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LOGARITMOS PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD























LOGARITMO (LOG) Se define logaritmo de un número positivo, en una base positiva y diferente de la unidad, como el exponente que debe afectar a la base para obtener el número propuesto. Notación: LogbN = a ..... (1) N = Número propuesto: b = Base: b > O /\ b -# 1 a = logaritmo: a E R N>O Log = Operador de la logaritmación Según la definición: .. .. . (2) Ejemplo: Calcular el logaritmo de 4 en base 8. Sea el logaritmo a, luego tenemos que: Loga 4 =a <=> Expresando en función de la base dos: <=> Por teorema: 3a = 2 24.18) TEOREMA Reemplazando (1) en (2) tenemos: •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Veamos algunas aplicaciones: Log 4 Log la Log lOO 7 7 = 4; 11: n = 10; 2 2 = 100 24.2 SISTEMA DE LOGARITMOS 24.2A) DEFINICiÓN Un sistema de logaritmos de base «b» es el_ conjunto de todos los logaritmos de los números positivos en base «b» de modo que b >O/\b-#l. Por ejemplo para los conjuntos: A = {a E lR I a = Log B N; N E jR+} B = {a E lR la = Log J3 N; N E lR+ } Tenemos que: «A» es un sistema de logaritmos en base 8. «B» es un sistema de logaritmos en base .J3 . Observación: Como cada valor de la base origina un sistema de logaritmos podemos asegurar que existen infinitos sistemas de logaritmos, siendo los de uso frecuente los deCimales y los naturales. 24_28) SISTEMA DE LOGARITMOS DE CIMALES Llamados también logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, en honor a su descubridor el matemático inglés Henry Briggs, es el sistema que t iene como base al número 10. 24.2C) SISTEMA DE LOGARITMOS NA TURALES Llamados también logari tmos hi perbólicos o logar;tmos neper ianos, en honor a su d escubridor el matemát ico escocés Jhon Nap ier, es el Sb .ema que tiene como base al número irracional e '" 2,718281... Observación: El número «e» es la~pr~x)lmación, limite, de la potencia 1 +cuando la va riable «x» asume un v lor~uficientemente grande. 24.3 PROPIEDADES GENERALES 24.3A) El logaritmo de la unidad es cero: Log b l = O; b E lR+ - {1} 24.3B) E I logaritmo de la base es ig~al a uno: Log b b = 1 ; b ElR+-{1} - 24.4 PROPIEDADES OPERATIVAS 24.4A) LOGARITMO DE UN PRODUC TO \i b ElR+-{1}; M,N ElR+ •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• 24.4B) LOGARITMO DE UN COCIEN TE \i b E lR+ - {1}; M , N E lR+ 24.4C) LOGARITMO DE UNA POTEN CIA 24.5 ARTIFICIOS DE CÁLCULO 24.6 CAMBIO DE BASE 24.6A) CONCEPTO Es el proceso que permite expresar un logaritmo, dado en cierta base, en función de una base nueva. El logaritmo del número «N» en base «b» , se puede expresar en base «ní» según la relación. • Expresar Log 4 en función de la base 5 7 Log 4 ~ Log 4 = 5 7 Log 7 5 • Expresar Log 2 en función de la base 2 5 Log 2 2 1 ~ Log 2=-- 5 Log 2 5 Log 2 5 24.68) PROPIEDAD 1 • Log 4=-- 7 Log 7 4 1 Log 10=-- 5 Log 5 Log 7 · Log 5· Log 8 = Log 8 = Log (23) 2 7 5 2 2 = 3 . Log 2 = 3 . 