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MAGNITUDES PROPORCIONALES EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF













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INTRODUCCIÓN Un grupo de mecánicos deciden realizar el siguiente experimento: Medir las distancias recorridas por un automóvil que tiene una velocidad constante y los lapsos de tiempo correspondiente. Estas mediciones se indican en la tabla siguiente: Tiempo (horas) 0,5 1,5 2,5 3,5 Distancia (km) 50 150 250 350 Luego gráficamente tendríamos: La gráfica es una recta, además la razón geométrica de la distancia y el tiempo es constante es decir: Esta razón geométrica representa la velocidad constante utilizada por el automóvil. De todo esto concluye que: Lo que han realizado los mecánicos es analizar el comportamiento de la distancia respecto al tiempo (denominados magnitudes) y experimentalmente han llegado a la conclusión que a mayor distancia la demanda de tiempo es mayor y matemáticamente se cumple que el cociente de los valores correspondientes es constante. El proceso realizado por los mecánicos es el mismo que realizan los investigadores científicos, el cual consiste en la búsqueda de la verdad; de una verdad que ya existe, pero que tenemos que descubrir. Precisamente ello es lo que vamos a estudiar en este capítulo, es decir el comportamiento de magnitudes que en la naturaleza existen. MAGNITUD Se entiende como magnitud, para mi estudio, a todo aquello que experimenta cambios, el cual puede ser medido o cuantificado. Cantidad Es un estado particular de la magnitud en un determinado momento de análisis, el cual resulta de medir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas unidades de medida. Relación entre dos Magnitudes Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar uno de ellos entonces la otra también varía en la misma proporción. Analicemos los siguientes casos: Ejemplo 1: En un determinado momento una persona coloca 5 estacas de diferentes alturas y luego procede a medir la sombra que proyecta cada una de ella, todo él lo anota en el siguiente cuadro: Sombra Proyectada (cm) 4 6 12 36 48 Altura de cada estaca (cm) 2 3 6 18 24 Intuitivamente se puede afirmar que a mayor altura de la estaca, mayor sombra proyectada. Esta afirmación, matemáticamente se puede expresar así: De la cual surge la gráfica siguiente Donde los puntos corresponden a una recta que pasa por el origen de coordenadas, la cual presenta una inclinación respecto al eje horizontal (llamada pendiente) que numéricamente es igual a la razón geométrica de los valores correspondientes a las magnitudes. Podemos observar que las magnitudes sombra proyectada y altura de las estacas cumplen que el cociente de sus valores correspondientes es constante y que su gráfica es una recta. Cuando 2 magnitudes cumplen esta 2 condiciones les llamaremos magnitudes directamente proporcionales. De aquí podemos mencionar que si los valores de las magnitudes aumentan (o disminuyen) en la misma proporción son directamente proporcionales. En general para dos magnitudes A y B estas se relacionan en forma directamente proporcional si el cociente de sus valores correspondientes es una constante. Notación: A D.P. B  NOTA 1. La gráfica de dos magnitudes D.P., son puntos que pertenecen a una recta que pasa por el origen de coordenadas. 