {x / x    x  A} Gráficamente es: Ejemplo: Dado los conjuntos: U = Universal = { x  N / x < 10} A = { x  B / B = <3; 7] } C = { x2 – 3 / x  N  2  x  3 } Hallar: a) A  b) CB c) (A  B)  d) [ (A  B) – C ]  Solución: Determinar por extensión los conjuntos: U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {4; 5; 6; 7} B = {4; 5; 6; 7} C = {1; 6} Hallando lo solicitado: a) A = {0; 1; 2; 8; 9} b) CB = B  = {0; 1; 2; 8; 9} c) (A  B)  1° A  B = {4; 5; 6; 7} 2° (A  B)  = {0; 1; 2; 3; 8; 9} d) [(A B) – C]  1° A  B = {4; 5; 6; 7} 2° (A  B) – C = {4; 5; 7} Finalmente: [ ( A  B ) – C ]  = {.....................................................................} PRÁCTICA DE CLASE I. Colocar (V) si es verdadera o (F) si es falsa, según corresponda en cada afirmación: 01. Dados: J = {x  N/ x > 9}; ( ) K = {4; 5}; L = {0; 3; 7}. Luego:(J  L)  (K  L)= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} 02. Dados: H = {x  N/ x < 6} ; ( ) X = {9; 6; 7; 8} ; Y ={5; 6; 7}. Entonces: (X  H)  ( X  Y)= {6; 7} 03. Si: Q = { x  N/ x >104}; ( ) P = {101; 102 }; T = {10}. Entonces: Q – (P U T)= {x  N/ x > 104} 04. Dados: U = { x  N/ 6 < x  9 } ; ( ) C = {7} ; D = {8}; Luego: C’  D’= {7; 8; 9} 05. Si: U = {0; 4; 8; 12; 16} y ( ) J= {4; 8; 12; 16}. Entonces: J’ – J = { } 06. Si: U = {x  N/ x  10}; ( ) N = { x  N/ x  5}. Entonces: (N  U)’ = {x /x N  5 < x  10} II. Dados el siguiente gráfico, determinar la operación: (Q – U)  (Q  U) = {.......................................................................} EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04 01. Dados los conjuntos U = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 } A = { x / x  [ 1; 5 ]  x  N } B = { 2; 3; 4; 5 } C = { 1; 2, 6 } Hallar: [ ( B  C)  - ( A  B  C)]  a)  b) { 2; 3 } c) { 1, 2; 3 } d) U e) { 2 } 02. ¿Qué relación dada entre conjuntos, identifica a la zona achurada? a) [ (A  B) – (B  C) ]  [ C – (A  B) ] b) [ (A  B) – C]  ( C – A ) c) [ (A  B) – C]  ( C – B ) d) [ C - (A  B) ]  [ (A  B) – C ] 03. ¿Cuáles de las siguientes expresiones representa el área achurada? a) ( A  C ) – B b) ( A  B )  A c) ( A  C )  B d) ( A  C ) – B e) B – ( A  C ) 04. P, S, T, son conjuntos no vacíos. ¿Cuál operación corresponde a la parte sombreada del diagrama? a) ( P – S ) – T b) ( P  S )  T c) ( S  T ) – ( S  P ) d) ( P  S ) – ( S  T ) e) ( P  S )  T 05. Dado los conjuntos: A = {1, {1; 2}; 2}; B = {{2}; 1; {1; 2}} y C = (A  B ) – (A  B) ¿Cuántos subconjuntos tiene C? a) 1 b) 4 c) 5 d) 8 e) 16 06. Sean los conjuntos: A = {x  Z/ x 2  4} B = {Y  A / Y = r +2; r  A} Calcular la suma de elementos de B: a) 10 b) c) 6 d) 5 e) 4 07. Calcular el valor de verdad de cada proposición, si: A = {8; 3; {2}; {1; 3}} I. 3  A II. 2  A III. 8  A IV. 3  {1; 3} a) VVVV b) VFFV c) FVF d) FFVF e) FFFF 08. Determinar por extensión el conjunto: A = {x – 1 / x  N; 4 x < 9} a) {0; 1} b) {3; 4} c) {0; 3} d) {-1; 0; 1} e) {0; 2} 09. Determinar por extensión el conjunto: , x  N a) b) c) {0; 1; 2; 3; ...} d) No se puede determinar e) N.a. 10. De dos conjuntos finitos A y B se tiene: n(A) = 4x + 3; n(B) = 2y – 1; n(A B)= x + y +1 Calcular: n(A  B) a) 2 x b) 2 y c) 3 x d) 3x +2 e) 2 x +y TAREA DOMICILIARIA I. En tu cuaderno 01. Se te dan los conjuntos: U = {0; 1; 2; ………; 9} A = {x  N / 3 < x  8} B = {x – 1/ x  7} C = {x  N / x = 4; x = 3} Calcular: a) A – B b) (A  C)-B c) [A  B]’C d) [A  (B - C)] I. Objetivo específico: Desarrolla correctamente entre conjuntos II. Procedimientos: A. Motivación. Para resolver problemas entre conjuntos, es necesario conocer otros elementos básicos de matemática tales como: Adición y sustracción de expresiones algebraicas, porque muchas veces necesitamos trabajar con datos donde se utilizan variables (letras) y resolución de ecuaciones, porque una veces para resolver el problema se establecen ecuaciones de primer grado tanto con una como con dos incógnitas. Para no tener dificultades en esta sesión repasaremos estos elementos. B. Contenido Teórico. A continuación se presenta algunos ejercicios para recordar estos elementos básicos mencionados: Efectuar: 1) 4x - (4 + x) = ........................................................ 2) 20 + 5x - (10 - 4x) = ........................................................ 3) 40 - (8 + 10-x + 12-x) = ........................................................ 4) 100 - (x +12 - a - b + 28 - a - c + 30 - b - c = ........................................................ 5) a- (12 - a) = ........................................................ 6) 120 - (80 - x) = ........................................................ 7) 1000 - (x - 20) = ........................................................ 8) 120 - 2a - 2b - (2a - b) = ........................................................ Hallar los valores de las variables en cada ecuación: I) 1) x + 3 = 5 2) 2x - 10 = 20 3) (x + 3)/2 = 4 1) x = ............ 2) x = .............. 3) x = .............. II) 1) x + 1/2 = 5/2 2) 3x + 2 - x = 12 3)(12 - a- b) + (18 - a - b) = 42 1) x = .............. 2) x = .............. 3) x = .............. Ejemplos: 1. En una Academia de idiomas de 600 alumnos, se sabe que 100 no estudian inglés ni francés 50 estudian francés e inglés. Si 450 estudian francés. ¿Cuántos estudian inglés? Solución: Primero: Sacamos los datos, representándolo en forma simbólica: I = estudian inglés, F = estudian francés. Segundo: Representamos los conjuntos mediante un diagrama: Tercero: Haremos un vaciado de datos en éste diagrama. Cuarto: Para hallar la respuesta a la pregunta aplicamos. “La suma de los cardinales de cada zona es igual al cardinal del universo”. Se concluye: Rpta: Estudian inglés 100 alumnos. 2. En una encuesta realizada en el CEPUNT a 150 alumnas con relación a preferencias arrojó lo siguiente: 80 prefieren perfumes, 70 prefieren las flores, 50 prefieren las joyas y sólo a 10 los tres regalos. ¿Cuántos prefieren las flores pero no las joyas ni los perfumes? Solución: Primero: P = prefieren perfumes F = Prefieren las flores J = Prefieren las joyas n(U) =150 ; n(P) =80 ; n(F) =70 n(J) =50 ; n(P  I) = 20 ; n(F  J) = 30 n( P  J) = 25 ; n(P  F  J) = 10 Segundo: Tercero: Ahora tú coloca en el diagrama los datos. PRÁCTICA DE CLASE I. Desarrolle en su cuaderno las siguientes situaciones: 01. En un aula de 50 alumnos; aprueban 30 de ellos, física 30; castellano 35, matemática y física 18; física y castellano 19, matemática y castellano 20; y 10 alumnos aprueban los tres cursos. Se deduce que: a) 2 alumnos no aprueban ninguno de los 3 cursos b) 8 aprueban matemática y castellano pero no física c) 2 aprueban matemática, pero no aprueban física ni castellano. d) 6 aprueban matemática y física pero no castellano 02. En una pella criolla trabajan 32 artistas. De estos, 16 bailan, 25 cantan, 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es: a) 4 b) 5 c) 2 d) 1 e) 3 03. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquetbol y 75 natación. Si 20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican un deporte y sólo uno? a) 50 b) 55 c) 60 d) 70 e) 65 04. En una clase de 27 alumnos cada uno de estos está en uno por los menos de los dos clubes siguientes: “Club de Natación” y “Cine Club”. El número de alumnos inscritos en los clubes es 7 y el “Cine Club” tiene registrados los 2/3 del total de alumnos. ¿Cuántos miembros tienen el “Club de Natación”? a) 20 b) 16 c) 11 d) 9 e) N.a. 05. Si el 6% de una población consume carne de ave y el 77% carne de pescado, el porcentaje de población que consume ambas carnes es: a) 23% b) 38% c) 39% d) 50% e) N.a. 06. En un grupo de 100 estudiantes, 42 aprobaron matemática; 30 el curso de química, 28 el curso de física; 10 de matemática y física; 8 física y química, 5 matemática y química y sólo 3 aprobaron los tres cursos? ¿Cuántos no aprobaron ningún curso? a) 28 b) 30 c) 38 d) 20 e) 48 07. 92 alumnos se fueron de paseo a Simbal de los cuales: - 47 llevan sándwich mixtos - 38 de queso - 42 de jamón - 28 de queso y mixto - 31 de jamón y mixto - 26 de queso y jamón - 25 los tres tipos de sándwich ¿Cuántos llevaron empanadas si se sabe que varios del total de alumnos lo hicieron? a) 1 b) 5 c) 20 d) 15 e) 25 08. Pacientemente, un hospital (con capacidad de 7000 enfermos) informada de que de 1000 de sus enfermos recibieron las vacunas Salk y Sabin. A un total de 2000 se les administró la vacuna Salk, mientras que 5000 recibieron la vacuna Sabin. ¿Cuántos pacientes no recibieron ninguna de las 2 vacunas, si el hospital tenía copado toda su capacidad? a) 7000 b) 6000 c) 5000 d) 2000 e) 1000 09. De 68 alumnos del programa de Ing. Agroindustria que han de matricularse en el primer ciclo; 48 alumnos se matricularon en matemática, 25 en lenguaje, 30 en inglés y sólo 6 de ellos se matricularon en las tres asignaturas. ¿Cuántos se matricularon sólo en un curso? a) 40 b) 38 c) 39 d) 42 e) 63 10. En el IST “Carlos Salazar Romero” se requiere que los estudiantes del último ciclo de contabilidad cursen matemática, contabilidad o economía. Si se sabe que de 610 estudiantes, 400 cursan matemática, 300 contabilidad, 250 economía, 240 economía y matemática, 90 contabilidad y matemática y 50 contabilidad y economía. ¿Cuántos alumnos cursan las 3 materias? a) 180 b) 120 c) 60 d) 40 e) 200 11. Cuántos de los 200 alumnos de la Universidad Nacional de Trujillo están matriculados en Complemento matemático, pero no en física I. Sabiendo que: 105 están inscritos en Complemento matemático, 75 en física, 65 en Complemento matemático y matemática I, 35 en física y complemento matemático, 30 en matemática I y física, 115 en matemática I y 20 llevan las tres asignaturas. a) 25 b) 45 c) 70 d) 55 e) N.a. 12. Un club consta de 78 personas, de ellos 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley, 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces, cuántas personas practican un solo deporte? a) 57 b) 42 c) 35 d) 24 e) N.a. EJERCICIOS PROPUESTOS N° 05 01. Sea el siguiente conjunto: A = { 4, 3, {4, 3}, {4},  } Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: I)   A    A II) { 4, 3}  A  {4, 3}  A III) n(A) = n[P(A)] - 27 IV) {{4}}  P(A) a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 02. Hallar: n[P(B A)], si: n [P (A)] = 64, n [P (B)] = 32, n [P(A  B)] = 8 a) 16 b) 32 c) 128 d) 0 e) 42 03. Sean A y B dos conjuntos contenidos en el universo, si: (A - B)  (B - A) = A  B ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) A = A - B b) B = B - A c) A  B   d) B  A’ e) A B)  (A  B)’ 04. Sean a, b  R; A, B son conjuntos tales que B   y además (A  B), si: A = {a2 + 2b , b2 + 1}, A B = {a + 4b , -3a + b + 1} a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 05. Después de simplificar la expresión adjunta se obtiene: ({[A’  B’)  (A ‘ B’)}]’ a) A’  B b) A’  B c) A’  B’ d) A’  B’ e) A B 06. En una aula del CEPUNT que consta de 55 alumnos, 25 son hinchas de SC, 32 de AL, 33 de la U y 5 son hinchas de los equipos ¿Cuántos alumnos son hinchas de sólo dos equipos? a) 40 b) 22 c) 37 d) 38 e) 25 07. De un grupo de 1800 estudiantes, el número de los que sólo rindieron el 2do. examen, es la mitad de los que rindieron el primero. El número de los que sólo rindieron el 1er examen es el triple de los que rindieron ambos exámenes e igual al de los que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos rindieron al menos un examen? a) 1200 b) 1220 c) 120 d) 20 e) 1600 08. En una población el 45% de los habitantes leen las revistas A y/o B pero no los dos a la vez, el 50% no lee la revista A, el 75% no lee la revista B y 4800 personas leen las revistas A y B. ¿Cuántos habitantes hay en la población? a) 32 000 b) 40 000 c) 42 000 d) 4 500 e) 4 800 09. En la ciudad de Trujillo se determinó que el 46% de la población no lee la revista A, que el 60% no lee la revista B y el 58% lee A o B pero no ambas. Si 63000 personas leen las revistas A y B. ¿Cuántas personas hay en Trujillo? a) 300 000 b) 320 000 c) 340 000 d) 350 000 e) 400 000 10. En una estación de transportes había 100 personas de las cuales 40 hombres eran provincianos, 30 mujeres eran limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 TAREA DOMICILIARIA I. Desarrolla las siguientes situaciones: 01. De 65 familias encuestadas, 38 tienen televisión y 40 radio. ¿Cuántas personas tienen un solo artefacto? a) 13 b) 52 c) 25 d) 31 e) N.a. 02. En una ciudad, al 78% de la población le gusta la carne y al 50% pescado. Hallar el porcentaje de la gente que le gusta la carne y el pescado? a) 15% b) 26% c) 28% d) 30% e) 35% 03. Una persona como huevos o tocinos en el desayuno cada mañana durante todo el mes de enero. Si come tocinos a) 30 b) 21 c) 15 d) 12 e) F.d. 04. En un colegio asiste 100 alumnos, 50 usan ómnibus, 40 usan bicicletas y 30 sólo caminan. ¿Cuántas personas emplean ómnibus y bicicleta a la vez? a) 10 b) 20 c) 25 d) 15 e) 5 05. En una biblioteca había 17 personas de las cuales, 6 leyeron la revista “A”, 9 la revista “B” y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántas no leyeron ninguna revista? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 I. Objetivos específicos 1. Reconocer el conjunto de los Números naturales 2. Reconocer las propiedades aplicadas al conjunto de los números naturales. 3. Aplicar las propiedades y técnicas operativas en la resolución de operaciones combinadas teniendo en cuenta el orden operatorio. II. Procedimientos A. Motivación El matemático alemán Kronecker afirmó: “El número natural lo creó Dios y todo lo demás es obra de los hombres”. Si nos remitimos a tiempos remotos podemos encontrar que nuestros antepasados utilizaban los números, según su necesidad, cual era el contar los animales que poseían, la cantidad de grano que almacenaban, etc. para lo cual era suficiente el conjunto de los números naturales. Posteriormente el hombre ha ido ampliando sus necesidades en la utilización de los números y se ha visto en la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales, como veremos más adelante. B. Contenido Teórico 1. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N) Sean los conjuntos: Cardinal del conjunto { }  0 {0}  1 {0; 1}  2 {0; 1; 2}  3 {0; 1; 2; 3}  4 {0; 1; 2; 3; 4}  5 ........... .......... ........... .......... ........... .......... {0; 1; 2; 3; 4; ...; 9999}  10 000 ........... .......... A partir del cardinal de los conjuntos expuestos, construimos el conjunto de los números naturales (N), así: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...} El conjunto así construido, forma la sucesión fundamental de los números naturales que se utilizan para contar. 2. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LA SEMIRRECTA El conjunto de los números naturales puede representarse mediante puntos igualmente espaciados en la semirrecta. Para ello se traza una semirrecta que continua de modo indefinido hacia la derecha con una flecha final que indica la dirección a donde se escribirán los números naturales, y se hacen marcas igualmente espaciadas sobre ella. Luego, se hacen corresponder los números naturales con los puntos marcados en la semirrecta, así: En la semirrecta numérica, el orden está claramente establecido por la posición de los puntos marcados. 3. OPERACIONES BÁSICAS Por lo expuesto concluimos que en toda operación intervienen los siguientes elementos: Operador: Es un símbolo que indica la operación que se va a realizar. Elementos para operar: Son aquellos que reciben la acción del operador. Resultado: Es lo que se obtiene después de realizar la operación. El cuadro adjunto muestra un resumen de las cuatro operaciones básicas. OPERACIÓN OPERADOR RESULTADO Adición + Suma Sustracción - Diferencia Multiplicación  Producto División  Cociente Completa el siguiente cuadro y escribe la palabra NO cuando la operación no sea posible en los números naturales. Elementos Operaciones Básicas Potencia Radicación a b a + b a - b a x b a  b 16 2 5 3 8 2 6 64 17 0 NO 27 3 24 5 5 25 Luego se concluye que la adición y multiplicación son operaciones cerradas en N (su resultado es otro número natural), cumpliendo las siguientes propiedades: Clausura: Asociativa:  a ; b  N  (a + b)  N  a ; b ; c  N  (a+b) + c = a + (b + c)   a ; b ; c  N  (a . b) . c = a . (b . c) Se lee: Para todo:  a ; b  N  (a . b)  N Conmutativa: Distributiva:  a ; b  N  a + b = b + a  a ; b ; c  N  a . (b + c) = ab + ac  a ; b  N  a . b = b . a cambiando el orden de los factores también: (b + c) . a = ba + ca. Modulativa o elemento neutro  a  N  a + 0 = a  a  N  a . 1 = a 4. OPERACIONES COMBINADAS Para poder resolver un cálculo con las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en forma combinada se deben tener en cuenta algunas reglas: * Los operadores + y -, separan los términos. * Para resolver operaciones combinadas donde no figuran paréntesis, primero se resuelven las potencias y las raíces, después los productos y los cocientes y, finalmente, las sumas y las diferencias. * En caso de existir signos colectores, debemos cancelarlo realizando las operaciones que contiene. Ejemplo 1: Efectuar: 1. Se realizan potencias y raíces. 2. Se calculan productos y cocientes 3. Operación dentro del paréntesis 72 x 2 + 16 4. Se calcula el producto 144 + 16 5. Suma 160 Ejemplo 2: Efectuar: 1. Se realizan potencias y raíces 4 + 4 x 7  4 - (- (+(-(8 - 5 x 1))) 2. Se calculan productos y cocientes 4 + 7 - (8 - 5) 3. Operación dentro del paréntesis 4 + 7 - 3 4. Se calculan sumas y restas 8 Ejemplo 3: Si a  b = 2a + 3b. Calcular 3  5. Resolución: En nuestro caso el operador es  y la regla de formación es: 2a + 3b. Lo que tenemos que hacer es hallar el valor numérico cuando a = 3 y b = 5. Así. a  b = 2 (a) + 3(b) 1. Reemplacemos los valores de a y b 3  5 = 2 (3) + 3(5) 2. Efectuamos las multiplicaciones 3  5 = 6 + 15 3. Efectuamos la suma 3  5 = 21 Ejemplo 4: Si m  n = + 2mn + . Calcular E = 3  5 Resolución: Hallemos primero el valor de 1  2: m  n = + 2mn + 1  2 = + 2(1)(2) + 1  2 = 9 Ahora, hallemos el valor de 2  3: m  n = m2+ 2mn + n2 2  3 = + 2(2)(3) + 2  3 = 25 Luego, reemplazando estos valores en E, tendremos: E = 9  25. Hallemos el valor de E = 9  25. m  n = m2+ 2mn + n2 9  25 = + 2(9)(25) + 9  25 = 81+ 450 + 625 9  25 = 1156 Ejemplo 5: es un operador rectángulo, de modo que: Resolución: Hallemos primero el valor de: Reemplazando estos valores encontrados, en P tendremos: P = 11 + 10. Luego: P = 21 = 7(21) - 25 = 122 PRÁCTICA DE CLASE I. En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo resuelva cada uno de los siguientes planteamientos: 01. Si: a; b; c  N. Si a = 2; b = 4; c = 7. Ubique los números a, b y c en la semirecta numérica. 