1 = 3 2 Observación: La fórmula anterior se puede comprobar fáci Imente si se aplica en forma sucesiva la propiedad 19.68. 24.7 COLOGARITMOS V ANTILOGARITMOS 19.7A) COLOGARITMOS (Colog) El cologaritmo de un número positivo en una base positiva diferente de la unidad es igual al opuesto de su logaritmo, esto es: '•. •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • Colog 125 = -Log 125=-Log (53) 555 = -3 . Log 5 = -3 . 1 = -3 5 24.78) ANTILOGARITMO (Antilog) El antilogaritmo de un número real en una base positiva diferente de la unidad se define de la siguiente manera: Antilog 7 2 = 72 = 49 ; Antilog 4 (.2) = 4-2 = 1~ 24.8 ECUACIONES LOGARíTMICAS 24.8A) PRIMERA FORMA: Se debe cumplir que: x>O CJ b>O CJ b 1 1 Se debe resolver: ..... (1) ... .. (2) El conjunto solución se obtiene por intersección de (1) y (2). 24.88) SEGUNDA FORMA: Se debe cumplir que: x> O /\ y > O /\ . b > O /\ b ~ 1 ... (1) Se debe resolver: x = y .. . (2) El conjunto solución se obtiene por intersección de (1) y (2). Observación: Para resolver la ecuación aX = b , con a y b positivos, se recomienda utilizar logaritmos, pues con la aplicación de sus propiedades fácilmente se podrá despejar la incógnita «x». Ejemplo: Ca lcular «x» en 5x = 6. Por la observación tenemos: Log 5x = Log6 Dando uso de las propiedades: x . Log 5 = Log 6 Log6 , x=-- Log5 Existen tablas logarrtmicas que permiten conocer logaritmos decimales, 1= ')r ejemplo: Log 2 = 0,3010; Log 3 = 0,4771 ; 24.9 FUNCiÓN EXPONENCIAL 24.9A) DEFINICiÓN La función exponencial de base «b» se define de la manera siguiente: Donde: D om{F) = IR ; R a"F) = ( O; 00) 24.9B) GRAFICA DE LA FUNCiÓN l. Cuando la base bE ( O; 1) •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• y y= F(x) Caracteristicas: · Intercepto co el eje yen (0;1) · Asrntota horizontal y = O · Es decreciente, monótona · Es inyectiva 11. Cuando la base bE (1; 00) y Caracteristicas: · Intercepto co el eje yen (O; 1) . · Asrntota horizontal y = O · Es creciente, monótona · Es inyectiva x y'" F(x) x 24:10 FUNCiÓN LOGARíTMICA , 24.10A) DEFINICiÓN •• •• • La función logarrtmica de base "b» se define • de la manera siguiente: • Donde: D orrXF) = ( O; 00) ; R an(F) = lR Observeción: La función logarrtmica es la función de la inversa de la función exponencial y viceverza. 24.108) GRAFICA DE LA FUNCiÓN 1. Cuando la base b E (O :1) x y=F(x) Caracteristicas: · Intercepto co el eje x en (1 ; O) · Asrntota horizontal x = O · Es decreciente, monótona · Es inyectiva JI. Cuando la base b E (1: 00) •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• y Caracteristicas: · Intercepto co el eje x en (1 ; O) · Asrntota vertical x = O · Es creciente, monótona · Es inyectiva 24.11 INECIACIONES EXPONENCIALES 24.11A) PRIMERA FORMA: y = F(x) Considerando la base "b» entre cero y uno, es decir O 1 . Ejemplo: Resolver .J5X-l ~ 25x Resolución: La inecuación exponenciales: Dando uso de los teorema se tiene: De acuerdo con la segunda form a: x- 1 < 2 2 - x x- 1:::; 2x Finalmente hemos obtenido: es = [-1 ; 00) 24.12 INECUACIONES LOGARITMICAS 24.12A) PRIMERA FORMA: Consid erando la base «b» entre cero y uno, es decir O < b < 1 . 