2. En cualquier punto de la gráfica (excepto el origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores resulta una constante. Observación: Como el gráfico es una recta la función es lineal y la ecuación es de la forma: y = mx donde m es la pendiente. También: f(x) = mx y = valor de la magnitud A x = valor de la magnitud B Ejemplo 2: Una empresa constructora estudia el tiempo que emplea un grupo de obrero para realizar una obra (todos los obreros rinden igual) y estos son los datos obtenidos. Número de obreros 10 20 24 30 40 50 Tiempo (días) 60 30 25 20 15 12 Se observa cuando hay más obreros menos tiempo se emplea. El comportamiento de los valores es inverso, esto lleva a señalar que la magnitud obreros y tiempo son inversamente proporcionales. Además de ello se tiene que: 10(60)=20(30) = 24(25)=30(20) =40(15)=50(12)=600 De donde: Gráficamente: Cada sector rectangular que se genera con un punto de la gráfica y los ejes tienen la misma superficie y que físicamente corresponde a la obra realizada. En general, dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si el producto de sus valores correspondiente es constante. Notación AIPB=(valor de A)(valor de B)=constante NOTA 1. La gráfica de dos magnitudes IP, son puntos que pertenecen a una rama de una hipérbola equilátera. 2. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores correspondientes resulta una constante. Observación y = valor de la magnitud A x = valor de la magnitud B  yx = k k = constante De donde se obtiene la función: y = Propiedad: Cuando se tienen más de 2 magnitudes como A,B,C y D se analizan dos a dos, tomando a una de ellas como referencia para el análisis y manteniendo a las otras en su valor constante. * A DP B (C y D constantes) * A IP C (B y D constantes)  * A DP D (B y C constantes) REPARTO PROPORCIONAL Es un procedimiento que tiene como objetivo dividir una cantidad en partes que sean proporcionales a ciertos valores, llamados índices Clases: 1. Reparto simple: Se llama así porque intervienen sólo dos magnitudes proporcionales, puede ser. 1.1 Directo (cuando intervienen dos magnitudes D.P.) Analicemos el siguiente caso: Un padre quiere repartir S/. 2 000 entre sus tres hijos, cuyas edades son 8, 12 y 20 años el padre piensa, con justa razón, que su hijo de 20 años tiene mayores necesidades económicas que su otro hijo de 8 años, entonces decide hacer el reparto D.P. a las edades de sus hijos. Esto implica que aquel hijo que tenga más edad recibirá más dinero, y el que tenga menos edad, recibirá menos dinero. Veamos lo que sucede. Sean las partes A,B, y C tales que cumplan las siguientes condiciones: A+B+C=S/. 200 Entonces: 8K+12K+20K = 2000 40 K = 2000  K = 50 Luego, a c/u le corresponde A = 8.50  A = S/. 400 B = 12.50  B = S/. 600 C = 20.50  C = S/. 1000…Rpta Recuerde que, cuando dos magnitudes son D.P. el cociente entre ellas es una constante. Repartir 39000 IP a 2,3,4 Podemos resolver el problema empleando el método práctico, planteado en el caso anterior. A) S/. 39000 B) C) K = Obsérvese que los números que representan las faltas de estos 3 empleados se colocan invertidos (recuerdo que el reaparto es I.P.), luego si a c/u de estos se les multiplicara por 12, la relación de proporcionalidad no se altera. Lo que se realiza a continuación es lo mismo que se ha descrito en el caso anterior (reparto directo). 2. Reparto Compuesto Se llama así porque intervienen más de dos magnitudes proporcionales. Ejemplo: Un gerente desea repartir una gratificación de S/. 42000 entre sus tres empleados; en partes D.P. a sus sueldos (S/. 3200 S/.4200 y S/. 5400) el I.P. a sus faltas (4,6 y 9 días respectivamente) ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Resolución Resolvemos el problema utilizando el método práctico A) S/. 42000 B) C) K = Observe a pesar que el tener empleado gana más (S/. 5400) no es él quien recibe más gratificación. Esto se debe a que sus faltas (9 días) son muchas, causando una disminución en la gratificación que recibió. 1. ¿Cuántos son verdaderos? I. Si A DP B y B DP C entonces A DP C II. Si A IP , IP entonces IP III. Si DP B; IP ; C DP entonces A DP D IV. D DP C entonces A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2. ¿Cuántos son falsos? I. A DP B entonces (A – B) DP B II. A IP B entonces (A + B ) I P B III. A IP B, B IP C entonces A DP C IV. A DP B, B IP C, C DP entonces A DP D V. El tiempo es IP a la velocidad en MRU A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Calcule (x +y ) en la figura: A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 4. Sabiendo que A DP B; si y A IP ; si cuando A vale 4, B vale 5. Hallar el valor de A cuando B es 30. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 1 5. Si se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes M y N. A 324 144 36 16 9 4 B 2 3 6 9 12 18 Se afirma: A) A IP B B) C) D) E) 6. Dada las siguientes magnitudes “L” y “ A” con el cuadro siguiente: Halle: (p + r + m + n) L P 72 50 338 m 2 98 A 3 6 r 13 4 1 n A) 60 B) 62 C) 70 D) 48 E) 50 7. Si: “E” es D.P. al cubo de “V”; el cuadrado de “V” es D.P. a la raíz cuadrada de “M” y “M” es I.P. al cuadrado de “L”; si cuando E =3; L = 4. Halle “E” cuando A) 8 B) 9 C) 4 D) 2 E) 3 8. Se tiene 2 magnitudes A y B en el siguiente cuadro, se muestran los valores que toman sus variaciones. Halle “x”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 9. Si: y es una función de proporcionalidad inversa; halle el valor de : A) 8,12 B) 7,68 C) 7,42 D) 6,72 E) 6,24 10. Sean dos magnitudes A y B tal que: “A” I.P. B ; “A” D.P. “B” Si: A = 6; B = 20; ¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 60? A) 2 B) 4 C) 8 D) 3 E) 6 11. Si A IP B. Cuando A = a ; B =b. Si A aumenta una unidad, B disminuye una unidad. Además se cumple: Halle A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11 12. A y B son dos magnitudes que se relacionan de la siguiente manera: A IP si A DP si A IP si Si se sabe que A = 32 cuando B = 6. Halle A cuando B = 144. A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 36 13. Se vende una joya en determinadas condiciones de proporcionalidad, para un peso de 13 gramos su precio es de 1859, y si el peso fuera de 17 gramos su precio ascendería a 3179 soles. Calcule el precio si la joya pesa 20 gramos. A) 4 000 B) 4 100 C) 4 200 D) 4 400 E) 5 500 14. Repartir en partes proporcionales a Se observa que el menor recibe (b < c). Halle “a + b +c”. A) 10 B) 111 C) 15 D) 18 E) 21 15. La magnitud A es IP a la magnitud B para valores de B menores o iguales es 12; pero la magnitud A es DP al cuadrado de B para valores de B mayores o iguales a 12. Si cuando A es igual a 240, B toma valor 4. ¿Cuál será el valor de A cuando B sea 15? A) 100 B) 120 C) 150 D) 125 E) 75 16. Un anciano sin familia dispuso en su testamento que al morir su herencia se reparta entre sus 3 sirvientes I.P. a sus edades pero DP a sus años de servicio. Al morir dicho anciano, las edades de sus sirvientes eran 30, 45 y 50 años, y tenían 12; 20 y 25 años de servicio respectivamente. Al hacerse el reparto se observó que el que tenía más años de servicio recibió 9 000 soles más que el más joven. Determinar la herencia repartida. A) S/. 240 000 B) S/. 232 000 C) S/. 242 000 D) S/. 121 000 E) S/. 360 000 17. Las magnitudes A, B y C que intervienen en un fenómeno varían de la siguiente forma: • Cuando C permanece constante: A 1 8 27 64 B 144 72 48 36 • Cuando B permanece constante: A 1 2 3 4 C 36 144 324 576 Si cuando A =4, B = 9 y C = 16. Calcule A cuando B = 3 y C = 4 A) 3 B) 63 C) 54 D) 27 E) 21 18. En un proceso de producción se descubre que dicha producción es D.P. al número de máquinas e I.P a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso; si se consiguen 8 máquinas más con 4 años de antigüedad cada una. Calcule la relación de lo producido actualmente con lo producido anteriormente. A) 9 a 5 B) 9 a 4 C) 5 a 4 D) 8 a 5 E) 8 a 3 19. Tres amigos se asocian y forman una empresa, el primero aporta S/.600 durante 6 años, el segundo S/. 800 durante 8 años. Si el tercero aportó S/.2000. ¿Cuánto tiempo estuvo en el negocio, si además se sabe que al repartirse los 1 500 soles de ganancia, a él le tocó la mitad del total? A) 3 años B) 5 años, 6 años C) 4 años D) 6 años, 8 meses E) 5 años