02. Escribe el nombre de la propiedad que se aplica en cada caso. a) 48 + 37 = 37 + 48  ................................................................. b) 40 + 0 = 40  ................................................................. c) 36 + (32 + 15) = (36 + 12) + 15  ................................................................. d) (36 + 32) + 15 = 36 + (32 + 15)  ................................................................. e) a . b + a . c = a . (b + c)  ................................................................. f) a . (b . c) = (a . b) . c  ................................................................. g) (3 x 2) x 6 = 6 x (3 x 2)  ................................................................. h) 5 = 5 x 1  ................................................................. 03. Completa la tabla y escriba la palabra NO cuando la operación no sea posible en los números naturales. a b c (a+b) - c a - (b+c) b - c a+c a - (b - c) 25 31 26 50 63 24 96 97 82 36 20 74 04. En cada expresión identifique base, potencia y exponente. a) = 128 b) = 625 c) = c 05. Comprobar si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) i) ( ) j) ( ) k) ( ) 06. Complete la tabla a b c 3a - 2b a2 – b2 + c2 ab - 5c 6 6 7 9 4 5 12 8 3 16 9 2 07. Desarrolla aplicando las propiedades de la potenciación. a) e) i) b) f) j) c) g) k) d) h) l) Nota: Al introducir el uso de variables en los ejercicios d, h, j, k, l; estamos involucrando a todos los números en discusión. 08. Hallar el resultado de las siguientes operaciones combinadas. a) 58 + 4(14-9) b) [408 - (300 - 102)] 6 + 1 c) 32 (224 7) - 1 d) 2[( - 1) ( x 4) - 4] e) f) g) h) i) 09. Hallar el valor de (5  si se sabe que x  y = 2x + + 1 a) 25 b) 125 c) 225 d) 625 e) 325 10. Hallar el valor de (5  1)  6 sabiendo que: a  b = a2 b + b2a a) 5400 b) 30 c) 1080 d) 6000 e) 6480 11. Sabiendo que p  q = 6p + 2q, halla el valor de M = [5  12]  [14  6] a) 516 b) 254 c) 196 d) 150 e) 324 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 06 01. Si E = 50 y F = 500 + {1200  [10 - ( - 71 x 2)]}. Calcular el valor numérico de . a) 3600 b) 1600 c) 2500 d) 4900 e) N.a. 02. Dadas las expresiones: C = D = 45 {2 [41 - (20  4)  9 - [ - (7)]} Calcular el valor de x, sabiendo que X - C = D. a) 7415 b) 7508 c) 8025 d) 8115 e) N.a. 03. Si R = {[7 - (15  3) + ; S = 3 + El producto de todos los elementos del conjunto: {X  N/ S < X < R} a) 240 b) 212 c) 216 d) 210 e) N.a. 04. Se tiene las expresiones: W = y T = . El cociente entero al dividir el doble de T entre el triple de W es: a) 25 b) 23 c) 21 d) 27 e) N.a. 05. Si: A = B = Calcular el residuo que se obtiene al dividir A entre B. a) 12 b) 13 c) 11 d) 8 e) N.a. 06. De las expresiones: P = [(5 - 2)  3 + (11- 5)  + (5 x 6)  3 N = [(50  5 - 16  2 + 12  - (6  2 + 8  - Calcular el valor de X, sabiendo que PX = N- 3. a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) N.a. 07. Si m  n = . Calcular 4  2. a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) 8 08. Si x  y = . Hallar ( 5  4 )  13. a) 16 b) 8 c) 2 d) 6 e) 4 09. Si a * b = 4a - 5b , a  b = 7a - 3b. Hallar (3 * 2)  (4 * 3). a) 10 b) 9 c) 15 d) 11 e) 6 10. Si a # b = (a + b) (a - b). Calcular 7 # 2. a) 46 b) 44 c) 42 d) 45 e) N.a. 11. Si se conoce que: m @ n = . Calcular el valor de: 1 @ 0. a) 6 b) 5 c) 1 d) 10 e) 0 12. Si a * c = . Calcular el valor de: (2 * 1) * (1 * 0) a) 542 b) 510 c) 642 d) 480 e) 417 13. Sabiendo que: . Hallar el valor de . a) 18 b) 9 c) 15 d) 11 e) 6 14. Sabiendo que: . Hallar el valor de . a) 8 b) 10 c) 13 d) 15 e) 9 15. Si m  n = + n + 2. Hallar “x” en: 2  x = 15. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. Hallar el valor de sabiendo que = + 1 si a > 7 y = a + 2 en otro caso. a) 25 b) 50 c) 75 d) 101 e) N.a. 17. Hallar el valor de: 6 & [6 & (6 & {6& ... veces})] sabiendo que a % b = . a) 49 b) 32 c) 1 d) No se sabe e) N.a. 18. Hallar el valor de : 6 % (2  [3 # 1]) sabiendo que: a % b = 2 - 3b + ab a  b = 6a + 3b - ab a # b = 4ab - 6a + 6b a) 100 b) 115 c) 108 d) 120 e) 101 19. ¿A qué es igual: 1  { 2 [ 3 (4 (5 .....  sabiendo que: a  a) 16 b) 4 c) -4 d) 6 e)  20. Si a  b = a - b y m  n = (m/n) + 1. Hallar el valor de “x” en: (4  5)  x = 5/6. a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 3 21. Si: , hallar el valor de “a” en: a) 3 b) 9 c) - 1 d) e) - 1 22. Sabiendo que: x  y = 2x - 5y Si x > y x  y = 3x - 7y Si x  y Calcular: E = (-2  -1) - (-1  -2) a) 3 b) -7 c) 4 d) -2 e) N.a. 23. Se define el conjunto () en el conjunto A; A = {0, 2, 4, 6} y con la tabla adjunta; marcar verdadero (V) o falso (F). I. a  b = b  a.  a  b  A II.  a  A y  b  A. tal que: a  b = b  a III. (2  4) 6 = 2  (4  6) a) FFV b) FVV c) VVV d) VVF e) VFV a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41 25. De acuerdo a la tabla adjunta. ¿Qué número “x” falta en el recuadro? si se cumple: (4  X)  4 = 2. a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) N.a. 26. De acuerdo a las tablas adjuntas, determinar el valor de “X”. [(3 @ 2) # X] @ [1 # (2 # 2)] = 2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 TAREA DOMICILIARIA I. Resolver los siguientes ejercicios y encierre en un círculo la alternativa que contenga la respuesta correcta. 01. Si A = ; n20 = 30; entonces A  10 es: a) 480 b) 240 c) 48 d) 24 e) 4800 02. Se sabe que E = = 2187; = 5 . Entonces E  2187 es: a) 75 b) 150 c) 315 d) 225 e) 95 03. Sabiendo que A = ; B = . El número A + B es: a) 90 b) 88 c) 72 d) 78 e) 92 04. Se tiene A = 15 B = Entonces el valor numérico de (A – B)2+ 4 es: a) 29 b) 53 c) 20 d) 40 e) N.a. PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN I. Objetivos Específicos: 1. Resuelve problemas diversos sobre operaciones fundamentales 2. Refuerza las operaciones básicas. 3. Logra habilidad mental en los alumnos. II. Procedimiento: A. Motivación Los comerciantes hacen ventas por docenas, en cajas o en paquetes y también por cantidades menores del contenido de una caja, para saber cuántos objetos han vendido, primero ven el número de objetos que han despachado en todas las cajas y suman las otras cantidades sueltas que han vendido. Estas personas que tienen que hacer compras o ventas tienen que efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones otras veces divisiones u operaciones combinadas para hacer sus cálculos. B. Contenido Teórico: A continuación te presento una serie de problemas explicados, trata de comprenderlos y saca tus propias conclusiones. 01. Un comerciante compra víveres. La primera vez compra por un valor de S/. 8893; la segunda por S/. 838 más que la primera, y luego en la tercera vez compra por S/. 7834 más que las dos compras anteriores. Hallar: a) ¿Cuánto pagó en la segunda compra?. b) ¿Cuánto pagó en la tercera compra?. c) ¿Cuánto pagó en las dos primeras compras?. d) ¿Cuánto pagó por todo? Resolución: Pagó en: La primera compra: S/. 8893 La segunda compra: S/. 838 + S/. 8893 = S/.9731 La tercera compra: S/. 7834+S/. 8893+ S/. 9731 = S/. 26 456 Respuestas: a) En la segunda compra pagó: S/. 9 731 b) En la tercera compra pagó: S/. 26 458 c) En las dos primeras compras pagó: S/. 8893 + S/. 9731 = .................................. d) Por las tres compras pagó: .............................................. = ................................... 02. Pedro vende 8 837 balones de gas, luego 16 836 balones, finalmente vende la diferencia entre la segunda y la primera venta. Se pide hallar: a) ¿Cuántos balones vende en la tercera venta?. b) ¿Cuántos balones vende en las tres ventas?. c) Si otro cliente desea que le venda la diferencia entre la primera y la tercera venta. ¿Cuántos balones le venderá?. Resolución: Vende en la: Primera venta: 8837 balones Segunda venta: 16 836 balones Tercera venta: 16 836 – 8837 = 7 999 balones. Respuesta: a) En la tercera venta vende: 7999 balones. b) En las tres ventas vende: 8837 + 16 836 + 7 999 = 33 672 balones. c) Como otro cliente desea que le venda la diferencia entre la primera y la tercera venta entonces le venderá: 8837 – 7999 = 838 balones. 