24.128) SEGUNDA FORMA: Considerando la base «b» mayor que uno, es decir b > 1 . •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • Ejemplo: Relorver L09(o.s)(x + 2) < 1 La inecuación logar itmica es: Transformando 1= L09(il (1) : Da acuerdo con la primera forma: 3 x > -2 /\ x >-"2 3 Al intersectar en la recta real : x > - "2 • :. es = ( - ~ ; 00 ) fGll)Calcular el logaritmo de ~71f7 en la base ~7.J7 . Resolución: Sea «a» el logaritmo solicitado, luego según el enunciado se plantea. Log'J/7,fi ~71f7 = a Por definición: (V7.J7t = ~71f7 Transformando: a 1 a 1 - = - 7 2 = 7 3 2 3 2 a=- 3 CiD Simplificar: F = Loga Log4/9 Log../8 Log.J2 2 Resolución: Para resolver este ejercicio utilizaremos artificios sucesivos a partir del último logaritmo, veamos: F = Loga Log4/ 9 Log../8 Log.J2 2 F = Loga Log4/ 9 Log../8 L09.J2..J22 •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • F = Loga Log4/ 9 Log../8 (2 . LogJ2..J2) F = Loga Log4 / 9 Log../8 (2 ·1) F = Loga Log4 / 9 Log../8 2 F = Loga Log4/ 9 Log 2 (22 ) (../8) F = Loga Log4 / 9 Loga (2 2) F = Loga Log4/ 9 LogW ~ F = Loga Log4 / 9 Log2 22 / 3 F = Loga Log4 / 9 (~ . Log2 2) F = Loga Log4/ 9 (~ .1) 1 (2)2 F = Loga Log(2/ 3) 3' F = L09a G) = L09a T 1 = L09W ~2-1 ( F = L092 2 -1/3 ) = -"13 ' L092 2 = -"13 .1 1 F =-- 3 K'Ell Calc ular «x» de: Resolución: La igualdad mostrada es: e L0ge(X4 +29 x2 -71 2) = 8 Por la t eoría : x 4 + 29x2 - 712 = 88 Resolviendo la ecuación: x 4 + 29x2 - 720 = O "-... L/ 45 /"-. -16 X2 + 45 = O v x 2 = -45 v X2 -16 = O Rápidamente podemos observar que la ecu ación x 2 = -45 no presenta solución en R en consecuencia «x» se deberá hallar de la otra igualdad: •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • :0 x = 4 v x =-4 It,tll Calcular: F = (ex + eY + é) (x + y + z) eLn(z - y) +én(z - x) + é n(x+y) Para : x = Ln 3, Y = Ln 5 /\ Z = Ln 15 Resolución: La expresión «F» equivale a: F (ex +eY +ez)(x+y+z) 2z Por condición: x = Ln 3 ~ y= Ln 5 ~ z = Ln 15 ~ sen(x ) :: 1- 4 eY =5 é =15 Ahora en la expresión «F» se tendrá: F = (3 + 5 + 15)(Ln 3 + Ln 5 + Ln 15) 2 Ln15 . F = (23)[Ln (3 ·5 ·15)] = (23) Ln (105)2 Ln (15)2 . Ln (15)2 F = 23 1[.1$ Calcular: Resolución: Sea «F» la expresión dada: LogS 4 F = 2SL0916 12 •• K'U Reducir: • Por propiedad tenemos: • F = Colog2 J2 + Antilog4 O, S • F = 2SLogS 4 · L0916 12 •• - Colog4 4 - Antilog.j3 4 Por artificio conseguimos: • Resolución: • F = 2sLog2S 16 · Log De acuerdo con la definición expues- 16 12 •• ta en la teoría tenemos: Por regla de la cadena : • F = -L092 J2 + 4°,5 -[-Log4 4]_.J34 • F = 2SLo92S 12 • Finalmente por teorema: F = 12 •• F = -L092 i 12 + 4112 + Log4 4-32 m El equivalente de: • •• F = -2.(L092 2)+.[4 +1-9 2 [( L 2) r097 • . 