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LONGITUD DE ARCO , SECTOR CIRCULAR , RUEDAS Y ENGRANAJES EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF





















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1. ARCO Una porción cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de “Arco” de la circunferencia. Amplitud Dada por la medida del ángulo central que sostiene el arco. Longitud de Arco En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “” radianes determina una longitud de arco “L”, que se calcula multiplicando el número de radianes “” y el radio de la circunferencia “R”. Ejemplo: Determine el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud 4m, y la amplitud del ángulo es 0,5 radianes. Resolución: Nota: • La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2 por el radio “R” de la circunferencia (2R) 2. SECTOR CIRCULAR Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente. AOB: Sector Circular AOB Área del Sector Circular El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central, en radianes; es decir: Donde: S: Área del sector circular AOB Otras fórmulas Ejemplos: • Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada caso: I. II. III. Resolución: Caso I  Caso II  Caso III  • De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la líneas curva ABC, tiene por longitud 4m. Resolución: Denotemos por: L1 : Longitud del arco AB, el radio R1=12m L2 : Longitud del arco BC, el radio R2=4m De la figura: Según el dato: El área del sector AOB será: Observaciones: • El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de Área “S” (fig.1); produce un incremento de área proporcional a los números impares de “S”, que el estudiante podría comprobar (fig.2). Fig. 1 Fig. 2 Ejemplo: Hallar el cociente de las áreas sombreadas A y B respectivamente. Resolución: Recordando la observación: A =7S B = 3S AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR • Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos. • El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir: Donde: AT= Área del trapecio circular. También: Ejemplos: • Calcular el valor del área del trapecio, y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada. Resolución:   • Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m2 Resolución: Resolución: Por dato: AT = 21 Por fórmula: Igualamos: x+9 = 21 x = 21m Aplicación de la Longitud del Arco Número de Vueltas que da una Rueda(#v) El número de vueltas (#V) que da una rueda al desplazase (sin resbalar) desde la posición A hasta B. Se calcula mediante la relación. Ec: Espacio que recorre el centro de la rueda. R: Radio : Angulo barrido Cono Desarrollo del Cono Tronco de Cono Desarrollo del Tronco de Cono EJERCICIOS 1. De La figura calcular: a) 0 b) 1 c) 0,5 d) 0,2 e) 2 2. Del gráfico hallar “x+y” a) a b) 2a c) 3a d) 4a e) 5a 3. Del gráfico, hallar “L” a) 1 b) 1/3 c) 1/5 d) 3 e) 5 4. De la figura calcular: a) 1 b) 2 c) 0,5 d) 0,3 e) 0,25 5. Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su extremo recorre 3 m. a) 5m b) 6m c) 7m d) 8m e) 9m 6. Calcule el área de la región sombreada OA=12m a) b) c) d) e) 7. Se tiene un sector circular de radio “r” y un ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar el ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior? a) 64º b) 100º c) 36º d) 20º e) 28º 8. Calcular el área sombreada en: a) 15r2 b) 21r2 c) 3r2 d) e) 9. Del gráfico adjunto, calcular el área sombreada, si se sabe que: MN=4m a) 2m2 b) m2 c) 4m2 d) m2 e) 3m2 10. Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7 veces y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u). a) 88 b) 92 c) 172 d) 168 e) 184 11. Una grúa cuyo brazo es 15m está en posición horizontal se eleva hasta formar un ángulo de 60º con la horizontal luego conservando este ángulo gira 72º. ¿Determinar el recorrido por el extremo libre de la grúa en estos dos momentos?. a) 4 b) 10 c) 8 d)  e) 5 12. Qué espacio recorre un rueda de 4cm de radio si da 15 vueltas al girar sin resbalar sobre un piso plano. a) 60 cm b) 90 cm c) 100 cm d) 105 cm e) 120 cm 13. De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 14. Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 15. Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la suma del número de vueltas que dan sus ruedas es 80. Se sabe además que los radios de las mismas miden 3u y 5u. a) 100 b) 200 c) 250 d) 300 e) 500 16. El ángulo central de un sector mide 80º y se desea disminuir en 75º; en cuanto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 20cm. a) 20 cm b) 40 cm c) 60 cm d) 80 cm e) 100 cm 17. La longitud del arco correspondiente a un sector circular disminuye en un 20%. ¿Qué ocurre con el área de sector circular? a) aumenta en 5% b) disminuye en 5% c) no varía d) falta información e) disminuye en 20% 18. Calcular la medida del ángulo central en radianes de un sector circular tal que su perímetro y área son 20m y 16m2 respectivamente. a) 0,5 b) 2 c) 8 d) 2 y 8 e) 0,5 y 8 19. Hallar en grados sexagesimales la medida del ángulo central de un sector circular, sabiendo que la raíz cuadrada de su área es numéricamente igual a la longitud de su arco. a) /90 b) /180 c) /6 d) 2/3 e) 3/2 20. Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas. a) 4 b) 5 c) 10 d) 20 e) 40 1. Calcule la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 1º y su radio mide 1800 cm. A) m B) m C) m D) m E) m 2. Se muestra sectores circulares concéntricos, donde S representa área, obtener x. si S = 8L² A) 2 L B) 4 L C) 5 L D) 6 L E) 8 L 3. Si: AB + CD = 26. Halle el área del sector circular EOF. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 4. Una regadera instalada en un parque, tiene un alcance de 8 m y barre un ángulo de 120g. Calcule el área del sector circular que genera esta regadera. A) 19,2  m² B) 17,6  m² C) 18,9  m² D) 12,6  m² E) 14,4  m² 5. Si CAE es un sector circular y A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá un nuevo sector circular que tiene un área que es 49 veces el área del sector circular inicial. Determine el radio del nuevo sector. A) 2 m B) 3 m C) 5 m D) 7 m E) 9 m 7. Halle el área sombreada: A)  B) 2  C) 3  D) 4  E) 5  8. Calcule: E = x³  x²  1, si: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 9. En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD tienen igual área. Halle: A) B) C) D) 2 E) 1 10. Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser: A) 1 rad B) 2 rad C) D) 4 rad E) rad 11. De la figura mostrada, AOF, BOE y COD son sectores circulares, además: BC = DE = a, AB = EF = 2a, Calcule: M = (2x + z) y1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 12. Calcule: Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas A) B) C) D) 5 + 2 E) 5  2 13. Dos postulantes de la UNAC, observan un reloj eléctrico cuyas agujas están detenidas, luego de la falla eléctrica en el Callao, uno de los estudiantes dice que el área que hacen las agujas es de 7,2 m² y si el reloj tiene un radio de 6 m. ¿Cuál será el arco entre las agujas? Considere A) B) C) D) E) 14. Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando la rueda menor gira º la mayor gira g. ¿En qué relación se encuentra los radios? A) B) C) D) E) 15. Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas si sus radios miden 3 m y 5 m A) B) C) D) E) 16. En el sistema mostrado, si la rueda A da de vuelta, entonces la longitud recorrida por la rueda C es: A) 3,6  B) 36  C) 1,8  D) 18  E) 17. Determine el área de la región sombreada, sabiendo que las áreas de los sectores AOB y COD son iguales ( y  en radianes) A) B) C) D) E) 18. Del gráfico, halle el número de vueltas que dará una ruedita de radio 1, al ir de A hasta B si CB = 8 y AOC es un sector circular. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 19. Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B. A) 85 B) 9 C) 10 D) 10,5 E) 11 20. De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la curva, si: m AOB = 120º, r = 18u? A) 24  B) 24,1 C) 24,2 D) 24,3 E) 24,4 21. Sobre una superficie curva de radio “R” gira una rueda cuyo radio es “r” (ver figura). Si dicha rueda da una vuelta al ir de “M” a “N”. Calcule la longitud del arco MN. ( son centros). A) B) C) D) E) 22. Dos móviles A y B parten al mismo tiempo y en las direcciones indicadas en la figura de los puntos P y Q respectivamente, si la velocidad de A es a la velocidad de B como 3 es a 7. Calcule cuando mide “” si se encuentran por 1era. vez en el punto R. A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad