LOGARITMOS PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD



  • CLICK AQUI ver TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS PDF

  • CLICK AQUI ver VIDEOS
























  • LOGARITMO (LOG) Se define logaritmo de un número positivo, en una base positiva y diferente de la unidad, como el exponente que debe afectar a la base para obtener el número propuesto. Notación: LogbN = a ..... (1) N = Número propuesto: b = Base: b > O /\ b -# 1 a = logaritmo: a E R N>O Log = Operador de la logaritmación Según la definición: .. .. . (2) Ejemplo: Calcular el logaritmo de 4 en base 8. Sea el logaritmo a, luego tenemos que: Loga 4 =a <=> Expresando en función de la base dos: <=> Por teorema: 3a = 2 24.18) TEOREMA Reemplazando (1) en (2) tenemos: •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Veamos algunas aplicaciones: Log 4 Log la Log lOO 7 7 = 4; 11: n = 10; 2 2 = 100 24.2 SISTEMA DE LOGARITMOS 24.2A) DEFINICiÓN Un sistema de logaritmos de base «b» es el_ conjunto de todos los logaritmos de los números positivos en base «b» de modo que b >O/\b-#l. Por ejemplo para los conjuntos: A = {a E lR I a = Log B N; N E jR+} B = {a E lR la = Log J3 N; N E lR+ } Tenemos que: «A» es un sistema de logaritmos en base 8. «B» es un sistema de logaritmos en base .J3 . Observación: Como cada valor de la base origina un sistema de logaritmos podemos asegurar que existen infinitos sistemas de logaritmos, siendo los de uso frecuente los deCimales y los naturales. 24_28) SISTEMA DE LOGARITMOS DE CIMALES Llamados también logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, en honor a su descubridor el matemático inglés Henry Briggs, es el sistema que t iene como base al número 10. 24.2C) SISTEMA DE LOGARITMOS NA TURALES Llamados también logari tmos hi perbólicos o logar;tmos neper ianos, en honor a su d escubridor el matemát ico escocés Jhon Nap ier, es el Sb .ema que tiene como base al número irracional e '" 2,718281... Observación: El número «e» es la~pr~x)lmación, limite, de la potencia 1 +cuando la va riable «x» asume un v lor~uficientemente grande. 24.3 PROPIEDADES GENERALES 24.3A) El logaritmo de la unidad es cero: Log b l = O; b E lR+ - {1} 24.3B) E I logaritmo de la base es ig~al a uno: Log b b = 1 ; b ElR+-{1} - 24.4 PROPIEDADES OPERATIVAS 24.4A) LOGARITMO DE UN PRODUC TO \i b ElR+-{1}; M,N ElR+ •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• 24.4B) LOGARITMO DE UN COCIEN TE \i b E lR+ - {1}; M , N E lR+ 24.4C) LOGARITMO DE UNA POTEN CIA 24.5 ARTIFICIOS DE CÁLCULO 24.6 CAMBIO DE BASE 24.6A) CONCEPTO Es el proceso que permite expresar un logaritmo, dado en cierta base, en función de una base nueva. El logaritmo del número «N» en base «b» , se puede expresar en base «ní» según la relación. • Expresar Log 4 en función de la base 5 7 Log 4 ~ Log 4 = 5 7 Log 7 5 • Expresar Log 2 en función de la base 2 5 Log 2 2 1 ~ Log 2=-- 5 Log 2 5 Log 2 5 24.68) PROPIEDAD 1 • Log 4=-- 7 Log 7 4 1 Log 10=-- 5 Log 5 Log 7 · Log 5· Log 8 = Log 8 = Log (23) 2 7 5 2 2 = 3 . Log 2 = 3 . 1 = 3 2 Observación: La fórmula anterior se puede comprobar fáci Imente si se aplica en forma sucesiva la propiedad 19.68. 