095 J4 . ( L092Ws) • 1 1 F = --(1)+2-a=---6 • 2 2 Resolución: •• 13 Sea «K» la expresión dada, luego: • .. F=-- • 2 K = [( L09S W) . (L092 ~)tog7 • m •• Mostrar el equivalente de: K = [(LogS ~) . (Log2 ~)tL097 • Colog6 Antiloga (L092 3 + 1) •• Resolución: [1 1 fL0 9 7 • Si «L» es el equivalente, luego tenemos: K = 2 LogS 2 . S L092 5 •• De conformidad con la teoría tenemos: • L = Colog6 aLog2 3 + 1 • K = (2L092 5 . SL09S2/L097 • L = Colo96 (a Log2 3 . a) •• Por artificio conseguimos: K = (2L092 5 . S L09S 2)2 L09 7 •• L = CoI096 (a L09a 27 . a) 2 • K = (S . 2)L09 7 = (1 0) L09 49 • Por teorema tenemos: Finalmente por teorema tenemos: •• L = CoI096 (27 . a) = CoI096 (33 .23) K = 49 • Por definición: L = -3(10966) = -3(1) L =-3 K'fJI Resolver: Log(35 - x 3 ) = 3 Log(5 - x) Resolución: La ecuación dada equivale a: Log (35 - x 3) = 3 Log(5 - x) Log(35 - x 3)= Log(5-x)3 Teniendo en cuenta a lo expuesto en la teoría tenemos: 0= 15x2 - 75x + 90 X2 - 5x + 6 = O ~ (x - 3)(x - 2) = O x-3 = O v x - 2=O De donde conseguimos: x=3 v x = 2 c.s = {3; 2} +(.]1 Resolver: Resolución: Teniendo en cuenta la teoría. la ecuación dada se podrá expresar de la siguiente manera: •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• LOg2(X 2 - 3x +6) = 2 x -1 Ahora según la definición: 2 x - 3x + 6 = 22 x - 1 X2 - 3x + 6 = 4 x - 1 X2 - 3x + 6 = 4x - 4 x 2-7x+10 = O ~ (x - 5)(x - 2) = O x-5=O v x-2=O De donde conseguimos: x = 5 v x=2 c.s = {S; 2} 11II Calcular el producto de raíces de la siguiente ecuación: Resolución: Para resolver este ejercicio será necesario tomar logaritmos en base 3 a cada uno de los miembros de la ecuación mostrada. veamos: 3 Log3 xL093 x = Log3312 Por propiedad tenemos: Log3 x 3 . Log3 x =12(Log33) 3 . Log3 x . Log3 x = 12 (¡) 2 3 (Lag3 x) = 1 2 (Lag3 x)2 = 4 De donde obtenemos: Log3 x = 2 v Log3 x = -2 Ahora por definición : x = 32 v x = 3-2 Finalmente tenemos: 1 xl = 9 v X2:: 9 .. x, . x2 = 1 la Calcular «X1I en: Resolución: 10X - ,.---=S 101 -x - 1 La ecuación dada es: Hagamos 10x = m; observar que m > O. luego: m =S 10 - 1 m m2 ---=S 10 - m m2 = SO-Sm m2 +Sm -SO = O (m - S)(m + 10) = O •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • m-S = O v m + 10 = 0 De donde obtenemos: m=S v m= -10 Como m > O. tenemos: m = S => 10x = S Ahora tomamos logaritmos: Log10X = Lag S x . Log 10 = Lag S x·1 = LogS x = Log5 m Calcu lar «X1I de: Resolución: Observar que: L09s 4"'S-;: = L09s 51 / 4 1 Logs W = - . Logs 5 4 1 Logs W = - ·1 4 1 Logs W =¡ La ecuación es: L09s (2.)-1 __- --,~.4..:..<.-_ _:_ = CoI09s if; CoI09s (Antilo9s x) Por definición: L09s 4 L x,- = - °9s v x -L09s (Anti l09s x) L09s 4 L x,- = - 09s 'IX -x· L09s 5 L09s 4 L x,- =- °9s v x -x Por propied ad : Logs 4 = x . L09s rx 4 =(rxr mSi : :. x = 4 [Log ()( 2)J[Log 2 (_1_)]+1 =0; sen x sen (x) 256 X E JI? Resolución: De acuerdo con la teoría : O < sen (x) < 1 Ahora por artificio: . .... (1) [LOgsen(x) (2)J[L09~ 2 V 1 ]+1 =0 sen (x) 256 [L09sen(x) (2)J[ Logsen(x) C~)]+ 1 = O •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Por propiedad tenemos: Ahora reconocemos que: 1 1 L09sen(x)(2) = - /\ L09sen(x¡(2) = - - 2 2 Por definición, tenemos: 1 1 [sen(x))2 = 2 v [sen(XW2 = 2 1 sen(x) = 4 v sen (x) = "4 .... (2) Finalmente de (1) y (2): 1 sen (x) = - 