03. Tres carpinteros hacen una obra. El maestro recibe 6 veces de lo que recibe el primer ayudante y el segundo recibe 7343 nuevos soles menos que el primero. Si el primer ayudante recibe 3 veces 8341 nuevos soles, se desea saber: a) ¿Cuánto recibe el primer ayudante?. b) ¿Cuánto recibe el maestro?. c) ¿Cuánto recibe el segundo ayudante?. d) La cantidad que pagó el dueño de la obra. Resolución: a) El primer ayudante recibe: 3(8341)= 25 023 nuevos soles. b) El segundo ayudante recibe: 7343 nuevos soles menos que el primero: 25 023 – 7343 = 17 680 n.s. c) El maestro recibe 6 veces del primer ayudante: 6 ( 25 023) = 150 138 n.s. d) El dueño pagó por la obra: 25 023 + 17 680 + 150 138 = 192 841 n. s. 04. Un ciclista recorre 44 928 m en un día. Se pide hallar: a) ¿Cuántos metros recorre en 9 horas?. b) ¿Cuántos metros recorre en 18 horas?. Resolución: Cálculo de una hora: Como recorre 44 928 m en un día y un día tiene 24 horas, entonces se divide: 44 928  24 = 1872 m. Luego en una hora recorre 1872 m. Respuesta: a) En 9 horas recorre: 9(1872m)= 16 848 m. b) En 18 horas recorre: 18(1872m)= 33 696 m. PRÁCTICA DE CLASE I. Instrucción: Dar solución a las siguientes situaciones: 01. El precio de una gallina es de 24 nuevos soles y el precio de un pato es de 49 nuevos soles.. ¿Cuál es la diferencia de precios entre las dos aves?. 02. Por una olla y una jarra se ha pagado 60 nuevos soles, si la olla cuesta 38 nuevos soles. ¿Cuánto cuesta la jarra?. 03. De un terreno de 816 metros cuadrados, se sacan dos lotes. Si uno mide 209 metros cuadrados. ¿Cuánto mide el segundo lote?. 04. Un comerciante al vender una máquina de escribir por S/. 8160 ha ganado S/. 1 475. ¿Por cuánto compró la máquina?. 05. El abuelo de Juan nació en 1903. Si murió a los 79 años. ¿Hace cuántos años falleció?. Considerar 2002 año actual. 06. Un comerciante mayorista recibe orden para vender 714 kilos de trigo, pero solamente tiene 469 kilos. ¿Cuántos kilos de trigo le falta para completar el pedido?. 07. El administrador de una tienda escolar compra 45 naranjas de una frutera, de otra frutera compra 62 naranjas, durante el día vendió 84 naranjas. ¿Cuántas naranjas le han sobrado para el día siguiente?. 08. En una granja de la escuela primaria de Virú venden 7 conejos a 28 cada uno. ¿Qué cantidad de dinero reciben por esta venta?. 09. Un obrero de construcción gana 36 soles diarios. ¿Cuánto gana por una semana y 4 días de trabajo?. 10. Un panadero tiene contrato para entregar 68 panes diarios en un restaurante. ¿Cuántos panes entregará en 5 días?. 11. ¿A cuánto asciende la fortuna de un señor que tiene 385 cabezas de ganado lanar, si cada una cuesta S/. 735?. 12. En un establo ordeñan diariamente 375 litros de leche. ¿Cuántos litros de leche ordeñarán en 246 días?. 13. ¿Cuál es el precio de 4 cajas de aceite de 6 botellas cada una, si el precio de una botella es de 8 nuevos soles?. 14. Un camionero tiene contrato de transportar 31 104 bolsas de cemento; si en cada viaje conduce 486 bolsas. ¿En cuántos viajes transportará todas las bolsas de cemento?. 15. ¿Cuántas ovejas se necesitan vender a 253 nuevos soles cada una para con el valor de la venta se pueda comprar un terreno por 6578 nuevos soles?. EJERCICIOS PROPUESTOS N° 07 01. En una huevería tiene para la venta 7888 huevos para vender en cajas de 164 huevos cada una. ¿Cuántas cajas de huevos hay? a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 45 02. Con 1352 soles he comprado igual número de libros de 24 soles, de 32 soles y de 48 soles. ¿Cuántos libros se ha comprado en total? a) 13 b) 26 c) 39 c) 42 e) 45 03. De la cosecha de un viñedo se ha sacado 51 000 litros de vino. ¿En cuántos barriles estarán envasados si cada barril tiene una capacidad de 680 litros? a) 70 b) 62 c) 65 d) 75 e) 104 04. De Trujillo sale un carro a las 5 a.m. con dirección al sur a una velocidad de 50 km/h y a las 8 a.m. de Chocope distante 50 km/s de Trujillo, sale otro a dar alcance al primero y va a una velocidad de 90 km/h. ¿A qué hora le encontrará y a qué distancia de Trujillo? a) 12 m – 400 m b) 1 pm – 400 km c) 1 pm – 400 km d) 3 pm – 600 km e) N.a. 05. Una señora va al mercado con cierta cantidad de dinero a comprar gallinas todas del mismo precio, pero para comprar 8 gallinas le falta 100 soles y si solamente compra 6 gallinas le sobra 68 soles. ¿Cuánto es el precio de cada gallina y que cantidad de dinero lleva? a) S/. 82 – S/. 556 b) S/. 31 – S/. 428 c) S/. 41 – S/. 656 d) S/. 82 – S/. 656 e) N.a. 06. En una locería compran 26 docenas de tazas a 14 soles cada una; por flete y embalaje se paga 165 soles y en timbres de factura 280 soles. Le han salido rotas 8 tazas. Hace una venta por 960 soles a 24 soles cada taza y sal restantes las vende a 23 soles cada una. ¿Gana o pierde en este negocio?. ¿Cuánto? a) Pierde S/. 472 b) Gana S/. 1120 c) Gana S/. 1063 d) Pierde S/. 830 e) N.a. 07. La suma de las edades de Luis y Esteban es 25 años. Si Esteban es mayor que Luis por tres años, ¿cuál es la edad de Luis? a) 8 b) 12 c) 13 d) 11 e) 15 08. Cuando Maritza nació Luz tenía 6 años. Si hoy sus edades suman 64 años, ¿qué edad tendrá Luz dentro de 10 años? a) 45 b) 35 c) 39 d) 29 e) N.a. 09. Entre Mario y Felipe tienen S/. 60. Si al menos afortunado le obsequiamos S/. 212 soles entonces ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene el más afortunado? a) S/. 28 b) S/. 35 c) S/. 36 d) S/. 24 e) N.a. 10. En dos cajas A y B de tizas hay 32 de éstas. Si de una cada C de tizas sacamos 8 y las agregamos a la que menos tiene de las dos primeras, resultaría que éstas tendrían ahora la misma cantidad. ¿Cuántas tizas tenía inicialmente la que más contiene? a) 20 b) 24 c) 19 d) 31 e) N.a. 11. En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Si de la caja con más lapiceros extraemos 12 de estos y lo colocamos dentro de la otra logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. ¿Cuántos lapiceros había inicialmente en la caja con menos de éstos? a) 22 b) 25 c) 46 d) 32 e) 30 12. Entre Emilio y David tienen S/. 1200. Si David decide obsequiar S/. 260 a Emilio resulta que ahora ambos tendrán la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene Emilio?. a) S/. 310 b) S/. 408 c) S/. 300 d) s/. 340 e) N.a. 13. Entre Carolina, Carlos y Fernando tienen S/. 600. Si entre ambos varones le dieran S/. 100 a Carolina, ésta tendría la misma cantidad que los otros dos varones juntos, ¿qué cantidad tenía la damita inicialmente? a) S/. 200 b) S/. 250 c) S/. 350 d) S/. 225 e) N.a. 14. La edad de Ernesto es la cuarta parte de la de su abuelo. Si cuando Ernesto nació su abuelo tenía 45 años, ¿cuántos años cumplirá Ernesto dentro de 5 años? a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 19 15. En dos depósitos hay 72 chocolates. Si lo que hay en uno es el quíntuplo de lo que hay en el otro: ¿Cuántos chocolates hay en el depósito que más tiene? 16. Liz tiene S/. 436 y Luz S/. 244. Al ir de compras y gastar la misma cantidad cada una a Luz le queda la cuarta parte de lo que le queda a Liz, ¿cuál es la cantidad que gasto cada una? a) S/. 120 b) S/. 180 c) S/. 100 d) S/. 250 e) S/. 110 17. Fidencio y Petronila reciben de propina S/. 39 y S/. 23 respectivamente. Si en el kiosco gastan en golosinas la misma cantidad de dinero cada uno, lo que le queda a Fidencio es la tercera parte de lo que le queda a Petronila. ¿Cuánto gastaron los dos juntos? a) S/. 15 b) S/. 30 c) S/. 24 d) s/. 36 e) S/. 40 18. Mamerto y Maximina tienen S/. 50 y S/. 2 respectivamente. Ambos acuerdan que semanalmente ahorrarán S/. 2. ¿Al cabo de cuantas semanas lo que tiene Maximina será la quinta parte de lo que tendrá Mamerto? a) 8 b) 10 c) 15 d) 12 e) 5 19. En una reunión hay 45 personas (entre damas y caballeros); si se retiran 5 parejas, la diferencia entre el número de hombres, que hay más y el número de mujeres es 5. Determine el número de damas que quedan. a) 15 b) 18 c) 25 d) 19 e) 14 20. En el “Aula de primero A”, se cuentan 30 niños sentados; si salen al frente 4 damitas y 6 varones, la diferencia de niñas sentadas y de varones sentados es 4. ¿Cuántas niñas hay en total en el aula? a) 14 b) 15 c) 17 d) 18 e) 16 TAREA DOMICILIARIA 01. Una frutera con 192 soles ha comprado igual número de paltas, manzanas y chirimoyas. Si cada palta la compra a 4 soles, cada manzana a 2 soles y cada chirimoya a 6 soles. ¿Cuántas frutas ha comprado? 02. ¿Cuántos pollos ha comprado un negociante con 1058 soles; si al vender 18 pollos por 486 soles ha ganado 4 soles en cada pollo?. 03. Una vendedora de fruta compra 8 cajones de 150 manzanas cada uno a 85 soles el ciento. Si le ha salido malogradas 48 y obsequia 12 manzanas, ¿qué beneficio obtendrá si las vende la mitad a 3 manzanas por 4 soles y el resto a 5 manzanas por 7 soles? 04. Un comerciante en una hacienda compró 5 vacas a 288 soles cada una; para transportarlas ha pagado 60 soles y en alfalfa ha gastado 16 soles. ¿A cómo tendrá que vender cada oveja si en total desea ganar 304 soles? 05. Un comerciante compra cierto número de pelotas por 1587 soles. Vende 24 pelotas por 768 soles, ganando así 9 soles en cada una; después vende 16 pelotas a 34 soles cada una. ¿A cómo tendrá que vender las restantes si en total debe ganar 624 soles? I. Objetivos Específicos: 1. Comprender la importancia de los sistemas de numeración. 2. Diferenciar número de numeral. 3. Diferenciar valor absoluto y valor relativo de las cifras de un numeral. 4. Escribir y leer correctamente cualquier numeral. 5. Descomponer un numeral en su forma polinómica. 6. Convierte un numeral de un sistema de numeración a otro. 7. Resuelve problemas que involucren sistemas de numeración. II. Procedimiento: A. Motivación. En vista de que la serie de los números es ilimitada aparece como un problema muy difícil el dar nombre a cada número. Efectivamente, si a cada número se le da un nombre distinto, sucede que para nombrar, por ejemplo los mil primeros números naturales habrá que inventar y aprender mil palabras distintas. Esto resulta casi imposible pero, además ¿Cómo nombraríamos después todos los infinitos números que vienen a continuación de mil?. Además el hombre debe representarlos por símbolos adecuados, sin duda el problema se hace más difícil. La teoría de la numeración enseña el modo como resolver estos problemas. La humanidad en su desarrollo histórico ha creado diferentes formas de nombrar o denotar a los números naturales. En cada pueblo y en cada época los números naturales se representaron con diferentes símbolos. Al combinar los símbolo mediante ciertas reglas se pueden representar todos los números naturales. Pero además de existir estas formas de representar los números, existen otras formas que lo estudiaremos detalladamente, los números arábigos en diferentes sistemas de numeración. B. Contenido Teórico. NUMERACIÓN Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números de una manera sencilla, con una limitada cantidad de símbolos llamados numerales. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN Es un conjunto de reglas, principios, leyes, empleados para expresar y escribir mediante símbolos los numerales. Número Es un ente o idea matemática por ello se dice que no tiene definición, el cual nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. Numeral Es la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras, güarismos o dígitos. Ejemplo:    ; 4, IV, cuatro, four, ... ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 1. Del Orden Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda. Ejemplo: Lugar 1º 2º 3º 4º Número 1 9 9 8 Orden 4 3 2 1 Ejemplo: 2. De la Base Es un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior: Sea “B” una base:  Z B Es mayor que 1  Base : 2, 3, 4, 5, 6, ......  12 = REGLA DE LOS SIGNOS En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base: Ejemplo: Cumple: z < x Ejemplo: - + Se cumple: q < p 3. De las cifras Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleadas o utilizadas. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ..... , (n-2), (n -1)  cifra no cifras significativa significativas Cifra máxima = n-1 Cifra mínima = 0 * El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional es decir por el orden que ocupa. * Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de posición o valor relativo. Valor Absoluto (VA) Es el valor que tiene una cifra de acuerdo por su apariencia o figura. Valor Relativo (VR) Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral. Ejemplo: SISTEMA DECIMAL DE NUMERACION El sistema decimal de numeración es el que tiene como base diez. Diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. Cifras utilizadas: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve Convencionalismos utilizados cuando las cifras son mayores que, 9 a =  = (10) b =  = (11) c =  = (12) d =  = (13) PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION Base Nombre (Sistema) Cifras que se usan 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 n Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal (Décuplo) Undecimal Duodecima Vigesimal Enésimal 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, ... , 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, ... 8, 9, (10) 0, 1, 2, . . . (10), (11) 0, 1, 2, . . . (18), (19) 0, 1, 2, . . . , (n-3),(n-2),(n-1) Consideraciones en el Sistema de numeración de base “n” a. Cualquier número puede ser escrito empleando el sistema de numeración considerando que la primera cifra siempre es diferente de cero. b. Un número de unidades de cualquier orden que coincida con la base del sistema de numeración, origina una unidad del orden inmediato superior. c. Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores que ésta como unidades tenga la base del sistema de numeración. d. En cualquier sistema de numeración la cantidad de cifras posibles a utilizar siempre será numéricamente igual a la base. Ejemplo: Base “n”  0, 1, 2, 3, ......, n -1 “n” cifras e. Para leer un número en un sistema diferente al decimal se le nombra cifra por cifra de izquierda a derecha y al final la base. Ejemplo: 123(4) Se lee: uno, dos, tres de base, 4. Representación literal de numerales. Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras. Ejemplo: : representa un número de 2 cifras del sistema decimal. :  {10, 11, 122, . . . , 98, 99} : numeral de 3 cifras de la base 7   {1000, 1001, 1002, . . . , 9999} Numeral Capicúa Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos:  {11, 22, 33, . . . , 99}  {101, 111, 121, . . . , 999}  {1001, 1111, . . . , 9999} DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMERALES (Exponenciación de Numerales) A. Se denomina así porque tiene las características de un polinomio donde la variable del polinomio viene a estar dado por la base en la cual está escrito el número. B. Los coeficientes del polinomio vienen a estar dados por las cifras que componen el número. C. El grado del polinomio viene a ser igual a la cantidad de cifras restantes que existen a su derecha. Polinomio Algebraico: ax2 + bx + c Polinomio Aritmético o Numérico: * 123 = 1 x 102 + 2 x 10 + 3 * 3000204(5) = 3 x 56 + 2 x 52 + 4 * 210005(7) = 2 x 75 + 1 x 74 + 5 Ejemplos: = a x 10 + b = 10a + b = a x 102 + b x 10 + c = 100a + 10b + c = a x 103 + b x 102 + c x 10 + d = m x 82 + n x 8 + p = 64m + 8n + p = an4 + bn3 + cn2 + dn + e DESCOMPOSICIÓN POR BLOQUES Es un caso particular de la descomposición polinómica consiste en tomar un bloque considerándolo como una cifra. Ejemplos: 2324 = 23 x 102 + 24 = 2300 + 24 1453 = 1 x 10 + 453 = 1000 + 453 = x 102 + = 100 = x 102 + = 101 = x 103 + = 1001 = x = x 104 + x 102 + = 10101 = x = an5 + x n2 + CONVERSION DE UN NUMERO DE UN SISTEMA A OTRO Se puede plantear los siguientes casos: I. De base diferente de 10 a base 10. II. De base 10 a base diferente de 10. III. De base diferente de 10 a otra base diferente de 10. CASO I: De base diferente de 10 a base 10 Método 1: POR DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Ejemplos: * = 3 x 72 + 4 x 7 + 4 = 179 * = 1 x 53 + 3 x 52 + 0 + 4 = 204 * = 3 x 73 + 2 x 72 + 4 x 7 + 1 = 1156 Método 2: POR RUFFINI Sea: = an2 + bn + c = (an + b)n + c Disponiendo: CASO II: De base 10 a base diferente de 10 Método: DIVISIONES SUCESIVAS Para pasar un número decimal a otra base se divide el número por la base del nuevo sistema de numeración. El cociente obtenido se vuelve a dividir por la nueva base y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente que sea menor que la nueva base. Para escribir el número en el nuevo sistema de numeración se escribe el último cociente a la izquierda y cada uno de los restos obtenidos en las divisiones anteriores se van escribiendo sucesivamente a su derecha, así: Ejemplo 1 71984  B(15)  71984 = Donde: d = 13 ; e = 14 CASO III: De Base  de 10 a otra base  de 10 Método general: B(n)  B(m) ; m  n n  10  m Descomposición Divisiones polinómica sucesivas o (Ruffini) . Ejemplo 1: Convertir : a base 6 Paso 1 :  B(10) = 4 x 92 + 6 x 9 + 5 = 383 Paso 2 : 383  B(6) Divisiones sucesivas PRACTICA DE CLASE I. A continuación propone una serie de ítems, los cuales debes desarrollar en forma grupal consultando con tus compañeros o el profesor. 01. ¿En qué orden se encuentra la cifra 3 en el numeral 5437? ....................................................................................................................................... 02. ¿En que lugar se encuentra la cifra 6 en el numeral 436 559? ....................................................................................................................................... 03. ¿Qué características tiene el numeral que representa la base de un sistema de numeración? ....................................................................................................................................... 04. ¿Cuántos sistemas de numeración existen? ....................................................................................................................................... 05. En el sistema decimal cuenta 12 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 5 en 5 y responde: a) ¿Cuántos grupitos se formaron? b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar? c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando? d) ¿En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa? 06. Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 24326(8. 07. Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales: a) 2341(5 = ......................................................................................................... b) 786(9 = ......................................................................................................... c) 12345(6 = ......................................................................................................... d) 23425(B = ......................................................................................................... e) xynm(p = ......................................................................................................... 08. Representa 10202(4) en el sistema decimal. 09. Representa 4321(5) en el sistema decimal. 10. Representa 108 en el sistema binario. 11. Representa 23102 en el sistema nonal. 12. Representa 3320(4) en el sistema heptanal. 13. Representa 2541(8) en el sistema undecimal. EJERCICIOS PROPUESTOS N° 08 01. El numeral 32012(4) representado en el sistema decimal es: a) 900 b) 902 c) 904 d) 905 e) N.a. 02. Expresar en base 10 la suma de: 23A(D) y 107(C) a) 3301 b) 3401 c) 3402 d) 3341 e) N.a. 03. El numeral 476 escrito en el sistema quinario será: a) 3301 b) 3401 c) 3402 d) 3341 e) N.a. 04. El numeral 14 325 escrito en el sistema de base 30 será: a) fqf(30) b) fgf(30) c) ñzñ(30) d) fkf(30) e) N.a. 05. Convertir el numeral 7ab55(12) al sistema decimal. a) 13 975 b) 17 524 c) 13 673 d) 12 321 e) N.a. 06. El numeral 432(7) se escribe en el sistema de base 3 como: a) 22 011(3) b) 22001(3) c) 22 010(3) d) 20121(3) e) N.a. 07. El numeral 540d(15) se escribe en el sistema duodecimal, así: a) A 494(12) b) A 484(b) c) A 494(c) d) A 474(12) e) B264(12) 08. El numeral 5657 en el sistema octanario es: a) 13031(8) b) 3151(8) c) 2151(8) d) 5111(8) e) N.a. 09. ¿Cuál de las siguientes expresiones dadas en sistemas de numeración distintas, representa el número mayor? a) 1101(2) b) 2103(4) c) 1030(4) d) 1201(5) e) 1042(6) 10. Escriba el numeral 0,24 en el sistema quinario. a) 0,22(5) b) 0,21(5) c) 0,11(5) d) 23(5) e) N.a. TAREA DOMICILIARIA 01. Expresa la descomposición polinómica de los siguientes números: a) 2345(8) b) 4376(A) c)4763(9) 02. En el sistema decimal cuenta 32 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 7 en 7 y responde: a) ¿Cuántos grupitos se formaron? b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar? c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando? d) En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa? 03. Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 50 321(8) 04. Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales: a) 2011(5) b) 754(9) 05. Representa 265(8) en el sistema decimal. 06. Representa el numeral 237(9) en el sistema decimal. 07. Representa el numeral 1010010(2) en el sistema ternario. 08. Inventa un ejercicio, dando un numeral en un sistema diferente al decimal y luego representarlo en otro sistema diferente también al decimal. I. Objetivos Específicos: 1. Determinar cifras desconocidas en un numeral aplicando criterios de divisibilidad. 2. Determinar el residuo de dividir un número entre otro, sin efectuar la operación. 3. Resolver una ecuación con más de dos variables donde todos los valores desconocidos son números enteros (Ecuación diofántica). 4. Determinar la cantidad de múltiplos de un número que cumplen determinada condición, aplicando criterios de conjuntos. 5. Resolver diversos tipos de problemas aplicando criterios de divisibilidad. MOTIVACIÓN: Parece un problema mal planteado cuando intentamos solucionar estas situaciones: - Hallar el residuo que resulta de dividir 23 452 428 324 122 333 entre 13. - En un barco había 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuántas personas murieron. Pero,....... tienen solución. CONTENIDOS TEÓRICOS TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD Definición.- Es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para ser divisible entre otro. Estas condiciones se denominan caracteres o Criterios de Divisibilidad. NÚMEROS DIVISIBLES ENTRE SI.- Se dice que un número A es divisible entre otro número B cuando el residuo de dividir A entre B es CERO y el cociente es entero. Se dice entonces que A es múltiplo de B o que B es un divisor de A. MULTIPLO.- Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto y entero de veces. Representación: Si N es múltiplo de n.; N = múlt. de n; N = ; N = m x n , si m es entero. Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar dicho número por un número entero. DIVISOR , FACTOR O SUBMÚLTIPLO.- Se dice que un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto y entero de veces. PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD: 01. Operaciones entre múltiplos a) Ejm: 36 + 45 = 81    b) Ejm : 72 - 16 = 56    c) Ejm : 48 x 5 = 240    d) Ejm : 64 = 1296   02.Los Números no Múltiplos : a) División Inexacta por Defecto : b) División Inexacta por exceso : Ejemplo : Ejemplo : 04. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES: Dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo. Ejemplo 1: 8n = 9  n = 9 Ejemplo 2: 21.b = 35 (7x3) b = 7x 5 x K 3 b = 5 b = 5 DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON: (a + b ) K = + b K ; (a – b) K = + bK ; si “K” es par y (a – b) K = – bK , si “K” es impar. Ejemplo: Hallar el residuo de dividir 4365 43 entre 8. Resolución: 4365 43 = + r ( + 5 )43 = + r + 543 = + r + (52)21. 5 = + r + ( + 1) 21.5 = + r + ( + 1 ) . 5 = + r + 5 = + r 5 = r. El residuo es 5. RESTOS POTENCIALES Se llaman restos potenciales de un entero "E" respecto a un módulo "m" al residuo que deja cada una de las potencias naturales de "E" al ser divididos entre el módulo "m". Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5. Solución: 30 = 5 + 1 31 = 5 + 3 32 = 5 + 4 g = 4 33 = 5 + 2 34 = 5 + 1 35 = 5 + 3 36 = 5 + 4 37 = 5 + 2 "Observe que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódica. Al tomar una potencia cualquiera luego de 4 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada". GAUSSIANO (g): Se llama así a la menor cantidad de restos diferentes posibles que forman el periodo. En el ejemplo anterior: g = 4. Se tiene en general: + 1  E = 3E = + 3  E = + 1 + 4  E = + 2 + 2  E = + 3 Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001 entre 5. 340001 = + r 34+1 = + r + 3 = + r Por tanto : r = 3 ECUACIONES DIOFÁNTICAS Son aquellas ecuaciones insuficientes en las cuales los coeficientes y las variables son números enteros. Ejemplo: Determine los valores de "x" e "y" sabiendo que son número enteros: 4x + 7y = 225 Resolución: Criterio: Divisibilidad por 4 4x + 7y = 225 + (4+3)y = + 1 3y = + 1 3y - 1 = 3y - 1 - 8 = - 3 ( y - 3 ) = y - 3 = y = + 3 Luego y = 3 Reemplazando en la ecuación inicial: X = 51 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es un número par. 12 28 36 456 12345678 son divisibles por 2 pues su última cifra es un número par. 2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 3. Ejemplos: 12 es divisible por 3 pues 1+2 = 3 . 234 es divisible por 3 pues 2+3+4 = 9 5775 es divisible por 3 pues 5+7+7+5 = 24. 3. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado con sus dos última cifras es múltiplo de 4 o son “ceros”. 112 128 12300 456 24680 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son múltiplos de 4. 4. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 5 ó 0. 35 125 1230 455 12345 24680 son divisibles por 5, pues la última cifra es 5 ó 0. 5. Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25 ó 00. Ejemplos: 325 125 475 123450 246825 son divisibles por 25 pues el número formado con sus 2 últimas cifras son múltiplos de 25 ó son ‘ceros”. 6. Divisibilidad por 7: número es divisible por 7 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 7. Si entonces (h + 3g + 2f) –(e + 3d + 2c) + (b + 3a) = OTRA FORMA: Un número es divisible por 7 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 2 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 7. Ejemplos: 1582 es divisible por 7 pues: Separamos la ultima cifra 2 y le restamos el doble 158 - 2(2) = 154 hacemos lo mismo: 15 - 2(4) = 7 y como 7 es divisible por 7 entonces 1582 es divisible por 7. 7. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 9. 72 es divisible por 9 pues 7+2=9. 234 es divisible por 9 pues 2+3+4 = 9. 5445 es divisible por 9 pues 5+4+4+5=18. 8. Divisibilidad por 11: Un número es múltiplo por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de orden impar y la de orden par es múltiplo de 11. Es decir: Sea N = a b c d e f es divisible por 11 sí a b c d e f Suma de cifras de orden par: a + c + e Suma de cifras de orden impar: b + d + f luego se tiene: (a + c + e) – (b + d + f) = 123 464 es divisible por 11 pues: 1 2 3 4 6 4  (1+3+5) - (2+4+4) = 0 72567 es divisible por 11 pues: (7+5+7) - (2+6) = 11. 