24.7 COLOGARITMOS V ANTILOGARITMOS 19.7A) COLOGARITMOS (Colog) El cologaritmo de un número positivo en una base positiva diferente de la unidad es igual al opuesto de su logaritmo, esto es: '•. •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • Colog 125 = -Log 125=-Log (53) 555 = -3 . Log 5 = -3 . 1 = -3 5 24.78) ANTILOGARITMO (Antilog) El antilogaritmo de un número real en una base positiva diferente de la unidad se define de la siguiente manera: Antilog 7 2 = 72 = 49 ; Antilog 4 (.2) = 4-2 = 1~ 24.8 ECUACIONES LOGARíTMICAS 24.8A) PRIMERA FORMA: Se debe cumplir que: x>O CJ b>O CJ b 1 1 Se debe resolver: ..... (1) ... .. (2) El conjunto solución se obtiene por intersección de (1) y (2). 24.88) SEGUNDA FORMA: Se debe cumplir que: x> O /\ y > O /\ . b > O /\ b ~ 1 ... (1) Se debe resolver: x = y .. . (2) El conjunto solución se obtiene por intersección de (1) y (2). Observación: Para resolver la ecuación aX = b , con a y b positivos, se recomienda utilizar logaritmos, pues con la aplicación de sus propiedades fácilmente se podrá despejar la incógnita «x». Ejemplo: Ca lcular «x» en 5x = 6. Por la observación tenemos: Log 5x = Log6 Dando uso de las propiedades: x . Log 5 = Log 6 Log6 , x=-- Log5 Existen tablas logarrtmicas que permiten conocer logaritmos decimales, 1= ')r ejemplo: Log 2 = 0,3010; Log 3 = 0,4771 ; 24.9 FUNCiÓN EXPONENCIAL 24.9A) DEFINICiÓN La función exponencial de base «b» se define de la manera siguiente: Donde: D om{F) = IR ; R a"F) = ( O; 00) 24.9B) GRAFICA DE LA FUNCiÓN l. Cuando la base bE ( O; 1) •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• y y= F(x) Caracteristicas: · Intercepto co el eje yen (0;1) · Asrntota horizontal y = O · Es decreciente, monótona · Es inyectiva 11. Cuando la base bE (1; 00) y Caracteristicas: · Intercepto co el eje yen (O; 1) . · Asrntota horizontal y = O · Es creciente, monótona · Es inyectiva x y'" F(x) x 24:10 FUNCiÓN LOGARíTMICA , 24.10A) DEFINICiÓN •• •• • La función logarrtmica de base "b» se define • de la manera siguiente: • Donde: D orrXF) = ( O; 00) ; R an(F) = lR Observeción: La función logarrtmica es la función de la inversa de la función exponencial y viceverza. 24.108) GRAFICA DE LA FUNCiÓN 1. Cuando la base b E (O :1) x y=F(x) Caracteristicas: · Intercepto co el eje x en (1 ; O) · Asrntota horizontal x = O · Es decreciente, monótona · Es inyectiva JI. Cuando la base b E (1: 00) •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• y Caracteristicas: · Intercepto co el eje x en (1 ; O) · Asrntota vertical x = O · Es creciente, monótona · Es inyectiva 24.11 INECIACIONES EXPONENCIALES 24.11A) PRIMERA FORMA: y = F(x) Considerando la base "b» entre cero y uno, es decir O 1 . Ejemplo: Resolver .J5X-l ~ 25x Resolución: La inecuación exponenciales: Dando uso de los teorema se tiene: De acuerdo con la segunda form a: x- 1 < 2 2 - x x- 1:::; 2x Finalmente hemos obtenido: es = [-1 ; 00) 24.12 INECUACIONES LOGARITMICAS 24.12A) PRIMERA FORMA:
    Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

    SI DESEAS OTRO TEMA BUSCAR AQUÍ

    Aprende paso a paso desde cero con ejemplos en tutoriales pdf y videos

    Matemáticas Ejercicios Resueltos en pdf

    Mostrar más

    LIBROS PREUNIVERSITARIOS RUBIÑOS