4 sen(x)+sen2(x) =~ 16 11141 Esbozar la gráfica de la función F definida así: Reaolución: De acuerdo con la definición del valor absoluto podemos redifinir la función así: ; x ~ O .... . (1) ; x < O ..... (2) Graficando (1) t enemos: x Graficando (2) tenemos: y ----- x Finalmente la gráfica dela función viene dada por la unión de la gráfica anteriores, veamos: ¡Ual Dado el sistema: J aLog(ax) = b Log(bY) 1 xLog(x) = yLog(y) donde x ;t! y; a, b > O. Determ ine: x - y Resolución: x ... . . (1) . . ... (2) • De la ecuación (2) : •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Tomando logaritmo: Lag xLog(x) = LagyLog (y) Por propiedad : Lag (x) · Lag (x) = Lag (y) . Lag (y) Lag2 (x) - Log2 (y) = O [Lag (x)+Lag (y)] [ Log (x) -Lag (y)J=O Por teorema : Log(x)=-Lag(y) v Log(x) = Lag (y) Lag (x) = Log(y') v Log(x) = Log(y) De donde tenemos: -, x=y v x=y Por condición x '* y. x = y' 1 x=- . . . . . (3) y De la ecuación (1) : Tomando logaritmo: Log a Log(ax) = b Log(by) Por propied ad : Lag (ax) · Lag"(a ) = Lag (by) · Lag(b) Reemp lazando (3) : Lag (ax) . Lag (a) = Lag (~ ) . Lag (b) Por propiedad : [Lag (a) + Lag (x)]Lag (a) = [Lag (b) - Lag (x)]Lag(b) . Lag2 (a) + Lag (x)· Lag (a) = Lag2 (b) - Lag (x)· Lag (b) .Lag2 (a) - Lag2 (b~ + Lag (x)· Lag (a) + Lag (x)· Lag (b) = O [ Lag (a) + Lag (b)I Lag (a) - Lag (b)]+ Lag (x) .[Lag (a) + Lag (b)] = O [Lag (a) + Lag (b)}[ Lag (a) - Lag (b) + Lag (x)]= O Al simplificar tenemos: De donde es evidente que: Reemplazando (4) en (3) : Finalmente tenemos: Lag (a) - Lag (b) + Lag (x) = O Lag (x) = Lag(b)-Lag(a) b x=a . a y=b b a x-y=- - a b Iffll Determine el dominino de la siguiente función: (X2+X-6J y = F(x) = Lag "'L2 2x - 5 Resolución: ..... (4) De acuerdo con la teoría se debe cumplir la condición de existencia, es deir: X2 + x -6 > O 2x - 5 (x + 3)(x - 2) > O 2x - 5 Colocando los puntos de corte en la recta real conseguimos: -3 2 5/2 x Fácilmente reconoce que: :. Dom(F) = (-3 ; 2)UG ; XE (-OO; O) :. Dom(F)=(-oo;O) íU!)IResolver : Resolución: Fácilmente podemos reconocer que la base (x+2) permite establecer dos casos, veamos: Primer caso: •• •• •• •• •• •• • Consideramos que •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• O-2 L09(x+2) x 2 < L09(x+2) (x + 2) De acuerdo con la primera forma se plantea: X2 > O 1\ X + 2 > O 1\ x2 > x + 2 X2 > O 1\ X + 2 > O 1\ x 2 - x - 2 > O x 2 > O 1\ X + 2 > O 1\ (x - 2)(x + 1) > O En la recta real tenemos: .. -2 -1 o 2 X E (- 2; -1) u (2 ;oo) .. , (2) I ntersectando (1) Y (2): x E(- 2 ; -1) Segundo caso: Consoderamos que x + 2 > 1 <=> x > -1 ... (3) Ahora en la incuación se tendrá: L09(x+2) X2 < 1 L09(x+2) x2 < L09(x+2) (x + 2) De acuerdo con la segunda forma se plantea : X2 > O 1\ X + 2 > O 1\ x2 < x + 2 X2 > O 1\ X + 2 > O 1\ x2 - x - 2 < O X2 > O 1\ X + 2 > O 1\ (x - 2)(x + 1) < O En la r ect a r eal tenemos: _.