9. Divisibilidad por 13: Un número es divisible por 13 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 13. Si entonces h – (3g + 4f + e) + (3d + 4c + b) - 3a = OTRA FORMA Un número es divisible por 13 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 9 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 13. * 91 es divisible por 13 pues 9 - 9(1) = 0. * 2665 es divisible por 13 pues: Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda: 266 - 9(5) = 221 hacemos lo mismo: 22 - 9(1) = 13 y como 13 es divisible por 13 entonces 2665 es divisible por 13. 10. Divisibilidad por 17: Un número es divisible por 17 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 5 así sucesivamente y al final se debe de obtener 0 ó un divisible de 17. * 51 es divisible por 17 pues 5 - 5(1) = 0. * 2465 es divisible por 17 pues: Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda: 246 - 5(5) = 221 hacemos lo mismo: 22 - 5(1) = 17 y como 17 es divisible por17 entonces 2 465 es divisible por 17 PRÁCTICA DE CLASE I. Actividad: Debes desarrollar en tu cuaderno. 01. Responda a las siguientes preguntas: a) ¿Qué es múltiplo de un número?. b) ¿Cuántos múltiplos tiene un número?. c) ¿Por qué se dice que 18 es múltiplo de 9?. d) ¿Cuál es el múltiplo más pequeño de cada número natural?. e) ¿Qué nombre reciben los múltiplos de 2?. ¿Y los que no lo son?. f) ¿Qué es divisor de un número?. g) ¿Cuántos divisores tiene un número natural?. h) ¿Cuál es el mayor divisor de un número distinto de cero?. 02. Halle usted todos los factores o divisores de : a) 10 b) 18 c) 35 d) 17 e) 60 03. Clasifique usted como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones: a) 30 es múltiplo de 3. ( ) b) 28 es múltiplo de 6. ( ) c) 0 es múltiplo de 7. ( ) d) 308 es múltiplo de 4. ( ) e) 111 es divisible por 3. ( ) f) 1050 es divisible por 125. ( ) g) 4 + 6 es un número par. ( ) h) 15 – 11 es un número impar. ( ) 04. Halle usted: a) El conjunto de todos los múltiplos de 7 menores de 100. b) El conjunto de todos los múltiplos de 14 menores que 125. c) El conjunto de todos los múltiplos de 2 elevada al exponente 3. d) Pruebe usted que la suma de tres números naturales consecutivos es siempre divisible por 3. e) ¿Cuál es la intersección del conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares?. f) Pruebe usted que la suma de dos números impares es un número par. 05. Responda a las siguientes preguntas: a) ¿Qué es la divisibilidad? b) ¿Qué entiende por criterios de divisibilidad?. c) ¿Puede un número ser divisible por 10 y no por 5?, ¿Por qué? d) El producto de 6 x 30 x 5, es divisible por 4?, ¿Por qué?. 06. Completa una tabla y además marca con una aspa los casilleros respectivos (la flecha se lee “es divisible por”) 07. Conteste lo siguiente: a) ¿Cuál es el menor número de tres dígitos que es divisible por 2; 3 y 5? b) ¿Cuál es el menor dígito que debe escribirse a la derecha de 752 para que resulte un número divisible por 3; 4 y 11? c) Cambia el orden de los dígitos del número 4370 a fin de que resulte un número divisible por 2; 4; 5 y 11. d) ¿Cuál es el menor número que debe restarse de 4370 a fin que resulte un número divisible por 9? e) ¿Cuál es el menor número que debe aumentarse a 2573 para que el resultado sea divisible por 8? 08. Considerando los números siguientes: 116; 204; 380; 465; 720; 657; 1080;453 y 2346. Indica lo siguiente: a) ¿Cuáles son divisibles por 2? b) ¿Cuáles son divisibles por 7? c) ¿Cuáles son divisibles por 11? d) ¿Cuántos son divisibles por 5? e) ¿Cuántos son divisibles por 8? 09. Desarrolle los siguientes planteamientos: a) Determinar una pareja (a; b) si: es múltiplo de 72. b) Determinar una pareja (a; b) si: es múltiplo de 12. 10. .¿Cuál es el residuo de dividir 260 entre 7? a) 1 b) 6 c) 5 d) 2 e) N.A 11 .¿Cuál es el residuo de dividir 250 entre 17 ? a) 4 b) 13 c) 8 d) 15 e) N.A 12. ¿Cuál es el residuo de dividir 370 entre 7? a) 4 b) 2 c) 5 d) 1 e) N.A 13. ¿Cuál es el resto que se obtiene al dividir: 2 3K+1 + 2 6K+4 + 23 entre 7.? 14. Hallar el residuo que resula de dividir 155 154 entre 8. 15. ¿Cuántos númerales de dos cifras son múltiplos de 8 y terminan en 6?. 16. ¿Cuántos numerales de 4 cifras múltiplos de 7 terminan en 3?. 17. ¿Cuántos números de 5 cifras son tales que son 23 + 5 y terminan en la cifra tres . a)300 b)400 c)391 d)541 e)NA 18. ¿Cuántos números 17 + 4 de cinco cifras terminan en la cifra 2 ?. a)529 b)625 c)534 d)300 e)NA 19. Cuantos números de 3 cifras múltiplos de 9 existen de tal manera que la cifra central sea igual a la suma de las laterales . a)7 b)45 c)8 d)9 e)NA 20. Cual es el menor numero de tres cifras, múltiplo de 7 que da de resto la unidad al ser dividido por 3 u 11? a)130 b)133 c)150 d)145 e)NA 21. Compre vacas a $ 45 000, cada una y caballos a $ 52 000 cada uno. Si en total gaste $ 939 000. Hallar la diferencia entre el numero de vacas y de caballos que compre . a) 5 b) 6 c) 10 d) 9 e) NA 22. Se compran panetones y tortas a $ 4 y $ 7 respectivamente . Si el gasto fue de $ 123 en total. Determinar la suma del números de panetones mas el de tortas, si el producto de estos números es lo máximo posible. a) 10 b) 35 c) 24 d) 26 e) NA 23. Compre vacas, cerdos y ovejas que cuestan: s/.70 000, s/.50 000, s/.30000, respectivamente, gastando en total s/. 1 290 000. Si compré doble numero de cerdos que ovejas. ¿Cuántos animales compré en total? a) 23 b) 28 c) 30 d) 25 e) NA 24. Se han comprado botellas de vino: 7 cajas de 18 botellas a s/.50 por botella, 1 caja de 13 botellas a S/.300 por botella, también por lo menos una caja de 19 botellas a S/.100 por botella y cajas (por lo menos una) de 10 botellas a S/. 290 por botella; si por todo se pago S/. 42 000. ¿Cuantas cajas del ultimo grupo se compraron ? a) 10 b) 15 c) 9 d) 12 e) NA 25. María va al mercado con S/. 22,590, compra papayas a 770 soles cada una, naranjas a 910 soles cada una y manzanas a 1430 soles cada una . Si compra la mayor cantidad posible de manzanas; cuantas frutas compro en total, si gasto todo su dinero . a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) NA EJERCICIOS PROPUESTOS N° 09 01. La suma: es siempre divisible por: a) 1 y 9 b) 1 y 11 c) 2 y 8 d) 1 y 99 e) N.a. 02. La diferencia: es siempre divisible por: a) 1; 3 y 9 b) 3; 9 y 11 c) 9 y 11 d) sólo 9 e) N.a. 03. La diferencia: es siempre divisible por: I) 2 II) 3 III) 1 IV) 9 V) 11 VI) 7 Son ciertas: a) sólo I, II y III b) sólo II, IV, y VI c) sólo II, III y V d) todas excepto I y Vi e) Todas 04. El producto de 3 números consecutivos es siempre múltiplo de: a) 1; 2; 3 y 4 b) 2; 3; 4; 5 y 6 c) 1; 2; 3; y 6 d) 2 y 5 e) 1; 3; 7 y 11 05. El número de la forma es siempre divisible por: a) 1; 2; 3 y 4 b) 1; 2; 3 y 5 c) 1; 2; 3 y 6 d) 1; 2; 3; 4; 6 e) N.a. 06. La suma de: siempre el divisible por: a) 1 y 7 b) 1 y 5 c) 1 y 6 c) 1; 2 y 11 e) N.a. 07. En una tienda hay artículos A, B, C, D y F cuyos precios son: 2; 3; 5; 7 y 11 nuevos soles respectivamente. Si tengo S/. 231 y no me debe sobrar nuevos soles?. ¿Qué artículos puedo comprar? a) A, B y C b) A, B y D c) B, C y D d) B, D y E e) N.a. 08. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay entre 100 y 755? a) 20 b) 13 c) 50 d) 51 e) 60 09. ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 50 y 450? a) 19 b) 21 c) 20 d) 32 e) 33 10. ¿Cuántos múltiplos de 17, entre 200 y 1300 terminan en cifra 8? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 TAREA DOMICILIARIA 01. El producto de dos números consecutivos es siempre divisible por: 02. El número de la forma es siempre divisible por: 03. ¿Cuál es le valor de "a" para que sea divisible por 8? 04. Hallar el mayor valor de "a" para que sea divisible por 3. 05. Hallar "x" en: I. Objetivos Específicos: 1. Dado un número determinar si es primo o compuesto. 2. Determinar cuántos y cuales son los divisores de un número, así como la suma, suma de inversas y producto de los mismos. 3. Determinar la descomposición canónica de un número. 4. Resuelve correctamente ejercicios y problemas referidos a los divisores de un número natural. II. Procedimientos: A. Motivación: Fue el matemático griego EUCLIDES el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les condujeron rápidamente al concepto de número primo, basándose en el cual ERATOSTENES construyó su famosa criba para encontrar los números primos en la serie de los números naturales. Considerando el campo de los números enteros positivos se clasificará de acuerdo a la cantidad de divisores del siguiente modo. B. Contenido Teórico: NÚMERO PRIMO Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad. P : número primo (# primo absoluto) Tabla de Números Primos Menores que 200 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 179 181 191 193 197 199 Observación 1. No existe fórmula para hallar todos los números primos. 2. La serie de los números primos es ilimitada, osea que por más grande que sea un número primo, siempre hay otro número primo mayor. (Euclides, Elementos, IX-20) 3. Si “P” es un número mayor que 2. P = 4. Si “P” es un número primo mayor que 3. P = 5. Número simple: 1, 2, 3, 5, ....... Números primos. 