---------_•_ -2 -1 O 2 X E (-1 ;O) u (O ; 2) .. , (4) Inter sectando (3) Y (4): xE(- 1;0) u (0 ;2) Finalmente el conjunto solución de la inecuación propuesta viene dado por la unión de las intersecciones halladas antes: es = (- 2 ; - 1) u (-1 ; O) u (O; 2) IENI Dada la función F, Cuya regla de co'respondencia y dominio son: 2 y = F(x) = S2x +1 _ 3 ; X E [2 ;00), Determin? la fórmula de F-1 Resolución: Facilmente podemos reconocer que y = F(x) , en el intervalo asignado a su dominio, es inyectiva , Tomando logaritmo en base cinco, tenmos: L09s(y + 3) ,= (2x2 + 1) ,1 ~ L09s(Y+ 3) = 2x2 + 1 L09s(y + 3) -1 = Ixl 2 [ /L09S(Y2+3)-1 --Ixl _ x -_ [L09S(Y2+ 3 Por condición x )-1 E 2; -- --+ 1;:: 1 -Ixl >- 2 2 --+ In1;:: In(1-lxl) > In ~ 1 --+ 1;::1+ln(1-lxl»1+ln"2 --+ el;::el+lnl.( ..,I x1 ) >el +ln2~ If€ll Sea f una función cuya ragla de • • correspondencia es f(x)=ln( 1 ) • In x-1 •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• si x E (e; 00) . Determine el rango de la función. a) (0;00) b) (e;oo) e) (1; 00) d) ~ e) ~o Resolución: f(x)=ln( 1 ); xE(e;oo) Inx -1 x> e --+ Inx > Ine --+ Inx - 1 > Ine - 1 --+ Inx - 1 > O 1 --+ Inx-1 In( 1 ) E ~ --+ In x-1 :. R a n 'ex) = IR 24 . En el siguiente gráfico de las funcines logaritmicas, determine el valor de: a+b+p+q+r+s+t+u I I I I I I I (t; 4l o a) 3 + log4 e) 6 e) 24 b) 6 + log6 d) 6 + log24 Resolución: I I I I I I I (t; ~ o f(x)=log(x+2),"9(x)=log(6-x) (r;s)=(r;O)e9 ~ O=log(6-r) (u;t)=(t;O)ef ~ O= logÜ+2) ~ p = O 1\ q = log 6 (a:b)efng ~ (a :b)efl\(a;b)eg ~ b=log(a+2)=log(6-a) ~ a + 2 = 6 - a ~ a = 2 1\ b = log4 : . a+b + p + q + r + s + t+u = 6 + log 24 lEtal Dada la función f definida por f(x) = Ilnlxll ¿Cuál es su gráfica? a) y b) y x x i c) Ir( •• --¡.--x • d) y x •• •• •• •• •• •• •• •• •• .••' •• •• •• •• •• •• •• •• •• e) \ Ir -f+-x Resolución: La gráfica de y = Inlxl es: La gráfica de f(x) = llnlxll 1+210ga b IEEI Si : __ ---'b"--- = 9, a > b > O 1 + 210gab b Calcule: E = IOgab(~)+CO I09.t:>. (ab) a a) _ 9 2 b) 10 3 d) ~ e) 10 2 3 Resolución: 1+210ga b e) 1 3 __ -----'b'-- = 9, a > b > O 1 + 2 10gab b ... (a) E = IOgab(:)+COI09~ (ab) a E = 10gb a -1 + 10gb a + 1 10gb a + 110gb a -1 •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • Como: 1>a>b>0 . 1 --+ 0< logba <1 --+ logb a =2 Luego: 1 1 E =_-2-_1 + _2+_1 = _1_0 113 -+1 --1 2 2 lEtal Simplificar: a) log1 d) log5 b) log2 e) log10 Resolución: 100 L:Vlogk E = -l-k~=~2 - __ lOO L:~log5k k=2 3 Como: log k = log 5 ·log5 k 100 L: Vlog 5 . log5 k k=2 100 L:~109 5 k k=2 e) log3 3 100 3 ~Iog 5 . L ~log5 k k =2 100 L~log5k k =2 :. E = log 5 m Si : 10g(log(logx))=0 , entonces el valor de: E= log(Xlog(XlogX))-log11 a) O b) 8 e) 10 d) 11 e) 20 Resolución: 10g(log(log x)) =0 ~ log(logx) = 1~ l ogx=10 E = 10g(Xlog(XlogX)) - log11 E ~: log1010 + log11 - log11 =10 3(1 OX _6x+2) + 4(1 Ox+l) = 50(1 Ox-l +6x-1) Indique cUál(es) de los siguiente enunciados son correctos. l. n(M) = 1 •• •• • II.Mc Z ( 111. Mn lR = log5 /3 625553 ) • a) sólo 1 • b) sólo 11 e) 1 y 111 e) sólo 111 • d) 1 Y 11 •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Resolución: 3 ·1 OX +4 ·1 Ox+ 1 +5 ·1 Ox-l = 5 . 