6. Número compuesto: Es aquel número que tiene más de 2 divisores. Ejemplo: 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; . . . . 6  1 ; 2 ; 3 ; 6 ; Divisores (6 posee 4 divisores) 7. Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de los factores. Números primos relativos o primos entre si (PESI) Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo 1 Número Divisores 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 21 1 ; 3 ; 7 ; 21  10 y 21 son PESI Generalización del Teorema de Arquímedes Todo número que divide a un producto de varios factores y es primo con todos ellos menos uno, divide a éste. Ejemplo 11 x 17 x 19 x 4 . N =  N = Números primos entre si dos a dos (PESI 2 a 2) Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí. Ejemplo 1: ¿Son 8 ; 9 y 25 PESI 2 a 2 ? Solución: 8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 9 : 1 ; 3 ; 9 Observación A. Dos números enteros consecutivos siempre son PESI. B. Dos números impares consecutivos también son PESI CRITERIO PARA RECONOCER SI UN NÚMERO ENTERO ES PRIMO Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos: a. Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto. b. Enumerar los números primos menores a esta aproximación c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos. d. Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo. Ejemplo 1: ¿Es 853 número primo? Solución a)  29 , . . . b) Los números primos menores que: 29 , . . . 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 c) Cómo 853 no es divisible por ninguno de estos números entonces podemos afirmar que es un número primo. REGLA PARA DETERMINAR LOS DIVISORES DE UN NÚMERO a) Se descompone el número en factores primos. b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del primer factor primo. c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo. d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado. Tabla de divisores de 240 1 2 4 8 16 3 6 12 24 48 x3 5 10 20 40 80 x5 15 30 60 120 240 3x5 * 240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ). Ejemplo: 24  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 La Divisores Divisores Unidad Primos Compuestos D (24) = 8 DP = 2 DC = 5 Número de Divisores Divisores divisores de 24 Primos compuestos  Sea “N” un número compuesto. DESCOMPOSICION CANONICA (Teorema fundamental de la Aritmética o Teorema de Gauss) Todo número entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos, dicha descomposición es única. Sea “N” el número compuesto. N = A x B x C A, B, C  factores primos. , ,   Exponentes (números enteros positivos) ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO I. Cantidad de divisores [D(N)] El número total de divisores de un número es igual al producto de los exponentes de los factores primos aumentados en 1. D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) Ejemplo: 720 = 24 x 32 x 51 D(720) = (4+1)(2+1)(1+1) D(720) = 5 x 3 x 2 = 30 II. Suma de divisores [SD(N)] Ejemplo: 240 = 24 x 3 x 5 SD(240) = 744 Importante: Todo número que tenga un número impar de divisores es un número cuadrado perfecto. Ejemplo: 9  1 , 3 , 9 ; D(9) = 3. Divisores 36  1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; D(36) = 9 Divisores III. Suma de las inversas de los divisores [SID(N)] Ejemplo:  IV. Producto de divisores de un número [PD(N)] Ejemplo: D(720) = 30  DESCOMPOSICION CANONICA DEL FACTORIAL DE UN NUMERO Consideraciones: 0! = 1! = 1 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320 n! = 1 x 2 x 3 x . . . x (n-2)(n-1) x n Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 20!. Solución: 20! = 1 x 2 x 3 x . . . x 19 x 20 20! = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 Cálculo de  : Cálculo de  : Cálculo de  : Cálculo de  : Reemplazando: 20! = 218 x 38 x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19 PRÁCTICA DE CLASE 01. Indicar todos los divisores de 1260. 02. Determine cuántos y cuáles son los divisores de 72. 03. Para el número 1440, determine ¿Cuántos divisores tiene?; ¿Cuántos son compuestos?; ¿Cuántos son primos?; ¿Es perfecto, defectuoso o abundante?. 04. Para los números: 60 y 496, determine: a) El número de divisores primos. b) El número de divisores compuestos c) El número de divisores. d) La suma de todos sus divisores. e) La suma de sus divisores compuestos. f) La suma de las inversas de sus divisores g) El producto de los divisores. 05. Dado el número 315 000, determine: a) El número de divisores. b) El número de divisores pares. c) El número de divisores impares. d) El número de divisores múltiplos de 3. e) El número de divisores múltiplos de 21. f) El número de divisores que terminan en cero. 06. En la descomposición canónica de 240!, hallar el exponente de 7 07. ¿En cuántos ceros termina 180! ? 08. Hallar el valor de K, si: 25 x 15K tiene 24 divisores. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A 09. Hallar la suma de los dígitos del menor número impar "N" que tiene cuatro factores primos y tiene 24 divisores positivos. a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) N.A 10. Si el número: N=25.3x.5x ; tiene 20 divisores compuestos. Hallar "x". a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) N.A 11. Hallar la suma de los divisores de 24 que sean múltiplos de 3. a) 24 b) 45 c) 18 d) 36 e) N.A 12. De los divisores de 180, hallar la suma de los que sean múltiplos de 6. a) 432 b) 528 c) 682 d) 316 e) N.A 13. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores? a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A 14. ¿Cuántas veces hay que multiplicar por 8 el número 300 para que el resultado tenga 126 divisores? a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A 15. Si 12x tiene 63 divisores compuestos. Calcule "x". a) 5 b) 8 c) 4 d) 6 e) N.A 16. ¿Cuántos ceros debe tener: N = 20000...000 Para que el resultado tenga 56 divisores? a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A 17. Si N= 13k+2 - 13k tiene 75 divisores compuestos. Hallar "k". a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.A 18. Sabiendo que : 12 x 30n tiene el doble de la cantidad de divisores que 12n x 30. Hallar el valor de "n". a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A 19. ¿Cuántos número de la forma aaa tienen 8 divisores? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A 20. ¿Cuántos ceros debe tener: 300 ……. 0; Para que admita 288 divisores ? a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A 21. Descomponer polinómicamente cada número: a) 2000 b) 5200 c) 7200 22. Descomponer canónicamente 420 e indicar los factores primos. 23. Descomponer canónicamente 770 e indicar los factores. 24. Determinar el número de divisores de 720. 25. ¿Cuántos divisores tiene B = 152  483. 26. Si A = 153  482 B = 122  30 ¿Cuántos divisores tiene: ? 27. ¿Cuál es el producto de los divisores de 400? 28. ¿Cuál es la suma de las inversas de los divisores de 1080? 29. ¿Cuántos divisores múltiplos de 5 tiene 480? 30. ¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene 7200? EJERCICIOS PROPUESTOS N° 10 01. Si: A = 202  453 y B = 123  302, ¿Cuántos divisores tiene A  B? a) 1248 b) 624 c) 720 d) 814 e) N.a. 02. Calcular la suma de todos los números primos que existen entre 30 y 50. a) 142 b) 199 c) 172 d) 184 e) 190 03. Hallar el valor de "x" para que el número A = 10  12x, tenga 36 divisores. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 04. ¿Cuántas veces debemos multiplicar 5 al número 12, para que el producto tenga 24 divisores? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 05. ¿Cuál es el menor número que tenga 6 divisores? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 06. Un número tiene como factores primos: 2; 3 y 5. Si éste número tiene 20 divisores y es el menor posible, ¿cuál es la suma de sus cifras? a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 4 07. ¿Cuantos divisores de 540 son múltiplos de 2? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 15 08. ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 10? a) 14 b) 16 c) 18 d) 13 e) 11 09. ¿Cuántos divisores de 640 no son múltiplo de 20? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 9 10. Si: A = 122  303 y B = 15  202. ¿Cuántos divisores tiene A/B? a) 10 b) 12 c) 16 d) 19 e) 20 11. Si: N = 50  722 y M = 152  203. ¿Cuántos divisores tiene ? a) 320 b) 408 c) 352 d) 145 e) N.a. 12. Si: A = 20  483 y B = 15  302. ¿Cuántos divisores de A  B son múltiplos de 1000? a) 172 b) 210 c) 98 d) 108 e) 196 TAREA DOMICILIARIA 01. Descomponer crónicamente cada número: a) 7040 b) 8100 02. Descomponer polinómicamente 630 y calcular sus divisores. 03. Descomponer canónicamente 1080 e indicar el número de divisores. 04. Descomponer polinómicamente el número 5040; e indicar: a) Todos sus divisores. b) Sus divisores primos c) El número de divisores d) El producto de sus divisores e) La suma de sus divisores f) La suma de las inversas de sus divisores. SOLUCIONARIO Nº EJERCICIOS PROPUESTOS