6x-1 +3 ·6x+2 ~ 5x -1 (425) = 3x - 1 (653) ~ (5)X-l = 653 (~)X = 653 3 425 ~ 3 255 ( 653) ~ x=log5 -- - 455 3 1. n(M) = 1 11. M.I2'Z 111. MnlR = M (v) (F) (F) :. Es correcto: sólo I 16PlI Resolver: son sus soluciones, entonces el valor a) -2 d) 1 Resolución: b) -1 e) 2 ~ 6x + 5 = O v 6 = 52x Luego: R = log2 (X1 . X2) ENI Determine x en: a) 2 Resolución: e) O .. R =-1 •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• ~ 1092 (109 2 (1092 xl) = 2 ~ 1092 (1092 x) = 22 ~ 10 9 2 X = 2 22 32 . Si: x+log2x=2 Calcule: x + log2 X a) 4 d) 10 Resolución: x + log2 X = 2 b) 6 e) 12 e) 8 ~ x - 2 = log2 X ~ 2x- 2 = X Luego: x + log2 X = 4 + log2 4 = 6 lE'" Resolver: log2 x - 810g x2 2 - 3 = O determine la suma de raíces . • a):Q. • 3 b) 6 e) 8 •• •• •• •• •• •• d) 33 2 Resolución: e) ~ 2 log2 X - 810g 22 - 3 = O x 4 Sea log2 x = a ~ a - - - 3 = O a ~ a= 4 va=-1 Luego: log2 x = 4 v log2 x = - 1 Xl = 16 v 33 .. x, +X2 =2 leAl Determine la suma de los cuadrados de las soluciones posibles de la ecu ación : a) ~ 9 d) 225 4 Resolución: b) 100 9 e) 289 4 c) 16 8 ~ 3x2 + 2x - 16 = O ~ Xl = - v X2 = 2 3 Luego: 16M Calcule el número de soluciones • de la ecu ación : •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• - Ix - 41 + 3 = Ilog Ix - 411 a) O d) 4 b) 1 e) 6 Resolución: - Ix - 41 + 3 = Ilog Ix - 411 '-v------" ~ F(x) g(x ) Graficando: c) 2 ~ la ecuación tiene 4 soluciones reales. I@II Dada la siguiente ecuación: ( ) ln(e.x2 ) . Inx + 1 = 2 , determine el valor de T = e · x 4 c) e-4 Resolución: ~ In(e 2 : 2 ) (Inx· e) = 2 ~ ( 2 In(ex) -1 Inex) = 2 1 Luego: In(ex) = - ~ 4 3 ex =e 4 ex = e 4 a es la raíz de la ecuación: •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• (lag 2)x3 +(log12)x2+(lag 27)x+ lag 9=0 • entonces se cumple: a) -1 < a < O b) a < -1 e) a = 2 d) 2 < a < 3 e) a> 3 Resolución: Sea: lag 2 = a 1\ log 3 = b • reemplazando: •• •• •• •• •• •• •• •• •• ~ x + 2 = O v ax2 + bx + b = O ~ x = -2 v ax2 + bx + b = O Luego: a. = -2 < 1 IEraI Halle el conjunto solución de: 5 10g x log(log(log x») (log(logx)) =-15 a) ~ e) [10; -tco) e) (10; + 00) Resolución: b) (O; 00) d) (1: + 00) Sea: 10g(logx) = y; x> O Reemplazando: 510g x y logy = -15 ~ 5109 x y y =-15 ~ log x5 ~ y y =-15 ~ ~ x 5 = -15 ~ x = ~-15 < O Pero: x > 1 O ~ X E + Recordando: En el campo de los números reales el número del logaritmo es positivo. Es decir: logx ; x> O 1[IJlI Detenninar el logaritmo de 27:if9 en base 3.[3 . 1 a) - 3 d) 22 9 1 b) 3x - 9 e) ~ 9 2 c) - 9 1[1;-1\ Si: b > O 1\ b *- 1, reducir: 10gb 12 + 10gb (.¡ )- Logb 9 a) Logb 2 c) Logb 3 e) 1 b) Logb 1 d) Logb 4 I[IE!! Si: Log x = -3, calcular Log3 X2 a) -240 d) -216 b) -230 e) -210 Ít.tll Reducir: c) -220 a) 10 b) 9 c) 8 d)7 e) 6 1[1m! Calcular: a) 127 b) 19 c) 133 •• •• •• •• •• •• •• •• ••• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• d)135 e) 114 Í(IIB! Calcular: Log3 4 +2 Log9 (dJ a) 1 d)9 b) 2 e)36 Í[lí4! Calcular: a) 274 d)432 b) 324 e) 452 í[.I:11 Calcular: c) 3 e) 1285 Logl6 Log419 Log ro Log r:: 3 . v8 v3 a) 1/3 d) -1!4 b) 1/4 e) - 1/2 e) -1/3 , Itl AlI E~cribe (V) o (F) según corresponda: 1. Log ( xy) :;:: Log x + Log y;xy > O ( ) 11. Log (; ) = Log x - Log y ; ; > O ( ) • 2 1II. Log x = 2 Log x; x e R. ( ) a)VFF d)VVV b)FVF e)FFF W (.]j Calcular: c)VFV Log if32 + Log r;; .fj.J3 + Log 27 .fj 4 v~ . a) 5/2 d) 11 /2 b) 7/2 c) 9/2 e) 13/2 ,. U Calcular: a) 895 d) 901 b) 897 e) 903 II f1] Calcular: c) 899 Log 2s 3125.)5 +Log 49 343J7 + Log 9 27 a)3 b)3/2 c)6 d) 6/5 e) 5/3 +'€ l!Mostrar el equivalente de: Log~ 2+Log~ 3+Log~ 4+ ... +Log~20 a) 1 b) 2 c)~ d) l1Q e) O @Cl]Reducir: Log2 (Log2 256) + Log..fi (Log2 4) a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• JI m] Calcular: eX + eY - eZ eu'x +eLny +eLnz siendo: x = Ln 2; Y = Ln 3 ; z = Ln 5 a) 6 d)Ln 30 b) 1 . e) Ln 10 c) O 1I (a] Mostrar ei equivalente de: Log 2 (tglo)3 . Log3 (tg2°t· Log 4 (tg30)5 ... 89 factores a) 1 b) O d) ..J3 e) 3/5 í. fA] Resolver: a) 2 b) 4 d) 8 e) 16 111:)] Determine "x" en: c) .fj 2 c) 6 lOLog2X = X + 10 a) 10 d) 1 b) O e) 2 c) -10 ,.(tJI Si: Log 700 = 2,8451 Calcular: Log 7 70 a) 2,16 d) 2,18 b) 2,15 e) 1,82 c) 1,87 !EH Al resolver la ecuación: Log2 X + ~ (Log2 X )2 = Log4 8 se afirma respecto a las soluciones que: a) Suman-2 b) Su producto es -3 c) Su producto es 1/4 d)Suman 10 e) Su producto es 1/8 [ff1 '! Resolver: (Log x/ +Log x =2 a) {102; lO'3} c) {I; lO-J} e){ } b) {l ; lO} d) {lO; 1O,2} 'FE! Resol~er: Log xLogx + Log x5 = 24 a) {103; 10-8} c) {l; 103} e) {102; 1O-2} b) {l; lO} d) {ID; 1O-1} IEEl! Simplificar: Antilog J6 0,5 + Antilog.,l34 - Antilog 7l a) 13 d) 7 W:t~! Calcular: b) 12 e) 5 c) 6 2 Log Antilog 5 + 3 Antilog Log 7 + Colog Antilog 100 •• ~ •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • a) ~66 b) -67 c) -68 ~) -(;9 ~) -1 <.', WHl Calcular: Antilol (3) + Antilog2 ( .!. ) + 2 729 3 LogAntilogÜl)+Log9 Antilog 4 100 JW a) 156 b) 157 c) 158 d) 2 e) 1/2 lEtal Calcular "x" en: ( Log3 (Log 2 ( x + 9) ) ) = 1 a) O b) 1 c) -1 d) 2 e) 1/2 IFE! Resolver: Log 2 (9x-1 +7) = 2+ Log 2 (}x-J +ü a) {l ; 3} b){l ; 2} c) {l ; -l} d){1;-2} e){I;-3} ®:!\ Calcular "x" en: 2(5LogZX ) + 3(x Log7 5) = 125 a) 1/7 b) 1/49 c) 49 d) 343 e) 27 IER)I Determine "x" en: (x x 1) . Log -+-+- =2 (1/2) 2 3 5 a) 2/50 b) 1/35 c) 3/35 d) 3/50 e) 5/51 !E[.)I Calcular "x" en: Log x=2+~Log18+Log8-2 Log)5) 2 a) 36 d) 54 b)48 e) 60 <, c) 42 m Determine "x" en: a) 1 d)ifj 1 + Logl xl , l+Logx 3 3 m Determine el mayor vaIorde "x" en: Sl.o&¡1 (x2 - 7H Z¡) = 3Log¡¡ 25 a)2 d) 5 b) 3 e) 6 !EE!! Calcular el valor de: ~ 5 Lo8a x +, 6 ·x I.o,g . 5 cuando: Log a • x=7 5; a>2 a) 5 b) 3 d,) 6 e)4 c)4 c)7 '.•• •• •• •• •• •• •• •• ••• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• lE' II Reducir: l+Log 3 1+ Logl 2 2 + _ -"-- 1- Log2 3 1- Log3 2 a)O b) -1 c) 1. d) 1/2 e}.~3 ) IEMI Si: Log X2 = a 1\ Log ,?= b Calcu'lar: 20 Log 1i f- , . y a)a+b d)ab b)a - b e) a2 _ b2 c)b - a IENI Calcular «x + y>~ del sistema: a) 54 ' d) 67 2,x ;,, :¡Y ..... (1) +3(3-Log2y)=0 ..... (2) b)48 e) 59 c:) 66 iEk4I. Determine el valor de "y" que verifica el sistema: a)Ln 4 d)Ln6 b)Ln2 e) Ln 5 . (1) ..... (2) c)Ln3